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专题06 动态平衡模型
动态平衡指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系
列的平衡状态，在问题描述中常用“缓慢”关键词。解决该类问题的总体思路是“化动为静，静中求动”。
常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。
模型1．“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
(1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，
分析力的大小变化，如图甲所示。
(2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，
在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。
模型2．“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构
成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。
基本矢量图，如图所示
基本关系式：＝＝。
模型3．一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题
利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，
根据不同位置判断各力的大小变化。
1
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【例1】(多选)如图所示，在倾角为α 的斜面上，放一质量为m 的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当
挡板绕O 点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
答案 BC
解析 对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2，如图，当挡板绕O 点
逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，FN1和FN2的合力与重力
mg 大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FN1
逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C 正确，
A、D 错误。
【例2】 如图所示为一简易起重装置，AC 是上端带有滑轮的固定支架，BC 为质量不计的轻杆，杆的一
端C 用铰链固定在支架上，另一端B 悬挂一个质量为m 的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A 连接在卷扬机上。
开始时，杆BC 与AC 的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA 缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过
程中，杆BC 所产生的弹力( )
A．大小不变
B．逐渐增大
C．先增大后减小
D．先减小后增大
答案 A
解析 以结点B 为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、FN的合力F 合与
G 大小相等、方向相反。
2
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根据三角形相似得＝＝，又F 合＝G，得FN＝ G
∠BCA 缓慢变小的过程中，AC、BC 不变，则FN不变，故杆BC 所产生的弹力大小不变，故选A。
【例3】．(多选)如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初
始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角
α 不变。在OM 由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN 上的张力逐渐增大
B．MN 上的张力先增大后减小
C．OM 上的张力逐渐增大
D．OM 上的张力先增大后减小
【答案】 AD
【解析】 法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM 绳上拉力F2、MN 上拉力F1，由题意
知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三
角形在同一外接圆上，由图可知，MN 上的张力F1逐渐增大，OM 上的张力F2先增大后减小，所以A、D
正确，B、C 错误。
3
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法二：正弦定理
根据正弦定理＝＝，mg 与sin θ3保持不变，sin θ1变大，F1变大，sin θ2先增大后减小，F2先增大后减小，
故选A、D。
一、单选题
1．如图所示，有一质量不计的杆AO，长为R，可绕A 自由转动。用绳在O 点悬挂一个重为G 的物体，另
一根绳一端系在O 点，另一端系在圆弧形墙壁上的C 点。当点C 由图示位置逐渐向上沿圆弧CB 移动过程
中（保持OA 与墙面夹角θ 不变），OC 绳所受拉力的大小变化情况是（ ）
A．逐渐减小
B．逐渐增大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
【答案】C
【详解】对物体受力分析，物体受力平衡，则拉力等于重力G；故竖直绳的拉力不变；再对O 点分析，O
受绳的拉力、OA 的支持力及OC 的拉力而处于平衡；受力分析如图所示
4
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将F 和OC 绳上的拉力合成，其合力与G 大小相等，方向相反，则在OC 绳上移的过程中，平行四边形的
对角线保持不变，平行四边形发生图中所示变化，则由图可知OC 绳的拉力先减小后增大，在图中D 点时
拉力最小。
故选C。
2．北方冬天的雪景十分壮观，如图甲所示，质量为
的小孩坐在质量为
的雪橇上，大人拉着轻质细绳
A 使雪橇在水平雪地上向前做匀速运动，简图如图乙所示。已知拴接在雪橇两侧的细绳所在的平面与水平
面的夹角
，细绳A 与两侧细绳在同一平面内，两侧细绳等长且细绳间的夹角
不变，雪橇与雪地的
动摩擦因数
，下列说法正确的是（ ）
A．逐渐减小
，地面对雪橇的作用力方向始终不变
B．逐渐减小
，地面对雪橇的作用力先变小后变大
C．逐渐减小
，细绳A 的拉力
一直变大
D．当
时，两侧细绳的拉力最小
【答案】A
【详解】A．地面对雪橇的作用力为对雪橇的支持力和滑动摩擦力的合力，设地面对雪橇的作用力与竖直
方向的夹角为
，则有
可得
则逐渐减小
，地面对雪橇的作用力方向始终不变，故A 正确；
BCD．以雪橇和雪橇两侧的细绳为整体，受重力
、地面对雪橇的作用力
和细绳A 的拉力
，如图所
示
5
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逐渐减小
，地面对雪橇的作用力
和细绳A 的拉力
的合力保持不变，由图可知，地面对雪橇的作用
力逐渐变大；细绳A 的拉力
先变小后变大；当细绳A 的拉力
与地面对雪橇的作用力
垂直时，即
时，细绳A 的拉力
最小，则两侧细绳的拉力最小，故BCD 错误。
故选A。
3．如图所示的装置中，物体A、B 的质量mA>mB。最初，滑轮两侧的轻绳都处于竖直方向，现用水平力F
向右拉A，使B 匀速上升．设水平地面对A 的摩擦力为Ff，绳对A 的拉力为FT，A 所受合力为F 合，则在
A 向右运动的过程（ ）
A．F 合=0，Ff变小，FT变大
B．F 合≠0，Ff变大，FT不变
C．F 合=0，Ff变大，FT不变
D．F 合≠0，Ff变小，FT变大
【答案】B
【详解】隔离B 物体对B 受力分析有
FT=mBg
则FT保持不变．隔离A 物体对A 受力分析如图甲所示，设绳与水平方向夹角为θ，则随着A 物体右移，θ
变小，由竖直方向受力平衡
可以判断支持力变大，由
Ff=μFN
得Ff变大；将A 物体的速度分解如图乙所示，有
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vB=vAcos θ
随着θ 变小，cos θ 变大，vB不变，故vA变小，A 物体的速度时刻改变，必有F 合≠0。
故选B。
4．用与竖直方向成θ（θ＜45°）的倾斜绳a 和水平绳b 共同固定一个小球，这时绳b 的拉力为F1，现在保
持小球的原位置不动，使绳b 在原竖直平面内逆时针转过θ 角后固定，绳b 的拉力变为F2，再转过θ 角，
绳b 的拉力为F3，则（ ）
A．F1=F2＜F3
B．F1=F3＞F2
C．F1＜F2＜F3
D．Fa增大
【答案】B
【详解】对小球受力分析，受到重力和两个拉力，三力平衡，如图
根据几何关系可知，力F2垂直与倾斜绳a，由图可知
且Fa不断减小。
故选B。
7
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5．如图所示，光滑的半圆柱固定在水平地面上，一个质量为m 的小球在水平外力作用下静止在半圆柱上，
现改变水平外力的大小使小球缓慢向上移动，在运动到最高点之前。下列说法正确的是（ ）
A．水平外力F 增大
B．水平外力F 减小
C．半圆柱对小球的支持力增大
D．半圆柱对小球的支持力不变
【答案】B
【详解】对小球受力分析，如图所示，由平衡条件可得
，
小球缓慢向上移动的过程中θ 增大，所以F 减小，所以N 减小。
故选B。
6．如图所示，一质量为m 的光滑小球放置在倾角为θ 的固定斜面上，用垂直于斜面的挡板挡住，挡板绕
O 点顺时针缓慢地转向竖直位置的过程中，下列判断正确的是（ ）
A．小球对挡板的压力先减小后增大
B．小球对挡板的压力逐渐增大
C．小球对斜面的压力先减小后增大
D．小球对斜面的压力一直减小
【答案】B
【详解】对光滑小球受力分析，受重力mg，斜面的支持力
，挡板的支持力
，挡板绕O 点顺时针缓
慢地转向竖直位置的过程中斜面的支持力
方向不变，大小一直增大；挡板的支持力
一直增大，由牛
8
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顿第三定律可知，小球对斜面的压力一直增大，小球对挡板的压力一直增大。
故选B。
7．炎热的夏天，学校教室需安装空调降暑，图甲是室外安装空调主机的情境。为安全起见，要求吊运过
程中空调主机与楼墙保持一定的距离。原理如图乙，一人在高处控制一端系在主机上的轻绳
，另一人在
地面控制另一根一端系在主机上的轻绳
，二人配合可使主机缓慢竖直上升。当
绳与竖直方向的夹角
时，
绳与竖直方向的夹角
。主机可视为质点，则下列说法正确的是（ ）
A．
一定小于
B．运送过程中
张力变小
C．运送过程中
张力变小
D．地上的人受到地面的摩擦力变小
【答案】A
【详解】对空调主机受力分析，建坐标系如图所示
9
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根据平衡条件，可得y 轴方向有
可得
x 轴方向有
两式联立可得
化简得
解得
根据x 轴方向有
可知
故A 正确；
BC．由题知，要求吊运过程中空调主机与楼墙保持一定的距离，即d 不变，设OP 间的绳长为
，OQ 间
的绳长为
，空调主机离地的高度为h，根据几何关系可得
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，
在缓慢上升过程中，OP 间的绳长变短，OQ 间的绳不变，但离地高度h 增大，则有
变大，
变大，
故
变大，
变小，根据平衡条件，可得y 轴方向有
x 轴方向有
联立解得
可知
变大，根据
可知
变大，故BC 错误；
D．对地面上的人受力分析，在水平方向有
故地上的人受到地面的摩擦力变大，故D 错误。
故选A。
8．《墨经》中记载古代建造房屋过程中，通过斜面提升重物，如图所示，若斜面体上表面光滑，则在缓
慢拉升重物的过程中（ ）
A．重物受到的支持力不变
B．重物受到的支持力减小
C．斜面受到地面的支持力不变
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D．斜面受到地面的支持力先增大后减小
【答案】B
【详解】AB．对重物受力分析，如图所示
缓慢拉升重物的过程中，重物所受重力大小方向不变，支持力的方向不变，而绳拉力的方向不断变化，根
据图解法可知，重物所受支持力N 不断减小，绳拉力F 不断增大，故A 错误，B 正确；
CD．设连接重物的绳与水平面的夹角为α，对重物和斜面整体，在竖直方向有
重物缓慢沿斜面向上移动过程中，α 不断增大，sinα 增大，所以FN不断减小，故CD 错误。
故选B。
9．如图所示，小球在F 作用下处于静止状态。现保持
不变，缓慢转动F，下列说法中正确是（ ）
A．细线拉力始终不变
B．F 可以竖直向下
C．F 可以竖直向上
D．当F 转到水平位置时最小
【答案】C
【详解】以小球为研究对象，小球受到重力G、力F 和细线对小球的拉力T，由于小球静止不动，则T 与
F 的合力与G 等值反向，如图
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根据图解法可知，当拉力F 与细线垂直时最小，当F 竖直向上时，绳子拉力为0。
故选C。
10．如图所示，用轻绳AO、BO 系住一物体使其处于平衡状态，绳AO 与竖直方向成一角度，绳BO 水平。
当绳子的悬点A 缓慢向右移动时，BO 始终保持水平，在AO 到达竖直方向前，关于绳子AO 和BO 的拉力，
下列说法中正确的是（ ）
A．绳AO 的拉力先增大后减小
B．绳AO 的拉力先减小后增大
C．绳BO 的拉力先增大后减小
D．绳BO 的拉力一直在减小
【答案】D
【详解】AB．点O 为研究对象，受到三个共点力的作用静止不动。设AO 与竖直方向夹角为
，绳AO 的
拉力
绳子的悬点A 缓慢向右移动时，
在逐渐减小，
在逐渐增大，绳AO 的拉力
在一直在减小，故A
B 错误；
CD．绳BO 的拉力
绳子的悬点A 缓慢向右移动时，
在逐渐减小，
在逐渐减小，绳BO 的拉力
一直在减小，故C 错
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误，D 正确。
故选D。
11．一轻质杆两端分别固定有质量均为m 的小球A、B，两小球由细线OE、FC 悬挂于水平天花板及竖直
墙壁上，如图所示。OE 和FC 的拉力分别用
和
表示，初始时，
与竖直方向的夹角
，
水平。
现保持轻杆位置不变，将细线FC 的C 端缓慢上移至FC 与水平方向成
角的位置的过程中，下列说
法正确的是（ ）
A．
一直减小且减小了
B．
一直减小且减小了
C．
先减小后增大，其最小值为
D．轻杆的弹力一直减小，其最小值为
【答案】D
【详解】A．取两小球及轻杆整体为研究对象，整体受重力2mg、细线OE 的拉力
及细线FC 的拉力
作
用处于平衡状态。此三力满足图甲所示关系，当C 端缓慢上移时，由图知细线OE 的拉力一直减小，最初
其大小为
移动后其大小为
减小了
，故A 错误；
BC．由图甲知细线FC 的拉力先减小后增大，其最小值为
故BC 错误；
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D．取A 球为研究对象，其所受重力、细线OE 的拉力
及轻杆的弹力F 满足图乙所示关系，因为末态时
OE 的拉力大小为
所以最后杆的弹力正好沿水平方向，由图乙知杆的弹力一直在减小，最小值为
故D 正确。
故选D。
12．如图，上表面光滑下表面粗糙的
圆弧轨道AB 静止在水平面上，一小球从圆弧的最低点A 在水平外
力F 的作用下缓慢从最低点A 沿圆弧向上运动，已知圆弧轨道AB 一直保持静止，小球质量为m，重力加
速度为g，则（ ）
A．外力F 先增大后减小
B．圆弧对小球的支持力一直在减小
C．当推力
时，小球和圆弧轨道圆心O 的连线与竖直方向的夹角为30°
D．水平面对圆弧轨道AB 的静摩擦力一直在增大
【答案】D
【详解】AB．设小球和圆心
的连线与竖直方向的夹角为
，则
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当
增大时，外力
逐渐增大，圆弧对小球的支持力
逐渐增大，AB 错误；
C．当推力
解得
小球和圆心
的连线与竖直方向的夹角不为30°，C 错误；
D．研究圆弧和小球整体，当
增大时，外力
逐渐减增大，平面对圆弧轨道
的静摩擦力一直在增大，
D 正确。
故选D。
二、多选题
13．如图所示，轻绳a 的一端与质量为m1的物块A 连接，另一端跨过光滑定滑轮与轻绳b 拴接于O 点，与
水平方向成θ 角的力F 的作用在O 点，质量为m2的物块B 恰好与地面间没有作用力，已知θ = 60°，定滑
轮右侧的轻绳a 与竖直方向的夹角也为θ、重力加速度为g，当F 从图中所示的状态开始顺时针缓慢转动
90°的过程中，结点O、m1的位置始终保持不变，则下列说法正确的是（ ）
A．m2 = m1
B．F 的最小值为
C．力F 先减小后变大
D．地面对物块B 的支持力变大
【答案】CD
【详解】A．对结点O 受力分析如图所示，则
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可知
故A 错误；
BC．由图可知，F 从图中所示的状态顺时针转动90°的过程中，轻绳a 的拉力大小方向均不变，轻绳b 的
拉力大小逐渐变小但方向不变，力F 先减小后变大，当力F 与轻绳b 垂直时，力F 有最小值为
故B 错误，C 正确；
D．F 从图中所示的状态顺时针转动90°的过程中，轻绳b 的拉力m2g − FN变小，故地面对物块B 的支持
力FN变大，故D 正确。
故选CD。
14．如图所示﹐木板B 放置在粗糙水平地面上，O 为光滑铰链。轻杆一端与铰链O 固定连接，另一端固定
连接一质量为m 的小球A。现将轻绳一端拴在小球A 上，另一端通过光滑的定滑轮O′由力F 牵引，定滑轮
位于O 的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F 的大小，使小球A 和轻杆从图示位置缓慢运动到O′
正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（ ）
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A．外力F 逐渐增大
B．轻杆对小球的作用力大小不变
C．地面对木板的支持力逐渐减小
D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
【答案】BD
【详解】AB．对小球A 进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示
根据几何关系可知两三角形相似，可得
缓慢运动过程
越来越小，则F 逐渐减小，由于OA 长度不变，杆对小球的作用力
大小不变，故A 错
误，B 正确；
CD．令轻杆与水平方向夹角为
，对木板B 分析有
，
根据上述，轻杆 弹力大小
不变，
增大，则
增大，
减小，即地面对木板的支持力逐渐变大，地面
对木板的摩擦力逐渐减小，故C 错误，D 正确。
故选BD。
15．如图所示，轻质的OP 杆能以O 为轴在竖直平面内自由转动，P 端悬挂一重物，某人用一根轻绳绕过
定滑轮系在P 端。当OP 杆由水平位置开始缓慢逆时针转动时，下列说法正确的是（ ）
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A．OP 杆的弹力方向不在OP 所在的直线上
B．OP 杆的弹力大小不变
C．轻绳的张力一直变小
D．轻绳的张力先变小后变大
【答案】BC
【详解】对点P 受力分析，设OP 杆的弹力为N，轻绳的张力为T，如图
根据平衡条件，合力为零，△AOP 与图中矢量（力）三角形相似，故有
解得
，
由图看出，OP、AO 不变，则OP 杆的弹力N 不变，AP 变小，则轻绳的张力T 变小。
故选BC。
16．如图所示，一圆弧形支架固定在斜面上，用一根细线系住一重为G 的小球，悬挂在支架的最高点A 点，
此时小球与斜面刚好接触，现把悬挂点由A 点缓慢移动到B 点，悬挂点在B 点时细线刚好与斜面平行，则
在缓慢移动悬挂点的过程中（ ）
A．细线对球的拉力一直减小
B．细线对球的拉力先增大后减小
C．细线对球的拉力先减小后增大
D．斜面对小球的支持力一直增大
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【答案】AD
【详解】以小球为研究对象，受力分析如图所示，因“缓慢”移动悬挂点，故小球处于动态平衡，在悬挂
点由A 点缓慢移动到B 点的过程中，细线对球的拉力F 与斜面对球的支持力的合力与小球重力G 等大反向
共线；由图知，细线对球的拉力F 一直减小，当细线与斜面平行时，F 与N 垂直，此时F 有最小值；而斜
面对小球的支持力N 一直增大；
故选AD。
17．一质量为M 的凹槽静止在粗糙的水平面上，内壁为动摩擦因数为
的半圆柱面，截面如图所示。A
为半圆弧的最低点，B 为半圆弧水平直径的端点，内壁上有一个质量为m 的小滑块，用推力为F 推动小滑
块由A 点缓慢移动到B 点，推力F 的方向始终沿着半圆弧的切线方向，在移动过程中凹槽始终处于静止状
态，下列说法正确的是（ ）
A．推力F 先增加后减小
B．推力F 先减小后增加
C．地面对凹槽的摩擦力先增大后减小
D．地面对凹槽的摩擦力先减小后增大
【答案】AC
【详解】A．小滑块由A 点向B 点缓慢移动过程中处于平衡状态，对其受力分析，合力为零，现将
与滑
块受到的滑动摩擦力的合力设为
，各力首尾相接，如图所示
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由图中几何关系可知
其中
联立，由数学知识可得
滑块移动过程中
逐渐增大，
时达最大，所以推力F 先增大后减小，故A 正确，B 错误；
CD．凹槽始终静止不动，对其受力分析，受重力Mg、小滑块的压力
、地面的支持力
和地面的摩擦
力
，由平衡条件可知，其所受合力为零。在水平方向受力平衡，由上图可知
由牛顿第三定律可知由平衡条件可得
代入得
当
时，f 有最大值，则有水平地面对凹槽的摩擦力
先增大后减小，故C 正确，D 错误。
故选AC。
18．如图所示，在水平粗糙横杆上，有一质量为m 的小圆环A，悬吊一个质量为M 的小球B，今用一水平
力F 缓慢地拉起B，A 仍保持静止不动，设圆环A 受到的支持力为FN，静摩擦力为Ff，此过程中( )
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A．绳子的拉力不变
B．FN不变
C．Ff一直减小
D．F 一直变大
【答案】BD
【详解】AD．取小球为研究对象进行受力分析，
由平衡条件可得
用一水平力缓慢地拉起B，
增大，
减小，则细线拉力
增大；
增大，水平拉力F 增大。故A
错误；D 正确；
BC．取AB 组成的系统为研究对象，受力如图所示
根据共点力平衡条件，有
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可知环A 受到的支持力不变，静摩擦力增大。故B 正确；C 错误。
故选BD。
19．如图所示，在倾角为α 的斜面上，放一质量为m 的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O
点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中（ ）
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
【答案】BC
【详解】对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2，如图所示
当挡板绕O 点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，FN1和FN2
的合力与重力mg 大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小
球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小。
故选BC。
20．如图甲所示，自动炒菜机的电动铲子既可推动炒菜也可翻动炒菜。自动炒菜机的炒菜原理可简化为如
图乙所示的模型，内壁光滑的半球形容器开口向上固定在水平面上，一个小球放在容器的底部，竖直光滑
挡板与其接触，挡板的上端刚好与圆心O 重合，有两种方式使小球到达容器口的P 点：方式一是将挡板缓
慢水平向右推，在推动过程中挡板始终保持竖直，使小球到达P 点；方式二是让挡板绕O 点缓慢转动，使
小球到达P 点。下列说法正确的是（ ）
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A．方式一中，挡板对小球的弹力增大
B．方式一中，内壁对小球的弹力减小
C．方式二中，挡板对小球的弹力增大
D．方式二中，内壁对小球的弹力减小
【答案】ACD
【详解】AB．对小球进行受力分析，构建力的矢量三角形，如图甲所示，当挡板保持竖直推小球时，根据
物体的平衡条件可得挡板对小球的弹力大小
内壁对小球的弹力大小
随着
的增大，
、
均增大，故A 正确，B 错误；
CD．如图乙所示，当挡板绕O 点转动推小球时，根据物体的平衡条件可得挡板对小球的弹力大小
内壁对小球的弹力大小
随着
的增大，
增大、
减小，故CD 正确。
故选ACD。
三、解答题
21．如图，重力为5N 的木块，恰好能沿倾角为30°的斜面匀速下滑；将此木块置于水平面上，用与水平方
向成60°角斜向上的拉力F 拉着，木块恰好做匀速直线运动。已知木块与斜面间和木块与水平面间的动摩
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擦因数相等。求：
(1)木块与水平面间的动摩擦因数μ；
(2)拉力F 的大小；
(3)若拉力角度可以任意改变，使木块做匀速直线运动拉力的最小值。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）木块沿斜面匀速下滑，则有
解得
（2）木块沿水平面做匀速直线运动，根据平衡条件，则有
解得
（3）木块沿水平面做匀速直线运动，设拉力与水平方向的角度为
，根据平衡条件，则有
整理得
所以，当
时，拉力F 最小，最小值为
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