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第五章 万有引力与宇宙航行
（考试时间：75 分钟 试卷满分：100 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共7 小题，每小题4 分，共28 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合
题目要求的。
1.下列说法正确的是（ ）
A．“月—地检验”表明地面上的物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律
B．开普勒通过对第谷的观测数据的研究，认为行星的运动轨道都是圆
C．开普勒第三定律a
3
T
2 =k，式中k 的值不仅与太阳的质量有关，还与行星运动的速度有关
D．牛顿提出了万有引力定律，并用扭秤实验测出了万有引力常量的数值
2.用国际单位制中的基本单位导出引力常量G 的单位为（ ）
A．N ⋅k g
2⋅m
−2
B．N ⋅m
2⋅k g
−2
C．k g
3⋅m
−1⋅s
−2
D．m
3⋅k g
−1⋅s
−2
3.2024 年5 月3 日，嫦娥六号探测器准确进入地月转移轨道，随后实施近月制动并顺利进入环月轨道飞
行。已知月地距离约为地球半径的60 倍，下列说法正确的是（ ）
A．嫦娥六号的发射速度大于11.2km /s
B．嫦娥六号探测器在月球表面所受重力约为在地球表面的1
60
C．月球公转的向心加速度约为地球表面重力加速度的1
60
2
D．根据题干的信息可求出月球的质量
4.中国计划在2030 年前实现中国人首次登陆月球。如图所示，探测器从地面发射后，进入地月转移轨道，
经多次变轨最终进入月球表面附近的工作轨道，开始对月球进行探测。下列说法正确的是（ ）
1
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A．探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上经过P点时的加速度相等
B．探测器在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度大
C．探测器在轨道Ⅲ上运行的周期比在轨道Ⅰ上的大
D．探测器在轨道Ⅰ上经过P点时的速度比在轨道Ⅱ上经过P点时的速度小
5.“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一
般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周
期相同的匀速圆周运动。现测得两颗恒星之间的距离为L，质量之比为m1：m2=3：2，则可知（ ）
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为2：3
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3：2
C．m2做圆周运动的半径为2
5 L
D．m2做圆周运动的周期为T =2π√
L
3
G m2
6.国产科幻大片《流浪地球2》中提出太空电梯设想，其原理如图所示。假设有一太空电梯轨道连接地球
赤道上的固定基地与同步空间站A，空间站A 相对地球静止，某时刻电梯停靠在轨道某位置，卫星B 与同
步空间站A 的运行方向相同，此时二者距离最近，经过时间t 后，A、B 第一次相距最远。已知地球自转周
期为T，则下列说法正确的是（ ）
2
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A．太空电梯内的乘客处于完全失重状态
B．电梯轨道对电梯的作用力方向指向地心
C．电梯轨道外部一物体脱落后将做匀速圆周运动
D．卫星B绕地球做圆周运动的周期为2Tt
T −2t
7.如图，假设行星绕太阳的公转可以看作匀速圆周运动，在地面上测得地球与行星1 的连线和地球与太阳
的连线的最大夹角为α。地球与行星2 的连线和地球与太阳的连线的最大夹角为β，下列说法正确的是（
）
A．行星1 与行星2 的公转线速度之比为√tan β √tanα
B．行星1 与行星2 的公转角速度之比为sinα
sin β √
sinα
sin β
C．某时刻行星1 和行星2 相距最近，且公转方向相同，则经过√sin
3 β ⋅√sin
3α
√sin
3 β −√sin
3α
年再次相距最近
D．行星1、行星2、地球的公转加速度之比为sin
2α ÷sin
2 β
二、多项选择题：本题共3 个小题。每小题6 分，共18 分。每小题有多项符合题目要求，全部选对的得6
分，选对但不全的得3 分，有选错的得0 分。
8.在星球P 和星球Q 的表面，以相同的初速度v0竖直上抛一小球，小球在空中运动时的v — t图像分别如图
所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体，星球P 的半径是星球Q 半径的3 倍，下列说法正确的是（
）
3
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A．星球P 和星球Q 的质量之比为3:1
B．星球P 和星球Q 的密度之比为1:1
C．星球P 和星球Q 的第一宇宙速度之比为1:3
D．星球P 和星球Q 的近地卫星周期之比为1:1
9.有a、b、c、d 四颗地球卫星：a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b 在地球的近地圆轨道
上正常运行，c 是地球静止卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则下列说法正确的是（ ）
A．向心加速度大小关系是：ab>ac>ad>aa
B．在相同时间内b 转过的弧长最长，a、c 转过的弧长对应的角度相等
C．c 在4 小时内转过的圆心角是π
2
，a 在2 小时内转过的圆心角是π
6
D．b 的周期一定小于d 的周期，d 的周期一定大于24 小时
10.由多颗星体构成的系统，叫做多星系统．有这样一种简单的四星系统：质量刚好都相同的四个星体A、
B、C、D，A、B、C 分别位于等边三角形的三个顶点上，D 位于等边三角形的中心．在四者相互之间的万有
引力作用下，D 静止不动，A、B、C 绕共同的圆心D 在等边三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动．
若四个星体的质量均为m，三角形的边长为a，引力常量为G，则下列说法正确的是
A．A、B、C 三个星体做圆周运动的半径均为√3
2 a
4
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B．A、B 两个星体之间的万有引力大小为Gm
2
a
2
C．A、B、C 三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为(√3+3)Gm
a
2
D．A、B、C 三个星体做圆周运动的周期均为2πa√
a
(3+√3)Gm
三、非选择题：本题共5 小题，共54 分。其中后三小题解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演
算步骤：有数值计算时，答案中必须明确写出数值和单位。
11.（6 分）1798 年，卡文迪什在《伦敦皇家学会哲学学报》论文中发表了“扭秤”的思想，如图1 所示。
阅读完整个实验内容完成下列问题
(1)（单选）卡文迪什扭秤实验中测量G时采用的主要研究方法是_____。
A．控制变量法
B．累积法
C．转换研究对象法
D．放大法
(2)（多选）关于卡文迪什扭秤实验下列说法正确的是_____。
A．大球和小球之间的距离和其尺寸数量级相当，不可当作质点，万有引力定律不适用
B．扭秤装在封闭的箱子里是为了防止空气不均匀受热引起的气流对微小力测量的干扰
C．卡文迪什利用扭秤测定了引力常量的数值，被称为第一个测量地球质量的人
D．大球和小球除了相互之间的引力之外还会受到重力，重力对该实验的测量有影响
(3)卡文迪什扭秤的某种现代简化模型如图2 所示，两个质量为m1的小球固定在一根总长度为L的轻杆两
端，用一根石英悬丝将轻杆水平的悬挂起来，距离小球r处放置两个质量为m2的大球。根据万有引力定
律，固定小球的轻杆会受到一个力矩而转动，从而使石英悬丝扭转，最终引力力矩与悬丝的弹性恢复力矩
大小相等时装置静止不动。已知引力力矩大小可以表示为引力的大小乘以作用点到支点的距离，弹性恢复
力矩可以表示为常数k乘以悬丝旋转角。激光水平入射到固定于悬丝上的平面镜上，弧形标尺到平面镜的
距离为d。从静止释放轻杆到最终平衡的过程中，弧形标尺上反射光点移动的距离为s，则引力常量的表达
5
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式为G = 。（用题干中已知的物理量表示）
12.（10 分）卡文迪许设计扭秤实验测定了万有引力恒量,实验中通过万有引力使石英丝扭转的办法巧妙地
测量了极小的万有引力。现有学生研究用某种材料做成的圆柱体在外力矩作用下发生扭转的规律,具体做法
是：做成长为L、半径为R 的圆柱体,使其下端面固定,在上端面施加一个扭转力矩M,使上端面半径转过一
扭转角θ，现记录实验数据如下：
实验次数
M /×10
−2N⋅m
L/×10
−2m
R /×10
−4 m
θ /
1
1
5
5
5.1
2
2
5
5
10.0
3
2
10
5
19.9
4
2
10
10
5.0
5
3
10
5
30.2
6
3
15
5
44.9
7
4
20
15
8.9
（1）利用上表实验数据,可以采取 法,分别研究扭转角θ与M，θ与L，θ与R 的关系,进
而得出θ与M 、L、R的关系是
（2）用上述材料做成一个长为0.4 m，半径为0.002m的圆柱体，在下端面固定,上端面受到
M = 4×10
−2N ⋅m的扭转力矩作用下，上端面将转过的角度是 .
（3）若定义扭转系数K = M
θ
则K 与R、L 的关系是
（4）根据上述结果，为提高实验的灵敏度，卡文迪许在选取石英丝时,应选用长度 (选填
“长”或“短”）一点、截面 一点（选填“粗”或“细”）的石英丝。
13.（10 分）一颗卫星环绕地球做匀速圆周运动，其运行轨道到地面的距离是地球半径的2.5 倍，地球的同
步卫星到地面的距离是地球半径的6 倍。已知地球的自转周期为T，地球的半径为R，万有引力常量为
G。只考虑地球对卫星的引力，求：
(1)该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期；
(2)地球的密度。
6
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14.（12 分）万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。将地球视为质量
均匀分布的球体，不考虑空气的影响。已知地球质量为M，地球同步卫星的轨道半径r，万有引力常量为
G。
(1)求地球自转周期T。
(2)由于地球自转的影响，在地球表面不同的地方，物体的重量会随纬度的变化而有所不同。将地球视为质
量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。用弹簧秤称量一个相对于地面静止的小物体的重量，设在地球北
极地面称量时，弹簧秤的读数是F1；在赤道地面称量时，弹簧秤的读数是F2。已知地球半径为R。
a.求比值F2
F1
的表达式；
b.在纬度为θ 的地面，求测得弹簧秤的读数F3（用F1、F2、θ 表示）。
15.（16 分）进入二十一世纪后，我国航天和探月工程在攀登世界科技高峰取得了多个伟大壮举。已知地
球表面重力加速度g 和地球半径R，回答下列问题：
（1）某卫星在赤道面沿椭圆轨道运动，其近地点到地球球心距离可认为等于地球半径R，远地点到地球球
心距离等于7 R。若此卫星在近地点时恰好在中国空间站（其运动可简化为轨道半径为R 的匀速圆周运
动，轨道倾角约为41.3°）的正下方，求该卫星下一次经过中国空间站正下方所需要的时间t。
（2）2024 年5 月3 日，嫦娥六号探测器成功发射，它将完成月球背面取样的使命。为了解决探测器在月
球背面的通信问题，需要发射中继卫星。一种方案是将中继卫星定点在地月系统（视为双星系统）的拉格
朗日L2点（L2点位于地月连线延长线上），中继卫星在L2点可在地球和月球引力共同作用下，与月球同步
绕地月系统的质量中心O 点做匀速圆周运动。求月球到O 点的距离r2以及L2点到月心的距离r。（已知地
球质量为月球的质量的81 倍，地月距离为60 R，r
60 R
很小，当x 很小时，(1+ x)
n≈1+nx。）
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