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第4讲 万有引力定律 天体运动
素养目标 1.了解开普勒行星运动三定律．(物理观念) 2.理解行星运动的动力学规律：
万有引力充当向心力．(物理观念) 3.能够运用万有引力定律和圆周运动的知识分析天体运
动问题．(科学思维) 4.学会构建双星、多星运动模型．(科学思维)
一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律(面积定律)
对每一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等．
3．开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等.
直观
情境
面积定律
轨道定律
周期定律
二、万有引力定律
1．万有引力定律
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大
内容
小与物体的质量m 和m 的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比
1 2
公式 F＝G
(1)两质点间的作用．
适用条件 (2)可视为质点的物体间的作用．
(3)质量分布均匀的球体间的作用
2.引力常量
数值 6.67×10－11 N·m2/kg2
测定人 英国物理学家卡文迪什于1798年利用扭秤测定
物理意义 数值上等于两个质量都是1 kg的物体相距1 m时的相互引力
(1)有力地证明了万有引力的存在．
测定意义 (2)使定量计算得以实现．
(3)开创了测量弱相互作用的新时代示意图
P：石英丝 M：平面镜 O：光源
N：刻度尺 Q：倒立T形架
三、宇宙速度 时空观
1．三种宇宙速度
第一宇宙速度(环绕
v＝7.9 km/s，是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度
1
速度)
第二宇宙速度(脱离
v＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度
2
速度)
第三宇宙速度(逃逸
v＝16.7 km/s，是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度
3
速度)
直观
情境
2.经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量不随速度的改变而改变．
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中
是相同的．
3．相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增大而增大，用公式表示为m＝.
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系
中是不同的．
(3)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是相同的．
1．思维辨析
(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆．( )
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越近，运行速率越小．( )
(3)德国天文学家开普勒在天文观测的基础上提出了行星运动的三条定律．( )
(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由 F＝G计算物体间的万
有引力．( )
2．北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中轨道和倾斜轨道．其中，同步轨道半径大约
是中轨道半径的1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为( )
A. B． C． D．2
3．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇
宙速度约为 ( )
A.v B．v C．v D．v
考点 开普勒行星运动定律的理解和应用
1．开普勒定律具有普遍适用性，既适用于行星绕太阳的运动，也适用于月球、卫星绕
地球的运动等．
2．由开普勒第二定律可得Δlr ＝Δlr ，vΔtr ＝vΔtr ，解得＝，即行星在两个位置的
1 1 2 2 1 1 2 2
速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，
因此该定律只能用在同一中心天体的星体之间．
典例1 (多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、
T、E 、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．
k
下列关系式正确的有( )
A．T >T B．E >E
A B kA kB
C．S ＝S D．＝
A B
1．[开普勒第三定律的应用]为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其
轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q
的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
2．[开普勒定律的理解和应用]2016年8月16日凌晨，被命名为“墨子号”的中国首
颗量子科学实验卫星开启星际之旅，其运行轨道为如图所示的绕地球 E运动的椭圆轨道，
地球E位于椭圆的一个焦点上．轨道上标记了卫星经过相等时间间隔(Δt＝，T为运转周期)的位置．如果作用在卫星上的力只有地球E对卫星的万有引力，则下列说法正确的是(
)
A．面积S>S
1 2
B．卫星在轨道A点的速度小于在B点的速度
C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴
考点 万有引力的理解与计算
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是 产生重力 mg ，二是提供物体随地球自
转的向心力F ，如图所示．
向
2．重力加速度的大小
(1)地球赤道上： G ＝ mg ＋ mω 2 R .
1
(2)地球两极上： G ＝ mg .
0
(3)地面一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F 的矢量和．
向
(4)距离地面高度h处：G＝mg .
2
(5)结论：① 纬度越高， g 值越大；高度越大， g 值越小 ．
②由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为 万有引力近似等于重力，即 G ＝ mg .
典例2 (2023·山东卷)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能
与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝.已知地月之间的距离r大
约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的
周期为( )
A．30π B．30π
C．120π D．120π
1．[天体表面重力加速度的计算]火星半径是地球半径的，火星质量是地球质量的.已知
地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响．下列说法正确的是( )
A．火星表面的重力加速度为g
B．火星表面的重力加速度为g
C．火星的质量为
D．火星的第一宇宙速度为
2．[万有引力和重力的差异]某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转，其
“赤道”表面处的重力加速度为g ，“极点”处的重力加速度为g ，若已知自转周期为
1 2
T，则该天体的半径为( )
A. B．
C． D．
考点 中心天体质量和密度的计算
1．“自力更生”法(gR)
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R，由 G ＝ mg 得天体质量M＝.
(2)天体密度ρ＝＝＝.
(3)GM＝gR2称为黄金代换公式．
2．“借助外援”法(Tr)
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r.
(1) 由 G ＝ m r 得天体的质量 M ＝ .
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度 ρ ＝，可
见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T，就可估算出中心天体的密度．
典例3 (2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，
给出1994年到2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1
000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究
工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力
设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
1．[天体质量的计算]2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨运行．若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算
出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
2．[利用环绕模型计算中心天体的质量和密度](多选)已知月球的半径为R，月球表面
的重力加速度为g，引力常量为G，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r，绕月周期为T，
则( )
A．月球的平均密度为
B．月球的平均密度为
C．“嫦娥四号”绕月运行的角速度为
D．“嫦娥四号”绕月运行的线速度为
课题研究 双星与多星系统
维度Ⅰ.双星系统及规律
被相互引力联系在一起、互相绕转的两颗星就叫双星系统．双星是绕公共圆心转动的
一对恒星．对于如图所示的双星系统，具有以下几个关系：
(1)各自所需向心力由彼此间的万有引力提供，即G＝mωr；G＝mωr.
1 1 2 2
(2)两颗星的周期及角速度相同，即T＝T，ω＝ω.
1 2 1 2
(3)两颗星的运行轨道半径与它们之间的距离关系为r＋r＝L.
1 2
(4)两颗星到公共圆心的距离r、r 与星体质量成反比，即＝.
1 2
典例1 (多选)在宇宙中，当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组
成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的
黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座 X－1
就是这样一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆
周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间
内，下列说法正确的是( )A．它们间的万有引力大小变大
B．它们间的万有引力大小不变
C．恒星做圆周运动的线速度变大
D．恒星做圆周运动的角速度变大
维度Ⅱ.三星及多星模型
情境导图
转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半
运动特点
径相等
受力特点 各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力
甲：＋＝ma ；
n
解题规律
乙：×cos 30°×2＝ma
n
解题关键 乙中r＝
典例2 (多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所
示．三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R.忽略其他星体对
它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则(
)
A．每颗星做圆周运动的线速度大小为
B．每颗星做圆周运动的角速度为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
答案及解析1．思维辨析
(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆．(√)
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越近，运行速率越小．(×)
(3)德国天文学家开普勒在天文观测的基础上提出了行星运动的三条定律．(√)
(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由 F＝G计算物体间的万
有引力．(×)
2．北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗卫星
组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中轨道和倾斜轨道．其中，同步轨道半径大约
是中轨道半径的1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为( )
A. B． C． D．2
解析：同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍，根据开普勒第三定律 ＝k，得＝3，
所以同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为，故选项C正确．
答案：C
3．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇
宙速度约为 ( )
A.v B．v C．v D．v
解析：由G＝m求得第一宇宙速度v＝，故＝＝，所以v ＝v，故A正确．
火
答案：A
考点 开普勒行星运动定律的理解和应用
典例1 (多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、
T、E 、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．
k
下列关系式正确的有( )
A．T >T B．E >E
A B kA kB
C．S ＝S D．＝
A B
解析：根据开普勒第三定律＝k知，A、D正确；由G＝m和E ＝mv2可得E ＝，因
k k
R >R ，m ＝m ，则E S
1 2
B．卫星在轨道A点的速度小于在B点的速度
C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴
解析：根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，
故面积S ＝S ，选项A错误；根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道A点的速度大于在B
1 2
点的速度，选项B错误；根据开普勒第三定律可知＝C，其中C为常数，a为椭圆的半长轴，
选项C正确，D错误．
答案：C
考点 万有引力的理解与计算
典例2 (2023·山东卷)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能
与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质，且都满足F∝.已知地月之间的距离r大
约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的
周期为( )
A．30π B．30π
C．120π D．120π
解析：设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有 G ＝ mg ，月球绕
地球公转有 G ＝ m r，r＝60R，联立有T＝120π.故选C．
月
1．[天体表面重力加速度的计算]火星半径是地球半径的，火星质量是地球质量的.已知
地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响．下列
说法正确的是( )
A．火星表面的重力加速度为g
B．火星表面的重力加速度为gC．火星的质量为
D．火星的第一宇宙速度为
解析：根据题意，设地球表面的物体的质量为m，地球的质量为M，则有G＝mg，解
得g＝，同理可得，火星表面的重力加速度为g ＝，由于火星半径是地球半径的，火星质
火
量是地球质量的，则有g ＝＝g，A、B错误；根据题意，由上述分析得，火星的质量为
火
M ＝＝，C错误；根据题意，由万有引力提供向心力有mg ＝m，可知火星的第一宇宙
火 火
速度为v ＝＝，D正确．
火
答案：D
2．[万有引力和重力的差异]某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转，其
“赤道”表面处的重力加速度为g ，“极点”处的重力加速度为g ，若已知自转周期为
1 2
T，则该天体的半径为( )
A. B．
C． D．
解析：对于处在“极点”处的物体，万有引力等于重力，则有G＝mg ，对于处在“赤
2
道”处的同一物体，则有G－mg ＝mR，由以上两式可解得R＝，C正确．
1
答案：C
考点 中心天体质量和密度的计算
典例3 (2021·全国乙卷)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，
给出1994年到2002年间S2的位置如图所示．科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1
000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞．这项研究
工作获得了2020年诺贝尔物理学奖．若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力
设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
解析：设地球的质量为m，地球到太阳的距离为r＝1 AU，地球的公转周期为T＝1年；
由万有引力提供向心力可得G＝mr，解得M＝；对于S2分析，其受到黑洞的作用，椭圆
轨迹半长轴R≈1 000 AU，根据图中数据结合图像可以得到S2运动的半周期＝(2002－1994)
年＝8年，则周期T′＝16年，根据开普勒第三定律结合万有引力公式可得 M ＝，其中R
黑
为S2的轨道半长轴，因此有M ＝M，代入数据解得M ≈4×106M，故B正确，A、C、D
黑 黑
错误．故选B．1．[天体质量的计算]2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并入轨
运行．若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算
出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
解析：根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得 G＝m，解得M
＝，D正确；由于核心舱质量在运算过程中被约掉，故无法通过核心舱质量求解地球质量，
A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由G＝mω2r得M＝，且ω＝，r约不掉，故还需要
知道核心舱的绕地半径，才能求得地球质量，C错误．
答案：D
2．[利用环绕模型计算中心天体的质量和密度](多选)已知月球的半径为R，月球表面
的重力加速度为g，引力常量为G，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r，绕月周期为T，
则( )
A．月球的平均密度为
B．月球的平均密度为
C．“嫦娥四号”绕月运行的角速度为
D．“嫦娥四号”绕月运行的线速度为
解析：“嫦娥四号”绕月球飞行，根据万有引力提供向心力有G＝mr，又根据ρ＝，
联立解得ρ＝，A错误，B正确；在月球表面，有G＝mg，“嫦娥四号”绕月球飞行，根
据万有引力提供向心力，则有G＝mω2r＝m，联立解得ω＝，v＝，C正确，D错误．
答案：BC
课题研究 双星与多星系统
典例1 (多选)在宇宙中，当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组
成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的
黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座 X－1
就是这样一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆
周运动，如图所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间
内，下列说法正确的是( )
A．它们间的万有引力大小变大
B．它们间的万有引力大小不变
C．恒星做圆周运动的线速度变大
D．恒星做圆周运动的角速度变大解析：设质量较大的恒星为M ，质量较小的黑洞为M ，则两者之间的万有引力为F
1 2
＝G，由数学知识可知，当M＝M 时，M·M 有最大值，根据题意可知质量较小的黑洞M
1 2 1 2 2
吞噬质量较大的恒星M ，因此万有引力变大，故A正确，B错误；对于两天体，万有引力
1
提供向心力，即G＝Mω2R ＝MR ，G＝Mω2R ＝MR ，解得两天体质量表达式为M＝R
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
＝R ，M ＝R ＝R ，两天体总质量表达式为M ＋ M ＝＝，两天体的总质量不变，两天体
2 2 1 1 1 2
之间的距离 L不变，因此天体的周期T和角速度ω也不变，质量较小的黑洞M 的质量增
2
大，因此恒星的圆周运动半径增大，根据 v＝可知，恒星的线速度增大，故C正确，D错
误．
答案：AC
典例2 (多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所
示．三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R.忽略其他星体对
它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则(
)
A．每颗星做圆周运动的线速度大小为
B．每颗星做圆周运动的角速度为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
解析：每颗星受到的合力为F＝2Gsin 60°＝G，轨道半径为r＝R，由向心力公式得F
＝ma＝m＝mω2r＝mr，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，显然加速度a与m有关，故A、
B、C正确，D错误．
答案：ABC
