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专题09 天体运动的互绕模型
天体运动中的互绕模型虽然仍为圆周运动模型，但由于涉及两个或多个天体，分析时要注意两点：一
是互绕星体之间存在的等量关系；二是互绕星体做圆周运动所需的向心力来源，特别是对于不在同一直线
上的互绕星体，必须由力的合成求解对应的向心力。
模型(一) 双星模型
1、模型构建
在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀
速圆周运动的行星称为双星。
2、模型特点
如图所示为质量分别是
和
的两颗相距较近的恒星。它们间的距离为
.此双星问题的特点是：
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
(3)两星的运动周期、角速度相同。
(4)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即
.
3、规律推导
设：两颗恒星的质量分别为
和
，做圆周运动的半径分别为
、
，角速度分别为
、
。根据题意有
①
②
根据万有引力定律和牛顿定律，有
③
④
1
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③/④得
⑤
②⑤联立得：
③④分别化简得
⑥
⑦
⑥⑦相加得
又
得
⑧
双星问题的两个结论
(1)运动半径：
，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
(2)质量之和：两恒星的质量之和m1＋m2＝。
模型(二) 双星与多星系统的结构
类型
双星模型
多星模型
结构图
向心力
由两星之间的万有引力提供，故两星
的向心力大小相等
运行所需向心力都由其余行星对其万
有引力的合力提供
运动参量
各行星转动方向相同，周期、角速度相等
2
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【模型演练1】[双星模型]
(多选)根据科学家们复原双中子星合并的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km，绕
二者连线上的某点每秒转动12 圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常
量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积
B．质量之和
C．速率之和
D．各自的自转角速度
【答案】BC
【解析】：两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动12 圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得＝m1ω2r1，＝m2ω2r2，l＝r1＋r2，联
立解得＝ω2l，所以m1＋m2＝，质量之和可以估算。由线速度与角速度的关系v＝ωr 得v1＝ωr1，v2＝ωr2，
解得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算。质量之积和各自的自转角速度无法求解。
【模型演练2】[三星模型]
(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m 的星
位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三
角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G，则( )
A．每颗星做圆周运动的线速度为
B．每颗星做圆周运动的角速度为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
【答案】ABC
【解析】： 每颗星受到的合力为F＝2Gsin 60°＝G，轨道半径为r＝R，由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r
＝m，解得a＝，v＝ ，ω＝，T＝2π ，显然加速度a 与m 有关，故A、B、C 正确。
【模型演练3】[四星模型]
宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力
作用。设四星系统中每颗星的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点
上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为
C．四颗星表面的重力加速度均为
D．四颗星的周期均为2πa
3
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【答案】B
【解析】： 其中一颗星在其他三颗星的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角
线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A 正确，B 错误；在每颗星表面，根据万
有引力近似等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C 正确；由万有引力定律和向心力公式得＋＝m·，解得
T＝2πa ，故D 正确。
一、单选题
1．（2024 下·内蒙古通辽·高一校考期中）某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有
引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到C 点的距离
为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G，由此可求出S2的质量为（ ）。
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对星体S1由万有引力提供向心力
可得，S2的质量为
故选D。
2．（2023 下·高一课时练习）两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀
速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．质量大的天体线速度较大
B．质量小的天体角速度较大
C．两个天体的向心力大小相等
D．若在圆心处放一个质点，它受到的合力为零
【答案】C
【详解】B．双星系统的结构是稳定的，所以它们的角速度相等，周期相等，故B 错误；
C．两个星球间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，故C 正确；
A．根据牛顿第二定律，有
4
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＝m1ω2r1＝m2ω2r2
其中
r1＋r2＝L
联立解得半径分别为
r1＝
L
r2＝
L
所以线速度之比为
即质量大的天体线速度较小，故A 错误；
D．若在圆心处放一个质点，所受的合力为
故D 错误。
故选C。
3．（2023 下·高一课时练习）宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做
匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起。设两者相距为L，质量分别为m1和
，且
r1<r2，下列说法正确的是（ ）
A．m1一定小于m2
B．轨道半径为r1的星球线速度更大
C．若双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大
D．只要测得双星之间的距离L 和双星周期T，即可计算出某一颗星的质量
【答案】C
【详解】A．根据万有引力提供向心力
＝m1ω2r1＝m2ω2r2
可得
m1r1＝m2r2
5
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因
r1<r2
则有
m1>m2
故A 错误；
B．根据
v＝ωr
可知轨道半径为r1的星球线速度更小，故B 错误；
C．根据万有引力提供向心力
解得
可知若双星的质量一定，双星间距离越大，其转动周期越大，故C 正确；
D．由
可知，只要测得双星之间的距离L 和双星周期T，即可计算出两星的质量之和，不能计算出某一颗星的质
量，故D 错误。
故选C。
4．（2023 下·山西晋中·高一校考阶段练习）假设宇宙中存在质量相等的三颗星体且分布在一条直线上，其
中两颗星体围绕中央的星体转动，假设两颗星体做圆周运动的半径为R，每个星体的质量均为m，引力常
量为G。忽略其他星体对该三颗星体的作用，则做圆周运动的星体的线速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】直线三星系统中星体做圆周运动，万有引力做向心力；根据星体受到另两个星体的引力作用可得
6
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星体做圆周运动的线速度大小为
故选C。
5．（2023·全国·高一专题练习）银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构
成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动
周期为T，S1到C 点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】以S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
解得
故选D。
6．（2023 下·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）离其他恒星较远的四星系统的形式如图所示，三颗星
体位于边长为
的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道做匀速圆周运动，而第四
颗星体刚好位于三角形的中心不动。设每颗星体的质量均为
，引力常量为
，则（ ）
A．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小与
无关
B．三星的总动能为
C．若距离
不变，四颗星体的质量
均变为
，则角速度变为原来的2 倍
D．若四颗星体的质量
均不变，距离
均变为
，则周期变为原来的
倍
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【答案】D
【详解】A．依题意，根据万有引力定律及几何知识，可求得位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆
周运动的合外力为
根据牛顿第二定律可得，每颗卫星的的向心加速度大小为
故A 错误；
B．三星的总动能为
根据
由几何知识得
联立求得
故B 错误；
C．结合选项A 分析可知，每颗卫星受到的合外力
若距离
不变，四颗星体的质量
均变为
，则每颗卫星受到的合力将变为原来的4 倍，根据
可知每颗卫星的角速度将变为原来的
倍，故C 错误；
D．若四颗星体的质量
均不变，距离
均变为
，根据
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结合选项A，可得每颗卫星做匀速圆周运动的周期
则周期变为原来的
倍，故D 正确。
故选D。
7．（2023 下·辽宁锦州·高一校考期中）假设太空中存在着如图所示的星体系统，A、B、C 三个星体构成
等边三角形，边长为r，环绕中心O 处的星体做角速度相同的匀速圆周运动，已知A、B、C 的质量均为
m，O 点处星体的质量为M，假设所有的星体均可视为质点，引力常量为G。则下列说法正确的是
（ ）
A．O 处星体对A 星体的万有引力提供A 做圆周运动的向心力
B．C 星体对O 处星体的万有引力大小为
C．B 星体的角速度为
D．A、B、C 三星体对O 处星体的万有引力的合力为
【答案】C
【详解】A．B、C 星体和O 处星体对A 星体的万有引力的合力提供A 做圆周运动的向心力，故A 错误；
B．C 星体对O 处星体的万有引力大小为
故B 错误；
C．对B 星由牛顿第二定律有
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解得
故C 正确；
D．A、B、C 三星体对O 处星体的万有引力的合力为
故D 错误。
故选C。
8．（2024 下·全国·高一随堂练习）如图所示，“天狼星”是除太阳外人用肉眼能看到的最亮的恒星，“天
狼星”实际上是一个双星系统，它由恒星“天狼星”A 和白矮星“天狼星”
组成。“天狼星”A 和“天
狼星”B 均绕它们连线上的
点做匀速圆周运动，运动周期为
，它们的轨道半径分别为
，不考虑其
他天体的影响。已知引力常量为
，则“天狼星”的总质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对“天狼星”A 有
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对“天狼星”B 有
解得“天狼星”的总质量
故选B。
9．（2023 下·山东威海·高一统考期末）红矮星与中子星组成双星系统，它们同时绕连线上的某点做匀速圆
周运动。若两星相距L，红矮星的质量是中子星的n 倍，中子星转一圈的时间为t，引力常量为G，则（
）
A．红矮星的轨道半径为
B．红矮星的轨道半径为
C．红矮星和中子星的总质量为
D．红矮星和中子星的总质量为
【答案】D
【详解】AB．设红矮星的轨道半径为
、质量为
，中子星的轨道半径为
、质量为
，则根据题意有
由万有引力充当向心力有
，
联立以上各式解得
故AB 错误；
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CD．根据以上分析可得
，
则可得
故C 错误，D 正确。
故选D。
10．（2023 下·福建龙岩·高一统考期末）中国天眼FAST 已发现约500 颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星
效率最高的设备，如在球状星团M92 第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图，距离为L 的A、B 双星
绕它们连线上的某点O 在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，运动周期为T，万有引力常量为G，则双
星总质量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】双星A、B 之间的万有引力提供向心力，有
其中
联立解得
故选C。
二、多选题
11．（2023 下·高一课时练习）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所
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示，三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作
用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G。则（ ）
A．每颗星做圆周运动的线速度为
B．每颗星做圆周运动的角速度为
C．每颗星做圆周运动的周期为
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
【答案】AC
【详解】A．任意两个星体之间的万有引力为
每一颗星体受到的合力为
由几何关系知，每一颗星体做匀速圆周运动的半径为
根据牛顿第二定律可得
解得
故A 正确；
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C．根据
解得
故C 正确；
B．每颗星做圆周运动的角速度为
故B 错误；
D．根据
可得
故加速度与它们的质量有关，故D 错误。
故选AC。
12．（2023 下·高一课时练习）宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心
做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起。设两者相距为L，质量分别为m1和m2，可
以想象如果不停的将m2星球上的资源源源不断的运回m1星球，导致m2减少，m1增加。假设在一定时间内
两星球总质量不变，两星球的间距也不变。则下列说法正确的是（ ）
A．两星球间的万有引力不变
B．两星球圆周运动的周期不变
C．m2做匀速圆周运动的轨道半径变大
D．m1做匀速圆周运动的轨道半径变大
【答案】BC
【详解】两颗星球做匀速圆周运动的向心力大小相等，绕共同的圆心O 做匀速圆周运动，周期相等，设
的半径为
，
的半径为
；根据万有引力提供向心力可得
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又
联立可得
，
由于
减少，
增加，且在一定时间内两星球总质量不变，两星球的间距也不变；则
乘积发生变化，
两星球间的万有引力发生变化；两星球圆周运动的周期不变；
做匀速圆周运动的轨道半径变大，
做
匀速圆周运动的轨道半径变小。
故选BC。
13．（2023 下·四川绵阳·高一统考期末）天文学家发现有两颗双中子星相距约400km，绕二者连线上的某
点每秒转动12 圈，假设这两颗中子星是质量均匀分布的球体。由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学
知识，可以估算出这两颗中子星（ ）
A．速率之和
B．质量之和
C．各自的轨道半径
D．各自的质量
【答案】AB
【详解】A．双中子星做匀速圆周运动的频率
f=12Hz
线速度
则
选项A 正确；
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B．由万有引力等于向心力，可得
又
r1+r2=L=400km
联立解得
选项B 正确；
CD．不能得出各自的轨道半径和各自的质量，选项CD 错误。
故选AB。
14．（2023 下·安徽安庆·高一校联考期中）2023 年2 月21 日迎来“二月二，龙抬头”。“龙”指的是二十
八宿中的东方苍龙七宿星象，每岁仲春卯月之初，“龙角星”就从东方地平线上升起，故称“龙抬头”。
10 点后朝东北方天空看去，有两颗亮星“角宿一”和“角宿二”，就是龙角星。实际上，角宿一是一个距
离很近的、互相围绕公转的双星系统，系统内两颗恒星距离只有0.12 个天文单位，公转轨道周期只有
4.0145 天。根据以上信息以及万有引力常量
，判断下列说法正确的是（ ）
A．可以求出系统内两恒星的质量比
B．可以求出系统内两恒星的总质量
C．可以求出系统内两恒星的自转角速度D．可以求出系统内两恒星的速率之和
【答案】BD
【详解】设两恒星质量为
和
，轨道半径为
和
，有
联立可得
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根据线速度与角速度的关系
所以
故选BD。
15．（2023 下·江西南昌·高一统考期末）如图所示，两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运
动，星球A 和B 的距离为L。已知A、B 和O 点三点始终共线，A 和B 分别在O 点的两侧，引力常量为
G，星球A 的质量为
，星球A 的轨道半径为
，两星球均可视为质点。则（ ）
A．星球B 的质量为
B．星球B 的质量为
C．两星球做圆周运动的周期为
D．两星球做圆周运动的周期为
【答案】BD
【详解】AB．设B 星的轨道半径为
，则由题意有
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两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有
联立各式解得
故B 正确， A 错误；
CD．由上述分析可解得
解得
解得
故D 正确， C 错误。
故选BD。
16．（2023 下·山东临沂·高一沂水县第一中学校联考阶段练习）宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星
组成的四星系统，若四星系统中每个星体的质量均为
、半径均为
，四颗星稳定分布在边长为
的正方
形的四个顶点上，如图所示。已知引力常量为
，忽略其他星体对它们的引力作用，则下列说法正确的是
（ ）
A．四颗星的轨道半径均为
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B．四颗星表面的重力加速度大小均为
C．每颗星所受的相邻两颗星的万有引力的合力等于对角星对其的万有引力
D．四颗星的周期均为
【答案】AD
【详解】A．四星系统的圆心在正方形中心，根据几何关系可得轨道半径为
A 正确；
B．在星球表面根据
得
B 错误。
C．每颗星所受的相邻两颗星的万有引力的合力
对角星对星球的万有引力
可知
C 错误；
D．向心力由合力提供，故
解得
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D 正确；
故选AD。
三、解答题
17．（2023 下·河北邢台·高一统考期中）如图所示，质量分别为
和
的两个星球
和
（均视为质点）
在它们之间的引力作用下都绕
点做匀速圆周运动，星球
和
之间的距离为
。已知星球
和
和
三
点始终共线，
和
分别在
点的两侧。引力常量为
。
（1）求星球
的周期
；
（2）求星球
的线速度大小；
（3）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球
和
，月球绕其轨道中
心运行的周期记为
。但在处理近似问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期
为
。已知地球和月球的质量分别为
和
。求
。（结果保留三位有效数
字）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题意知
和
有相同的角速度和周期，设
、
的运行半径分别为
、
，则对
有
对
有
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解得
解得
（2）对
有
解得
（3）将地月系统看成双星系统，由（1）得
常常认为月球绕地心做圆周运动，有
解得
则
18．（2023 下·河南驻马店·高一新蔡县第一高级中学校考阶段练习）太空中存在一些离其他恒星较远的、
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由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统
存在两种基本的构成形式（如图所示）：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为
R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨
道运行。设这三颗星的质量均为 M，两种系统的运动周期相同，引力常量为 G，求三角形三星系统星体
间的距离 L。
【答案】
【详解】以左边的系统中的甲或者丙为研究对象，根据牛顿第二定律有
得
三星系统中任意星体所受合力为
而根据牛顿第二定律，有
根据题意，其周期与左边系统周期相同
根据几何关系，轨道半径r 与边长L 的关系为
解得
22
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19．（2023 下·山东青岛·高一青岛二中校考期末）由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，
存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某
一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图为A、B、C 三颗星体质量不相同时
的一般情况）。若引力常数为G，A 星体质量为
，B、C 两星体的质量均为m，三角形的边长为a。
（1）求星体B 所受的合力大小；
（2）求星体C 的轨道半径。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）对B 星体进行受力分析如下图，
B 星体所受AC 星体得万有引力为
根据几何关系得出星体B 所受得合力为
（2）根据受力分析图可知
23
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20．（2023 下·吉林松原·高一前郭尔罗斯县第五中学校考期中）双星是两颗相距较近的天体，在相互间的
万有引力作用下，绕双星连线上某点做匀速圆周运动。对于两颗质量不等的天体构成的双星系统，如图甲
所示，A、B 两星相距为L，其中A 星的半径为R；绕O 点做匀速圆周运动的周期为T，假设我国的宇航员
登上了A 星，并在A 星表面竖直向上以大小为v0的速度抛出一小球，如图乙所示，小球上升的最大高度为
h。不计A 星的自转和A 星表面的空气阻力，引力常量为G，A 星的体积V=
。求：
（1）A 星表面的重力加速度大小g；
（2）A 星的平均密度ρ；
（3）B 星的质量mB。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）在A 星表面竖直向上以大小为v0的速度抛出一小球，由运动学公式可得
解得
（2）设绕A 星表面附近做匀速圆周运动的物体质量为m，由A 星的万有引力提供向心力，可得
由密度公式，可得A 星的平均密度为
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（3）绕双星连线上某点做匀速圆周运动，可知两星是同轴转动，则有周期相同，角速度相同，对A 星则
有
对B 星则有
又有
联立以上各式解得
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