第14讲 抛物线的硬解定理，定比点差法，极点
极线及光学性质
目录
知识要点..............................................................................................................................................1
题型归纳...........................................................................................................................................14
题型01：硬解定理在抛物线中的应用................................................................................................14
题型02：抛物线的定比点差法..........................................................................................................22
题型03:抛物线的极点极线................................................................................................................28
题型04：抛物线中的切线方程和切点弦方程.....................................................................................31
题型05：抛物线中的光学性质..........................................................................................................47
题型06：阿波罗尼斯圆在抛物线中的应用.........................................................................................55
知识点一：抛物线的硬解定理
1.抛物线
与直线
图7
如图7，设
，
立
联
得
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
2.抛物线
与直线
图8
如图8，设
，
立
联
得
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
3.抛物线
与直线
图9
如图9，设
，
立
联
得
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
4.抛物线
与直线
图10
如图10，设
，
立
联
得
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
知识点二：定比点差法
1.定比分点坐标公式
1.定比分点：若⃗AM = λ⃗MB，
称点
则
M
点
为
A，B的定比分点．
当λ>0
，点
时
M
点
为
A，B的内分点，点M在
段
线
AB上；
当λ>1
，点
时
M在
段
线
AB的延
上
长线
；
当λ<0，λ≠−1
，点
时
M
点
为
A，B的外分点，
当λ<−1
，点
时
M在
段
线
AB的反向延
上；
长线
当−1< λ<0
，点
时
M在
段
线
BA的延
上．
长线
2.定比分点坐
公式：
标
已知
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，若点
0
(
P x
0y )
足
满
AP
PB
，求点P的坐
．
标
0
1
2
0
0
0
1
2
0
1
2
0
0
0
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
AP
PB
y
y
y
y
y
y
y
y
1
2
0
1
2
0
1
1
x
x
x
y
y
y
2.定比点差法
当
上的两点，
为椭圆
P
弦
为
A ,B上任意一点
，
点
时设
P(x0, y0)
足
满⃗
AP = λ⃗PB若A(x1, y1),B(x2, y2)在
椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1,则{
& x1
2
a
2 + y1
2
b
2 =1
& x2
2
a
2 + y2
2
b
2 =1
;
点M (x0, y0)
足
满⃗
AM = λ⃗MB，可得到x0= x1+ λ x2
1+ λ
, y0= y1+ λ y2
1+ λ
{
x1
2
a
2 + y1
2
b
2 =1
x2
2
a
2 + y2
2
b
2 =1
⇒{
x1
2
a
2 + y1
2
b
2 =1⋯①
λ
2 x2
2
a
2 + λ
2 y2
2
b
2 = λ
2⋯②
，
①－②得：
，
立消元后即可用
联
)
,
(
0
0 y
x
与定分比表示
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x
.
性质：当直线AB与x轴交点为M ( x0,0)，即y0=0时，x0
a
2 × x1−λ x2
1−λ
=1，于是有
1. x1−λ x2= (1−λ)a
2
x0
，x1+ λ x2=(1+ λ)x0；
2. x1= (1−λ)a
2+(1+ λ)x0
2
2 x0
；
3. λ= a
2+ x0
2−2 x0 x1
a
2−x0
2
；
4. （1）若M (−c ,0)
左焦点，
为
则x1= (a
2+c
2)−λb
2
2c
，λ= a
2+c
2+2c x1
b
2
；
注：利用定理“
点
过
M (m,0)的直
交
线
椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1于P( xP, y P)，Q( xQ, yQ)两点，
有
则
(m
2+a
2)( xP+ xQ)=2m( xP xQ+a
2)．”求点B横坐
也可求得．
标
（2）若M (c ,0)
右焦点，
为
则x1=−(a
2+c
2)−λb
2
2c
，λ= a
2+c
2−2c x1
b
2
．
（3）若A,B 为椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上的两点，直线AB 与x
交于点
轴
P，与y
交于点
轴
Q，且⃗
QA = λ⃗AP，⃗QB = μ⃗BP.
结论：
①)P
左（右）焦点；
为
②λ+ μ=−2a
2
b
2 。
且①②互
充要条件
为
.
结论拓展
1.在抛物线y
2=2 px中，A,B
抛物
上两点，
为
线
P,Q 分
在
别
x
、
轴y
上，
轴⃗
QA = λ⃗AP，⃗QB = μ⃗BP.
①P
焦点；②
为
λ+ μ=−1.
①②互
充要条件
则
为
.
2.双曲
一定有：①
线
P
焦点；②
为
λ+ μ= 2a
2
b
2 .
综合拓展：①λ+ μ=t（t
定
）；②
为
值
P 为x
一定点
轴
(m,0)。
两者互
充要条件：
则
为
m
2
a
2 =2+t.
应用一：利用定比分点证明特征直线的方程
在椭圆或双曲线中，设A,B 为曲线上两点，若存在P,Q 满足⃗AP = λ⃗PB，⃗AQ =−λ⃗QB，则一定有：
证明：若A( x1, y1)，B( x2, y2)，且⃗AP = λ⃗PB，则P(
x1+ λ x2
1+ λ
, y1+ λ y2
1+ λ )。
若⃗AQ =−λ⃗QB，则Q(
x1−λ x2
1−λ
, y1−λ y2
1−λ )。
代入椭圆方程：
(1)-(2)可得：
即：
故：
抛物线中的调和分点性质
在抛物线y
2=2 px中，设A,B 为抛物线上两点，若存在P,Q 满足⃗AP = λ⃗PB，⃗AQ =−λ⃗QB，则一定有：
证明：
设A( x1, y1)，B( x2, y2)，⃗AP = λ⃗PB，则P(
x1+ λ x2
1+ λ
, y1+ λ y2
1+ λ )。⃗
AQ =−λ⃗QB，
则Q(
x1−λ x2
1−λ
, y1−λ y2
1−λ ).
代入抛物线方程：
(1)-(2)得：
即：
化简得：
故：
核心原理：定比点差的本质是两个互为调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程.
应用二:坐标轴上定点弦与定比点差法
（一）：定点在x 轴
过定点P( xP,0)的直线与椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)相交于A,B 两点，设⃗AP = λ⃗PB(λ≠±1)，A( x1, y1)，
B( x2, y2).
则在直线AB 上一定存在点Q 满足⃗AQ =−λ⃗QB，根据定比点差法可知：
一定有：
证明：
解得：
（二）：定点在y 轴
过定点P(0, y P)的直线与椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)相交于A,B 两点，设⃗AP = λ⃗PB(λ≠±1)，
A( x1, y1)，B( x2, y2).
则在直线
上一定存在点Q 满足⃗AQ =−λ⃗QB，根据定比点差法可知：
同理：
（三）：抛物线为载体
过定点P(m,0)的直线AB 和抛物线y
2=2 px ( p>0)相交，设⃗AP = λ⃗PB，A( x1, y1)，B( x2, y2).
则有：
即：
证明：
由⃗AP = λ⃗PB，可得：
联立抛物线方程：
两式相减得：
代入定比分点坐标关系x1+ λ x2
1+ λ
=m，x1−λ x2
1−λ
=n，化简得：
应用三:非轴点弦的定比点差法
设椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，点A( x1, y1),B( x2, y2)在椭圆上，且⃗AP = λ⃗PB，P( x0, y0).
则
点A( x1, y1),B( x2, y2)的坐标都可以用只含有x1（或x2）的式子表示出来.
证明：
由⃗AP = λ⃗PB得
即
利用定比点差法：
两式相减得
( x1+ λ x2)( x1−λ x2)
a
2
+ ( y1+ λ y2)( y1−λ y2)
b
2
=1−λ
2
代入x1+ λ x2= x0(1+ λ)，y1+ λ y2= y0(1+ λ)，化简即得上述结论.
代入
x0( x1−λ x2)
a
2
+ y0( y1−λ y2)
b
2
=1−λ，消去λ x2, λ y2，整理可得：
2(
x0 x1
a
2 + y0 y1
b
2 −1)=(
x0
2
a
2 + y0
2
b
2 −1)⋅(1+ λ)⋯（2）
如果消去x1, x2，整理可得：
在上述
的基
上，可推广至抛物
椭圆结论
础
线y
2=2 px。设A( x1, y1),B( x2, y2)
抛物
上的点，且
为
线⃗
AP = λ⃗PB，P( x0, y0)，
有
偶公式：
则
对
知识点三：极点极线
1. 极点极线的代数定义
于二次曲
对
线
，我
称点
们
（非二次曲
的中心）
线
与直线
是关于曲线
的一
极点极
，也称点
对
线
P
直
为
线l 关于曲线
的极点，直线l
点
为
P 关于曲线
的极线．
二次曲线的替换法则
于一般式的二次曲
对
线
，用
代
，用
代
，用
代
xy，用
代x，用
代y，常数
不
，可得方程：
项
变
．
2.圆锥曲线中的极点极线（以椭圆为例）
设椭圆方程为
，点
为平面内任意一点，则：
（1）极线：
点
对应
的极
方程
线
为
；
（2）极点：若直线
是某点的极
，
点（极点）坐
可通
极
方程反推：将直
方
线则该
标
过
线
线
程化为
，
比极
准形式，得极点
对
线标
为
（
极
原点，极点在无
时
线过
穷
）
远.
3.极点与极线的几何性质（核心）
（1）位置关系：极点位置决定极线位置
①若极点
在曲
上，
极
曲
在
线
则
线为
线
点的切
（
：代入
线验证
足
方程，极
方程即
满
椭圆
线
为
切
方程）；
线
②若极点
在曲
外，
极
线
则
线为过
作曲
两条切
的切点
（切点弦）；
线
线
连线
③若极点
在曲
内，
极
曲
的一条弦的极点
迹（
线
则
线为
线
轨
过
的弦的两端点切
交点
迹即
极
）
线
轨
为
线.
（2）
曲
的极点极
（以
例）：
圆锥
线
线
椭圆为
方程
椭圆
，极点
，则
①极点
在
外，
椭圆
的切
，切点
为椭圆
线
为
，
极
切点弦
则
线为
；
②极点
在
上，
点
椭圆
过
作
的切
椭圆
线，
极
切
则
线为
线
；
③极点
在
内，
点
椭圆
过
作
的弦
椭圆
，分别过
作
切
，
切
交点
迹
极
椭圆
线
则
线
轨
为
线
；
注：极点极
的相关
在高考中不能直接使用，需要在解
程中利用常
方法
行推
和
明．在运用极
线
结论
题过
规
进
导
证
点极
解
，要确保
基本概念和性
的准确理解和运用，避免因概念不清或
运用性
致解
．
线
题时
对
质
错误
质导
题错误
高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下
(1) 圆 ①极点
关于圆
的极
方程是：
线
；
②极点
关于圆
的极
方程是：
线
；
③极点
关于圆
的极
方程是：
线
．
(2) 椭圆 极点
关于椭圆
的极
方程是：
线
．
(3) 双曲线 极点
关于双曲线
的极
方程是：
线
．
(4) 抛物线 极点
关于抛物线
的极
方程是：
线
．
4.极点极线的几何意义
(1)
若极点P 在二次曲
上，
极
是
点
线
则
线
过
P 的切
方程．
线
(2)
若极点P 在二次曲
外部，极
在二次曲
内的部分是点
线
线
线
P
二次曲
的切点弦
对
线
AB；
(3) 若极点P 在二次曲
内部，
极
是
点
线
则
线
过
P 的弦两端端点的切
交点的
迹．如
所示，
点
线
轨
图
过
P 的弦
AB、CD 的两端端点作切
，得到的直
线
线MN 即
点
为
P
的
对应
极线．
知识点四：抛物线的光学性质
P
A
B
x
O
y
P
B
A
M
x
y
O
N
C
D
P
x
O
y
如
所示
图
, 从抛物
的焦点
线
F
出的光
发
线, 被抛物
反射后
线
, 得到的是一系列的与抛物
称
平行
线对
轴
(或
重合) 的光线;
如
所示
图
,
抛物
在
设
线
P
的切
处
线l 交
称
于点
对
轴
Q , PM ⊥ 上切
线l 交
称
于点
对
轴
M,
焦点
则
F
是 QM 的中点.
题型01：硬解定理在抛物线中的应用
【典型例题】如
，
抛物
方程
图设
线
为x2=2py(p＞0),M
直
为
线y=-2p 上任意一点，过M 引抛物
的切
，切点
线
线
分别为A，B.
（Ⅰ）求
：
证A，M，B 三点的横坐
成等差数列；
标
（Ⅱ）已知当M 点的坐
（
标为2，-2p）
，
时
，求此
抛物
的方程；
时
线
（Ⅲ）是否存在点M，使得点C 关于直线AB 的
称点
对
D 在抛物线
上，其中，点C
足
满
（O
坐
原点）
为
标
.若存在，求出所有适合
意的点
题
M 的坐
；若不存在，
明理由
标
请说
.
（1）
明
解析（
证
见
2）抛物
方程
线
为
或
⑶
存在一点
仅
M(0，-2p)适合
意
题
【
解】（Ⅰ）
明：由
意
详
证
题
设
由
得
，则
所以
因此直线MA 的方程为
直线MB 的方程为
所以
①
②
由①、②得
因此
，即
所以A、M、B 三点的横坐
成等差数列
标
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2
， 将其代入①、②并整理得：
时
所以 x1、x2是方程
的两根，
因此
又
所以
由弦
公式得
长
又
，所以p=1 或p=2，
因此所求抛物
方程
线
为
或
（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由
意得
题
C(x1+ x2, y1+ y2),
则CD 的中点坐标为
直
设
线AB 的方程为
由点Q 在直线AB 上，并注意到点
也在直线AB 上，
代入得
若D（x3,y3）在抛物
上，
线
则
因此 x3=0 或x3=2x0.
即D(0，0)或
（1）当x0=0
，
时则
，此
，点
时
M(0,-2p)适合
意
题
.
（2）当
，
于
对
D(0，0)，此时
又
AB⊥CD，所以
即
矛盾.
于
对
因为
此
直
时
线CD 平行于y
，
轴
又
所以 直线AB 与直线CD 不垂直，与
矛盾，
题设
所以
，不存在符合
意的
时
题
M 点.
上所述，
存在一点
综
仅
M(0，-2p)适合
意
题
【变式训练1-1】在平面直角坐
系
标
中，已知点
、
，点
的
迹
轨
为
.
（1）求
的方程；
（2）
点
设
在直线
上，过
的两条直
分
交
线
别
于
、
两点和
，
两点，且
，求直
线
的斜率与直线
的斜率之和.
【答案】（1）
；（2）.
【分析】(1) 利用双曲
的定
可知
迹
线
义
轨
是以点
、
左、右焦点双曲
的右支，求出
为
线
、
的
，即可得出
值
迹
轨
的方程；
(2)方法一：
出点的坐
和直
方程，
立直
方程与曲
设
标
线
联
线
线C 的方程，
合
达定理求得直
的斜率，最后化
结
韦
线
算可得
简计
的值.
【
解】
详
(1) 因为
，
所以，
迹
轨
是以点
、
左、右焦点的双曲
的右支，
为
线
迹
设轨
的方程为
，则
，可得
，
，
所以，
迹
轨
的方程为
.
（2）[方法一] 【最
解】：直
方程与双曲
方程
立
优
线
线
联
如
所示，
图
设
,
直
设
线
的方程为
．
立
联
,
化
得
简
.
则
．
故
．
则
．
设
的方程为
，同理
．
因为
，所以
，
化
得
简
，
所以
，即
．
因为
，所以
．
[方法二] ：参数方程法
设
．
直
设
线
的
斜角
倾
为
，
其参数方程
则
为
，
立直
方程与曲
联
线
线C 的方程
，
可得
，
整理得
．
设
，
由根与系数的关系得
．
直
设
线
的
斜角
倾
为
，
，
同理可得
由
，得
．
因为
，所以
．
由
意分析知
题
．所以
，
故直线
的斜率与直线
的斜率之和为0．
[方法三]：利用
定理
圆幂
因为
，由
定理知
圆幂
A，B，P，Q 四点共
．
圆
设
,直线
的方程为
，
直线
的方程为
,
二次曲
则
线
．
又由
，得过A，B，P，Q 四点的二次曲
系方程
：
线
为
，
整理可得：
，
其中
．
由于A，B，P，Q 四点共
，
圆则xy
的系数
项
为0，即
.
【整体点
】
评(2)方法一：直
方程与二次曲
的方程
立，
合
达定理
理
曲
是最
典的方法，它
线
线
联
结
韦
处
圆锥
线问题
经
体
了解析几何的特征，是
的通性通法，也是最
解；
现
该题
优
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意
，要求解
程中
参数有深刻的理解，并能
灵活的
义
题过
对
够
应
用到
目中
题
.
方法三：
定理的
用更多的提
了几何的思想，二次曲
系的
用使得
算更
圆幂
应
现
线
应
计
为简单.
【变式训练1-2】抛物线C 的
点
坐
原点
顶
为
标
O．焦点在x
上，直
轴
线l：
交C 于P，Q 两点，且
．
已知点
，且
与l 相切．
（1）求C，
的方程；
（2）设
是C 上的三个点，直线
，
均与
相切．判断直线
与
的位置关系，并
明
说
理由．
【答案】（1）抛物线
，
方程为
；（2）相切，理由
解析
见
【分析】（1）根据已知抛物
与
线
相交，可得出抛物
开口向右，
出
准方程，再利用
称性
出
线
设
标
对
设
坐标，
由
，即可求出
；由圆
与直线
相切，求出半径，即可得出
；
结论
（2）方法一：先考虑
斜率不存在，根据
称性，即可得出
；若
对
结论
斜率存在，由
三
点在抛物
上，将直
线
线
斜率分
用
坐
表示，再由
别
纵
标
与圆
相切，得出
与
的关系，最后求出
点到直线
的距离，即可得出结论.
【
解】（
详
1）依
意
抛物
题
设
线
，
，
所以抛物线
的方程为
，
与
相切，所以半径为，
所以
的方程为
；
（2）[方法一]：设
若
斜率不存在，则
方程为
或
，
若
方程为
，根据
称性不妨
对
设
，
则过
与圆
相切的另一条直
方程
线
为
，
此
直
与抛物
只有一个交点，即不存在
时该
线
线
，不合
意；
题
若
方程为
，根据
称性不妨
对
设
则过
与圆
相切的直线
为
，
又
，
，此
直
时
线
关于
称，
轴对
所以直线
与圆
相切；
若直线
斜率均存在，
则
，
所以直线
方程为
，
整理得
，
同理直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
与圆
相切，
整理得
，
与圆
相切，同理
所以
方程
为
的两根，
，
到直线
的距离
：
为
，
所以直线
与圆
相切；
上若直
综
线
与圆
相切，
直
则
线
与圆
相切.
[方法二]【最
解】：
优
设
．
当
，同解法
时
1．
当
，直
时
线
的方程为
，即
．
由直线
与
相切得
，化
得
简
，
同理，由直线
与
相切得
．
因
方程
为
同
点
时经过
，所以
的直
方程
线
为
，
点M 到直线
距离为
．
所以直线
与
相切．
上所述，若直
综
线
与
相切，
直
则
线
与
相切．
【整体点
】第二
关
点：
抛物
上的两点直
斜率只需用其
坐
（或横坐
）表示，将
化
只与
评
问
键
过
线
线
纵
标
标
问题转
为
纵
坐
（或横坐
）有关；法一是要充分利用
标
标
的
称性，抽象出
对
与
关系，把
的关系
化
用
转
为
表示，法二是利用相切等条件得到
的直
方程
线
为
，利用点到直线
距离
行
明，方法二更
，开拓学生思路
进
证
为简单
题型02：抛物线的定比点差法
【典型例题1】在平面直角坐
系
标
xOy中，F是抛物线C : x
2=2 py ( p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一
象限内的任意一点，过M , F ,O三点的
的
心
圆
圆
为N，点N到抛物线C的准
的距离
线
为3
4
.
（1）求抛物线C的方程；
（2）当
点
过
P(4,1)的
直
动
线l与抛物线C相交于不同点
，在
段
时
线
AB上取点Q，
足
满
|⃗AP|⋅|⃗QB|=|⃗AQ|⋅|⃗PB|，
明：点
证
Q
在某定直
上
总
线
.
【答案】（1）x
2=2 y（2）
在定直
总
线y = 4 x−1上.
【分析】
【
解】（
详
1）过M , F ,O三点的
的
心
圆
圆
为N,
心
则圆
N在OF的中垂
上，
线
则y N = p
4
，又点N到抛物线C的准
的距离
线
为p
4 + p
2
所以p
4 + p
2 = 3
4
，则p=1
所以抛物
的方程
线
为x
2=2 y.
（2）设Q (x , y), A(x1, y1),B(x2, y2)，记λ= AP
PB = AQ
QB , λ>0.
则⃗AP =−λ⃗PB ,⃗AQ = λ⃗QB，∴x1−λ x2
1−λ
= 4 , y1−λ y2
1−λ
=1, x1+ λ x2
1+ λ
= x , y1+ λ y2
1+ λ
= y，
立可得，
联
x1
2−λ
2 x2
2
1−λ
2
= 4 x , 2 y1−2 λ
2 y2
1−λ
2
=1+ y
又x1
2=2 y1, x2
2=2 y2，代入得2 y1−2 λ
2 y2
1−λ
2
= 4 x，
所以
在定直
总
线y = 4 x−1上.
【变式训练2-1】已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，O
坐
原点。
点
为
标
过
F 的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点.
(1)若直线l 与圆O: x
2+ y
2= 1
9
相切，求直线i的方程；
(2)若直线l 与y
的交点
轴
为D，且⃗DA = λ⃗AF，⃗DB = μ⃗BF，
探究：
试
λ+ μ是否
定
？若
定
，求出
定
为
值
为
值
该
值；
若不
定
，
明理由
为
值试说
.
【解析】
(1)由抛物
的方程可得焦点
线
F（1,0），
然直
显
线l 的斜率不为0，
直
设
线l 的方程为x =my +1.
立：
联
整理得：
则
，整理得：
解得
，所以直线
的方程
：
为
(2)抛物线中λ+ μ定值推导
因为
，
，令
，
.
根据定比分点公式：
由于
均在抛物线
上，代入得：
化
得：
简
两式相减并因式分解：
因为λ≠μ，所以λ+ μ=−1.
【变式训练2-2】
点
过
4,1
P
的
直
动
线l 与抛物线C：x
2=2 y相交于两不同点
,
A B ，在
段
线
AB 上取点Q ，
足
满|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，
明：点
证
Q
在某定直
上．
总
线
【答案】点Q
在某定直
总
线4 x−y −1=0上．
【分析】由于
段成比例，因此考
比
：
线
虑设
值λ = AP
PB = AQ
QB , λ>0，
合
形有
结
图⃑
AP =−λ⃑PB ,⃑AQ = λ⃑QB ，利
用
向
量
坐
关
系
可
得
：
标
设
Q (x , y), A(x1, y1),B(x2, y2)，
x1−λ x2
1−λ
= 4 , y1−λ y2
1−λ
=1, x1+ λ x2
1+ λ
= x , y1+ λ y2
1+ λ
= y，由于A ,B在抛物
上，所以
线
x1
2=2 y1, x2
2=2 y2，
因此等价
形得
变
x1
2−λ
2 x2
2
1−λ
2
= 4 x , 2 y1−2 λ
2 y2
1−λ
2
=1+ y，即y = 4 x−1
解法一：设Q (x , y), A(x1, y1),B(x2, y2)，记λ = AP
PB = AQ
QB , λ>0.
则⃑AP =−λ⃑PB ,⃑AQ = λ⃑QB ，∴x1−λ x2
1−λ
= 4 , y1−λ y2
1−λ
=1, x1+ λ x2
1+ λ
= x , y1+ λ y2
1+ λ
= y，
立可得，
联
x1
2−λ
2 x2
2
1−λ
2
= 4 x , 2 y1−2 λ
2 y2
1−λ
2
=1+ y
又x1
2=2 y1, x2
2=2 y2，代入得2 y1−2 λ
2 y2
1−λ
2
= 4 x，∴y = 4 x−1
∴点Q
在某定直
总
线4 x−y −1=0上．
解法二：
比下
方法
类
题
点
过
P(0,4)的
直
动
线l与抛物线C: y
2=8 x交于A，B两点，在
段
线
AB上取点D，
足
满⃑
PA = λ⃑PB，⃑
AD = λ⃑DB，
明：点
证
D
在定直
上
总
线
.
【答案】点D在定直线y = x上.
【分析】
直
设
线l的方程为x =m( y −4)，
立直
联
线l的方程和抛物
方程，化
写出根与系数关系
线
简
.利用向量的坐
运算建立
标
D (x , y)中x , y的关系式，由此求得D点所在定直
方程
线
.
明：
证
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，D (x , y)，
直线l的方程为x =m( y −4).
由¿得y
2−8my +32m=0，
y1+ y2=8m，y1 y2=32m.
由⃑PA = λ⃑PB，⃑AD = λ⃑DB，得y1−4 = λ( y2−4)，y −y1= λ( y2−y)，
故y1−4
y2−4 = y −y1
y2−y = λ，化
得
简
y = 2 y1 y2−4( y1+ y2)
y1+ y2−8
= 4 m
m−1
.
又x =m( y −4)，故y =
4(
x
y −4)
x
y −4 −1
，
化
得
简
xy −y
2+ 4 y −4 x =0，即(x−y)( y −4)=0，则y = x或y = 4.
当点D在定直线y = 4上
，直
时
线l与抛物线C只有一个交点，与
意不符
题
.
故点D在定直线y = x上.
【变式训练2-3】
抛物
设
线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，
点
过
P(0,4)的
直
动
线l 与抛物线C 交于A,B 两点，
当F 在l 上
，直
时
线l 的斜率为.-2
(1)求抛物
的方程；
线
(2)在
段
线
AB 上取点D，
足
满⃗
PA = λ⃗PB，⃗AD = λ⃗DB，
明：点
证
D
在定直
上
总
线
.
【解析】
(1)由焦点F(
p
2 ,0)，直
斜率
线
为
4−0
0−p
2
=−2，解得p= 4，故抛物
方程
：
线
为
(2)设
，
，
，则P(
x1−λ x2
1−λ
, y1−λ y2
1−λ ).
⃗
AD = λ⃗DB，则D(
x1+ λ x2
1+ λ
, y1+ λ y2
1+ λ ).
立：
联
得：
即：
化
得：
简
有：
则
即：
故点D
在定直
总
线γ = x上.
【变式训练2-4】已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)焦点为F，点D(p,0)。
焦点
过
F 做直线l 交抛物
于
线
M,N 两点，
且MD⊥x
，
轴时| MF |=3.
(1)求抛物
方程；
线
(2)若直线MD,ND 与抛物
的另一个交点分
线
别为A,B。若直线MN,AB 的
斜角
倾
为α , β，当α −β最大
，
时AB 的
方程.
【解析】
(1)当
，
轴时
。
由
，解得
。
抛物
方程：
线
(2)设
，
，由定比点差法得：
同理设
，
，得：
由
三点共
，得
线
.
算斜率：
计
得
，即
.
令
，
，则
.
当且
当
仅
取等号
时
.
代入斜率关系得❑√λ−❑√μ=1，
合
结
λμ= 1
4
解得λ =2+ ❑√3，μ=2−❑√3.
直线AB 方程：y( y A+ yB)= 4 x + y A yB
代入y A+ yB= 4 ❑√2，y A yB=−8，化
得：
简
x−❑√2 y −4 =0
当α = β =90
∘
，
时α −β =0舍去.
【变式训练2-5】已知抛物线E: y
2=2 px ( p>0)焦点为F，准线为l，P(x0,2❑√3)为E 上一点，
，垂足
为M，且∠MPF =60°.
(1)求E 的
准方程；
标
(2)
点
过
Q (a,0)（其中a<0）且斜率为k 的直
与
线
E 交于A(x1, y1)，B(x2, y2)两点，C，D 是E 上的两点（异于
A，B），且
足
满⃗
AF = λ⃗FC，⃗BF = μ⃗FD.
（i）
明：
证
λ = x1，μ= x2；
（ii）是否存在k 和a，使得|AF|
|BF|=|DF|
|CF|
?若存在，求k 和a 的所有取
；若不存在，
明理由
值
请说
.
【答案】(1)y
2= 4 x
(2)（i）
明
解析；（
证
见
ii）存在，k ∈(−1,0)∪(0,1)， a=−1
【分析】（1）利用抛物
的定
可得
线
义
△MPF是等
三角形，
而根据定
求
边
进
义
p；
（2）（i）利用
焦点的直
与抛物
的两交点的
坐
之
定
过
线
线
纵
标
积为
值y3 y1=−4，再
合向量的坐
运算，即得到
结
标
明；
证
（ii）利用直
与抛物
的两交点的横坐
之
定
线
线
标
积为
值x1 x2=a
2，再把
段
度
化
坐
，来
行化
线
长
问题转
为
标问题
进
求解可得
简
a=−1，再利用判
式可得
别
k的范围.
【
解】（
详
1）
接
连
MF，过F作FN ⊥MP,根据抛物
的定
可知，
线
义
|PM|=|PF|，又因为∠MPF =60°，
所以△MPF是等
三角形，由
边
P(x0,2❑√3)，可知等边△MPF的高为2❑√3，
可知|PM|=|PF|= 4，根据抛物
方程
线
E: y
2=2 px ( p>0)，
可知准线为x =−p
2 ，焦点为(
p
2 ，0)，所以p=|MN|=2，
故抛物
方程
线
为y
2= 4 x；
（2）
（i）由A(x1, y1)，B(x2, y2)，F (1,0)，可设C (x3, y3)，则⃗AF =(1−x1,−y1),⃗FC =(x3−1, y3),
因为⃗AF = λ⃗FC，所以(1−x1,−y1)= λ(x3−1, y3),即λ =−y1
y3
，
又因为⃗AF //⃗FC，可得(1−x1) y3+(x3−1) y1=0，
再因为x1= y1
2
4 , x3= y3
2
4
，代入上式可得(1−y1
2
4 ) y3+(
y3
2
4 −1) y1=0，
整理得：( y3−y1)( y3 y1+ 4)=0，由于y3≠y1，所以y3 y1=−4，
由
则
λ=−y1
y3
=−
y1
2
y1 y3
=−y1
2
−4 = y1
2
4 = x1，即λ = x1，
同理可
明
证
μ= x2；
（ii）根据
意可知直
题
线AB的斜率
然存在且不
显
为0，可设AB方程为y =k (x−a)，
与抛物线y
2= 4 x
立方程
，消
联
组
y得：k
2 x
2−2(ak
2+2) x +a
2k
2=0，
因
有两个交点
，所以
为
为
Δ= 4(ak
2+2)
2−4 k
2⋅a
2k
2>0⇒ak
2+1>0
由
达定理得：
韦
x1 x2=a
2，
分析|AF|
|BF|=|DF|
|CF|
的充要条件：
由⃗AF = λ⃗FC得，|⃗AF|= λ|⃗FC|，即|⃗FC|=|⃗AF|
λ
，同理|⃗FD|=|⃗BF|
μ
，
代入可得：μ|⃗AF|
2= λ|⃗BF|
2，
再由抛物
的定
可得：
线
义
|⃗AF|= x1+1，|⃗BF|= x2+1，
合
结
λ = x1， μ= x2，可得x2(x1+1)
2= x1(x2+1)
2，
整理得：(x1−x2)(x1 x2−1)=0，又因为x1≠x2，所以
，
又因为x1 x2=a
2，所以a
2=1，又因为a<0，所以a=−1，
代入ak
2+1>0，得−1<k <1，由于k ≠0，
所以当k的取
范
值
围为(−1,0)∪(0,1)，且a=−1
，有
时
|AF|
|BF|=|DF|
|CF|
.
题型03:抛物线的极点极线
【典型例题】
点
过
的直
与抛物
线
线
交于
两点.抛物线
在点A
的切
与
处
线
直线
交于点
，
点
过
N 作
交
于点
，
明以下
证
结论
（1）直线
与抛物线
有1 个公共点；
（2）直线
恒
定点
过
；
（3）点
的
迹方程是
轨
；
【
解】
详
（1）由于点
的极线为直线
，点
为直线
上一点，
且直线
与抛物
相切，
点
线
则过
的直线
点
为
的极
方程，
线
直
则
线
切点弦，故点
为
切点。
为
则直线
与抛物线
有1 个公共点。
（2）
点
设
，
直
则
线
方程
：
为
，即
，
则
；又
，且
，
直
则
线
，
，
故
三点共
，
线则直线
恒
定点
过
；
（3）
，即
，则点
以
为
直径的
，
圆
迹方程是
轨
；
【变式训练3-1】已知抛物线
的焦点为
，过
的直线交
于
两点，过
另一条直
交
线
于
两点，其中
在
上方，
轴
设
直
为
线
与直线
的交点，
明
证
G 在定直
上
线
．
【答案】
【
解】
详
由
、
、
、
，
则
，由
、
，
故
，
同理可得
，
立两直
，即
联
线
，
有
，
即
，
有
，由
，同理
，
故
，
故
，
【变式训练3-2】已知F
抛物
为
线
的焦点，直线
与C 交于A，B 两点且
.
（1）求C 的方程.
（2）若直线
与C 交于M，N 两点，且
与
相交于点T，
明：点
证
T 在定直
上
线
.
【答案】（1）
；（2）
明
解析．
证
见
【分析】
（1）解：设
，
，直
方程与抛物
方程
立方程
消去
线
线
联
组
后
用
达定理得
应
韦
，利用
焦半径公式及
达定理的
果可求得
韦
结
得抛物
方程；
线
（2）设
，
，
，把
两点坐
代入抛物
方程相减
标
线
琍
，同理可得
，然后求得交点
的横坐
常数即
（由
标为
证
．
化
坐
表示后相加即可
为
标
得）．
【
解】
详
（1）解：设
，
，由
，得
，
则
，
从而
，
解得
，故
的方程为
.
（2）
明：
证
设
，
，
，
.
因为
，所以
.
根据
得
，则
，
同理得
.
又
两式相加得
，
即
，由于
，所以
.
故点
在定直线
上.
【点睛】
方法点睛：本
考
直
与抛物
相交求抛物
的方程，点在定直
上等
，解
方法一是
用
达定理得
题
查
线
线
线
线
问题
题
应
韦
出交点的坐
之和，利用焦半径公式求解，二是把交点坐
代入抛物
方程相减同弦中点坐
与弦所在直
标
标
线
标
线
斜率之
的关系．
间
题型04：抛物线中的切线方程和切点弦方程
【典型例题1】
抛物
过
线
上一点
的抛物
的切
方程
线
线
为 .
【答案】
【分析】解法一：
切
方程
设
线
为
，
立切
方程与抛物
方程，由
联
线
线
，得
，
切
方程可
则
线
求.
解法二：利用
数的几何意
直接可求切
斜率，再由点斜式方程求得答案
导
义
线
.
【
解】解法一：由
意，切
方程一定存在，
切
方程
详
题
线
设
线
为
．
由
⇒
⇒
，
由
，得
，
∴
.
故切
方程
线
为
，即
.
故答案
：
为
.
解法二：由
得
，∴
.
∴
.
∴切
方程
线
为
，即
.
故答案
：
为
.
【典型例题2】
点
过
作抛物线
的切
，切点分
线
别记为
，
直
则
线
的方程为 ．
【答案】
【分析】
切点
设
，
，利用
数求出点
导
的切
斜率
合点斜式得切
处
线
结
线
方程，再结
合切
所
的点和切点在抛物
化
得
线
过
线
简
，同理点B 得解.
【
解】
切点
详
设
，
，由
得
，求
得
导
，
则
上切点
的切
斜率
处
线
，
所以在点
的切
方程
处
线
为
，
因
切
点
为
线过
，所以
，
合
结
，化
得
简
，
同理可得
，
故点
，
均在直线
上，
所以直线
的方程为
.
故答案
：
为
.
【典型例题3】已知点
是抛物线
：
上的一点.
(1)若点
横坐标为4，求抛物线
在点
的切
方程；
处
线
(2)
点
过
作圆
：
的两条切
，交抛物
的准
于
线
线
线
、
两点.
①若
，求点
坐
；
纵
标
②求
面
的最小
积
值.
【答案】(1)
(2)①2；②
【分析】（1）将抛物
化
二次函数，
合
数的意
求切
斜率，从而得到切
方程；
线转
为
结
导
义
线
线
（2）①利用切
定理表示
线长
的周
，
合内切
半径公式和三角形面
公式均可得到
长结
圆
积
的面
，
积
从而得到点
坐
；
纵
标
②利用三角形面
公式可将
积
的面
表示
积
为
的式子，通
元和均
不等式得到面
的最小
过换
值
积
值.
【
解】（
详
1）
的横坐标为4，
，
又
，求得
，
抛物
在
线
的切
斜率
处
线
为
，
切
方程
线
为
，
即
.
（2）设
与圆
相切于点
，
与圆
相切于点
，
与圆
相切于点
，由切
相等可得：
线长
，
，
，
周长为
，
，
设
，由
意
题
设
，（
在
左
，由
称性可知三角形面
相同），
轴
侧时
对
积
，
，
，
①由
，则
，
解得
，所以点
的
坐
纵
标为2.
②
，
令
，则
，
，
，
当且
当
仅
，即
，
时
面
最小
积
值为
.
【点睛】关
点点睛：解
关
在于利用切
定理表示
键
题
键
线长
的周
，
而利用三角形内切
半径公式表示
长进
圆
的面积.
【变式训练4-1】抛物线
中，以
切点的切
方程
为
线
为
【答案】
【分析】先
抛物
方程求
，得到切
的斜率，再利用点斜式方程求出切
方程
对
线
导
线
线
.
【
解】已知抛物
方程
详
线
，将其
形
变
为
.
因
点
为
在抛物
上，所以在点
线
切
的斜率可
处
线
对
求
完成
导
.
，切
点
线过
，
斜率
则
.
根据点斜式方程
可得切
方程
线
为
，即
.
故答案
：
为
.
【变式训练4-2】抛物线
在
的切
方程
处
线
为 ．
【答案】
【分析】
出切
，
立抛物
与切
消
设
线联
线
线
x 得一元二次方程，由
解出参数即可得切
方程
线
.
【
解】
切
详
设
线为
，
立抛物
与切
消
联
线
线
x 得
，由
得
，故切线为
.
故答案
：
为
.
【变式训练4-3】已知抛物线C：
点
过
.
(1)求
点
过
M 的抛物线C 的切
方程；
线
(2)若A，B 是抛物线C 上异于M 的两点
直
记
线MA，MB 的斜分别为
，
且
，求点M 到直线AB 距
离的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：将点的坐
代入抛物
方程求得
标
线
，
出切
方程，与抛物
方程
立，利用判
式法
设
线
线
联
别
求得切
斜率，代入点斜式方程即可求解；解法二：将点的坐
代入抛物
方程求得
线
标
线
，利用
数法求得切
导
斜率，代入点斜式方程即可求解；
线
（2）设
，
，利用
得
，
直
设
线AB 的方程为
，与
抛物
立，利用
达定理代入得
线联
韦
，从而求得直线AB
定点
过
，易知当
，点
时
M 到直线AB 的距离最大，利用两点
的距离公式求解即可
间
.
【
解】（
详
1）将M 的坐
代入抛物
标
线C 的方程中，得
，故抛物线C 的
准方程
标
为
.
解法一 ：由
意知
点
题
过
M 的抛物
的切
的斜率一定存在且不
线
线
为0，
点
设过
M 的抛物
的切
方程
线
线
为
，
将其代入
，得
，
由
，得
，
故
点
过
M 的抛物线C 的切
方程
线
为
.
解法二 ：当
，由
时
得
，而
，
所以
点
过
M（1，2）的抛物线C 的切
的斜率
线
为1，
故
点
过
M 的抛物线C 的切
方程
线
为
，即
；
（2）设
，
，则
，同理
，
故
，化
得
简
.
易知直线AB 的斜率不为0，
可
直
则
设
线AB 的方程为
，
将其代入
，得
，所以
，
，
所以
，即
，
直线AB 的方程为
，直线AB
定点
过
.
接
连
MQ，易知当
，点
时
M 到直线AB 的距离最大，
故点M 到直线AB 距离的最大值为
.
【变式训练4-4】如下
所示，
图
过圆
上任意一点
，作抛物线
的两条切线
，
与抛物
相切于点
线
，与
分
交于点
轴
别
，求四
形
边
面
的最大
．
积
值
【答案】
．
【分析】设
，
，
切点弦
则
的方程为
，与抛物
方程
立即可求出
线
联
，
而求出
进
，再求切
方程即可求出
线
，化
求出四
形
简
边
的面
，最后
合
积
结
的范
求
围
一元二次函数的最
即可
值
.
【
解】
点
详
设
，
，
切点弦
则
的方程为
，
设
，
立
联
，得
，
从而
，
则
，
点
到直线
的距离为
，
则
，
由
，得
，则
，
直
则
线
，
则
，同理可得，
，
故
，
故四
形
边
的面积为
，
当
，
时
，
，
当且
当
仅
，两个等号同
成立，
时
时
故四
形
边
的最大值为
．
【变式训练4-5】直线
抛物
过
线
的焦点
，与
交于
两点，当
段
线
中点的
坐
纵
标为2
，
时
．
(1)求
；
(2)
明：直
证
线
的斜率之
定
，并求出
定
；
积为
值
该
值
(3)设
在点
的切
处
线
相交于
点，若
，求
的面
．
积
【答案】(1)
(2)
明
解析
证
见
(3)
【分析】（1）设
，
，根据中点坐
公式可得
标
，利用抛物
的定
求焦点弦，列式求解
线
义
即可；
（2）易知直线斜率必存在，设为
，
立抛物
方程，利用
达定理，
合两点式斜率公式即可
明；
联
线
韦
结
证
（3）利用焦半径公式及（2）的
达定理求出点
韦
的坐
，利用焦半径求出
标
，利用
数法求得在点
导
处
的切线
方程，利用点到直
的距离求出
线
的高，即可求解面积.
【
解】（
详
1）设
，
，
段
线
中点设为
，则
，
由
意，抛物
题
线
的焦点为
，
根据抛物
的定
得
线
义
，所以
；
（2）当直线斜率不存在
，
时
，与抛物
只有一个交点，不符合
意
线
题
.
所以直线斜率必存在，设为
，
与抛物
立得：
线联
，所以
，得
，
所以直线
的斜率之积为
，所以直线
的斜率之
定
，
定
积为
值该
值为
；
（3）由（1）知
，
，由
意
题
，所以
，
所以
或
，当
，
时
，此时
，
，由
得
，
所以
点
过
A 的切
方程
线
为
，即
，
点
过
B 的切
方程
线
为
，即
，
立
联
得
，
又的斜率
，即
，即
，
所以
到的距离
，因为
，
所以
的面积为
；
当
，
时
，
此时
，
，由
得
，
所以
点
过
A 的切
方程
线
为
，即
，
点
过
B 的切
方程
线
为
，即
，
立
联
得
，
又的斜率
，即
，即
，
所以
到的距离
，因为
，
所以
的面积为
；
上，
综
的面积为
【变式训练4-6】如
，已知抛物
图
线
：
与点
，
点
过
作
的两条切
，切点分
线
别为
，
．
(1)若
，求切线
的方程；
(2)若
，求
：直
证
线
恒
定点．
过
【答案】(1)
(2)
明
解
证
见详
【分析】（1）由
意
切
题
设
线
：
，
立抛物
方程可得关于
联
线
y 的一元二次方程，由
求出k
即可求解；
（2）易知直线PA 斜率不存在求得直线
，恒
定点
过
；当直线PA 斜率存在
，
时设
，
，切线
：
，
立抛物
方程得关于
联
线
y 的一元二次方程，由
求出k，则PA：
，同理可得
：
，
合
意可得
结
题
：
，根据直
恒
定点
，
线
过
问题
即可
明
证
.
【
解】（
详
1）
然切
显
线
的斜率存在且不为0，
切
设
线
：
，
代入
，得
，
由
，解得
所以直线
的方程为
，即
．
（2）若直线PA 的斜率存在，设
，
，
：
，
代入
，得
由
，解得
．
所以直线
的方程为
，即
同理直线
的方程为
因为
在直线
和
上，
所以
，
可得点
，
在直线
上，
所以直线
的方程为
，因为
，
所以
，
直
则
线
的方程为
，
由
，得
，故直线
定点
过
.
若直线PA 的斜率不存在，则
，
直
设
线
，
代入
，得
，由
，解得
，
此时
，解得
，得
，
即
，所以
，恒
定点
过
；
上：直
综
线
定点
过
.
【变式训练4-7】已知抛物线
：
的焦点为
，直线l 与抛物线
交于A，B 两点，且
段
为线
AB 的中点．
(1)求抛物线
的
准方程；
标
(2)求直线l 的方程；
(3)
点
过
作抛物线
的两条切
，分
交
线
别
l 于C，D 两点，求
面
的最小
积
值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物
的焦点坐
求得
线
标
，即可求解；
（2）根据点差法，
合斜率公式即可求解直
的斜率，
而可判断直
焦点，由焦点弦公式即可求解；
结
线
进
线过
（3）
抛物
的切
方程
设设
线
线
为
，
立直
与抛物
得交点坐
关系，
联
线
线
标
设
的方程为
，
立
联
，求出
、
，
而求得
进
，利用点到直
的距离公式求出
线
点到
直线线的距离，根据三角形面
公式列关系利用
数求出最
即可
积
导
值
.
【
解】（
详
1）因
抛物
为
线
：
的焦点为
，
所以
，
所以抛物线
.
（2）由
易知直
题
线
的斜率存在．设
，则
可得
．
因
段
为线
的中点为
，所以
，
所以
，则
的方程为
，即
．
（3）
抛物
的切
方程
设
线
线
为
，
，即
，由
，可得
，
，设
的方程为
，
立
联
，
，同理
，
，
点到直线线的距离
，所以
，
令
，
因为
，则
，
，
，
当
，
时
，
减，当
单调递
，
时
，
增，
单调递
所以
，此时
.
【变式训练4-8】已知抛物线
．
(1)若直线与抛物线
交于
、
两点，
的中点为
，求直线的方程；
(2)求
点
过
的抛物线
的切
方程．
线
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）设
，
，
直
设
线的方程为
，代入抛物
方程，
用
达定理，利用中
线
应
韦
点坐
求得参数
得直
方程；
标
值
线
（2）
切
方程
设
线
，代入抛物
方程后由判
式
线
别
为0 求得参数
，得切
方程．
值
线
【
解】（
详
1）当直线的斜率为
，
时
与抛物线
只有一个交点，故不合
意，
题
所以直线的斜率不为0，
直
设
线的方程为
由
，消去
得
则
设
，
，所以
因为
的中点为
，所以
，
所以
，所以直线的方程为
，
即
；
（2）若
点
过
的切
斜率
线
为
，
直
与抛物
相交，所以不合
意，
则该
线
线
题
所以
点
过
的切线设为
由
消去
得
,
有
则
所以
或
，
所以所求切
方程
线
为
或
即
或
【变式训练4-9】已知
段
线
是抛物线
的弦，且
抛物
焦点
过
线
.
(1)
点
过
作直
与抛物
称
平行，交抛物
的准
于点
线
线对
轴
线
线
，求
：
证
三点共线(
坐
原点
为
标
)；
(2)设
是抛物
准
上一点，
线
线
过
作抛物
的切
，切点
线
线
为
.
求
：（
证
i）两切
互相垂直；
线
（ii）直线
定点，
求出
定点坐
过
请
该
标.
【答案】(1)
明
解析
证
见
(2)
明
解析
证
见
.
【分析】（1）由
知抛物
题
线
的焦点
，准线为
，故
直
设
线
的方程
：
为
，
，
而得
进
，再
合
达定理
明
结
韦
证
即可；
（2）(i) 设
，过
作抛物
的切
，斜率
线
线
为
，
方程
则
为
,切线
的切
斜率分
线
别为
，
而
合
达定理即可得
进
结
韦
，
而
明；
进
证
（ii）
合（
结
i）得
，
而得
进
，直线
的方程为
，整理即可
得
，
而得定点坐
进
标.
【
解】（
详
1）解：由
知抛物
题
线
的焦点
，准线为
，
所以，
直
设
线
的方程
：
为
，
所以，
立方程
联
得
，
设
，则
，
因
点
为过
作直
与抛物
称
平行，交抛物
的准
于点
线
线对
轴
线
线
，所以
因为
，故
所以
，
，
所以，
，即
三点共线.
（2）解：（i）设
，
所以，设过
作抛物
的切
，斜率
线
线
为
，
方程
则
为
，
所以，
得
，
所以，
，即
，
切
设
线
的切
斜率分
线
别为
，
则
方程
为
的
数根，
实
所以
，
，
所以，两切
互相垂直
线
.
(ii)由（i）知
，
，
所以，
，即
，
所以
，
所以，
，
所以，直线
的方程为
，
整理得
，即
所以，直线
定点
过
.
【变式训练4-10】已知
点
动
足关系式
满
.
(1)求
点
动
的
迹方程；
轨
(2)
点
设动
的
迹
曲
轨
为
线
，抛物线
的焦点为
，过
上一点
作
的两条切
，切点分
线
别为
，弦
的中点为
，平行于
的直线与
相切于点
.
①
明：
证
三点共
；
线
②当直线与
有两个交点
，求
时
的取
范
值
围.
【答案】(1)
(2)①
明
解析；②
证
见
的取
范
值
围为
.
【分析】（1）由双曲
定
即可求解；
线
义
（2）①由切
方程和
数几何意
依次求出
线
导
义
和
即可得
；
证
②求出直线的方程，与曲线
立，利用判
式
合焦半径公式
联
别
结
即可求解.
【
解】（
详
1）设
，
则
即
，
所以由双曲
定
可知
点
线
义
动
的
迹是以
轨
焦点的双曲
的下支，且
为
线
所以
点
动
的
迹方程
轨
为
.
（2）①
明：由（
证
1）曲线
:
,
，设
，
函数
对
求
得
导
，
所以两切
方程
：
线
为
，即
，
又切
点
线过
P，所以
，
即
足
满
，即
足方程
满
，
所以
，
设
，
由
则
，
所以
，即
三点在直线
上，即
三点共
；
线
②由上得
，所以直线的方程为
即
，
立
联
，
因
直
为
线与
有两个交点，
由
意可知方程有两个不等
根，
则
题
负
所以
，
所以
.
所以
的取
范
值
围为
.
题型05：抛物线中的光学性质
【典型例题1】抛物
有如下光学性
：从抛物
的焦点
线
质
线
F
出的光
，
抛物
反射后，得到的是一系列的
发
线经
线
与抛物
称
平行（或重合）的光
．若一条平行于
线对
轴
线
x
的光
从
轴
线
M(3，1)射出，
抛物
经
线y2=4x 上的点A 反
射后，再
抛物
上的另一点
经
线
B 反射出，
直
则
线AB 的斜率为_______.
【解析】如
，由
干信息，
图
题
A、F、B 三点共
，
线
又
，所以直线
的斜率
.
【答案】
【典型例题2】抛物
有一条重要的光学性
：从焦点出
的光
，
抛物
上的一点反射后，反射光
平
线
质
发
线经过
线
线
行于抛物
的
．已知抛物
线
轴
线C:y2=2px(p>0)，一条光
从点
线
P(4,2)沿平行于x
的方向射出，与抛物
相交于
轴
线
点M，
点
经
M 反射后与C 交于另一点N．若⃗OM ·⃗ON =−3
4
，
△
则
MON 的面
（
积为 ）
A． 5
8
B． 5
4
C． 3
2
D． 5
2
【答案】A
【分析】
出直
设
线
的方程，
立抛物
方程，用
达定理和
联
线
韦
得出
的
和
值
、
的坐
，然
标
后由三角形的面
公式即可求解
积
.
【
解】依
意，由抛物
性
知直
详
题
线
质
线
焦点
过
，
设
，
，直线
的方程为
，
由
，得：
，所以
，
，
则
，又
，所以
，
而
，故
，所以
.
故
：
选A.
【典型例题3】抛物
有如下光学性
：从抛物
的焦点
线
质
线
F
出的光
，
抛物
反射后，得到的是一系列的
发
线经
线
与抛物
称
平行（或重合）的光
线对
轴
线.
有抛物
现
线y2=2px(p>0)，如右
所示，一平行于
图
x
的光
射向抛物
轴
线
线，
两次反射后沿平行于
经
x
的方向射出，若两平行光
的最小距离
轴
线间
为8，则p=_____.
【解析】如
，
图
，设
，
，其中
，
，
入射光
和反射光
所在的直
分
则
线
线
线
别为
，
，由抛物
的光学性
，
线
质
A、F、B 三点共
，所以
线
，化
得：
简
，两平行光
之
的距离
线
间
，
当且
当
仅
取等号，所以
时
d 的最小值为
，由
意，
题
，故
.
【答案】4
【典型例题4】抛物
有一条重要性
：从焦点
出的光
，
抛物
上的一点反射后，反射光
平行于抛
线
质
发
线经过
线
线
物
的
称
，反之，平行于抛物
称
的光
，
抛物
上的一点反射后，反射光
抛物
的焦
线
对
轴
线对
轴
线经过
线
线经过该
线
点．已知抛物线C：
，一条平行于y
的光
，
点
轴
线经过
，射向抛物线C 的B
，
抛物
处经过
线C 的反射，
抛物
经过
线C 的焦点F，若
，
抛物
则
线C 的准
方程是（
线
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据抛物
的定
，即可
化求解
线
义
转
.
【
解】由
意可知，抛物
的准
方程
详
题
线
线
为
，根据抛物
的定
可知，抛物
上的点到焦点的距离和到准
线
义
线
的距离相等，所以
线
，得
，
所以抛物
的准
方程
线
线
为
.
故
：
选B
【变式训练5-1】用于加
水和食物的太阳灶
用了抛物
的光学性
：一束平行于抛物
称
的光
，
热
应
线
质
线对
轴
线经
抛物面（抛物
它的
称
旋
所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一
抛物
称
过
线绕
对
轴
转
过
线对
的平面截抛物面，将所截得的抛物
轴
线C 放在平面直角坐
系中，
称
与
标
对
轴
x
重合，
点与原点重合，如
，
轴
顶
图
若抛物线C 的方程为
，平行于x
的光
从点
轴
线
射出，经过C 上的点A 反射后，再从C 上的另一
点B 射出，则
（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】C
【分析】由
意求出
题
A 点坐
，根据光
反射的性
求出反射光
标
线
质
线
的方程，即可求出B 点坐
，利用两点
标
间
距离公式，即可求得答案.
【
解】由抛物
详
线C 的方程为
，可得其焦点为
，
由于
，故
点
坐
纵
标为4，代入
中，即
，
即
，由
意知反射光
题
线
点
经过
，
则
的方程为
，
立
联
，得
，即得
，
故
，
故
：
选C
【变式训练5-2】抛物
有如下光学性
：
焦点的光
抛物
反射后得到的光
平行于抛物
的
称
；
线
质过
线经
线
线
线
对
轴
反之，抛物
内部平行于抛物
称
的入射光
抛物
反射后必
抛物
的焦点
线
线对
轴
线经
线
过
线
.已知抛物线
的焦点为
，点
是抛物线
上一点，一条光
沿
线
射出，
抛物
经过
线
上的点
（异于
点
）反射，反射光
点
线经过
，若
，
抛物
则
线
的方程
（
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
直
设
线AB 的方程，
立其与抛物
方程求出
联
线
，代入抛物
方程可求出
线
，再运用抛物
焦点弦公式
线
可得
，解方程即可.
【
解】如
所示，
详
图
，设
，
，直线AB 的方程为
，
，
则
，解得：
，
将
代入
得
，
又因为
，
即：
，即：
，
又因为
，
所以
，即：
，
所以抛物
方程
线
为
.
故
：
选B.
【变式训练5-3】抛物
有如下光学性
：
焦点的光
抛物
反射之后得到的光
平行于抛物
的
称
线
质过
线经
线
线
线
对
；反之，平行于抛物
称
的入射光
抛物
反射后必
抛物
的焦点
轴
线对
轴
线经
线
过
线
.已知抛物线
的焦点为
，
一条平行于
的光
从点
轴
线
射出，
抛物
上的点
经过
线
反射后，再
抛物
上的另一点
经
线
射出，则
的周
（
长为 ）
A．
B．
C．13
D．15
【答案】D
【分析】求出点
的坐
，利用抛物
的光学性
，
合三点共
求出点
标
线
质结
线
的坐
即可得解
标
.
【
解】抛物
详
线
的焦点为
，由
，点
轴
，得
，
由抛物
的光学性
，得点
线
质
共
，
线设
，则
，
解得
，点
，于是
，
，
，
所以
的周长为
.
故
：
选D
【变式训练5-4】抛物
有一个重要性
：平行于抛物
称
的光
，
抛物
上的一点反射后，反射光
线
质
线对
轴
线经过
线
抛物
的焦点．
点
线经过
线
过
且平行于
的一条光
射向抛物
轴
线
线
：
上的
点，
反射后
经过
的反射光
与
线
相交于点
，则
（ ）
A．
B．24
C．32
D．
【答案】D
【分析】易得点A 和C 的焦点坐
，从而达到直
标
线AB 的方程，与抛物
方程
立，
合
达定理，利用抛物
线
联
结
韦
线
的定
求解
义
.
【
解】解：由
意得点
详
题
A 的坐标为
，C 的焦点为
，
所以直线AB 的方程为
，
与抛物
方程
线
立，消去
联
y 得
，
由
达定理得
韦
，
所以
，
所以由抛物
的定
得
线
义
．
故
：
选D
【变式训练5-5】抛物
具有一条重要的光学性
：从焦点
出的光
，
抛物
上一点反射后，反射光
线
质
发
线经过
线
线
平行于抛物
的
线
轴.已知从抛物线
的焦点
出的入射光
点
发
线过
，
抛物
上一点反射后
则经过
线
的反射光
所在直
方程
（
线
线
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求解抛物
的焦点坐
，再求解从抛物
线
标
线
的焦点
出的入射光
点
发
线过
的直
方程
线
，
然后求解直
与抛物
的交点，得到反射光
所在直
方程即可
线
线
线
线
.
【
解】抛物
详
线
的焦点
，从抛物线
的焦点
出的入射光
上，
发
线
且
点
过
的直
方程：
线
，
立
联
，可得
，解得
或
，
合已知条件可知反射光
所在直
方程
：
结
线
线
为
.
故
：
选D.
【变式训练5-6】抛物
有如下光学性
：由焦点射出的光
抛物
反射后平行于抛物
的
称
；反之，
线
质
线经
线
线
对
轴
平行于抛物
称
的入射光
抛物
反射后必
抛物
的焦点
线对
轴
线经
线
经过
线
.
有一束光
从抛物
现
线
线
的焦点
射出，
抛物
上一点
经
线
反射后，反射光
所在直
点
线
线经过
，若
，
抛物
的
准方程
（
则该
线
标
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据抛物
的定
求出
线
义
即可得解.
【
解】根据抛物
的光学性
可知
详
线
质
与
平行，
轴
所以由抛物
定
可知
线
义
，
解得
，
所以抛物
的
准方程
线
标
为
，
故
：
选D
【变式训练5-7】抛物
有如下光学性
：
焦点的光
物
反射之后得到的光
平行于抛物
的
称
线
质过
线经拋
线
线
线
对
：反之，平行于抛物
称
的入射光
抛物
反射后必
抛物
的焦点．已知抛物
轴
线对
轴
线经
线
过
线
线
的焦点为
，一条平行于
的光
从点
轴
线
射出，
物
上的点
经过拋
线
反射后，再
抛物
上的另一点
经
线
射出，
则
的周
（
长为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
定条件，求出点
给
的坐
，
而求出直
标进
线
方程，与抛物
方程
立求出点
线
联
的坐
即得
标
.
【
解】抛物
详
线
的焦点为
，准线为
，由点
在抛物
上，
线
则
，
直线
方程
：
为
，即
，
由
，消去
得
，解得
或
，由
，得
，
于是
，
，
而
，
所以
的周长为
.
故
：
选D
【变式训练5-8】抛物
有一条重要性
：从焦点
出的光
，
抛物
上的一点反射后，反射光
平行于
线
质
发
线经过
线
线
抛物
的
．如
，抛物
线
轴
图
线
的焦点为
，由点
出的光
点
发
线经
反射后
点
经过
，若点
在
上，且
，
，
，则
．
【答案】
【分析】由
意可得
题
，
而可得直
进
线
的方程为
，设
，
，与抛物线
方程
立方程可求得
联
，可求得
，
而可得
进
，利用余弦定理可求得
.
【
解】如
，在
详
图
中，
，所以
，
所以
，
又因为
，所以
轴
，因此
，
故直线
的方程为
，
立
联
，得
，
设
，
，则
，由抛物
的定
知
线
义
，
而
，所以
，在
中，
，
，
由余弦定理，得
，
解得
．
故答案
：
为
.
题型06：阿波罗尼斯圆在抛物线中的应用
【典型例题1】古希腊著名数学家阿波
尼斯与欧几里得、阿基米德
名，他
：平面内到两个定点
罗
齐
发现
的距离之比
定
为
值
的点所形成的
形是
图
圆.后来，人
将
个
以他的名字命名，称
阿波
们
这
圆
为
尼斯
，
称阿氏
罗
圆简
圆.已知点
分
是抛物
别
线
和
上的
点，若抛物
动
线
的焦点为
，则
的最小
（
值为 ）
A．6
B．
C．
D．5
【答案】B
【分析】将圆
用阿氏
表示，得到
圆
，将
化
求
问题转
为
最小值问题，
利用二次函数求最
即可得到．
值
【
解】易知抛物
详
线
的焦点
，
不在圆E 上，
将圆
形
：
变
为
即
，
，当且
当
仅
三点共
取等号；
线时
设
，则
，当且
当
仅
取等
时
号；
所以
，故
所以
的最小值为
，
故
：
选B．
【点睛】本
解
的关
是借助
目的背景提示，将
题
题
键
题
圆
用阿氏
表示，分
用几何
圆
别
法和代数法求最
．
值
【典型例题2】已知平面上两定点A、B，
所有
足
则
满
（
且
）的点P 的
迹是一个
心在
轨
圆
直线AB 上，半径为
的
．
个
迹最先由古希腊数学家阿波
尼斯
，故称作阿氏
．已
圆这
轨
罗
发现
圆
知棱长为3 的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上
点
动
P
足
满
，
点
则
P 的
迹
度
轨
长
为 ．
【答案】
【分析】以
原点建立平面直角坐
系
为
标
，
合
意可得点
结
题
在空
内的
迹
以
间
轨
为
球心，半
为
径为2 的球.再根据球的性
求解即可
质
.
【
解】在
详
图1 中，以
原点建立平面直角坐
系
为
标
如图2 所示，
阿氏
心
设
圆圆
为
，半径为，
因为
，所以
，所以
，
设圆
与
交于点
，由阿氏
性
，知
圆
质
，
又
，所以
，
又
，所以
，解得
，所以
，
所以点
在空
内的
迹
以
间
轨
为
球心，半径
为
为2 的球，
当点
在面
内部
，如
时
图2 所示，截面
与
圆
分
交于点
别
，
所以点
在面
内的
迹
轨
为
，
因
在
为
中，
，所以
，
所以
，所以点
在面
内部的
迹
轨
长为
，
同理，点
在面
内部的
迹
轨
长为
，
当点
在面
内部
，如
时
图3 所示，因为
平面
，
所以平面
截球所得小
是以
圆
心，以
为圆
半径的
，
长为
圆
截面
与
圆
分
交于点
别
，且
，
所以点
在面
内的
迹
轨
为
，且
，
上，点
综
的
迹
度
轨
长
为
.
故答案
：
为
.
【点睛】方法点睛：求球与平面公共点
迹
度
先求出平面截球所得
面的半径，当截面
完整的
轨
长
时
圆
为
圆时
可直接求
周
，当截面只是
的一部分
先求
心角的大小再
算弧
圆
长
圆
时
圆
计
长.
【变式训练6-1】（多选）希腊著名数学家阿波
尼斯与欧几里得、阿基米德
名
罗
齐
.他
：“平面内到两
发现
个定点A，B 的距离之比
定
为
值
的点的
迹是
”
轨
圆.后来，人
将
个
以他的名字命名，称
阿
们
这
圆
为
波
尼斯
，
称阿氏
罗
圆简
圆.在平面直角坐
系
标
xOy 中，已知
，
，点P 是
足
满
的阿氏圆
上的任一点，若点Q
抛物
为
线E：
上的
点，
动
Q 在直线
上的射影为H，F
抛物
为
线E 的焦点，
下列
正确的有（
则
选项
）
A．
的最小值为2
B．
的面
最大
积
值为
C．当
最大
，
时
的面积为
D．
的最小值为
【答案】ACD
【分析】A
，由抛物
定
得到
选项
线
义
，数形
合得当
结
三点共线时
取得最小
，得到
值
A 正确；B
，求出点
选项
的
迹
以
轨
为
心，
为圆
3
半径的
，求出
为
圆
到直线
的距离最大
，从而得到面
的最大
；
值
积
值C
，数形
合得到要想
选项
结
取得最大
，
需
值则
最大，当
与
垂直
，
时
取得最大
，并根据
值
求出正
弦
，利用三角形面
公式求出此
值
积
时
的面
，
积D
，由
意及抛物
定
得到
选项
题
线
义
，求出
四点共
，
线时
取得最小
，求出
值
答案.
【
解】
详
A
，抛物
的准
方程
选项
线
线
为
，
，
由抛物
定
可得
线
义
，
则
，
由三角形三
关系可得
边
，
当且
当
仅
三点共
，等号成立，
线时
故
的最小值为
，A 正确；
B
，由
意得，点
选项
题
的
迹方程
轨
为
，
化
得
简
，即以
心，
为圆
3
半径的
，
为
圆
直线
，即
，
心
圆
到直线
的距离为
，
则
到直线
的距离最大值为
，
又
，
故
的面
最大
积
值为
，B
；
错误
C
，
选项
定
，由勾股定理得
为
值
，
且
，
，
要想
取得最大
，
需
值则
最大，
如
所示，当
图
与
垂直且
在
中位置
，
图
时
取得最大
，
值
其中
，故
，
，
，
故当
最大
，
时
，
则
的面积为
，C 正确；
D
，由
意得
选项
题
，
，
，
接
连
，
段
线
与圆
和抛物
的交点分
线
别为
，
即
四点共
，
线时
取得最小
，
值
最小值为
，
故
最小值为
，D 正确.
故
：
选ACD
【点睛】
曲
中最
或范
的常
解法：
圆锥
线
值
围问题
见
（1）几何法，若
目的条件和
能明
体
几何特征和意
，
考
利用几何法来解决；
题
结论
显
现
义则
虑
（2）代数法，若
目的条件和
能体
某种明确的函数关系，
可首先建立目
函数，再求
个函数的
题
结论
现
则
标
这
最
或范
．
值
围
【变式训练6-2】古希腊几何学家阿波
尼斯
明
一个命
：平面内到两定点的距离之比
定
罗
证
过这样
题
为
值
的点的
迹是
，后来，人
将
个
以他的名字命名，称
阿波
尼斯
，
称阿氏
轨
圆
们
这
圆
为
罗
圆简
圆.
已知在平面直角坐
系
标
中，
，
，
点
动
足
满
，
点
则动
的
迹方程
轨
为
；点
抛物
为
线
：
上的
点，点
动
在
上的射影为
，则
的最小值为
.
【答案】
【分析】设
，利用关系
列方程化
可得
迹方程，由
简
轨
，抛物
定
可得
线
义
，根据
两点之
段最短可求最小
结论
间线
值.
【
解】
详
设
所求
迹上任意一点，
为
轨
∵
，
，
点
动
足
满
，
∴
，
∴
，
∴
，
化
可得
点
简
动
的
迹方程
轨
为
；
∵抛物线C：
的焦点
为
，准线为
，
所以
，
∴
，
当且
当
仅
，
，
，
四点共
，等号成立，
线时
∴
的最小值为
故答案
：
为
；
【点睛】关
点点睛：本
第二空解决的关
在于
合条件及抛物
定
将
化
求
键
题
键
结
线
义
问题转
为
的最小值.
【变式训练6-3】希腊著名数学家阿波
尼斯与欧几里得、阿基米德
名
罗
齐
.他
：“平面内到两个定点
发现
A，
B 的距离之比
定
为
值
（
，且
）的点的
迹是
”
轨
圆.后来，人
将
个
以他的名字命名，称
阿波
们
这
圆
为
尼斯
，
称阿氏
罗
圆简
圆.已知在平面直角坐
系
标
中，
，
，点P 是
足
满
的阿氏圆
上的任一点，
阿氏
的方程
则该
圆
为 ；若点Q
抛物
为
线E：
上的
点，
动
Q 在轴y 上的射影为
H，则
的最小值为 .
【答案】
/
【分析】先求出点
的
迹方程，再
合阿波
尼斯
的定
及抛物
的定
可得
轨
结
罗
圆
义
线
义
，当且
当
仅
四点共
取等号
线时
.
【
解】
详
设
，已知
，
，
则
，化
整理得
简
，
所以点
的
迹
以
轨
为
心，
为圆
2
半径的
；
为
圆
抛物线
的焦点
，准
方程
线
为
，
则
，
当且
当
仅
（
两点在
两点中
）四点共
取等号，
间
线时
又
，
所以
的最小值为
.
故答案
：
为
；
【点睛】关
点点睛：本
第二空的关
是利用三角形两
之和大于第三
，当三点共
取等号
键
题
键
边
边
线时
.
【变式训练6-4】希腊著名数学家阿波
尼斯与欧几里得、阿基米德
名
罗
齐
.他
：“平面内到两个定点
发现
的距离之比
定
为
值
的点的
迹是
”．后来，人
将
个
以他的名字命名，称
阿波
尼
轨
圆
们
这
圆
为
罗
斯
，
称阿氏
．已知在平面直角坐
系
圆简
圆
标
中，
，
，点
是
足
满
的阿氏
上的
圆
任一点，
阿氏
的方程
则该
圆
为 ；若点
抛物
为
线
上的
点，
动
在
上的射影
轴
为
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】
点
设
坐
，根据
意写出关于
标
题
与
的关系式化
即可；利用抛物
的定
可知
简
线
义
，
而可得
进
，即得.
【
解】
点
详
设
，
，
∴
.
抛物
的焦点
点
线
为
，由
意知
题
，
，
∴
.
故答案
：
为
；
.
【变式训练6-5】古希腊几何学家阿波
尼斯
明
一个命
：平面内到两定点的距离之比
定
罗
证
过这样
题
为
值
的点的
迹是
，后来，人
将
个
以他的名字命名，称
阿波
尼斯
，
称阿氏
轨
圆
们
这
圆
为
罗
圆简
圆.
已知在平面直角坐
系
标
中，
，
，
点
动
足
满
，
点
则动
的
迹方程
轨
为
；点
抛物
为
线
：
上的
点，点
动
在
上的射影为
，则
的最小值为
.
【答案】
【分析】设
，利用关系
列方程化
可得
迹方程，由
简
轨
，抛物
定
可得
线
义
，根据
两点之
段最短可求最小
结论
间线
值.
【
解】
详
设
所求
迹上任意一点，
为
轨
∵
，
，
点
动
足
满
，
∴
，
∴
，
∴
，
化
可得
点
简
动
的
迹方程
轨
为
；
∵抛物线C：
的焦点
为
，准线为
，
所以
，
∴
，
当且
当
仅
，
，
，
四点共
，等号成立，
线时
∴
的最小值为
故答案
：
为
；
【点睛】关
点点睛：本
第二空解决的关
在于
合条件及抛物
定
将
化
求
键
题
键
结
线
义
问题转
为
的最小值.
