文档内容
拔高点突破 01 定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶
问题、坎迪定理
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：定比点差法............................................................................................................................2
题型二：齐次化....................................................................................................................................4
题型三：极点极线问题........................................................................................................................5
题型四：蝴蝶问题................................................................................................................................7
题型五：坎迪定理..............................................................................................................................10
03 过关测试.........................................................................................................................................131、定比点差法是一种在解析几何有应用的方法。在解析几何中，它主要用于处理非中点弦问题，通
过设定线段上的定比分点，利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，通过代点、扩乘、作差等步骤，
解决相应的圆锥曲线问题。定比点差法的核心思想是“设而不求”，即设定未知数但不直接求解，而是通
过代数运算消去未知数，得到所需的结果。这种方法在处理复杂问题时具有独特的优势，能够简化计算过
程，提高解题效率。
2、齐次化是一种数学处理方法，它通过将问题转化为齐次形式（即各项次数相等）来简化计算和提
高求解效率。在解析几何中，齐次化常用于处理与斜率相关的问题，如过某定点的两条直线的斜率关系。
通过齐次化联立，可以将复杂的二次曲线方程转化为关于斜率的一元二次方程，从而更容易地求解斜率之
和或斜率之积等问题。
3、极点极线是数学中的重要概念，尤其在圆锥曲线研究中占据关键地位。极点通常指圆锥曲线上的
特殊点，其切线方程与曲线方程相同；对于不在曲线上的点，其关于曲线的调和共轭点轨迹形成的直线也
被称为极线。极线则是与极点紧密相关的一条直线，对于曲线上的极点，其极线即为该点处的切线；对于
曲线外的点，其极线则是通过该点作曲线的两条切线所得的切点弦.
4、坎迪定理是数学领域中的一个重要定理，也被称为蝴蝶定理的一般形式。该定理描述了在圆内的
一段弦上任意一点与圆上任意两点相连并延长交圆于另外两点，连接这两延长交点与弦上另外两点相交，
所得线段长度的倒数之差为常数。
题型一：定比点差法
【典例1-1】（2024·高三·江西吉安·期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程；
(Ⅱ)已知抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，过点 的动直线与抛物线 相交于A，B两个不同的点，在线段AB上取点Q，满足 ，证明：点Q总在定直线上．
【典例1-2】已知椭圆 ，过椭圆的左焦点F且斜率为 的直线l与椭圆交于A、B两点
（A点在B点的上方），若有 ，求椭圆的离心率．
【变式1-1】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 ，直线 过椭圆 的右焦点F且与椭圆
交于A、B两点，l与双曲线 的两条渐近线 、 分别交于M、N两点．
(1)若 ，且当 轴时，△MON的面积为 ，求双曲线 的方程；
(2)如图所示，若椭圆 的离心率 ， 且 ，求实数 的值．【变式1-2】已知椭圆 （ ）的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 （ ）
的直线与 相交于 ， 两点，若 ，求
【变式1-3】已知 ，过点 的直线交椭圆于 ， （可以重合），求 取值范围．
【变式1-4】已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， ， ， 是椭圆上的三个动点，且
， 若 ，求 的值．
题型二：齐次化
【典例2-1】已知椭圆的中心为 ，长轴、短轴分别为 ， ， ， 分别在椭圆上，且
，求证： 为定值.
【典例2-2】如图，过椭圆 上的定点P(x ,y )作倾斜角互补的两直线，设其分别交
0 0
椭圆 于 两点，求证：直线 的斜率是定值.【变式2-1】已知椭圆 的左顶点为 ， ， 为 上的两个动点，记直线 ， 的斜率分
别为 ， ，若 ，试判断直线 是否过定点.若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【变式2-2】已知椭圆C： .过点 ，两个焦点为 和 .设E，F是椭圆C上的两个
动点.
(1)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2，证明：直线EF恒过定点；
(2)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之积为2，证明：直线EF恒过定点.
题型三：极点极线问题
【典例3-1】（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为
上顶点，离心率 为 ，直线 与圆 相切.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)椭圆方程 ，平面上有一点 . 定义直线方程 是椭圆 在
点 处的极线.① 若 在椭圆 上，证明: 椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线;
② 若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ，割线交椭圆 于 两点，
过点 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 . 证明: 三点共线.
【典例3-2】阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线 ： ，
则称点 和直线 ： 是圆锥曲线 的一对极点和极线.事实
上，在圆锥曲线方程中，以 替换 ，以 替换 ；以 替换 ，以 替换 ，即可得到
对应的极线方程.特别地，对于椭圆 ，与点 对应的极线方程为 ；
对于双曲线 ，与点 对应的极线方程为 ；对于抛物线 ，与点
对应的极线方程为 .即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理：①当 在圆锥曲线 上时，其极线 是曲线 在点 处的切线；②当
在 外时，其极线 是从点 向曲线 所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）；③当
在 内时，其极线 是曲线 过点 的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已
知椭圆 ： .
(1)点 是直线 ： 上的一个动点，过点 向椭圆 引两条切线，切点分别为 ， ，是否
存在定点 恒在直线 上，若存在，当 时，求直线 的方程；若不存在，请说明理由.
(2)点 在圆 上，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求 面积的最大值.
【变式3-1】阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G： ，则称点P( ， )和直线
l： 是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，
以 替换 ，以 替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P( ， )对应的极线方程.特别地，对于椭圆 ，与点P( ， )对应的极线方程为 ；对于双曲线 ，与点P( ，
)对应的极线方程为 ；对于抛物线 ，与点P( ， )对应的极线方程为
.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C： 经过点P(4，0)，离心率是 ，求椭圆C的方程并写出与点P对应的
极线方程；
(2)已知Q是直线l： 上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，
是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当 时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
题型四：蝴蝶问题
【典例4-1】已知椭圆 的离心率为 ，半焦距为 ，且 ．经过椭圆的
左焦点F，斜率为 的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆 的标准方程；(2)当 时，求 的值；
(3)设 ，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为 ，求证： 为定值．
【典例4-2】（2024·高三·江苏泰州·期末）如图，已知椭圆 ，矩形ABCD的顶点A，B在x轴
上，C，D在椭圆 上，点D在第一象限.CB的延长线交椭圆 于点E，直线AE与椭圆 ､y轴分别交于点
F､G，直线CG交椭圆 于点H，DA的延长线交FH于点M.
（1）设直线AE､CG的斜率分别为 ､ ，求证： 为定值；
（2）求直线FH的斜率k的最小值；
（3）证明：动点M在一个定曲线上运动.
【变式4-1】设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过焦点且垂直于 轴
的直线与椭圆 相交所得的弦长为 ，直线 与椭圆 相切．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)斜率为 的直线过 ，与椭圆 交于 两点，延长 ，分别与椭圆 交于 两点，
直线 的斜率为 ，求证 为定值．【变式4-2】设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于M，N两点．当直线
MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C另一个交点分别为A，B，记直线 的斜率为 ，求 的值．
【变式4-3】在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C： ，F是椭圆的右焦点且______，
从下列条件中任选一个补充在上面问题中并作答：注：如果选择多个条件作答，按第一个计分．
条件①：椭圆C的离心率 ，焦点到相应准线的距离是3．
条件②：椭圆C与圆M： 外切，又与圆N： 外切．
(1)求椭圆C的方程．(2)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，
E两点，证明：直线DE过定点．
题型五：坎迪定理
【典例5-1】椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，上顶点为 ，点 ，线 的倾
斜角为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 且斜率存在的动直线与椭圆 交于 、 两点，直线 与 交于 ，求证： 在定直线上.
【典例5-2】已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，长轴长为4，离心率为 ，点C
在椭圆E上且异于 两点， 分别为直线 上的点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)求 的值；
(3)设直线 与椭圆E的另一个交点为D，证明：直线 过定点．
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知不过坐标原点 且斜率为1的直线与椭圆 交于点 ，
， 为 的中点．
(1)求直线 的斜率；
(2)设 ，直线 ， 与椭圆 的另一个交点分别为 ， （均异于椭圆顶点），证明：直线
过定点．【变式5-2】在平面直角坐标系 中，如图，已知 的左、右顶点为 、 ，右焦点为 ，设过
点 的直线 、 与椭圆分别交于点 、 ，其中 ， ， ．
（1）设动点 满足 ，求点 的轨迹；
（2）设 ， ，求点 的坐标；
（3）设 ，求证：直线 必过 轴上的一定点（其坐标与 无关）．
【变式5-3】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左，右顶点分别为A，B，过点M（1，0）
作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k，k．求证： 为定值．
1 2
【变式5-4】已知椭圆 的左右顶点分别为A和B，离心率为 ，且点 在椭圆
上.（1）求椭圆 的方程；
（2）过点M（1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P，Q两点，连接AP、BQ，直线AP与BQ交于点
N，探求点N是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.
【变式5-5】（2024·上海杨浦·一模）设 分别是椭圆 的左､右顶点，点 为椭圆的
上顶点.
（1）若 ，求椭圆 的方程；
（2）设 ， 是椭圆的右焦点，点 是椭圆第二象限部分上一点，若线段 的中点 在 轴上，
求 的面积.
（3）设 ，点 是直线 上的动点，点 和 是椭圆上异于左右顶点的两点，且 ， 分别在直线
和 上，求证：直线 恒过一定点.
1．已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆 的右焦点并垂直于 轴的直线 交椭圆于 ， （点 位于 轴上方）两点，且 （ 为坐标原点）的面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 交椭圆 于 ， （ ， 异于点 ）两点，且直线 与 的斜率之积为 ，求点 到直线
距离的最大值.
2．（2024·全国·一模）如图，已知椭圆 的短轴长为 ，焦点与双曲线 的焦点重合.点 ，
斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点.
(1)求常数 的取值范围，并求椭圆 的方程.
(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)
极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述
的.对于椭圆 ，极点P(x ,y )（不是原点）对应的极线为 ，且若极点 在 轴
0 0
上，则过点 作椭圆的割线交 于点 ，则对于 上任意一点 ，均有 （当斜率均存在
时）.已知点 是直线 上的一点，且点 的横坐标为2.连接 交 轴于点 .连接 分别交椭圆 于
两点.
①设直线 、 分别交 轴于点 、点 ，证明：点 为 、 的中点；
②证明直线： 恒过定点，并求出定点的坐标.
3．（2024·云南昆明·模拟预测）椭圆方程 ，平面上有一点 ．定义直线方程是椭圆 在点 处的极线．已知椭圆方程 ．
(1)若 在椭圆 上，求椭圆 在点 处的极线方程；
(2)若 在椭圆 上，证明：椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
(3)若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ， ，割线交椭圆 于 ， 两点，过
点 ， 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 ．证明： ， ， 三点共线．
4．（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，点 ， 是椭圆 上关
于原点对称的两点，其中 点在第一象限内，射线 ， 与椭圆 的交点分别为 ， .
（1）若 ， ，求椭圆 的方程；
（2）若直线 的斜率是直线 的斜率的2倍，求椭圆 的方程.
5．（2024·山东济南·二模）已知椭圆C的焦点坐标为 和 ，且椭圆经过点 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)若 ，椭圆C上四点M，N，P，Q满足 ， ，求直线MN的斜率.
6．已知椭圆C： ， ， 为其左右焦点，P为椭圆C上一动点，直线 交椭圆于点A，直线
椭圆交于点B，设 ， ，求证： 为定值．7．（2024·河北沧州·一模）已知椭圆 经过点 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线交椭圆于 、 两点，若 ，在线段 上取点 ，使 ，求
证：点 在定直线上.
8．如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 （ ）的离心率为 ． 为椭圆上异于
顶点的一点，点 满足 ．
（1）若点 的坐标为 ，求椭圆的方程；（2）设过点 的一条直线交椭圆于 两点，且
，直线 的斜率之积 ，求实数 的值．9．在直角坐标系xOy中，点 到直线 的距离等于点 到原点 的距离，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)点A，B，C，D在 上，A，B是关于 轴对称的两点，点 位于第一象限，点 位于第三象限，直线
AC与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且B，H，D三点共线，证明：直线CD与直线AC的斜
率之比为定值．
10．如图，椭圆的长轴 与x轴平行，短轴 在y轴上，中心为 ．
(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)直线 交椭圆于两点 ；直线 交椭圆于两点 ，
．求证： ；
(3)对于（2）中的中的在 ， ， ， ，设 交 轴于 点， 交 轴于 点，求证：
（证明过程不考虑 或 垂直于 轴的情形）
11．（2024·湖南·一模）已知过椭圆 的左焦点 ，作斜率为 的直线 ，交椭圆 于
两点.
（1）若原点 到直线 的距离为 ，求直线 的方程；
（2）设点 ，直线 与椭圆 交于另一点 ，直线 与椭圆 交于另一点 .设 的斜率为 ，则 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
