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专题09 电偏转模型2-----类斜抛
1. 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动的几种常见情况
竖直向上抛出
水平抛出
斜上抛出
2. 带电粒子在复合场中的匀变速曲线运动
[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]
【例1】如图所示，匀强电场水平向右，将一带正电的小球从A 点竖直上抛，小球经M 点后运动至B 点。
M 为轨迹最高点，A、B 两点在同一水平线上。小球抛出时动能为2024J，在M 点动能也为2024J，不计空
气阻力。求：
（1）小球水平位移
与
的比值；
（2）小球从A 点运动到B 点过程中的最小动能
。
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
B
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
A
D
C
●
●
v0
y
x
mg
qE
θ
vmin
1
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）带电小球水平方向只受电场力做初速度为零的匀加速直线运动、竖直方向只受重力做竖直
上抛运动，从A 到M 的时间与从M 到B 的时间相等，轨迹如图所示
上升阶段的水平方向有
下降阶段的水平方向有
解得
（2）合运动与分运动具有等时性，小球所受的电场力为
、重力为mg，小球从A 到M，由动能定理有
水平方向，有牛顿第二定律有
上升过程的水平方向
2
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竖直方向有
整理有
由图可知
所以解得
即
小球的合力为
小球从A 运动到B 的过程中，速度与合外力
垂直时可取最小值
【例2】如图所示，一个质量为
，带电量为
的微粒，从
点以大小为
的初速度竖直向上射入水平方
向的匀强电场中，微粒通过最高点
时的速度大小为
方向水平向右，求：
（1）该匀强电场的场强大小
；
（2）该微粒从
点到
点过程中速率的最小值
。
3
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【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）沿竖直方向和方向建立直角坐标，带电微粒受到重力及电场力作用，两力分别沿竖直方向
和水平方向，将物体的运动分解为竖直方向和水平方向的两个分运动
在竖直方向物体做匀减速运动，加速度为
水平方向物体做匀加速运动，初速度为0，加速度为
点是最高点，竖直分速度为0，有
水平方向有
联立两式得
（2）设重力与电场力的合力为
，其与水平方向的夹角为
，则
开始一段时间内，
与速度方向夹角大于90°，合力做负功，动能减小，后来
与速度夹角小于90°，合力
做正功，动能增加，因此，当
与速度的方向垂直时，小球的动能最小，速度也最小，设为
。即
，
，
4
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联立以上三式得
，
，
所以最小速度为
【例3】．（2025·安徽蚌埠·一模）如图，竖直平面内有一边长为5cm 的正方形ABCD，CD 边水平，将质
量
、电荷量
的带正电小球自A 点沿AB 方向抛出，恰好通过C 点，重力加速度
。
(1)求小球抛出时的速度大小；
(2)若只增加一个平行ABCD 平面的匀强电场
（大小未知），将小球自A 点由静止释放，恰好沿AC 运动，
求电场强度
的最小值；
(3)若只在ABCD 平面内增加一个方向平行AC 的匀强电场
（大小未知），将小球自A 点沿某方向（未
知）抛出，恰好能先后通过B、C 两点，且从A 到B 和从B 到C 的时间相等，求小球通过C 点时的动能大
小。
【答案】(1)0.5m/s (2)
(3)
【详解】（1）小球做平抛运动通过C 点，设水平和竖直方向的位移分别为s、h，则
代入数据解得小球抛出时的速度大小为
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（2）如图所示
电场力与重力的合力应沿AC 方向，且当电场力与AC 垂直时电场强度最小，由图可知
解得电场强度
的最小值为
（3）以AC 方向为x 轴，垂直AC 的方向为y 轴，建立如图所示的坐标系
由题意可知小球受到沿x 轴负方向的电场力和重力，合力沿y 轴负方向，其轨迹为抛物线。设小球抛出时
速度大小为v、方向与x 轴的夹角为
，加速度为a，从A 到B 的时间为t，由图可知
B 点坐标为
又有
，
，
联立可得，小球抛出时的动能为
根据对称性可知小球通过C 点的动能为
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一、单选题
1．如图所示，水平向右的匀强电场中，一带电小球从
点以竖直向上的初速度开始运动，经最高点
后
回到与
在同一水平线上的
点，小球从
点到
点的过程中克服重力做功
，电场力做功
，则（
）
A．小球在
点的动能比在
点少
B．小球在
点的电势能比在
点少
C．小球在
点的机械能比在
点多
D．小球在
点的动能为
【答案】C
【详解】A．从
，根据动能定理有
解得
即粒子在
点的动能比在
点多
，故A 错误；
B．设小球在
点初速度为
，小球在竖直方向上只受重力，做加速度为
的匀变速运动，故从
和
的时间相等，而水平方向只受到电场力作用，设从
的水平分位移为
，从
的水平分位
移为
，则可知
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则
由于电场力做正功，则粒子在
点的电势能比在
点少
，故B 错误；
CD．根据功能关系可知，从
机械能增加量为
由于重力势能不变，则从
动能增加
，即粒子在
点的动能大于
，故C 正确，D 错误。
故选C。
2．（24-25 高二上·河北邢台·阶段练习）如图所示，水平地面上方有水平向右的范围足够大的匀强电场，
从地面上的A 点将一带正电的小球沿竖直方向向上以初速度
抛出，小球落在水平地面上的C 点，B 点为
小球运动过程中的最高点，B、C 两点均未画出。忽略空气阻力的影响，则A、B 两点和B、C 两点间的电
势差之比为（ ）
A．1：3
B．1：4
C．2：5
D．1：5
【答案】A
【详解】设小球的质量为m，电量为q，重力加速度为g，电场强度为E，对小球受力分析，可知小球在竖
直方向受力重力作用，在水平方向受电场力作用，则从A 到B 过程，在竖直方向上的速度减为零，则所用
时间为
此时小球在水平方向的位移为
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其中
联立解得
速度为
则A、B 两点的电势差为
同理，小球从最高点B 到C 点，竖直方向受重力作用，水平方向受电场力作用，而在竖直方向高度和加速
度都不变，故此过程所用时间仍为
则水平方向的位移为
则B、C 两点的电势差为
故A、B 两点和B、C 两点间的电势差之比为
故选A。
3．如图所示，一质量为m、带正电的液滴，在水平向右的匀强电场中运动，运动轨迹在竖直平面内，A、
B 为其运动轨迹上的两点。已知该液滴在A 点的速度大小为
，方向与竖直方向的夹角为30°，它运动到B
点时速度大小仍为
，方向与竖直方向的夹角为60°。则液滴从A 运动到B 的过程（ ）
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A．在水平方向和竖直方向的分位移相等
B．机械能增加
C．电势能增加
D．合外力做功
【答案】A
【详解】A．将液滴的运动进行分解，水平方向满足
竖直方向满足
联立解得
x＝h
A 正确；
BCD．竖直方向由位移速度公式可得
则重力势能增加量为
电场力对液滴做正功，电场力做功为
W 电＝F 电x＝maxx
液滴在水平方向做匀加速直线运动有
2axx＝(v0sin 60°)2－(v0sin 30°)2＝
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联立解得
液滴的电势能减少
，机械能增加
，动能不变，合外力做功为0，BCD 错误。
故选A。
4．（22-23 高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，一质量为m、电荷量为
的粒子，以初速度
从a 点竖直
向上射入匀强电场中，匀强电场方向水平向左。粒子通过电场中的b 点时，速率为
，方向与电场方向平
行。则a、b 两点间的电势差
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设粒子从
到
所用时间为，竖直方向有
水平方向有
，
联立解得
，
由
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可得场强大小为
根据沿场强方向电势降低可知，
点电势低于
点电势，则a、b 两点间的电势差为
故选D。
5．（23-24 高二上·江西南昌·期末）如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为
的带电小球，以初速
度从
点竖直向上运动，通过
点时，速度大小为
，方向与电场方向相反，则小球从
运动到
的
过程中，速度大小的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【详解】带电小球在电场中做匀变速曲线运动，竖直方向受重力做匀减速运动，水平方向受电场力做匀加
速运动，由运动学公式有
可得
合成电场力和重力，设等效重力与竖直方向的夹角为
，如图所示
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故有
则有
当小球做类斜上抛运动到等效最高点时，速度最小，则有
故选A。
6．（21-22 高二下·云南大理·阶段练习）如图所示，质量为m，带电量为q 的粒子，以初速度v0，从A 点
竖直向上射入真空中的沿水平方向的匀强电场中，粒子通过电场中B 点时，速率
，方向与电场的
方向一致，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球做类平抛运动
B．电场力的大小等于重力
C．小球的水平位移等于
D．小球从A 运动到B 的时间为
【答案】C
【详解】A．小球在垂直于初速度和沿初速度方向均受力，所以小球的运动并不是类平抛运动，故A 错误；
B．小球在竖直方向做末速度为零的匀减速直线运动，则
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在水平方向上小球做匀加速直线运动，则
综上可得
故B 错误；
CD．由B 可知小球 运动的时间为
小球的水平位移为
故C 正确，D 错误。
故选C。
二、多选题
7．（24-25 高二上·广东江门·期中）如图所示，平面内存在着电场强度大小为E、方向水平向右的匀强电
场，一质量为m、带电荷量为
的小球自水平面上的O 点以初速度
竖直向上抛出，最终落在水平面上
的A 点，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球被抛出后做类平抛运动
B．小球上升到最高点时的速度大小为
C．O、A 两点间的距离
D．小球上升时间内水平方向的距离等于下降时间内水平方向的距离
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【答案】BC
【详解】A．小球的初速度方向与合力方向不垂直，做的不是类平抛运动，故A 错误；
BD．小球在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，在竖直方向上做竖直上抛运动，由竖直上抛的对称
性可知，小球上升时间内水平方向的距离与下降时间内水平方向的距离之比为1 3∶；小球上升到最高点用
时
小球在最高点沿竖直方向的分速度为0，在水平方向的速度
其中
解得
选项B 正确，D 错误；
C．小球在水平方向做匀加速运动，则有
解得
选项C 正确。
故选BC。
8．（24-25 高二上·河北·阶段练习）如图所示，在足够长的光滑绝缘水平面上竖直固定一光滑绝缘、半径
为R 的四分之一圆弧轨道BC，B 为圆弧的最低点，A 点在圆弧左侧的水平面上，且A、B 间距为2R。整个
装置处于水平向右的匀强电场中，电场强度大小为E。一质量为
，电荷量为
的带正电小球从A 点由
静止释放，忽略空气阻力，重力加速度大小为g，则（ ）
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A．小球运动到B 点时的速度大小
B．小球在圆弧BC 上运动过程中的最大动能
C．小球从离开圆弧轨道到落地过程中的最小速率
D．小球落地点离圆弧轨道B 点的距离
【答案】AC
【详解】A．小球从出发至运动到
点的过程有
得
A 正确；
B．小球在圆弧
上运动过程中的最大动能出现在圆弧
的中点（此时速度方向与重力和电场力的合力
方向垂直，速度有极大值），从出发到此处，由动能定理有
得
B 错误；
C．由运动的对称性可知
小球从离开圆弧轨道到落地过程中做类斜抛运动，将
沿合外力和垂直合外力的方向分解，两个分速度大
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小均为
，在类斜抛运动的最高点有最小速率，此时与合外力反向的分速度减小到零，另一与合外力
垂直的分速度为最小速率
C 正确；
D．由于小球在竖直方向上做竖直上抛运动，在水平方向上做加速度为
的匀加速运动，由运动学规律有
则
D 错误。
故选AC。
9．（23-24 高二下·湖南益阳·期末）在电场方向水平向右的匀强电场中，一带电小球从A 点竖直向上抛出，
其运动轨迹如图所示。小球运动的轨迹上A、B 两点在同一水平线上，M 为轨迹的最高点。小球抛出时的
动能为8.0J，在M 点的动能为6.0J，不计空气阻力。设带点小球的电场力为F、重力为G，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】AB．由于合运动与分运动具有等时性，设小球所受的电场力为F，重力为G，则有由动能定理得
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联立可得
所以
故A 错误、B 正确；
CD．小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据对称性得知，从A 点至M 点和从M 点至B 点的时间t 相等，
小球在水平方向上做初速为零的匀加速直线运动，设加速度为a，则
又
则
所以
故C 错误、D 正确。
故选BD。
10．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在匀强电场中一带正电粒子受重力和电场力作用在竖
直平面内运动。粒子运动过程中先后经过a、b、c 三点，其中a、c 两点在同一水平线上。粒子在a 点的速
度大小为
，方向与加速度方向垂直；粒子在b 点的速度大小
，速度方向平行于ac 连线；ac 两点间
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的距离为
。已知粒子质量为m、电荷量为q，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．粒子从a 点运动到c 点的时间为
B．粒子在c 点的速度大小为
C．电场强度的大小为
D．a、c 两点间的电势差为
【答案】BC
【详解】A．粒子在a 点的速度方向与加速度方向垂直，则粒子从a 到c 的运动过程为类抛体运动，设类抛
体运动的加速度为a，a 点的速度方向与ac 连线的夹角为
，则
解得
故A 错误；
B．粒子在c 点的速度
故B 正确；
C．设电场强度大小为E，则根据几何关系得
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得
故C 正确；
D．粒子从a 到c 的过程根据动能定理得出
得
故D 错误。
故选BC。
11．（2024·辽宁·一模）如图所示，xOy 为竖直平面内的直角坐标系，该空间存在平行xOy 平面但方向未
知的匀强电场，将一质量为
、带电量为
的小球从O 点抛出，抛出的初速度大小均为
，抛
出的方向可沿xOy 平面内的任意方向。将小球沿某一方向抛出，一段时间后小球通过
点时速度
大小为
；若将小球向另一方向抛出，一段时间后小球通过
点时速度大小为
，则下
列说法正确的是（ ）
A．O、B 两点间的电势差
B．匀强电场强度的大小为
，方向与x 轴正方向夹
斜向下
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C．若将小球沿y 轴正方向抛出，小球运动过程中的最小速度为
，方向与x 轴正方向成
斜向
上
D．若小球初速度方向与x 轴正向夹
斜向上抛出，到达x 轴的时间为
【答案】CD
【详解】A．从O 到B，据动能定理可得
解得，O、B 两点间的电势差为
故A 错误；
B．从O 到A，据动能定理可得
解得，O、A 两点间的电势差为
取OA 的中点C，可知B、C 为等势点，可得电场强度垂直BC 连线斜向下，即与x 轴正方向夹角为
角斜
向下，如下图所示
取从O 到B 的过程有
故B 错误；
21
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C．将重力与电场力合成，可得它们的合力与x 轴正方向成
角斜向下。将初速度沿方向和垂直方向分解，
垂直合外力方向的速度即为运动过程中的最小速度，如下图所示
即有
，方向与x 轴正方向成
角斜向上
故C 正确；
D．若小球初速度方向与x 轴正向夹
斜向上抛出，在竖直y 轴方向上，根据牛顿第二定律有
可得，竖直方向上的加速度为
小球在竖直方向上做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动规律可得
故D 正确。
故选CD。
12．真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带正电的小球
由静止释放，运动中小球的速度与竖直方向夹角为37°。现将该小球从电场中A 点以初速度
竖直向上抛
出，经过最高点B 后回到与A 在同一水平线上的C 点，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，则（ ）
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A．小球所受的电场力为
B．小球在最高点B 的动能为
C．小球在C 点的机械能比在A 点多
D．小球在C 点的动能为
【答案】BCD
【详解】
A．如图所示，根据题意可知，小球重力与电场力的合力方向与竖直方向的夹角为37°，由几何关系可得，
小球所受的电场力为
A 错误；
B．根据题意可知，小球在竖直方向上做匀减速运动，由运动学公式
可得，运动到B 点的时间为
由牛顿第二定律可得，小球在水平方向上的加速度为
则小球运动到B 点的速度为
则小球在最高点B 的动能为
B 正确；
C．根据对称性可知，小球运动到C 点的时间为
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则AC 间的水平位移为
由功能关系可知，小球从A 运动到C，机械能的增加量为
即小球在C 点的机械能比在A 点多
，故C 正确；
D．根据题意，由对称性可知，小球运动到C 点时，竖直分速度为竖直向下的，由运动学公式可得，小球
运动到C 点时的水平分速度为
则小球在C 点的速度为
则小球在C 点的动能为
D 正确；
故选BCD。
13．（23-24 高二上·河北石家庄·期中）小明同学在水平向右的匀强电场中做带电小球的竖直上抛实验，带
电小球抛出后的运动轨迹如图所示，轨迹上A、B 两点在同一水平线上，M 为轨迹的最高点，上升高度为
h，小球在A 点抛出时的动能为
，在M 点的动能为
，不计空气的阻力，下列说法正确的是
（ ）
A．全过程中小球水平位移
与最大高度h 的比值为3:4
B．全过程中小球水平位移
与
的比值为1:3
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C．小球落到B 点时的动能为
D．小球从A 点运动到B 点的过程中最小动能为
【答案】BD
【详解】A．小球竖直方向做初速度为v 匀减速直线运动，有
初动能为
水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，有
在M 点的动能
联立可得
故A 错误；
B．因为上升和下落的时间相同，则水平方向的x1、x2是连续相等时间的位移，对于初速度为零的匀加速
直线运动，在连续相等的时间间隔内位移之比为
故B 正确；
C．由
可得
由
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可得
由
得小球落到B 点时的动能为
故C 错误；
D．由
可得
可得合力与水平方向夹角为37°，则速度最小时，速度与合力垂直，则有
则最小动能
故D 正确。
故选BD。
三、解答题
14．如图所示的坐标系，在第一象限内存在水平向右的匀强电场，一带电小球由y 轴上的P 点以水平速度
抛出，经过一段时间小球刚好落在坐标原点。已知小球的质量为m、带电荷量为q，电场强度
，
重力加速度为g。
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(1)判断小球所带电荷的电性并求出小球从P 到O 的过程中中间时刻的坐标值；
(2)求小球动能的最小值。
【答案】(1)负电，
(2)
【详解】（1）由题意可知，小球在水平方向只受电场力，且开始时向右运动，但最终落在坐标原点，故
小球应受向左的电场力，小球应带负电。
小球在竖直方向上做自由落体运动，水平方向上做匀变速直线运动。
水平方向上受力有
P 点和O 点的横坐标相同，由匀变速直线运动规律可知，小球在从P 到O 的过程中中间时刻
在水平方向的速度为零，该过程运动时间为
又
解得
则从P 到O 的过程中中间时刻小球的横坐标为
纵坐标为
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则中间时刻小球的坐标值为
（2）将小球的水平速度
沿合力方向和垂直于合力方向分解，如图所示。当沿合力方向的速度为零时，
小球的速度最小。
设合力与水平方向的夹角为
，此时
根据力的几何关系知
联立解得
所以小球动能的最小值为
15．（24-25 高二上·河南开封·阶段练习）如图所示，在光滑绝缘水平桌面上方空间中存在水平方向电场
，
方向水平向右。从A 点有带正电小球（可视为质点）以初速度
竖直上抛，其上抛的最高点坐标为（1，
1.25），落点为B。已知电量为
，质量为
，重力加速度
不计空气阻力。求：
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(1)小球上抛的初速度
；
(2)水平方向电场强度
；
(3)落点B 的坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)（
m，
）
【详解】（1）根据题意可知，小球在竖直方向上升的最大高度为
，小球在竖直方向的分运动为
初速度为
，加速度为
的匀减速运动，则有
解得
（2）设小球从A 点到最高点所用时间为
，则竖直方向根据逆向思维可得
水平方向在电场力作用下做初速度为零的匀加速运动，则有
解得
又
可得电场强度为
（3）小球从A 点到B 点过程，设所用时间为
，竖直方向根据对称性可得
29
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水平方向有
可知落点B 的坐标为（
m，
）
16．（24-25 高二上·吉林长春·阶段练习）一匀强电场，电场强度方向水平向左，如图所示，一个质量为
m、带正电的小球以初速度v 从O 点出发，在静电力与重力的作用下，恰能沿与电场强度的反方向成θ 角
的直线运动（如图所示）。
(1)求小球运动到最高点时的电势能与在O 点时的电势能之差；
(2)若电场方向变为水平向右，其他初始条件不变，求小球运动到最高点时的电势能与在O 点时的电势能之
差；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，电场力与重力的合力沿初速度v 反方向，则有
水平方向有
过程中有功能关系
故小球运动到最高点时的电势能与在O 点时的电势能之差为
解得
30
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（2）电场反向后，电场力与重力的关系仍满足
竖直方向到最高点满足
水平方向有
解得
此时小球运动到最高点时的电势能与在O 点时的电势能之差
解得
18．（23-24 高一下·辽宁葫芦岛·期末）空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P 是电场中的两点。从
O 点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m 的小球A、B。A 不带电，B 的电荷量为q（q>0）。A
从O 点发射时的速度大小为
，到达P 点所用时间为t。B 从O 点到达P 点所用时间为
。重力加速度为
，求：
（1）O 点到达P 点的高度差；
（2）B 从O 点发射时的速度大小；
（3）B 运动的加速度大小和电场强度的大小。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；
【详解】（1）小球A 在竖直方向做自由落体运动，
点到达
点的高度差
（2）A 做平抛运动，B 做类平抛运动，水平方向匀速运动位移相等
B 从
点发射时的速度
（3）设电场强度的大小为
，小球B 运动的加速度为
，由牛顿第二定律
竖直方向位移相等
联立，解得
电场强度
20．如图所示，M、N 是一方向竖直向上的匀强电场中的两点。从M 点先后以不同速率沿水平方向抛出两
个质量均为m 的小球A、B，A 不带电，B 带正电，电荷量为q。小球A 从M 点抛出时的速度大小为
，
到达N 点所用时间为t；小球B 从M 点抛出到达N 点所用时间为2t，已知重力加速度为g，求：
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（1）M、N 两点的高度差h；
（2）电场强度E 的大小；
（3）小球B 运动到N 点时的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）因小球A 做平抛运动，故M、N 两点的高度差为
（2）对小球B，由牛顿第二定律有
由竖直方向运动学公式有
联立解得
（3）对小球B，由动能定理得
因A、B 水平位移相等有
联立解得
21．如图所示，水平面上竖直固定绝缘的四分之一圆弧轨道BC，轨道AB 和BC 均光滑，水平面AB 与圆弧
33
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BC 相切于B 点，О 为圆心，OB 竖直，OC 水平，BC 轨道半径为R。整个空间有足够大、水平向右的匀强
电场。一质量为m、电荷量为q 的带正电绝缘小球自A 点由静止释放，小球沿水平面向右运动，AB 间距离
为2R，匀强电场的电场强度
，重力加速度大小为g，不计空气阻力。求：
（1）小球到达C 点时对轨道的压力；
（2）小球从A 点开始，经过C 点脱离轨道后上升到最高点过程中，小球电势能的变化量
Ep；
（3）小球离开圆弧轨道到落地前的最小速率，以及小球从离开圆弧轨道到最小速率时经历的时间。
【答案】（1）
，方向水平向右；（2）
；（3）
【详解】（1）设小球在C 点的速度为
，小球从A 点运动C 点过程中，由动能定理可得
解得
小球在C 点时水平方向的支持力FN与电场力qE 的合力提供向心力，所以有
解得
由牛顿第三定律可得小球对轨道的压力大小为
方向水平向右。
（2）小球过C 点上升到达最高点的过程中，由运动的分解可知，在水平方向小球做初速度为零的匀加速
运动，竖直方向做竖直上抛运动，设小球从C 点到最高点的时间为t，则有水平方向上
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竖直方向上
小球从A 点开始运动到达最高点过程中电场力做功为
根据电场力做功与电势能变化关系
解得
（3）小球从C 点以
抛出后，可将小球的运动分解为沿合力方向的分运动和垂直合力方向的分运动，如图所示
其中垂直合力方向为匀速直线运动，速度
沿合力方向做类竖直上抛运动，初速度
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加速度满足
解得
当沿合力方向的速度减为零时，小球的速度具有最小值，最小值为
经历的时间
22．如图所示，坐标系xOy 位于竖直平面内，y 轴正方向竖直向上，整个空间存在着匀强电场（电场强度
E 的大小未知，方向平行于xOy 平面）。为了确定场强的大小和方向，研究人员先后进行了两次操作。第
一次，将一带正电的小球从原点O 处以速率
沿x 轴正方向抛出，小球在y 轴右侧运动中与y 轴的最远距
离为
；第二次，将该小球从原点O 处以速率
沿y 轴正方向抛出，小球在x 轴上方运动中与x 轴的最远
距离为
。已知小球的质量为m、电荷量为
，小球可视为质点，且
，忽略空气阻
力，重力加速度为g，求场强E 的大小和方向（结果用m、g、q 表示）。
【答案】
，电场方向与y 轴正方向的夹角
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【详解】小球运动中受到重力和电场力的共同作用，将小球的加速度分别沿x 轴和y 轴方向分解，易知，
两个分加速度的方向均沿负半轴方向，设其大小分别为
、
，则第一次有
第二次有
又
解得
，
设沿x 轴和y 轴方向的场强大小分别为
和
，由牛顿第二定律分别有
场强大小
设电场方向与y 轴正方向的夹角为
，则有
联立解得
，
23．如图所示，圆心为O、半径为R 的圆形区域内存在一个平行于该区域的匀强电场，MN 为圆的一条直
径。质量为m、电荷量为
的粒子从M 点以速度v 射入电场，速度方向与MN 夹角
，一段时间后
粒子运动到N 点，速度大小仍为v，不计粒子重力。求：
（1）电场强度的方向；
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（2）匀强电场的场强大小E；
（3）仅改变粒子速度大小，当粒子离开圆形区域的电势能最小时，粒子速度改变量的大小。
【答案】（1）电场强度方向垂直MN 斜向左下；（2）
；（3）
【详解】（1）从M 到N 粒子动能不变，电场力做功为0，所以MN 为等势线，由于粒子带正电且所受电场
力偏向，所以电场强度方向垂直MN 斜向左下。
（2）粒子做类似斜抛的运动，沿MN 方向，粒子做匀速运动，则有
垂直MN 方向有
根据牛顿第二定律得
联立解得匀强电场的场强大小为
（2）如图所示
当粒子运动到P 点时，电势能最小；由
，
，
联立解得
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24．（23-24 高二上·湖北武汉·期末）水平地面上有匀强电场如图所示，电场方向水平向右。一个质量为
、
电荷量为
的小球，从距地面高
处由静止释放，落地速度大小
，重力加速度为
。
（1）求电场强度
的大小。
（2）若将小球以初速度从距地面高
处竖直向上拋出，求经过多长时间，小球的速度最小，最小速度是
多大？
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）小球在竖直方向上做自由落体运动，水平方向做匀加速直线运动，水平加速度为
由
得
（2）设重力与电场力、重力的合力夹角为
，则
得
当小球的运动速度与合力垂直，即速度与电场力夹角为
时，小球速度最小。经历的时间
其中加速度为
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解得
则
，
得最小速度为
25．（23-24 高二上·安徽亳州·期末）如图所示，距离水平地面
处有水平方向的匀强电场，电场的宽度
为d，长度足够长。有一质量为m、电荷量为q 的带正电小球，在电场的下边界处以某一初速度竖直向上
抛出，小球从电场的上边界离开电场，再次进入电场时开始做直线运动，直线运动的轨迹与水平方向的夹
角为53°，小球最终落至水平地面上。已知重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不计空气阻力，求：
（1）匀强电场的电场强度E 的大小；
（2）小球从竖直向上抛出到落地过程的时间t。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）粒子再次进入电场时开始做直线运动，可知
解得
（2）设小球再次进入电场时竖直方向的分速度为vy，水平方向的分速度vx，根据对称性可知小球向上离开
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电场时的竖直向上的分速度也为vy水平方向的分速度也为vx，设小球向上穿过电场的时间为t1，则
qE=ma
解得
小球离开电场至到最高点用时间
小球在电场中做直线运动的时间为t3，则
解得
设小球离开电场到落地用时间t4，则
解得
则总时间
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26．如图所示，在竖直平面的xOy 坐标系内，Oy 表示竖直向上方向。该平面内存在沿x 轴方向的匀强电场。
一个带电小球从坐标原点沿Oy 方向竖直向上抛出，初速度大小为v0=2m/s，不计空气阻力，g 取10m/s2。
它达到的最高点位置如图中M 点所示。求：
（1）小球在M 点时的速度大小；
（2）小球落回x 轴的位置坐标；
（3）小球在x 轴上方运动过程中的最小速度及所需的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
【详解】（1）设小球水平方向的加速度为
，小球从O 点运动至M 点过程中，有
解得
，
小球在M 点时的速度大小为
（2）小球落回x 轴的水平位移为
小球落回x 轴的位置坐标为
。
（3）小球在x 轴上方运动过程中的速度为
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当
时，小球在x 轴上方运动过程中的速度最小，为
27．（23-24 高二上·云南大理·期末）如图所示，xOy 为竖直平面内的直角坐标系，该空间存在平行xOy 平
面但方向未知的匀强电场，将一质量为m、带电量为＋q 的小球从O 点抛出，抛出的初速度大小均为
，抛出的方向可沿xOy 平面内的任意方向。将小球沿某一方向抛出后，一段时间后小球通过
点时速度大小为
；若将小球向另一方向抛出，一段时间后小球通过
点时速度
大小为
。求：
（1）O、A 两点间的电势差
及O、B 两点间的电势差
；
（2）电场强度的大小和方向；
（3）若将小球沿y 轴正方向抛出，小球运动过程中的最小速度。
【答案】（1）
；（2）
，与x 轴正方向夹角为30°斜向下；（3）
，方向与x 轴正方向成
30°角斜向上
【详解】（1）从O 到A，据动能定理可得
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解得
从O 到B，据动能定理可得
解得
（2）取OA 的中点C，可知B、C 为等势点，可得电场强度垂直BC 连线斜向下，即与x 轴正方向夹角为
30°斜向下（如图甲所示），
取从O 到B 的过程有
解得
（3）将重力与电场力合成，可得它们的合力
与x 轴正方向成60°角斜向下。将初速度沿
方向和垂直
方向分解，垂直合外力方向的速度即为运动过程中的最小速度，如图乙所示，有
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方向与x 轴正方向成30°角斜向上
28．（23-24 高二上·云南大理·期末）如图所示，位于竖直平面内的正方形电场区域abcd 的ab 边沿竖直方
向，边长为L，该区域以竖直对称轴为界分为左右两半，左边有竖直向上的匀强电场，右边有竖直向下的
匀强电场，两区域电场强度大小相等。质量为m、带电量为＋q 的带电小球（可视为质点）以某一初速度
从ab 边中点水平向右射入电场，小球在左边电场中做匀速直线运动，进入右侧电场偏转后恰好从c 点射出
电场，重力加速度为g。求：
（1）电场强度的大小；
（2）小球进入电场时的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）小球在左侧区域做匀速直线运动，由受力分析可得小球所受电场力与重力等大反向
解得
（2）粒子进入右侧电场中后,做类平抛运动，水平方向匀速直线
竖直方向做匀变速直线运动
且竖直方向上，结合牛顿第二定律可得
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解得
29．水平地面上有匀强电场如图所示，电场方向水平向右。一个质量为m、电荷量为
的小球，从距地面
高h 处由静止释放，落地速度大小
，重力加速度为g。
（1）求电场强度E 的大小。
（2）若将小球以初速度v 从距地面高h 处竖直向上抛出，求经过多长时间，小球的速度最小，最小速度是
多大？
（3）若将小球以初速度v 从距地面高h 处竖直向上抛出，求小球的最高点距地面的高度以及小球在最高点
时的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
，
【详解】（1）小球受力分析如图所示，小球做初速度为0 的匀加速直线运动，加速度方向与竖直方向夹角
为
，
，
根据速度位移关系式
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联立方程解得
，
，
（2）将小球以初速度v 竖直向上抛出，小球做类斜抛运动，沿加速度和垂直加速度方向建立平面直角坐标
系，如图。当v 在y 轴分量减小为0 时，小球速度变小
，
悮立方程解得
，
（3）小球在竖直方向做竖直上抛运动，最大位移
到最高点所用时间
在最高点的速度
则最大高度
速度
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