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第五章 万有引力与宇宙航行
1、了解开普勒关于行星运动的描述；
2、知道引力常数的数值、单位及其测量装置；
3、掌握万有引力定律并能应用；
4、理解三种宇宙速度及其区别。
一、开普勒定律
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，
太阳位于椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内
扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
行星绕太阳运行轨道半长轴a 的立方与其
公转周期T 的平方成正比
二、开普勒定律的理解
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2．由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到
太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同，且该定律只能用在
同一中心天体的两星体之间．
三、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1
和m2 的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比。
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2．表达式：F＝G，G 是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。
四、万有引力定律的理解及应用
1．地球表面的重力与万有引力
地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另
一个分力等于重力。
(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；
(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；
(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力，F 向和mg，这两个分力刚好在一条直线上，则有F＝F 向
＋mg，所以mg＝F－F 向＝－mRω。
2．地球表面上的重力加速度
(1)设在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，由mg＝G，得g＝G。
(2)设在地球上空距离地心r＝R＋h 处的重力加速度为g′，由mg′＝，得g′＝，所以＝。
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M′)对它
的万有引力，即F＝G.
五、天体质量和密度的计算
1．利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R.
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①由G＝mg，得天体质量M＝.
②天体密度ρ＝＝＝.
2．利用运行天体(以已知周期为例)
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T.
①由G＝mr，得M＝.
②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r 等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体
表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
六、人造卫星与宇宙航行
1．天体(卫星)运行问题分析
将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供．
2．物理量随轨道半径变化的规律
G＝
即r 越大，v、ω、a 越小，T 越大．(越高越慢)
3．人造卫星
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨
道．
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)同步卫星
①轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同．
②周期与地球自转周期相等，T＝24 h.
③高度固定不变，h＝3.6×107 m.
④运行速率均为v＝3.1 km/s.
(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝
7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星．
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4．宇宙速度
(1)第一宇宙速度
①第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。
②第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。
③第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
④第一宇宙速度的计算方法
由G＝m 得v＝；
由mg＝m 得v＝．
(2)第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s．
(3)第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s．
5．第一宇宙速度的推导
方法一：由G＝m，得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝m 得
v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin
＝2π＝2π s≈5 075 s≈85 min.
6．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动．
(2)7.9 km/s<v 发<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．
(3)11.2 km/s≤v 发＜16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆．
(4)v 发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间．
七、卫星运行参量的分析
1．公式中r 指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R 通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.
2．同一中心天体，各行星v、ω、a、T 等物理量只与r 有关；不同中心天体，各行星v、ω、a、T 等物理
量与中心天体质量M 和r 有关．
3．地球同步卫星的特点
4
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4．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
八、卫星变轨问题
1．变轨原理（从低轨道到高轨道）
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．
(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，
卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ．
(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ．
从高轨道到低轨道变轨，上述过程加速变减速．
2．变轨过程分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为
vA、vB.在A 点加速，则vA>v1，在B 点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB．
(2)加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速
度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B 点的加速度也相同．
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(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、
r3，由开普勒第三定律＝k 可知T1<T2<T3．
(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、
E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ，从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1<E2<E3．
九、天体的“追及”问题
天体“相遇”指两天体相距最近，以地球和行星“相遇”为例(“行星冲日”)，某时刻行星与地球最近，此
时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同(图甲)，根据＝mω2r 可知，地球公转的速度较
快，从初始时刻到之后“相遇”，地球与行星距离最小，三者再次共线，有两种方法可以解决问题：
1．角度关系
ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1、2、3…)
2．圈数关系
－＝n(n＝1、2、3…)
解得t＝(n＝1、2、3…)
同理，若两者相距最远(行星处在地球和太阳的延长线上)(图乙)，有关系式：ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1、
2、3…)或－＝(n＝1、2、3…)
十、双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．如图所示．
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(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2.
②两颗星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L.
④两颗星到圆心的距离r1、r2 与星体质量成反比，即＝.
⑤双星的运动周期T＝2π
.
⑥双星的总质量m1＋m2＝.
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期
相同．
(2)常见的三星模型
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图甲
所示)．
②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)常见的四星模型
①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所
示)．
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②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O 做匀速圆周
运动(如图丁所示)．
一、单选题
1．2023 年4 月2 日在酒泉卫星发射中心成功发射“爱太空科学号”遥感卫星，它将为中国青少年科普教
育提供海量宇宙影像素材。该卫星在距地面约
高度的圆周轨道上运行，则该卫星（ ）
A．运行周期大于地球的自转周期
B．运行线速度小于地球赤道上的物体随地球自转的线速度
C．向心加速度小于地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度
D．在竖直向上的加速升空过程中，卫星内的实验器材均处于超重状态
【答案】D
【详解】A．地球半径约为6400km，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的7 倍，根据题意可知，“爱
太空科学号”遥感卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，根据
解得
可知，“爱太空科学号”遥感卫星运行周期小于地球同步卫星，即“爱太空科学号”遥感卫星运行周期小
于地球的自转周期，A 错误；
B．根据
解得
由于“爱太空科学号”遥感卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则“爱太空科学号”遥感卫星的线
速度大于同步卫星的线速度，根据
地球自转角速度等于同步卫星角速度，则地球同步卫星线速度大于地球赤道上的物体随地球自转的线速
度，即“爱太空科学号”遥感卫星运行线速度大于地球赤道上的物体随地球自转的线速度，B 错误；
C．根据
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由于“爱太空科学号”遥感卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则“爱太空科学号”遥感卫星的向
心加速度大于同步卫星的向心加速度，根据
地球自转角速度等于同步卫星角速度，则地球同步卫星线的向心加速度大于地球赤道上的物体随地球自转
的向心加速度，即“爱太空科学号”遥感卫星运行的向心加速度大于地球赤道上的物体随地球自转的向心
加速度，C 错误；
D．在竖直向上的加速升空过程中，加速度方向向上，则卫星内的实验器材均处于超重状态，D 正确。
故选D。
2．我国的“北斗三号”卫星导航系统由24 颗中圆地球轨道卫星、3 颗地球静止轨道卫星和3 颗倾斜地球
同步轨道卫星组成。倾斜地球同步轨道指卫星在该轨道上运行的周期与地球自转的周期相同，但该轨道平
面与赤道平面有一定的夹角。下列说法正确的是（ ）
A．地球静止轨道卫星绕地球运行的周期比月球绕地球运行的周期大
B．倾斜地球同步轨道卫星的动能一定大于地球静止轨道卫星的动能
C．地球对倾斜地球同步轨道卫星的万有引力一定与地球对地球静止轨道卫星的万有引力大小相等
D．只要倾角合适，倾斜地球同步轨道卫星可以在每天的固定时间经过十堰上空
【答案】D
【详解】A．根据
解得
地球静止轨道卫星的轨道半径比月球的轨道半径小，则地球静止轨道卫星绕地球运行的周期比月球绕地球
运行的周期小，A 错误；
B．根据
可知，同步卫星的线速度大小相等，由于倾斜地球同步轨道卫星与地球静止轨道卫星的质量关系不确定，
则倾斜地球同步轨道卫星的动能与地球静止轨道卫星的动能关系也不确定，B 错误；
C．根据
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根据上述，可知，同步卫星的轨道半径大小相等，由于倾斜地球同步轨道卫星与地球静止轨道卫星的质量
关系不确定，则地球对倾斜地球同步轨道卫星的万有引力与地球对地球静止轨道卫星的万有引力大小关系
也不确定，C 错误；
D．由于倾斜地球同步轨道指卫星在该轨道上运行的周期与地球自转的周期相同，但该轨道平面与赤道平
面有一定的夹角，因此只要倾角合适，倾斜地球同步轨道卫星可以在每天的固定时间经过十堰上空，D 正
确。
故选D。
3．宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，它的轨道距地心的距离等于地球半径的
倍，它的运动周期为
，引
力常量为
，则地球的平均密度
的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据万有引力提供向心力可得
解得中心天体的质量为
其中
根据密度的计算公式
其中
解得
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故选A。
4．2022 年11 月9 日，某天文爱好者通过卫星过境的GoSatWatch（卫星追踪软件）获得“天宫空间站”过
境运行轨迹如图甲所示，通过微信小程序“简单夜空”，点击“中国空间站过境查询”，获得中国“天宫
空间站”过境连续两次最佳观察时间信息如图乙所示，在这连续两次最佳观察时间内，空间站绕地球共转
过16 圈。已知地球半径R 约为
，自转周期T 为24 小时，万有引力常量为
，地球表面附近重力加速度约为
，不考虑空间站轨道修正，则由以上信息（ ）
A．可估算出同步卫星距离地面高度为6
B．可估算出“天宫空间站”绕地转动周期约为0.67 小时
C．可估算出“天宫空间站”离地高度约为400 公里
D．不能估算出地球的密度和第一宇宙速度
【答案】C
【详解】B．根据图乙信息可知，连续两次最佳观察时间间隔约为24h，则天宫空间站运行周期
B 错误；
C．在地球表面有
对天宫空间站有
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解得
即可估算出“天宫空间站”离地高度约为400 公里，C 正确；
A．同步卫星的运行周期等于地球自转周期，对同步卫星有
解得
A 错误；
D．第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，根据
解得
根据
结合上述解得
可知，能估算出地球的密度和第一宇宙速度，D 错误。
故选C。
5．火卫一是太阳系最暗的天体之一，假设火卫一围绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为r1，运行周期为
T1，火星半径为R。已知行星与卫星间引力势能的表达式为
，r 为行星与卫星的中心距离，
则火星的第二宇宙速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设火星质量为M，火卫一质量为m，根据万有引力定律有
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可得
设火星的第二宇宙速度为v，根据能量守恒定律有
联立可得
故选D。
6．有a、b、c、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b 处于地面附近的近地
轨道上做圆周运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则有（ ）
A．a 的向心加速度等于g
B．在相同时间内b 转过的弧长最长
C．a 的线速度等于b 的线速度
D．d 的运动周期可能是21h
【答案】B
【详解】A．同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，所以a 与c 的角速度相同，根据向心加
速度与角速度的关系
可知，c 的向心加速度大于a 的向心加速度；
根据万有引力提供向心力，有
可得
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可知卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则c 的向心加速度小于b 的向心加速度，而b 的向心加速度
约为g，所以a 的向心加速度小于重力加速度g，故A 错误；
BC．根据万有引力提供向心力，有
可得
可知c、d 的线速度小于b 的线速度，根据线速度与角速度的关系可知，c 的线速度大于a 的线速度，故a
的线速度小于b 的线速度，b 的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B 正确，C 错误；
D．由开普勒第三定律
可知卫星的半径越大，周期越大，所以d 的运动周期大于c 的周期24h，故D 错误。
故选B。
7．我国首个火星探测器—“天问一号”，于2020 年7 月23 日在海南文昌航天发射中心成功发射，于2021
年5 月15 日成功着陆火星，开展巡视探测，如图为“天问一号”环绕火星变轨示意图。已知引力常量
，
地球质量为
，地球半径为
，地球表面重力加速度为
；火星的质量约为地球质量的
，半径约为地球
半径的
；着陆器质量为
。下列说法正确的是（ ）
A．“天问一号”在轨道Ⅲ运行到
点的速度小于在轨道Ⅱ运行到
点的速度
B．若轨道Ⅰ为近火星圆轨道，测得周期为
，则火星的密度约为
C．着陆器在火星表面所受重力约为
D．“天问一号”探测器环绕火星运动的速度应大于11.2km/s
【答案】B
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【详解】A．“天问一号”在轨道Ⅲ运行到轨道Ⅱ是由高轨道变轨到低轨道，需要在轨迹切点向后喷气减
速，即“天问一号”在轨道Ⅲ运行到
点的速度大于在轨道Ⅱ运行到
点的速度，A 错误；
B．若轨道Ⅰ为近火星圆轨道，则有
又由于
解得
B 正确；
C．在地球表面有
着陆器在火星表面所受重力约为
解得
C 错误；
D．11.2km/s 是地球的第二宇宙速度，即脱离地球束缚的最小速度，地球的第一宇宙速度等于地球的近地
卫星的环绕速度，对于地球近地卫星与火星的近火卫星，根据
解得
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地球的第一宇宙速度等于7.9km/s，即地球的第一宇宙速度大于火星的第一宇宙速度，由于第二宇宙速度等
于第一宇宙速度的
倍，可知，“天问一号”探测器环绕火星运动的速度小于11.2km/s，D 错误。
故选B。
8．2022 年7 月24 日14 时许，长征五号B 遥三运载火箭从文昌航天发射场将问天实验舱成功发射到预定
近地圆轨道Ⅰ，如图所示。假设问天实验舱在P 点变轨进入椭圆轨道Ⅱ飞往天和号空间站，到达空间站所
在的圆轨道Ⅲ的Q 点与空间站自主交会对接。若空间站对接前后轨道半径保持不变，则下列说法中正确的
是（ ）
A．监测问天实验舱与空间站交会对接过程，可以将它们看成质点
B．相对于地球，空间站停在轨道上等待问天实验舱前来对接
C．问天实验舱与空间站交会对接上的瞬间，实验舱相对空间站静止
D．空间站组合体沿轨道Ⅲ运动1 周，位移和速度都为零
【答案】C
【详解】A．当物体的大小、形状对所研究的问题没有影响或者影响很小，可以忽略不计时，物体可以看
成质点，但研究实验舱交会对接过程，其大小、形状对所研究的问题的影响不能忽略，所以不可以看成质
点，故A 错误；
BC．当实验舱在低轨道上加速做离心运动变轨到高轨道与空间站交会对接，对接时实验舱和空间站保持相
对静止，而空间站相对于地球做圆周运动，并不是停在轨道上等待实验舱来对接，故B 错误，C 正确；
D．空间站组合体沿轨道Ⅲ运动1 周，位移为零，而运动速度不为零，故D 错误。
故选C。
9．如图所示，地球可看作质量分布均匀、半径为R 的球体，地球内部的a 点距地心的距离为r，地球外部
的b 点距地心的距离为3r，
。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，忽略地球的自转，
则a、b 两点的重力加速度大小之比为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设地球密度为
，根据题意可知
点距地心距离为，且小于
，则只有半径为的球体对其产生
万有引力，则有
，
解得
点距地心的距离为
，则有
，
解得
解得
故选B。
10．如图所示，假设在太空中有恒星A、B 双星系统绕点O 做顺时针匀速圆周运动，运动周期为T1，它们
的轨道半径分别为rA、rB，rA<rB，C 为B 的卫星，绕B 做逆时针匀速圆周运动，周期为T2。忽略A 与C 之
间的引力，A 与B 之间的引力远大于C 与B 之间的引力。引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
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A．若知道C 的轨道半径，则可求出C 的质量
B．若A 也有一颗轨道半径与C 相同的卫星，则其运动周期也一定为T2
C．恒星A 的质量为
D．设A、B、C 三星由图示位置到再次共线的时间为t，则
【答案】D
【详解】A．根据
解得
可知只能求中心天体B 的质量，不能求出环绕天体C 的质量，A 错误；
C．双星系统的周期相等，均为T1，对A 恒星有
对B 恒星有
解得
，
C 错误；
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B．由于
rA<rB
根据上述可知
根据
解得
可知，公转周期不仅与轨道半径有关，还与中心天体的质量有关，根据上述恒星A 的质量大于恒星B 的质
量，则若A 也有一颗轨道半径与C 相同的卫星，则其运动周期小于T2，B 错误；
D．A、B、C 三星由图示位置到再次共线应满足
解得
D 正确。
故选D。
二、多选题
11．2023 年1 月9 日，我国在文昌航天发射场使用长征七号改运载火箭，成功将实践二十三号卫星发射升
空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知地球的半径为R，表面的重力加速度为g，引
力常量为G，实践二十三号卫星离地球中心的距离为r，绕地运行周期为T。不考虑地球自转，则（ ）
A．该卫星的向心加速度大于g
B．该卫星绕地运行的速度可表示为
C．根据题中信息不能求出地球的质量
D．地球的平均密度可表示为
【答案】BD
【详解】A．对处于地球表面的物体有
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对该卫星有
由于r>R，则该卫星的向心加速度小于g，故A 错误；
B．该卫星绕地运行时根据万有引力提供向心力有
解得
联立可得
故B 正确；
CD．该卫星绕地运行时有
解得
所以
故C 错误，D 正确。
故选BD。
12．如图所示，在进行火星考查时，火星探测器对火星完成了“绕、着、巡”三项目标。经考查已知火星
表面的重力加速度为g 火，火星的平均密度为ρ，火星可视为均匀球体，火星探测器离火星表面的高度为
h，引力常量G。根据以上信息能求出的物理量是（ ）
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A．火星的半径
B．火星探测器的质量
C．火星探测器的周期
D．火星的第一宇宙速度
【答案】ACD
【详解】AD．在火星表面，有
解得
，
，
故AD 正确；
BC．对探测器，有
解得
由于火星的半径和火星的质量可以求出，所以探测器的周期也可以求出，但不可求出探测器的质量，故B
错误，C 正确。
故选ACD。
13．“古有司南，今有北斗”，如图甲所示的北斗卫星导航系统入选“2022 全球十大工程成就”。组成北
斗系统的卫星运行轨道半径r 越高，线速度v 越小，卫星运行状态视为匀速圆周运动，其v2-r 图像如图乙
所示，图中R 为地球半径，r0为北斗星座GEO 卫星的运行轨道半径，图中物理量单位均为国际单位，引力
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常量为G，忽略地球自转，则（ ）
A．地球的质量为
B．地球的密度为
C．GEO 卫星的加速度为
D．地球表面的重力加速度为
【答案】BC
【详解】A．根据万有引力提供向心力，有
解得
故A 错误；
B．地球的密度为
故B 正确；
C．根据牛顿第二定律
解得
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故C 正确；
D．根据万有引力与重力的关系
所以地球表面的重力加速度为
故D 错误。
故选BC。
14．科学家在太空发现了一颗未知天体，并发射探测器对该天体进行观测。探测器在圆形轨道Ⅰ上绕行，
探测器的周期为T，距该星体表面的高度为h，飞行器对星球观测张角为θ，如图所示。观测到该星体有一
颗低轨道卫星在圆形轨道Ⅱ上运动（绕行方向与探测器方向相同），探测器和卫星两次靠得最近的时间间
隔为t。已知万有引力常量为G，不计探测器和卫星之间的引力及其他天体引力影响，根据题目所给的信
息，可得出的是（ ）
A．可以求出探测器在轨道Ⅰ上运行时探测器与该未知天体之间的万有引力
B．可以求出该未知天体的质量M
C．可以求出轨道Ⅱ离该天体表面的高度
D．探测器在轨道Ⅱ上运行的速度一定小于7.9km/s
【答案】BC
【详解】AB．探测器在轨道Ⅰ上运行时，有
由此可求未知天体的半径和未知天体的质量，因为探测器的质量未知，所以不可以求出彼此间的万有引
力，故A 错误，B 正确；
C．由于探测器和卫星两次靠得最近的时间间隔为t，则
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解得
对卫星，根据万有引力提供向心力，有
所以轨道Ⅱ离该天体表面的高度为
由此可知，可以求出轨道Ⅱ离该天体表面的高度，故C 正确；
D．根据万有引力提供向心力，有
解得探测器在轨道Ⅱ上运行的速度为
根据题目所给的信息不能确定此速度与7.9km/s 的大小关系，故D 错误。
故选BC。
15．在两个大物体引力场空间中存在着一些点，在这些点处的小物体可相对于两个大物体基本保持静止，
这些点称为拉格朗日点。中国探月工程中的“鹊桥号”中继卫星是世界上首颗运行于地月拉格朗日
点的
通信卫星，如图所示，该卫星在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周运动，关于处于拉格朗
日
和
点上的两颗同等质量卫星，下列说法正确的是（ ）
A．两卫星绕地球做圆周运动的线速度相等
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B．处于
点的卫星绕地球做圆周运动的向心加速度大
C．处于
点的卫星绕地球做圆周运动的角速度大
D．处于
点的卫星绕地球做圆周运动的向心力大
【答案】BD
【详解】C．两卫星相对于两个大物体的中心基本保持静止，因此绕地球做圆周运动的周期相等，角速度
相等，故C 错误；
A．由题意可知，两卫星围绕地球运动的角速度相等，运动半径不同，由角速度与线速度的关系
可
得，两卫星绕地球做圆周运动的线速度不相等，故A 错误；
BD．由
可知，质量相同、角速度相同的情况，运动半径越大，向心加速度越大，向心力越
大。由于
，故处于
点的卫星绕地球做圆周运动的向心加速度大，向心力大，故B、D 正确。
故选BD。
三、解答题
16．假设某卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运动周期为T，地球半径为R，引力常量为G，
不考虑地球自转，求：
（1）卫星的向心加速度大小；
（2）地球的平均密度。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设卫星的质量和向心加速度分别为m、
，有
卫星的向心加速度大小
（2）设地球质量为
，由万有引力提供向心力可得
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得
则地球的密度
17．如图所示，水星、地球绕太阳的公转可以看成同一平面内的匀速圆周运动。已知太阳的半径为R，地
球—水星连线与地球—太阳连线夹角的最大值为θ，地球的轨道半径为L，地球的公转周期为T，万有引力
常量为G。求：
（1）太阳的密度
；
（2）水星的公转周期
。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据题意，由万有引力提供向心力有
解得
又有
解得太阳的密度
（2）根据题意可知，由几何关系可得，水星的轨道半径为
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由开普勒第三定律有
解得
18．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点，沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小
球经时间t 落到斜坡另一点Q 上，斜坡的倾角为α，已知该星球的半径为R，引力常量为G，球的体积公式
是
。求：
（1）该星球表面的重力加速度g；
（2）该星球的密度；
（3）该星球的第一宇宙速度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球做平抛运动过程中，水平方向，有
竖直方向，有
由几何知识可得
联立解得
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（2）对于星球表面质量为m0的物体，有
所以
（3）该星球的第一宇宙速度等于它的近地卫星的运行速度，故
解得
19．如图所示，探月卫星的发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，在该轨道的P 处
通过变速再进入“地月转移轨道”，在快要到达月球时，对卫星再次变速，卫星被月球引力“俘获”后，
成为环月卫星，最终在环绕月球的“工作轨道”绕月飞行（视为圆周运动），对月球进行探测。“工作轨
道”周期为T、距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探月卫星在“工作
轨道”上环绕运动的影响。
（1）求探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小；
（2）求月球的质量；
（3）求月球的第一宇宙速度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）探月卫星在“工作轨道”上做匀速圆周运动，有
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（2）探月卫星在“工作轨道”上做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
可得
（3）月球的第一宇宙速度等于“近地卫星”的环绕速度，设其质量为
，则有
联立，可得
20．我国发射的探月卫星有一类为绕月极地卫星。利用该卫星可对月球进行成像探测。如图所示，设卫星
在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面的高度为h，绕行周期为T2；月球绕地球公转的周期为T1，公
转轨道半径为r；地球半径为R1，月球半径为R2，忽略地球引力、太阳引力对绕月卫星的影响，万有引力
常量已知。
（1）求月球质量M2；
（2）求地球表面重力加速度g1。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）卫星环绕月球做匀速圆周运动，可得
月球质量为
（2）月球绕地球做匀速圆周运动，可得
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在地球表面
解得
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