文档内容
拔高点突破 01 定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶
问题、坎迪定理
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：定比点差法............................................................................................................................2
题型二：齐次化....................................................................................................................................7
题型三：极点极线问题......................................................................................................................11
题型四：蝴蝶问题..............................................................................................................................16
题型五：坎迪定理..............................................................................................................................24
03 过关测试.........................................................................................................................................321、定比点差法是一种在解析几何有应用的方法。在解析几何中，它主要用于处理非中点弦问题，通
过设定线段上的定比分点，利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，通过代点、扩乘、作差等步骤，
解决相应的圆锥曲线问题。定比点差法的核心思想是“设而不求”，即设定未知数但不直接求解，而是通
过代数运算消去未知数，得到所需的结果。这种方法在处理复杂问题时具有独特的优势，能够简化计算过
程，提高解题效率。
2、齐次化是一种数学处理方法，它通过将问题转化为齐次形式（即各项次数相等）来简化计算和提
高求解效率。在解析几何中，齐次化常用于处理与斜率相关的问题，如过某定点的两条直线的斜率关系。
通过齐次化联立，可以将复杂的二次曲线方程转化为关于斜率的一元二次方程，从而更容易地求解斜率之
和或斜率之积等问题。
3、极点极线是数学中的重要概念，尤其在圆锥曲线研究中占据关键地位。极点通常指圆锥曲线上的
特殊点，其切线方程与曲线方程相同；对于不在曲线上的点，其关于曲线的调和共轭点轨迹形成的直线也
被称为极线。极线则是与极点紧密相关的一条直线，对于曲线上的极点，其极线即为该点处的切线；对于
曲线外的点，其极线则是通过该点作曲线的两条切线所得的切点弦.
4、坎迪定理是数学领域中的一个重要定理，也被称为蝴蝶定理的一般形式。该定理描述了在圆内的
一段弦上任意一点与圆上任意两点相连并延长交圆于另外两点，连接这两延长交点与弦上另外两点相交，
所得线段长度的倒数之差为常数。
题型一：定比点差法
【典例1-1】（2024·高三·江西吉安·期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程；
(Ⅱ)已知抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，过点 的动直线与抛物线 相交于A，B两个不同的点，在线段AB上取点Q，满足 ，证明：点Q总在定直线上．
【解析】(Ⅰ)由题意可知 解得 ， ，
故椭圆的方程为 ．
证明(Ⅱ)由已知可得抛物线 的标准方程为 ，
设点Q，A，B的坐标分别为 ， ， ，
由题意知 ，不妨设A在P，Q之间，设 ， ，
又点Q在P，B之间，故 ，
，
，
由 可得 解得 ， ，
点A在抛物线上，
，
即 ， ，
由 可得 解得 ， ，
点B在抛物线上，
，
即 ， ， ．
由 可得 ，
，
，
点Q总在定直线 上
【典例1-2】已知椭圆 ，过椭圆的左焦点F且斜率为 的直线l与椭圆交于A、B两点（A点在B点的上方），若有 ，求椭圆的离心率．
【解析】因为 ，设 、 ，
① ②得： ，
， ，
则 ，
得 ，
∵ ，∴ ，将A代入椭圆方程
整理得： ，所以 或 （舍）
故 ．
【变式1-1】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 ，直线 过椭圆 的右焦点F且与椭圆
交于A、B两点，l与双曲线 的两条渐近线 、 分别交于M、N两点．
(1)若 ，且当 轴时，△MON的面积为 ，求双曲线 的方程；(2)如图所示，若椭圆 的离心率 ， 且 ，求实数 的值．
【解析】（1）由题设 ，且双曲线 的渐近线为 ，
当 轴时， ，又 ，△MON的面积为 ，
所以 ，故 ，而 ，可得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）对于椭圆有 ，而 ，则 ，
不妨假设 ，则 且l为 ，
所以 ，又 ， ，
令 ，则 ，故 ，
所以 ，而 在椭圆 上，
则 ，整理得 ，
综上，可得 .
【变式1-2】已知椭圆 （ ）的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 （ ）
的直线与 相交于 ， 两点，若 ，求
【解析】由 ，可设椭圆为 （ ），
设 ， ， ，由 ，
所以 ， ．又
由（1）-（3）得 ，
又 ．
又 ．
【变式1-3】已知 ，过点 的直线交椭圆于 ， （可以重合），求 取值范围．
【解析】设 ， ， ，由 ，
所以 ．
由
由（1）-（3）得：
，又 ，
又 ，从而 ．
【变式1-4】已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， ， ， 是椭圆上的三个动点，且
， 若 ，求 的值．
【解析】设 ， ， ，，由 ， 得
① 满足
满足②由
③由（1）-（3）得：
，又
，同理可得
．
题型二：齐次化
【典例2-1】已知椭圆的中心为 ，长轴、短轴分别为 ， ， ， 分别在椭圆上，且
，求证： 为定值.
【解析】
因为 ，所以由勾股定理可得 .
所以 .
设 的面积为 ， 到 的距离为 ，
则 ，因此 .
所以要证明 为常数，只需证明 为定值.
设直线 的方程为 ，联立齐次化 ，并整理可得 ，
方程的两根为 与 ，由韦达定理得 .
因为 ，所以 ，化简得 .
由点到直线的距离公式，得 ，
所以 为定值.
【典例2-2】如图，过椭圆 上的定点P(x ,y )作倾斜角互补的两直线，设其分别交
0 0
椭圆 于 两点，求证：直线 的斜率是定值.
【解析】由题意可得直线 不过点 ，且直线 的斜率都存在，
设直线 的方程为 ， ，
因为
，
所以椭圆方程可化为 ，
联立 ，
齐次化并整理可得 ，由韦达定理得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，故直线 的斜率为定值.
【变式2-1】已知椭圆 的左顶点为 ， ， 为 上的两个动点，记直线 ， 的斜率分
别为 ， ，若 ，试判断直线 是否过定点.若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【解析】将坐标系左移2个单位长度（即椭圆右移），则椭圆方程变为 ，
即 .
设直线 为直线 ，平移后为直线 ，联立
齐次化得 ，整理可得 ，
两边同除以 ，得 ，则 ，解得 .
把 代入直线 中，得 ，当 时， ，
所以 过定点 ，则直线 过定点 .
【变式2-2】已知椭圆C： .过点 ，两个焦点为 和 .设E，F是椭圆C上的两个
动点.
(1)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2，证明：直线EF恒过定点；
(2)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之积为2，证明：直线EF恒过定点.
【解析】（1）设直线EF方程为 ，即 ，
从而 .
又椭圆过点 ，可得整理可得
所以
即
则
显然这是一个关于 的一元二次方程.
对于问题（1），由韦达定理得
所以 ，故 ，则
所以直线EF恒过定点 .
（2）对于问题（2），由韦达定理得
所以 ，则 ，
所以直线EF恒过定点 .
题型三：极点极线问题
【典例3-1】（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为上顶点，离心率 为 ，直线 与圆 相切.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)椭圆方程 ，平面上有一点 . 定义直线方程 是椭圆 在
点 处的极线.
① 若 在椭圆 上，证明: 椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线;
② 若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ，割线交椭圆 于 两点，
过点 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 . 证明: 三点共线.
【解析】（1）由已知 ， ，则
所以直线 ，即 ，
该直线与圆 与相切，则 ，
所以解得 ， ，
故椭圆 的标准方程为
（2）① 由(1)得椭圆 的方程是 .
因为 在椭圆 上，所以 ，即 ，
由定义可知椭圆 在点 处的极线方程为 ，
当 时， ，此时极线方程为 ，所以 处的极线就是过点 的切线，
当 时，极线方程为 ，即 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 处的极线就是过点 的切线，
综上所述，椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线;② 设点 ，
由①可知，过点 的切线方程为 ，
过点 的切线方程为 ，
因为 都过点 ，所以有 ，
则割线 的方程为 ，
同理可得过点 的两条切线的切点弦 的方程为 ，即 ，
又因为割线 过点 ，代入割线方程得 ，即 ，
所以 三点共线，都在直线 上．
【典例3-2】阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线 ： ，
则称点 和直线 ： 是圆锥曲线 的一对极点和极线.事实
上，在圆锥曲线方程中，以 替换 ，以 替换 ；以 替换 ，以 替换 ，即可得到
对应的极线方程.特别地，对于椭圆 ，与点 对应的极线方程为 ；
对于双曲线 ，与点 对应的极线方程为 ；对于抛物线 ，与点
对应的极线方程为 .即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理：①当 在圆锥曲线 上时，其极线 是曲线 在点 处的切线；②当
在 外时，其极线 是从点 向曲线 所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）；③当
在 内时，其极线 是曲线 过点 的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已
知椭圆 ： .(1)点 是直线 ： 上的一个动点，过点 向椭圆 引两条切线，切点分别为 ， ，是否
存在定点 恒在直线 上，若存在，当 时，求直线 的方程；若不存在，请说明理由.
(2)点 在圆 上，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求 面积的最大值.
【解析】（1）设点 ，由点 在直线 上运动，得 ，
由 消去 并整理得 ，显然 ，
即此方程组无实数解，于是直线 与椭圆 相离，即点 在椭圆 外，
又 ， 都与椭圆 相切，因此点 和直线 是椭圆 的一对极点和极线，
对于椭圆 ，与点 对应的极线方程为 ，
将 代入 ，整理得 ，
显然定点 的坐标与 的取值无关，即有 ，解得 ，所以存在定点 恒在直线 上，
当 时， 是线段 的中点有在椭圆 内，设 ，直线 的斜率为 ，
则 ，两式相减并整理得 ，即 ，
所以当 时，直线 的方程为 ，即 .
（2）由（1）知直线 的方程为 ，由题意知 ，
由 消去 并整理得： ，而 ，则 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，
点 到直线 的距离为： ，
因此 面积 ，当 时，令 ，
求导得 ，即 在 单调递增，则 的最大值为 ，
由对称性可知当 时， 的最大值也为 ，
所以 面积的最大值为 .
【变式3-1】阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G： ，则称点P( ， )和直线
l： 是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，
以 替换 ，以 替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P( ， )对应的极线方程.特别地，对
于椭圆 ，与点P( ， )对应的极线方程为 ；对于双曲线 ，与点P( ，
)对应的极线方程为 ；对于抛物线 ，与点P( ， )对应的极线方程为
.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C： 经过点P(4，0)，离心率是 ，求椭圆C的方程并写出与点P对应的
极线方程；
(2)已知Q是直线l： 上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，
是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当 时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆 过点P(4,0)，
则 ，得 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以椭圆C的方程为 .
根据阅读材料，与点P对应的极线方程为 ，即 ；
（2）由题意，设点Q的坐标为( , )，
因为点Q在直线 上运动，所以 ，
联立 ，得 ，
，该方程无实数根，
所以直线 与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外，
又QM，QN都与椭圆C相切，
所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.
对于椭圆 ，与点Q( , )对应的极线方程为 ，
将 代入 ，整理得 ，
又因为定点T的坐标与 的取值无关，
所以 ，解得 ，
所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.
当 时，T是线段MN的中点，设 ，直线MN的斜率为 ，
则 ，两式相减，整理得 ，即 ，
所以当 时，直线MN的方程为 ，即 .
题型四：蝴蝶问题
【典例4-1】已知椭圆 的离心率为 ，半焦距为 ，且 ．经过椭圆的
左焦点F，斜率为 的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)当 时，求 的值；
(3)设 ，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为 ，求证： 为定值．
【解析】（1）由题意，得 解得 ∴ ，故 的方程为 ．
（2）由（1）知 ，
∴直线AB的方程为 ，由 即 ，
设 ， ，则 ， ，
∴ ．
设O点到直线AB的距离为d，则 ．
∴ ．
（3）设AB直线方程 ，
设 ， ， ， ，
由 由定比分点坐标公式： ，
由于A，C满足椭圆方程，故得
两式作差得 ③，
将①②代入③可得 ，和①进行联立，
即 ，解得：
由 同理可得 ，
∴
，
故 ．【典例4-2】（2024·高三·江苏泰州·期末）如图，已知椭圆 ，矩形ABCD的顶点A，B在x轴
上，C，D在椭圆 上，点D在第一象限.CB的延长线交椭圆 于点E，直线AE与椭圆 ､y轴分别交于点
F､G，直线CG交椭圆 于点H，DA的延长线交FH于点M.
（1）设直线AE､CG的斜率分别为 ､ ，求证： 为定值；
（2）求直线FH的斜率k的最小值；
（3）证明：动点M在一个定曲线上运动.
【解析】（1）由对称性，设 ， ， ，
则 ，得 ，
故 ， ，则 ，
（2）由 ，
联立 ，
由根与系数的关系可得 ，所以 ，
所以 ，可得 ，
又 ，联立 ，由根与系数的关系可得 ，所以 ，
所以 可得： ，
所以
，
由图知 ，所以 即 ,
当且仅当 即 取等.
所以直线FH的斜率k的最小值为 .
（3）易知 ，
令 可得 ，
所以 ，
，所以 ，
因为 ，
所以 ，
即M在曲线 上.
【变式4-1】设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过焦点且垂直于 轴
的直线与椭圆 相交所得的弦长为 ，直线 与椭圆 相切．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)斜率为 的直线过 ，与椭圆 交于 两点，延长 ，分别与椭圆 交于 两点，
直线 的斜率为 ，求证 为定值．
【解析】（1） 与椭圆 相切， ，
将 代入椭圆 方程得： ， ，则 ，
椭圆 的标准方程为： .
（2）
由（1）得： ， ，则直线 ，
设 ， ， ， ，
则直线 的方程为： ，由 得： ，
，则 ， ，
；同理可得： ；
，
，即 为定值.
【变式4-2】设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于M，N两点．当直线
MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C另一个交点分别为A，B，记直线 的斜率为 ，求 的值．
【解析】（1）抛物线C的方程为
（2） 解法一：
设 ，直线 ，
联立直线 ，得 ， ，联立直线 ，得 ， ，
∴ ，同理可得 ，
由斜率公式可得 ， ，∴ ．
解法二：三点共线
设 ，
由M、N、F三点共线，得 ，
由M、D、A三点共线，得 ，
由N、D、B三点共线，得 ，
则 ，AB过定点（4，0）．
【变式4-3】在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C： ，F是椭圆的右焦点且______，
从下列条件中任选一个补充在上面问题中并作答：注：如果选择多个条件作答，按第一个计分．
条件①：椭圆C的离心率 ，焦点到相应准线的距离是3．条件②：椭圆C与圆M： 外切，又与圆N： 外切．
(1)求椭圆C的方程．
(2)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，
E两点，证明：直线DE过定点．
【解析】（1）若选①，则 ，解得 ，故椭圆C的方程为 ；
若选②，易知圆 圆心 ，半径为4，过点 ，和椭圆 外切，切点必为 ，故 ，
圆 圆心 ，半径为 ，过点 ，和椭圆 外切，切点必为 ，故 ，
故椭圆C的方程为 ；
（2）设 ，因为 三点共线，又 ，
则 ，
即 （★），又因为点 均在椭圆上，则 ，可变形为 ，代入
中，
整理可得 ，结合（★）式得 （✰），
★✰式联立解得 ，
同理可得 ，所以直线 的方程为 ，即 ，
又 ，所以直线DE的方程为 ，故直线DE过定点 .
题型五：坎迪定理
【典例5-1】椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，上顶点为 ，点 ，线 的倾
斜角为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 且斜率存在的动直线与椭圆 交于 、 两点，直线 与 交于 ，求证： 在定直线上.
【解析】（1） ，由题意， ，
所以椭圆 的方程 .
（2）设 ， ， ，过 的动直线： ，代入椭圆 的方程得：
，得： ， ，
，
分别由 ， ， 及 ， ， 三点共线，得： ， ，
两式相除得：
，
得： ，即 在直线 上.
【典例5-2】已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，长轴长为4，离心率为 ，点C
在椭圆E上且异于 两点， 分别为直线 上的点．
(1)求椭圆E的方程；(2)求 的值；
(3)设直线 与椭圆E的另一个交点为D，证明：直线 过定点．
【解析】（1）因为椭圆长轴长为4，离心率为 ，所以 ，
则椭圆方程为 ；
（2）易知 ，设 ，
则 ，所以 ，
又C在椭圆上，即 ，
故 ；
（3）由上知 ，则 ，
与椭圆方程联立 ，
由韦达定理知 ， ，
①若直线 斜率不存在，
即，
即 ，
解之得 ，过定点 ；
②若直线 斜率存在，
则 ，
整理得 ，
过定点
综上所述 恒过定点 .
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知不过坐标原点 且斜率为1的直线与椭圆 交于点 ，
， 为 的中点．
(1)求直线 的斜率；
(2)设 ，直线 ， 与椭圆 的另一个交点分别为 ， （均异于椭圆顶点），证明：直线
过定点．
【解析】（1）解法一：设直线AB的方程为 ，
将 代入 ，得 ，
由 ，得 ，
设 ， ， ，则 ，
所以 ， ，即 ，
故直线OM的斜率为 ．
解法二：设 ， ， ，
则 ， ，
两式作差，得 ，所以 ．
因为直线AB的斜率为1，
所以 ，得 ，故直线OM的斜率为 ．
（2）由题意知直线CD的斜率存在，设直线CD的方程为 ， ， ，
则 ，直线PC的方程为 ，
与 联立，并结合 化简可得 ，
则 ， ， ，
故 ，
同理 ，
故 ，
所以 ，
故直线CD的方程为 ，直线CD过定点 ．
【变式5-2】在平面直角坐标系 中，如图，已知 的左、右顶点为 、 ，右焦点为 ，设过
点 的直线 、 与椭圆分别交于点 、 ，其中 ， ， ．
（1）设动点 满足 ，求点 的轨迹；
（2）设 ， ，求点 的坐标；
（3）设 ，求证：直线 必过 轴上的一定点（其坐标与 无关）．【解析】（1）设点 ，则 ， ， ，
由 ，得 ，
化简得 ，
故所求点 的轨迹为直线 ．
（2）将 ， 分别代入椭圆方程，以及 ， ，
得 ， ，
直线 方程为 ，即 ，
直线 方程为 ，即 ，
联立方程组，解得 ，
所以点 的坐标为 ．
（3）点 的坐标为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
直线 的方程为 ，即 ，
分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ， ，
解得 、 ，若 ， 且 ,得 ，
此时直线 的方程为 ，过点 ；
若 ，则 ，直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，
所以 ,所以直线 过点 ，
因此直线 必过 轴上一定点 .
【变式5-3】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左，右顶点分别为A，B，过点M（1，0）
作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k，k．求证： 为定值．
1 2
【解析】证明：连结BD，设 ， ，直线CD的方程为： ，代入椭圆方程，整理
得， ，∴ ，
，
又 ，∴ （定值）．
【变式5-4】已知椭圆 的左右顶点分别为A和B，离心率为 ，且点 在椭圆
上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点M（1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P，Q两点，连接AP、BQ，直线AP与BQ交于点
N，探求点N是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.
【解析】（1）由题设， ， ，且所以 ，
椭圆方程为 ；
（2）由（1）知，A（-2，0），B（2，0），设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，
因为 ，设 ，
所以 ，
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
则 ，即 ，
而 ，
∴ ，
x=4，即直线 与直线 的交点在直线x=4上.
∴
【变式5-5】（2024·上海杨浦·一模）设 分别是椭圆 的左､右顶点，点 为椭圆的
上顶点.
（1）若 ，求椭圆 的方程；
（2）设 ， 是椭圆的右焦点，点 是椭圆第二象限部分上一点，若线段 的中点 在 轴上，
求 的面积.
（3）设 ，点 是直线 上的动点，点 和 是椭圆上异于左右顶点的两点，且 ， 分别在直线和 上，求证：直线 恒过一定点.
【解析】（1） ，
， ， ，解得
即椭圆 的方程为 .
（2）椭圆的方程为 ，由题意 ，设另一焦点为 ，
设 ，由线段 的中点在y轴上，得 轴，所以 ，
代入椭圆方程得 ，即
；
（3）证明：由题意 ，设点P的坐标为 ，
直线 ： ，与椭圆方程 联立
消去 得：
由韦达定理得 即 ；
同理 ；
当 ，即 即 时，
直线 的方程为 ；
当 时，直线 ：
化简得 ，恒过点 ；
综上所述，直线 恒过点 .1．已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆 的右焦点并垂直于 轴的直线 交椭圆
于 ， （点 位于 轴上方）两点，且 （ 为坐标原点）的面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 交椭圆 于 ， （ ， 异于点 ）两点，且直线 与 的斜率之积为 ，求点 到直线
距离的最大值.
【解析】（1）由题意可得 解得
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）解法1：韦达定理
设点A(x ,y )，B(x ,y )，由（1）易求得 ，
1 1 2 2
当直线 的斜率不存在时，设其方程为 （ 且 ），
所以由 ，且 ，得到 ，
即 ，解得 或 （舍）
此时点 到直线 的距离为 ，
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，
联立 消去 并整理得 .
则 ， ， ，所以 ，即 .
所以 ，
，
整理得 ，即 ，
所以 或 .
若 ，则直线 的方程为 ，
所以直线 过点 ，不合题意；
若 ，则直线 的方程为 ，
所以直线 过定点 .
又因为 ，所以点 在椭圆 内.
则点 到直线 的距离为 .
所以点 到直线 距离的最大值为 .
解法2：齐次式法
易求得 ，设点A(x ,y )，B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
椭圆 的方程为 ，即 ，
，
设直线 的方程为 ，联立并齐次化，得整理得 ，
即 ，
方程的两根为 ， ，由韦达定理得 ，
从而 ，与 对照，
则解 得 故直线 过定点 ，
、JKK;显然，点 到直线 距离的最大值为 .
2．（2024·全国·一模）如图，已知椭圆 的短轴长为 ，焦点与双曲线 的焦点重合.点 ，
斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点.
(1)求常数 的取值范围，并求椭圆 的方程.
(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)
极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆 ，极点P(x ,y )（不是原点）对应的极线为 ，且若极点 在 轴
0 0
上，则过点 作椭圆的割线交 于点 ，则对于 上任意一点 ，均有 （当斜率均存在
时）.已知点 是直线 上的一点，且点 的横坐标为2.连接 交 轴于点 .连接 分别交椭圆 于
两点.
①设直线 、 分别交 轴于点 、点 ，证明：点 为 、 的中点；
②证明直线： 恒过定点，并求出定点的坐标.
【解析】（1）由题意焦点在 轴上，所以 ，解得 ，即 的范围为 ，
且 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）我们首先给出题目给出的引理的证明：
设 ，则Q在P的极线上，
现在如果经过P的直线 交椭圆于 ：
那么，代入椭圆就得到 ，
所以
，
由韦达定理有 ，
此时要证明的是： ，
也就是 ，
也就是 ，
也就是 ，
也就是 ，也就是 ，
也就是 ，
也就是 ，
也就是 ，
也就是 ，
也就是 ，
这显然成立，所以结论得证.
接下来我们回到原题，
①首先由于Q在P的极线 上，故由引理有 ， ，
而 ，
所以 ，这表明Q是 和 的交点，
又由于 ，故 ，
设 ，而 ， ， ，
所以 ，也就是E是 的中点；②设 ，那么 ，所以 ，
这表明 的方程是 ，即 ，
所以 恒过点 .
3．（2024·云南昆明·模拟预测）椭圆方程 ，平面上有一点 ．定义直线方程
是椭圆 在点 处的极线．已知椭圆方程 ．
(1)若 在椭圆 上，求椭圆 在点 处的极线方程；
(2)若 在椭圆 上，证明：椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
(3)若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ， ，割线交椭圆 于 ， 两点，过
点 ， 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 ．证明： ， ， 三点共线．
【解析】（1）由题意知，当 时， ，所以 或 ．
由定义可知椭圆 在点 处的极线方程为 ，
所以椭圆 在点 处的极线方程为 ，即
点 处的极线方程为 ，即
（2）因为 在椭圆 上，所以 ，
由定义可知椭圆 在点 处的极线方程为 ，
当 时， ，此时极线方程为 ，所以 处的极线就是过点 的切线．
当 时，极线方程为 ．
联立 ，得 ．
．
综上所述，椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；（3）设点 ， ， ，
由（2）可知，过点 的切线方程为 ，
过点N的切线方程为 ．
因为 ， 都过点 ，所以有 ，
则割线 的方程为 ；
同理可得过点 的两条切线的切点弦 的方程为 ．
又因为割线 过点 ，代入割线方程得 ．
所以 ， ， 三点共线，都在直线 上．
4．（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，点 ， 是椭圆 上关
于原点对称的两点，其中 点在第一象限内，射线 ， 与椭圆 的交点分别为 ， .
（1）若 ， ，求椭圆 的方程；
（2）若直线 的斜率是直线 的斜率的2倍，求椭圆 的方程.
【解析】（1）由 ，根据椭圆的对称性知 轴， 过右焦点
所以 ， ， ，
则 ，由 ，可得
解得 ，代入椭圆方程得 ，解得 ，
所以 ，即 ，所以 ，故椭圆方程为 ；
（2）设 ， ，令 ，则 ，
代入椭圆方程得 ，即 ，
又 ，所以 ，化简得到 ①同理：令 ，同理解得 ，代入椭圆方程同理可得 ②
由题知 ，解得 ，③
① ②得 ，将③式代入得 ，故 ，
故椭圆方程为 .
5．（2024·山东济南·二模）已知椭圆C的焦点坐标为 和 ，且椭圆经过点 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)若 ，椭圆C上四点M，N，P，Q满足 ， ，求直线MN的斜率.
【解析】（1）由题意可知，c=1，
设椭圆方程为 ，将点 代入椭圆方程，
得 ，
解得 （舍）， ，
所以椭圆方程为 .
（2）设 ， ， ， ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
又 ， 都在椭圆上，
所以 ， ，
即 ，
- 得 ，
② ①
即 ……③，
又 ，同理得 ……④- 得 ，
④ ③
所以 .
6．已知椭圆C： ， ， 为其左右焦点，P为椭圆C上一动点，直线 交椭圆于点A，直线
椭圆交于点B，设 ， ，求证： 为定值．
【解析】设 ， ， ，
由于 ，由定比分点公式可得
将 ， ，代入椭圆方程有
得 ③，
得
两边同除 整理得
所以 ，即
又 ，即
解得
同理:所以 .
7．（2024·河北沧州·一模）已知椭圆 经过点 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线交椭圆于 、 两点，若 ，在线段 上取点 ，使 ，求
证：点 在定直线上.
【解析】（1）由题意得 ，解得 ， .
所以椭圆 的方程是 ；
（2）设直线 的方程为 ， 、 、 ，
由 ，得 .
，则有 ， ，
由 ，得 ，由 ，可得 ，
，
，
综上，点 在定直线 上.
8．如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 （ ）的离心率为 ． 为椭圆上异于
顶点的一点，点 满足 ．（1）若点 的坐标为 ，求椭圆的方程；（2）设过点 的一条直线交椭圆于 两点，且
，直线 的斜率之积 ，求实数 的值．
【解析】试题解析：（1）因为 ，而 ，
所以 ．
代入椭圆方程，得 ，①
又椭圆的离心率为 ，所以 ，②
由①②，得 ，
故椭圆的方程为 ．
（2）设 ，
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
即
于是
代入椭圆方程，得 ，
即 ，③
因为 在椭圆上，所以 ． ④因为直线 的斜率之积为 ，即 ，结合②知 ． ⑤
将④⑤代入③，得 ，
解得 ．
9．在直角坐标系xOy中，点 到直线 的距离等于点 到原点 的距离，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)点A，B，C，D在 上，A，B是关于 轴对称的两点，点 位于第一象限，点 位于第三象限，直线
AC与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且B，H，D三点共线，证明：直线CD与直线AC的斜
率之比为定值．
【解析】（1）设 ，则 ，
两边平方，化简得 ，
故 的方程为 .
（2）证明:设点 的方程为 ，则 ，因为 ，所以
从而直线BD的方程为
联立 可得 ，所以 ，则 ，
所以
联立 可得 ，所以 ，则 ，所以
.
所以直线CD的斜率为 .
所以直线 与直线 的斜率之比为 .10．如图，椭圆的长轴 与x轴平行，短轴 在y轴上，中心为 ．
(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)直线 交椭圆于两点 ；直线 交椭圆于两点 ，
．求证： ；
(3)对于（2）中的中的在 ， ， ， ，设 交 轴于 点， 交 轴于 点，求证：
（证明过程不考虑 或 垂直于 轴的情形）
【解析】（1） 椭圆的长轴 与 轴平行，短轴 在 轴上，中心 ，
椭圆方程为
焦点坐标为 ，
离心率
（2）证明：将直线 的方程 代入椭圆方程 ，得
整理得
根据韦达定理，得 ， ，
所以 ①将直线 的方程 代入椭圆方程 ，同理可得 ②
由 ①、②得
所以结论成立.
（3）证明：设点 ，点
由 、 、 共线，得
解得
由 、 、 共线，同理可得
由 变形得
所以
即
11．（2024·湖南·一模）已知过椭圆 的左焦点 ，作斜率为 的直线 ，交椭圆 于
两点.
（1）若原点 到直线 的距离为 ，求直线 的方程；
（2）设点 ，直线 与椭圆 交于另一点 ，直线 与椭圆 交于另一点 .设 的斜率为 ，
则 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】(1)由椭圆 ，可知 ，
所以可设过点F且斜率为k的直线l的方程为 ，
即 ，设原点O到直线l的距离为d，则 ，
依题意有 ，
所以所求的直线l的方程为 或 .(2)设 ， ， ， ，
因为点 ，所以可设直线AM的方程为 ，
联立方程 ，消去y得 ，
整理，得 .（*）
所以 ， 是方程（*）的两实根，所以 ，所以 ，
所以 .
所以
同理 ， ，即 .
所以
，
所以 （定值）.
