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专题06 动态平衡模型
动态平衡指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系
列的平衡状态，在问题描述中常用“缓慢”关键词。解决该类问题的总体思路是“化动为静，静中求动”。
常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。
模型1．“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
(1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，
分析力的大小变化，如图甲所示。
(2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，
在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。
模型2．“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构
成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。
基本矢量图，如图所示
基本关系式：＝＝。
模型3．一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题
利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，
根据不同位置判断各力的大小变化。
1
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【例1】(多选)如图所示，在倾角为α 的斜面上，放一质量为m 的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当
挡板绕O 点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
【听课笔记】
【例2】 如图所示为一简易起重装置，AC 是上端带有滑轮的固定支架，BC 为质量不计的轻杆，杆的一
端C 用铰链固定在支架上，另一端B 悬挂一个质量为m 的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A 连接在卷扬机上。
开始时，杆BC 与AC 的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA 缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过
程中，杆BC 所产生的弹力( )
A．大小不变
B．逐渐增大
C．先增大后减小
D．先减小后增大
【听课笔记】
【例3】．(多选)如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初
始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角
α 不变。在OM 由竖直被拉到水平的过程中( )
2
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A．MN 上的张力逐渐增大
B．MN 上的张力先增大后减小
C．OM 上的张力逐渐增大
D．OM 上的张力先增大后减小
【听课笔记】
一、单选题
1．如图所示，有一质量不计的杆AO，长为R，可绕A 自由转动。用绳在O 点悬挂一个重为G 的物体，另
一根绳一端系在O 点，另一端系在圆弧形墙壁上的C 点。当点C 由图示位置逐渐向上沿圆弧CB 移动过程
中（保持OA 与墙面夹角θ 不变），OC 绳所受拉力的大小变化情况是（ ）
A．逐渐减小
B．逐渐增大
C．先减小后增大
D．先增大后减小
2．北方冬天的雪景十分壮观，如图甲所示，质量为
的小孩坐在质量为
的雪橇上，大人拉着轻质细绳
A 使雪橇在水平雪地上向前做匀速运动，简图如图乙所示。已知拴接在雪橇两侧的细绳所在的平面与水平
面的夹角
，细绳A 与两侧细绳在同一平面内，两侧细绳等长且细绳间的夹角
不变，雪橇与雪地的
动摩擦因数
，下列说法正确的是（ ）
3
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A．逐渐减小
，地面对雪橇的作用力方向始终不变
B．逐渐减小
，地面对雪橇的作用力先变小后变大
C．逐渐减小
，细绳A 的拉力
一直变大
D．当
时，两侧细绳的拉力最小
3．如图所示的装置中，物体A、B 的质量mA>mB。最初，滑轮两侧的轻绳都处于竖直方向，现用水平力F
向右拉A，使B 匀速上升．设水平地面对A 的摩擦力为Ff，绳对A 的拉力为FT，A 所受合力为F 合，则在
A 向右运动的过程（ ）
A．F 合=0，Ff变小，FT变大
B．F 合≠0，Ff变大，FT不变
C．F 合=0，Ff变大，FT不变
D．F 合≠0，Ff变小，FT变大
4．用与竖直方向成θ（θ＜45°）的倾斜绳a 和水平绳b 共同固定一个小球，这时绳b 的拉力为F1，现在保
持小球的原位置不动，使绳b 在原竖直平面内逆时针转过θ 角后固定，绳b 的拉力变为F2，再转过θ 角，
绳b 的拉力为F3，则（ ）
A．F1=F2＜F3
B．F1=F3＞F2
C．F1＜F2＜F3
D．Fa增大
5．如图所示，光滑的半圆柱固定在水平地面上，一个质量为m 的小球在水平外力作用下静止在半圆柱上，
现改变水平外力的大小使小球缓慢向上移动，在运动到最高点之前。下列说法正确的是（ ）
4
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A．水平外力F 增大
B．水平外力F 减小
C．半圆柱对小球的支持力增大
D．半圆柱对小球的支持力不变
6．如图所示，一质量为m 的光滑小球放置在倾角为θ 的固定斜面上，用垂直于斜面的挡板挡住，挡板绕
O 点顺时针缓慢地转向竖直位置的过程中，下列判断正确的是（ ）
A．小球对挡板的压力先减小后增大
B．小球对挡板的压力逐渐增大
C．小球对斜面的压力先减小后增大
D．小球对斜面的压力一直减小
7．炎热的夏天，学校教室需安装空调降暑，图甲是室外安装空调主机的情境。为安全起见，要求吊运过
程中空调主机与楼墙保持一定的距离。原理如图乙，一人在高处控制一端系在主机上的轻绳
，另一人在
地面控制另一根一端系在主机上的轻绳
，二人配合可使主机缓慢竖直上升。当
绳与竖直方向的夹角
时，
绳与竖直方向的夹角
。主机可视为质点，则下列说法正确的是（ ）
A．
一定小于
B．运送过程中
张力变小
C．运送过程中
张力变小
D．地上的人受到地面的摩擦力变小
8．《墨经》中记载古代建造房屋过程中，通过斜面提升重物，如图所示，若斜面体上表面光滑，则在缓
慢拉升重物的过程中（ ）
5
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A．重物受到的支持力不变
B．重物受到的支持力减小
C．斜面受到地面的支持力不变
D．斜面受到地面的支持力先增大后减小
9．如图所示，小球在F 作用下处于静止状态。现保持
不变，缓慢转动F，下列说法中正确是（ ）
A．细线拉力始终不变
B．F 可以竖直向下
C．F 可以竖直向上
D．当F 转到水平位置时最小
10．如图所示，用轻绳AO、BO 系住一物体使其处于平衡状态，绳AO 与竖直方向成一角度，绳BO 水平。
当绳子的悬点A 缓慢向右移动时，BO 始终保持水平，在AO 到达竖直方向前，关于绳子AO 和BO 的拉力，
下列说法中正确的是（ ）
A．绳AO 的拉力先增大后减小
B．绳AO 的拉力先减小后增大
C．绳BO 的拉力先增大后减小
D．绳BO 的拉力一直在减小
11．一轻质杆两端分别固定有质量均为m 的小球A、B，两小球由细线OE、FC 悬挂于水平天花板及竖直
墙壁上，如图所示。OE 和FC 的拉力分别用
和
表示，初始时，
与竖直方向的夹角
，
水平。
现保持轻杆位置不变，将细线FC 的C 端缓慢上移至FC 与水平方向成
角的位置的过程中，下列说
法正确的是（ ）
6
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A．
一直减小且减小了
B．
一直减小且减小了
C．
先减小后增大，其最小值为
D．轻杆的弹力一直减小，其最小值为
12．如图，上表面光滑下表面粗糙的
圆弧轨道AB 静止在水平面上，一小球从圆弧的最低点A 在水平外
力F 的作用下缓慢从最低点A 沿圆弧向上运动，已知圆弧轨道AB 一直保持静止，小球质量为m，重力加
速度为g，则（ ）
A．外力F 先增大后减小
B．圆弧对小球的支持力一直在减小
C．当推力
时，小球和圆弧轨道圆心O 的连线与竖直方向的夹角为30°
D．水平面对圆弧轨道AB 的静摩擦力一直在增大
二、多选题
13．如图所示，轻绳a 的一端与质量为m1的物块A 连接，另一端跨过光滑定滑轮与轻绳b 拴接于O 点，与
水平方向成θ 角的力F 的作用在O 点，质量为m2的物块B 恰好与地面间没有作用力，已知θ = 60°，定滑
轮右侧的轻绳a 与竖直方向的夹角也为θ、重力加速度为g，当F 从图中所示的状态开始顺时针缓慢转动
90°的过程中，结点O、m1的位置始终保持不变，则下列说法正确的是（ ）
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A．m2 = m1
B．F 的最小值为
C．力F 先减小后变大
D．地面对物块B 的支持力变大
14．如图所示﹐木板B 放置在粗糙水平地面上，O 为光滑铰链。轻杆一端与铰链O 固定连接，另一端固定
连接一质量为m 的小球A。现将轻绳一端拴在小球A 上，另一端通过光滑的定滑轮O′由力F 牵引，定滑轮
位于O 的正上方，整个系统处于静止状态。现改变力F 的大小，使小球A 和轻杆从图示位置缓慢运动到O′
正下方，木板始终保持静止，则在整个过程中（ ）
A．外力F 逐渐增大
B．轻杆对小球的作用力大小不变
C．地面对木板的支持力逐渐减小
D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
15．如图所示，轻质的OP 杆能以O 为轴在竖直平面内自由转动，P 端悬挂一重物，某人用一根轻绳绕过
定滑轮系在P 端。当OP 杆由水平位置开始缓慢逆时针转动时，下列说法正确的是（ ）
A．OP 杆的弹力方向不在OP 所在的直线上
B．OP 杆的弹力大小不变
C．轻绳的张力一直变小
D．轻绳的张力先变小后变大
16．如图所示，一圆弧形支架固定在斜面上，用一根细线系住一重为G 的小球，悬挂在支架的最高点A 点，
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此时小球与斜面刚好接触，现把悬挂点由A 点缓慢移动到B 点，悬挂点在B 点时细线刚好与斜面平行，则
在缓慢移动悬挂点的过程中（ ）
A．细线对球的拉力一直减小
B．细线对球的拉力先增大后减小
C．细线对球的拉力先减小后增大
D．斜面对小球的支持力一直增大
17．一质量为M 的凹槽静止在粗糙的水平面上，内壁为动摩擦因数为
的半圆柱面，截面如图所示。A
为半圆弧的最低点，B 为半圆弧水平直径的端点，内壁上有一个质量为m 的小滑块，用推力为F 推动小滑
块由A 点缓慢移动到B 点，推力F 的方向始终沿着半圆弧的切线方向，在移动过程中凹槽始终处于静止状
态，下列说法正确的是（ ）
A．推力F 先增加后减小
B．推力F 先减小后增加
C．地面对凹槽的摩擦力先增大后减小
D．地面对凹槽的摩擦力先减小后增大
18．如图所示，在水平粗糙横杆上，有一质量为m 的小圆环A，悬吊一个质量为M 的小球B，今用一水平
力F 缓慢地拉起B，A 仍保持静止不动，设圆环A 受到的支持力为FN，静摩擦力为Ff，此过程中( )
A．绳子的拉力不变
B．FN不变
C．Ff一直减小
D．F 一直变大
19．如图所示，在倾角为α 的斜面上，放一质量为m 的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O
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点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中（ ）
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
20．如图甲所示，自动炒菜机的电动铲子既可推动炒菜也可翻动炒菜。自动炒菜机的炒菜原理可简化为如
图乙所示的模型，内壁光滑的半球形容器开口向上固定在水平面上，一个小球放在容器的底部，竖直光滑
挡板与其接触，挡板的上端刚好与圆心O 重合，有两种方式使小球到达容器口的P 点：方式一是将挡板缓
慢水平向右推，在推动过程中挡板始终保持竖直，使小球到达P 点；方式二是让挡板绕O 点缓慢转动，使
小球到达P 点。下列说法正确的是（ ）
A．方式一中，挡板对小球的弹力增大
B．方式一中，内壁对小球的弹力减小
C．方式二中，挡板对小球的弹力增大
D．方式二中，内壁对小球的弹力减小
三、解答题
21．如图，重力为5N 的木块，恰好能沿倾角为30°的斜面匀速下滑；将此木块置于水平面上，用与水平方
向成60°角斜向上的拉力F 拉着，木块恰好做匀速直线运动。已知木块与斜面间和木块与水平面间的动摩
擦因数相等。求：
(1)木块与水平面间的动摩擦因数μ；
(2)拉力F 的大小；
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(3)若拉力角度可以任意改变，使木块做匀速直线运动拉力的最小值。
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