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专题09 球（柱）体模型
1.圆界面的法线是过圆心的直线，经过两次折射后光线向圆心偏折
2.球形介质对光的偏折有对称性。
【例1】如图，一个半径为R 的玻璃球，O 点为球心。球面内侧单色点光源S 发出的一束光在A 点射出，
出射光线AB 与球直径SC 平行，θ＝ 30°。光在真空中的传播速度为c。求：
(1)玻璃的折射率；
(2)从S 发出的光线经多次全反射回到S 点的最短时间。
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)根据题意将光路图补充完整，如图所示
1
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根据几何关系可知
θ1＝θ＝30°，θ2＝60°
根据折射定律有
n＝
解得n＝
(2)设全反射的临界角为C，则
sin C＝＝，则C<45°
光在玻璃球内的传播速度有v＝
根据几何关系可知当θ＝ 45°，即光路为圆的内接正方形时，从S 发出的光线经多次全反射回到S 点的时间
最短，则正方形的边长x＝R
则最短时间为t＝＝。
【总结提升】
(1)解决几何光学问题应先根据折射定律和反射定律准确画好光路图。
(2)充分利用光的可逆性、对称性、相似性等几何关系以及边角关系。
【例2】如图甲所示，AB 为半圆的直径，O 为圆心，在O 点左侧用红色激光笔从E 点垂直AB 射入的红光
进入半球形介质后在上表面的入射角恰好等于全反射的临界角C＝45°。
(1)求半球形介质的折射率；
(2)若取用半球形介质制成环状介质砖，如图乙所示，内径为R、外径为R′＝R 的环状介质砖的圆心为O，
一束平行于水平轴O′O 的光线由A 点进入介质砖，到达B 点(图中未标出)刚好发生全反射，求A 点处光线
的入射角和折射角。
【答案】 (1) (2)45° 30°
【解析】 (1)由全反射临界角的公式有sin C＝
即sin 45°＝＝，半球形介质的折射率n＝。
(2)光线平行于O′O 方向射向球面，到达B 点刚好发生全反射，在B 点的入射角等于临界角C。在△OAB
中，OA＝R，OB＝R，由正弦定理得＝
2
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可得sin r＝
则A 点处光线的折射角r＝30°
由n＝解得A 点处光线的入射角i＝45°。
【例3】电子产品中常用到发光二极管，其中一种是由半径为R 的半球体透明介质和发光管芯组成，管芯
发光部分是一个圆心与半球体介质的球心O 重合的圆面，如图所示，PQ 为发光圆面的直径，圆弧ABC 在
半球体介质过球心O 的纵截面上，B、D 分别为圆弧ABC、BDC 的中点。由PQ 上的M 点发出的一条光线
MD 经D 点折射出去后与OB 平行，已知θ＝75°。
(1)求半球体介质的折射率及光从该介质射入空气中的临界角；
(2)为使从发光圆面射向半球面上的所有光线都能直接射出，则管芯发光圆面的面积最大为多少？
【答案】 (1) 45° (2)
【解析】 (1)如图甲所示，由几何关系得光线射到D 点的入射角、折射角分别为θ2＝30°、θ1＝45°
甲
则半球体介质的折射率n＝＝
又sin C＝，解得临界角C＝45°。
(2)如图乙所示
乙
由正弦定理得＝
整理得sin α＝sin β
当β＝90°时，α 最大，即从P 或Q 点垂直于PQ 发出的光线射到球面上时入射角最大，则
sin αmax＝
所有光都能直接射出，应满足sin αmax<sin C，解得r<
3
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管芯发光圆面的面积最大为S＝π
＝。
一、单选题
1．如图所示，横截面为圆环的柱形容器由折射率为n 的玻璃制成，其外径为R1，内径为R2，MN 为一条直
径。有两束光线，其中光线A 在纸平面内传播，从M 点射向容器，经一次折射后，恰好与容器内壁相切，
另一束光线B 平行于MN 射向容器，经过一次折射后，恰好在容器内壁发生全反射，则（ ）
A．光线A 入射角的正弦值sini
B．光线A 射入柱形容器后折射出去的时间为
C．光线B 的入射角的正弦值sini'
D．光线B 到MN 的距离等于
【答案】C
【详解】A．光线与容器内壁相切，光路图如图1 所示，设光线在M 点的入射角为i，折射角为r，由折射
定律得：
4
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n
由几何关系得
sinr
解得
sini
故A 错误；
B．光线A 在柱形容器中通过的距离为
s＝2
光线A 在柱形容器中传播速度为
v
则光线A 射入柱形容器后折射出去的时间为
t
故B 错误；
C．平行于MN 的光线射向容器，在容器外壁的入射角为
，折射角为
，如图2 所示，由折射定律得：
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光线恰好在容器内壁发生全反射，入射角等于临界角C，则
sinC
根据正弦定理可得
nR1
解得
而
即
故C 正确；
D．设光线B 到MN 的距离为d，根据几何关系可得
故D 错误。
故选C。
2．半径为R 的半圆柱形透明材料的横截面如图所示，某实验小组将该透明材料的A 处磨去少许，使一激
光束从A 处射入时能够沿AC 方向传播。已知AC 与直径AB 的夹角为30°，激光束到达材料内表面的C 点
后同时发生反射和折射现象。已知该材料的折射率为
，则在C 点的反射光束与折射光束的夹角为
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（ ）
A．60°
B．75°
C．90°
D．105°
【答案】D
【详解】光束在C 点的入射角为30°，根据折射定律有
解得
根据反射定律可知反射角为30°，则在C 点的反射光束与折射光束的夹角为
故选D。
3．光导纤维技术在现代生产、生活与科技方面得以广泛应用，如图所示，一个质量均匀分布的有机玻璃
圆柱的横截面，B，C 为圆上两点，一束单色光沿AB 方向射入，然后从C 点射出，已知
，
，真空中光速
，
，
，则（ ）
A．光在该有机玻璃中传播速度为
B．光在该有机玻璃中的折射率为1.8
C．光在该有机玻璃中发生全反射的临界角为37°
D．若将该材料做成长300km 的光导纤维，此单色光在光导纤维中传播的最短时间为
【答案】D
【详解】AB．根据折射定律得
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则光在有机玻璃中传播的速度为
故AB 错误；
C．根据全反射的定义
故
临界角大于37°，故C 错误；
D．当光线与光导纤维平行时，传播的时间最短，则传播的时间
故D 正确。
故选D。
4．光具有能量，也有动量p，p 方向沿光的传播方向。
，h 为普朗克常量，
为光的波长。光照射到
物体表面时会产生压力，称为光压。光射达物质界面时会发生折射，遵循折射定律，传播方向发生变化会
导致其动量改变，从而产生光压。如图，一束光线从真空中入射到均匀分布的微球的A 点，两次折射后从
B 点射出。光束经过微球的过程中，其动量变化量（ ）
A．由A 指向B，光对微球产生的冲量指向B
B．由A 指向B，光对微球产生的冲量指向A
C．与
垂直，光对微球产生的冲量垂直
向上
D．与
垂直，光对微球产生的冲量垂直
向下
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【答案】C
【详解】做出入射光动量方向、折射光动量方向以及折射后光线动量的变化量如图所示
可知光束经过微球的过程中，其动量变化量与AB 垂直，根据动量定理可知，微球对光束作用力的方向与
动量变化量的方向相同，其方向垂直AB 向下，而根据牛顿第三定律可知，光束对微球的作用力与微球对
光束的作用力大小相等、方向相反，可知光束对微球的作用力垂直AB 向上。由冲量公式
可见光对微球产生的冲量垂直
向上。
故选C。
5．如图所示，半圆形玻璃砖水平放置，一束复色光从其上表面左侧射入玻璃砖，分成a、b 两束。随着入
射角增加，下列说法正确的是（ ）
A．a 的折射角增大，b 折射角减小
B．a 的折射角减小，b 折射角增大
C．a、b 折射角都增大
D．a、b 折射角都减小
【答案】C
【详解】根据
可知，对于任何颜色的光，随着入射角增加，折射角都增大。
故选C。
二、多选题
6．如图为一半圆柱形均匀透明材料的横截面，一束红光a 从空气沿半径方向入射到圆心O，当
时，
反射光b 和折射光c 刚好垂直。下列说法正确的是（ ）
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A．该材料对红光的折射率为1.414
B．若
，光线c 消失
C．若入射光a 变为白光，光线b 为白光
D．若入射光a 变为紫光，光线b 和c 仍然垂直
【答案】BC
【详解】A．根据几何关系可知红光从材料内发生折射时，光线的折射角为
，故折射率为
故A 错误；
B．设临界角为C，得
故
故若
，会发生全反射，光线c 消失，故B 正确；
C．由于光线b 为反射光线，反射角等于入射角，故当入射光a 变为白光，光线b 为白光，故C 正确；
D．对同种介质，紫光的折射率比红光大，故若入射光a 变为紫光，折射角将变大，光线b 和c 不会垂直，
故D 错误。
故选BC。
三、解答题
7．如图为一半径为R 的半圆柱体玻璃砖的截面图，O 为圆柱截面的圆心，AB 为直径，现将一束垂直于直
径AB 的光从M 点射入，OM 长度为
，光线射到玻璃砖的圆弧面恰好发生全反射。
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(1)先完成光路图并求玻璃砖的折射率；
(2)求光线在玻璃砖中的传播时间（光在真空中的速度用c 表示）。
【答案】(1)见解析；√2 (2)
【详解】（1）光路图如图所示，
根据几何关系，可知
又
sinC = 1
n
解得
（2）由几何关系，可知光线在玻璃砖中的传播路程为
根据
可得
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8．如图为一半圆柱形均匀透明材料的横截面，一束红光a 从空气沿半径方向入射到圆心O，当θ=30°时，
反射光b 和折射光c 刚好垂直。求：
(1)该材料对红光的折射率；
(2)θ 满足什么条件时，光线c 消失。
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）根据几何关系可知红光a 在材料内发生折射时折射角为60°，根据折射定律可得
（2）根据临界角与折射率的关系可得
可得
所以光线c 消失需要满足
9．如图所示是一直角槽圆柱形玻璃砖的截面，其折射率为
，半径为
为轴心。一束光线
从距该玻璃砖轴心
处的E 点垂直于
面进入玻璃砖，经几次反射后又照射到玻璃砖的
面上的
某一位置F 点（图中未画出）。
(1)试在图中补充完整这束光线由E 点到F 点的光路；
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(2)通过计算说明，这束光线是否能从玻璃砖的
面射出.F 点到轴心O 的距离是多少？
【答案】(1)见解析 (2)能，
【详解】（1）根据题意，由反射定律和折射定律画出光路图，如图所示：
（2）发生全反射时有
可得光在玻璃砖中发生全反射的临界角为
根据（1）中光路图，由几何关系可得
则这束光线在F 点的入射角小于临界角，不发生全反射，这束光线能从玻璃砖的
面射出。
由几何关系有
解得
即F 点到轴心O 的距离是
。
10．半径为R 的透明半圆柱置于空气中，横截面如图所示，
为圆心与半圆顶点间连线。真空中波长为
的单色光射入其半圆面上，入射方向与
平行，入射点为P，
，半圆柱的折射率为
。
求
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(1)光从半圆柱出射的位置与O 点之间的距离；
(2)光线在半圆柱中的波长
。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图所示
设光线在透明半圆柱内的折射角为
，由折射定律
得
得
由几何关系可知
设光从半圆柱出射的位置与O 点之间的距离为
，则由正弦定理得
又
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解得
（2）设该单色光的频率为
，则
又
联立解得
11．如图所示，一束光沿圆心方向从半圆形表面射入玻璃半球后从底面射出。入射光线与法线的夹角为
，折射光线与法线的夹角为
。已知光在真空中的速度为
。求：
(1)这束光在此玻璃半球中的折射率
(2)这束光在此玻璃半球中的传播速率。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由折射定律可知
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解得折射率
（2）由折射率与光在介质中的速率关系式
解得
12．光纤已普遍应用到通信领域，具有可弯曲、传输速度快、信息量大等优点。如图是一段弯成
圆弧的
光纤材料，一束光紧贴光纤材料内侧垂直射入材料一端，在A 点恰好发生全反射，如图所示。已知光纤材
料的直径为d，光纤材料内侧对应的半径为R，光在真空中的传播速度为c。求：
(1)光在光纤材料中的折射率；
(2)光在光纤材料中的传播速度大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当光纤材料弯曲达到最小半径
时，光纤恰好在材料内发生全反射，光路图如图所示，根
据全反射条件有
根据几何关系得
联立解得
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（2）光在光纤材料中的传播速度大小
13．如图所示，MON 为一扇形玻璃砖的截面，其圆心角为135°，半径r=8cm。一束平行单色光沿着ON 方
向射向OM 面，玻璃砖对此单色光的折射率为
，不考虑光线在玻璃砖内反射光的再次出射，求圆弧上
有光透出的弧长。
【答案】
【详解】当光线经玻璃砖折射后恰好在圆弧面发生全反射，所以圆弧面上只有BC 段有光透出，如图所示
根据折射定律可得
根据几何关系可得
所以
，
根据临界角与折射率的关系可得
所以
根据几何关系可得
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所以
所以圆弧上有光透出的弧长为
14．如图所示，有一折射率为
的透明材料制成的中空管道，其横截面内圆半径为，外圆半径未知，
单色光线以
的入射角平行于横截面从A 点入射，经折射后在内圆的表面恰好发生全反射，已知光在
真空中的速度为，
求：
(1)管道的外圆半径
；
(2)只考虑光线在透明材料内的一次反射，则该光线从进入透明材料到射出透明材料所用的时间是多少？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）单色光线经折射后在内圆的表面恰好发生全反射，根据
可得
光线图如图所示
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根据折射定律可得
可得
根据正弦定理可得
解得管道的外圆半径为
（2）光在透明材料内的传播速度为
根据几何关系可知，设光在透明材料内的传播距离为，根据几何关系可得
可得
则该光线从进入透明材料到射出透明材料所用的时间为
15．10 分）如图所示，玻璃砖的截面是半径为R 的半圆，O 为圆心，玻璃砖上表面水平，一束单色光斜射
在O 点，入射角为
，折射光线出射后照射在水平面上的A 点，保持入射方向不变，将入射点从O 点向
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左移到D 点（图中未标出），使折射光线刚好照射到圆弧的最低点B 点，光线从B 点出射后仍照射到A 点，
已知B 点到水平面的距离
，光在真空中传播速度为c，求：
(1)玻璃砖对光的折射率；
(2)光从D 点运动到B 点所用时间为多少。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）从
点入射的光线折射后从
点射出，则光从
点射出时传播方向与
点入射光线平行，
由此可知
，由于
根据几何关系可知
则三角形
为等腰三角形，由此可知，光在
点的折射角
则折射率
（2）根据几何关系
光在玻璃砖中传播速度
传播时间
16．如图所示为用某种特殊透明材料制作的半径为R 的半圆形砖，在圆心O 点处垂直于砖直径MN 边射入
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一束由红绿双色光混合的激光，当激光束缓慢向左平移到距O 点
位置时发现半圆形曲面恰好只有单色光
射出，射出光线与入射方向夹角为
，不考虑反射。求：
(1)该透明材料分别对两种单色光的折射率；
(2)在直径MN 的范围内垂直射入的光束中，求从弧面射出的总宽度。
【答案】(1)
；2 (2)
【详解】（1）红光的折射率小于绿光的折射率，所以半圆形曲面恰好只有单色光射出时红光发生折射，
绿光恰好发生全反射，如图所示，
由几何知识可知曲面上光束的入射角满足
解得
折射角为
。
根据折射率的定义式，可得
，
（2）当红光恰好发生全反射时有
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所以总长度为
17．如图甲所示为一个足球玻璃球，其简化模型的正视图如图乙所示，
为球心，
是沿水平方向的直
径。一束激光从
点平行于
射入玻璃球内部，从右侧
点射出。已知真空中的光速，该玻璃球对激光
的折射率为
，玻璃球的半径为
。且球内的足球是不透光体，不考虑反射光的情况下，求：
(1)该激光在玻璃球内的光速；
(2)玻璃球内足球的最大直径
。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据
可得
（2）根据几何关系，结合光路可逆，作出光路图如图所示
根据几何关系有
解得
22
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，
光束从C 点射入时恰能从右侧射出且射出点为B，表明内部光线与足球相切，根据几何关系可知，足球的
直径为
18．某种透明材料制成的空心球体外径是内径R 的两倍，其过球心的某截面如图所示，一束单色光（在纸
面内）从外球面上A 点射入，当入射角为45°时，光束经外球面折射后恰好与内球面相切于B 点。已知真
空中的光速为c，求：
(1)该光束在透明材料中的传播速度：
(2)现改变光束在A 点的入射角，使其折射后能在内球面上发生全反射，求入射角i 的范围。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由几何关系可知，光线在A 点的折射角为
折射率
该光束在透明材料中的传播速度
（2）
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如图，设在A 点的入射角为i'时，光束经折射后到达内球面上C 点，并在C 点恰发生全 反射，则光束在内
球面上的入射角∠ACD 恰等于临界角C，由
代入数据得
∠ACD=C=45°
由正弦定理有
因AO=2R，CO=R
解得
由折射定律有
解得
sini'=0.5
即此时的入射角
i'=30°
即若使其折射后能在内球面上发生全反射，则需满足
。
19．如图所示，ABCDE 是一透明材料做成的光学元件的截面图，AB 为半径为a 的四分之一圆弧，O 为弧
AB 的圆心，OCDE 为边长为
的正方形。O 点放置一点光源，CD 段上有光射出的长度为a，只考虑首
次射向CD 和DE 的光线，已知光在真空中的传播速度为c，求：
(1)该光学元件的折射率；
(2)从CD 边射出的光线，在此元件中传播的最长时间t；
24
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(3)从AB 段上有部分区域射入元件的光线不能直接射出，求AB 段上该部分的弧长为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）如图所示
由于
段上由光射出的长度为
，设照射到
点的光恰好发生全反射，有
根据几何关系可得
解得折射率
（2）光在光学元件中的传播速度为
根据几何关系可知
在此元件中传播的最长时间为
解得
（3）根据题意可知，从
边射出的光，对应的圆心角为
同理可知，从
边射出的光，对应的圆心角也为
，则光线在
段部分区域不能直接射出，弧长所对
25
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应的圆心角为
，则弧长为
。
20．如图所示，
为半圆柱体玻璃的横截面，
为直径，
为圆心，半径为
，一束光沿
方向从
真空射入玻璃，光线会达到玻璃砖边缘的
点。已知入射角为
，玻璃砖的折射率为
，光在真空中
的传播速度为。
(1)求光线在玻璃砖中从
传播到
所用的时间？
(2)通过分析，判断光线在
点是否发生全反射，并画出
位置的光路图（标记好入射角和反射角的大小）。
【答案】(1)
(2)发生全反射，
【详解】（1）根据题意，设光线在
点进入玻璃砖的折射角为，由折射定律有
解得
即
由几何关系可得
又有
26
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可得
则光线在玻璃砖中从
传播到
所用的时间
（2）根据题意，画出光线在B 点的法线，如图所示
由几何关系可得，光线在B 点入射角为
，由于
可知，光线在B 点是发生全反射，则光路图为
21．如图是横截面为
圆的柱状玻璃棱镜AOB，现有一束单色光垂直于OA 面从AB 的中点C 射出时，恰
好发生全反射，现将入射光线向下平移至AB 的三等分点D，经AB 面折射后与OB 延长线相交于P 点，已
知
，光在真空中的传播速度为c，
，计算结果可带根号。求：
(1)玻璃棱镜的折射率及单色光在玻璃棱镜中的传播速度；
(2)O 点与P 点之间的距离。
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【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）根据题意可知，当单色光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角
根据
解得
根据
解得
（2）光路如下图所示
由折射定律可得
解得
在
中，由正弦定理得
解得
22．如图半径为R 的玻璃半球体，O 点为球心，左表面竖直，其下半部分放有一毛玻璃屏，在半球体右侧
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竖直放置一平面镜。某同学用激光笔发出一细束与过球心的水平直线OO1平行且间距为
的激光从
A 点射入，该同学缓慢地向左平移平面镜，发现
时，在毛玻璃上的A′点观察到清晰的亮点，且A′
点与A 点关于O 点对称。已知光在真空中的速度为c。
（1）激光在该玻璃中的折射率n；
（2）激光由A 点射入到从A′点射出的时间t。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）光路图如图所示
根据光路的对称性与光路的可逆性，依题意有
所以
根据余弦定理得
解得
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所以
，
根据折射定律可得
（2）光在玻璃中的光速为
光在玻璃中通过的路程为
激光由A 点射入到从A′点射出的时间为
30
