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07 万有引力与宇宙航行
[-考点-08-] 双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω1
2r1，＝m2ω2
2r2.
②两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
④两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期T＝2π.
⑥双星的总质量m1＋m2＝.
2．多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速
度或周期相同．常见的多星及规律：
常见的三星模型
①＋＝ma 向
②×cos 30°×2＝ma 向
常见的四星模型
①×cos 45°×2＋＝ma 向
②×cos 30°×2＋＝ma 向
典例1 (双星模型)如图所示，“食双星”是两颗相距为d 的恒星A、B，只在相互引力作用
下绕连线上O 点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化
1
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的两颗恒星．观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面．观测发
现每隔时间T 两颗恒星与望远镜共线一次，已知引力常量为G，地球距A、B 很远，可认为
地球保持静止，则( )
A．恒星A、B 运动的周期为T
B．恒星A 的质量小于B 的质量
C．恒星A、B 的总质量为
D．恒星A 的线速度大于B 的线速度
答案 C
解析 每隔时间T 两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T′＝2T，故A 错
误； 根据万有引力提供向心力有G＝mArA＝mBrB，由题图知rA<rB，则mA>mB，故B 错误；
由B 选项得，两恒星总质量为M＝mA＋mB＝，故C 正确；根据v＝ωr，两恒星角速度相
等，则vA<vB，故D 错误．
典例2 (共线三星模型)质量均为m 的两个星球A 和B，相距为L，它们围绕着连线中点做
匀速圆周运动．观测到两星球的运行周期T 小于按照双星模型计算出的周期T0，且＝k.于
是有人猜想在A、B 连线的中点有一未知天体C，假如猜想正确，则C 的质量为( )
A.m
B.m
C.m
D.m
答案 A
解析 两星球绕连线的中点转动，则有G＝m··，所以T0＝2π，由于C 的存在，星球所需的
向心力由两个力的合力提供，则G＋G＝m··，又＝k，联立解得M＝m，可知A 正确，B、
C、D 错误．
典例3 (共面三星模型)(多选)如图所示，质量相等的三颗星体组成三星系统，其他星体对
它们的引力作用可忽略．设每颗星体的质量均为m，三颗星体分别位于边长为r 的等边三
角形的三个顶点上，它们绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀
速圆周运动．已知引力常量为G，下列说法正确的是( )
A．每颗星体所需向心力大小为2G
B．每颗星体运行的周期均为2π
C．若r 不变，星体质量均变为2m，则星体的角速度变为原来的倍
D．若m 不变，星体间的距离变为4r，则星体的线速度变为原来的
2
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答案 BC
解析 任意两颗星体间的万有引力大小F0＝G，每颗星体受到其他两个星体的引力的合力
为F＝2F0cos 30°＝G，A 错误；由牛顿第二定律可得F＝m()2r′，其中r′＝＝，解得每颗
星体运行的周期均为T＝2π，B 正确；星体原来的角速度ω＝＝，若r 不变，星体质量均变
为2m，则星体的角速度ω′＝＝，则星体的角速度变为原来的倍，C 正确；星体原来的线
速度大小v＝，若m 不变，星体间的距离变为4r，则星体的周期T′＝2π＝16π＝8T，星体
的线速度大小v′＝×4r′＝，则星体的线速度变为原来的，D 错误．
典例4 (四星模型)(多选)如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m 的星体位
于边长为L 的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略
其他星体对它们的作用，引力常量为G.下列说法中正确的是( )
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为
C．若边长L 和星体质量m 均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的
两倍
D．若边长L 和星体质量m 均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
答案 BD
解析 四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆
心一定是正方形的中心，故A 错误；由G＋G＝(＋)G＝mω2·L，可知ω＝，故B 正确；由
(＋)G＝ma 可知，若边长L 和星体质量m 均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度
大小是原来的，故C 错误；由(＋)G＝m 可知星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝，所
以若边长L 和星体质量m 均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D
正确．
1.(多选)宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为
双星系统．设某双星系统A、B 绕其连线上的某固定点O 做匀速圆周运动，如图所示．若
A、B 两星球到O 点的距离之比为3∶1，则( )
A．星球A 与星球B 所受引力大小之比为1∶1
B．星球A 与星球B 的线速度大小之比为1∶3
C．星球A 与星球B 的质量之比为3∶1
3
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D．星球A 与星球B 的动能之比为3∶1
答案 AD
解析 星球A 所受的引力与星球B 所受的引力均为二者之间的万有引力，大小是相等的，
故A 正确；双星系统中，星球A 与星球B 转动的角速度相等，根据v＝ωr 可知，线速度大
小之比为3∶1，故B 错误；A、B 两星球做匀速圆周运动的向心力由二者之间的万有引力
提供，可得G＝mAω2rA＝mBω2rB，则星球A 与星球B 的质量之比为mA∶mB＝rB∶rA＝1∶3，
故C 错误；星球A 与星球B 的动能之比为＝＝＝，故D 正确．
2.银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相
互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观察测得其运
动周期为T，S1到C 点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S2的
质量为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：G＝m1()2r1，得：m2＝，
故D 正确．
3.如图所示，某双星系统的两星A 和B 各自绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，已知A 星
和B 星的质量分别为m1和m2，相距为d.下列说法正确的是( )
A．A 星的轨道半径为d
B．A 星和B 星的线速度之比为m1∶m2
C．若在O 点放一个质点，它受到的合力一定为零
D．若A 星所受B 星的引力可等效为位于O 点处质量为m′的星体对它的引力，则m′＝
答案 D
解析 双星系统中，两颗星球属于同轴转动模型，角速度相等，周期相等，根据万有引力
提供向心力可得＝m1ω2rA＝m2ω2rB，又有d＝rA＋rB，解得rA＝，rB＝，故A 错误；由v＝ωr
得A 星和B 星线速度之比＝＝，故B 错误；在O 点放一个质点，设质量为m，受到B 的万
有引力FB＝，受到A 的万有引力FA＝，因为≠，可得FA≠FB，故质点受到的合力不为零，
故C 错误；A 星所受B 星的引力可等效为位于O 点处质量为m′的星体对它的引力，由万
有引力定律可得＝，解得m′＝m2＝，故D 正确．
4.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做
周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期
均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两
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星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为(
)
A.T B.T C.T D.T
答案 B
解析 设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m 的恒星
距离为r，双星间的万有引力提供向心力，对质量为m 的恒星：G＝m()2·r，对质量为M 的
恒星：G＝M()2(L－r)，得G＝·L，即T2＝；则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL 时，
T′＝T，选项B 正确．
5.引力波的发现证实了爱因斯坦100 年前所做的预测.1974 年发现了脉冲双星间的距离在减
小，就已间接地证明了引力波的存在.如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图
所示，两星球在相互的万有引力作用下，绕O 点做匀速圆周运动.由于双星间的距离减小，
则( )
A.两星的运动周期均逐渐减小
B.两星的运动角速度均逐渐减小
C.两星的向心加速度均逐渐减小
D.两星的运动线速度均逐渐减小
答案 A
解析 双星做匀速圆周运动具有相同的角速度，靠相互间的万有引力提供向心力.根据G＝
m1ω2r1＝m2ω2r2，得m1r1＝m2r2，知轨道半径与质量成反比，双星间的距离减小，则双星的
轨道半径都减小，根据万有引力提供向心力，知角速度增大，周期减小，故A 正确，B 错
误；根据G＝m1a1＝m2a2知，L 变小，则两星的向心加速度均增大，故C 错误；根据G＝
m1，解得v1＝，则线速度增大，故D 错误.
6.“开普勒－47”系统位于天鹅座内，距离地球大约4 900 光年．这一系统有一对互相围绕
运行的恒星，运行周期为T，其中大恒星的质量为M，小恒星的质量只有大恒星质量的三
分之一．已知引力常量为G，则下列判断正确的是( )
A．小恒星、大恒星的转动半径之比为1∶1
B．小恒星、大恒星的转动半径之比为1∶2
C．两颗恒星相距
D．两颗恒星相距
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答案 C
解析 设两恒星间的距离为L，小恒星、大恒星的轨道半径分别为r1、r2，小恒星质量为
M1，则M1＝M，两恒星运动的周期相同，角速度相同，所需的向心力由万有引力提供，有
G＝Mr2ω2＝M1r1ω2，可得＝＝3，故A、B 错误；由A、B 项分析知，r1＝L，又＝M1r1，解
得L＝，故C 正确，D 错误．
7.如图所示，由恒星A 与恒星B 组成的双星系统绕其连线上的O 点各自做匀速圆周运动，
经观测可知恒星B 的运行周期为T.若恒星A 的质量为m，恒星B 的质量为2m，引力常量为
G，则恒星A 与O 点间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 双星系统两个恒星的角速度相同，周期相同，设恒星A 和恒星B 的轨道半径分别为
rA和rB，对A 根据万有引力提供向心力得G＝mrA,对B 根据万有引力提供向心力得G＝2mrB,
又L＝rA＋rB联立解得rA＝.故A 正确，B、C、D 错误．
8.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做
周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期
均可能发生变化．若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，
两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时两星做匀速圆周运
动的周期为( )
A.T B.T C.T D.T
答案 B
解析 设两恒星原来的质量分别为m1、m2，距离为L，
双星靠彼此的万有引力提供向心力，则有G＝m1r1;G＝m2r2,并且r1＋r2＝L
解得T＝2π,当两星总质量变为原来的k 倍，两星之间距离变为原来的n 倍时
T′＝2π＝T,故选B.
9.(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可
忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如
图)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；
另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运
行．设这三颗星的质量均为M，并且两种系统的运动周期相同，则( )
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A．直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B．直线三星系统的运动周期T＝4πR
C．三角形三星系统中星体间的距离L＝R
D．三角形三星系统的线速度大小为
答案 BC
解析 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相等，方向相反，选项A 错误；直线三星
系统中，对甲星有G＋G＝MR，解得T＝4πR，选项B 正确；对三角形三星系统中任一颗星，
根据万有引力定律和牛顿第二定律得2Gcos 30°＝M·，又由题知两种系统的运动周期相同，
即T＝4πR，联立解得L＝R，选项C 正确；三角形三星系统的线速度大小为v＝＝＝··，选
项D 错误．
10.(2021·四川南充模拟)宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系
统如图所示，三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L.忽略其
他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量
为G.下列说法正确的是( )
A.每颗星做圆周运动的线速度为
B.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C.若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2 倍，则周期变为原来的2 倍
D.若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2 倍，则线速度变为原来的2 倍
答案 C
解析 任意两颗星之间的万有引力F＝G，每一颗星受到的合力为F1＝F，由几何关系知：
它们的轨道半径为r＝L，合力提供它们的向心力＝m，联立解得v＝，故A 错误；根据＝
ma 得a＝，故加速度与它们的质量有关，故B 错误；根据＝m，解得T＝π，若距离L 和每
颗星的质量m 都变为原来的2 倍，则周期变为原来的2 倍，故C 正确；根据v＝可知，若
距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2 倍，则线速度不变，故D 错误.
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11.(多选)2019 年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，
黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上
的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称为
“潮汐瓦解事件”．天鹅座X－1 就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连
线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑
洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )
A．两者之间的万有引力变大
B．黑洞的角速度变大
C．恒星的线速度变大
D．黑洞的线速度变大
答案 AC
解析 假设恒星和黑洞的质量分别为M、m，环绕半径分别为R、r，且m<M，两者之间的
距离为L，则根据万有引力定律有G＝F 向，恒星和黑洞的距离不变，随着黑洞吞噬恒星，
在刚开始吞噬的较短时间内，M 与m 的乘积变大，它们间的万有引力变大，故A 正确；双
星系统属于同轴转动的模型，角速度相等，根据万有引力提供向心力有G＝mω2r＝Mω2R，
其中R＋r＝L，解得恒星的角速度ω＝，双星的质量之和不变，则角速度不变，故B 错误；
根据mω2r＝Mω2R，得＝，因为M 减小，m 增大，所以R 增大，r 减小，由v 恒＝ωR，v 黑＝
ωr，可得v 恒变大，v 黑变小，故C 正确，D 错误．
12.(多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．
根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km，绕二者
连线上的某点每秒转动12 圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、
万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积
B．质量之和
C．速率之和
D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动12 圈，角速度已知,中子星运动时，由万有引力提供向心力得＝m1ω2r1①
＝m2ω2r2②l＝r1＋r2③由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，质量之和可以估算．由线速度
与角速度的关系v＝ωr 得v1＝ωr1④v2＝ωr2⑤由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之
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和可以估算．质量之积和各自的自转角速度无法求解．故选B、C.
13.(2023·北京海淀·人大附中校考)通过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了
许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深
刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离.一
般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理.
现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m，两者相
距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动.
(1)试计算该双星系统的运动周期T 计算；
(2)若实验上观测到的运动周期为T 观测，且T 观测∶T 计算=1∶
（N>1）.为了解释T 观测与T 计
算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质.
作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质.
若不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的
密度.
答案 (1)
；(2)
解析 (1)双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设运动速率为v，则由牛顿第二定律有
解得
可得周期为
(2)根据观测结果，星体的运动周期
这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作用
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力，按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的
作用与一质量等于球内暗物质的总质量M′位于中点处的质量点相同.考虑暗物质作用后双星
的速度即为观察到的速度v 观，则有
解得
因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由题意得
综合以上各式得
设所求暗物质的密度为ρ，则有
故
10
