专题 22.5 二次函数综合——特殊四边形问题
【典例1】如图1，抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作
PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标；
（3）如图3，将抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新
的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是
矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．
【思路点拨】
（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）设 ，则 ，进而得到 ， ；再表示出
P(a,a2−2a−3) Q(a+1,a2−4) M(a,a−3) N(a+1,a−2)
，最后根据二次函数的性质即可解答；
PM+QN=−2a2+4a+2=−2(a−1) 2+4
（3）分以BC为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解
答即可．
【解题过程】
（1）解：把A(−1,0)和B(3,0)代入y=ax2+bx−3(a≠0)，得
{ a−b−3=0 )
，解得a=1，b=−2
9a+3b−3=0
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3．（2）解：设 ，则 .
P(a,a2−2a−3) Q(a+1,a2−4)
又l :y=x−3
BC
∴M(a,a−3)，N(a+1,a−2)
∴PM=−a2+3a，QN=−a2+a+2
∴
PM+QN=−2a2+4a+2=−2(a−1) 2+4
∴当a=1时，(PM+QN) =4
max
∴Q(2,−3)．
（3）解：由题意可得： ，
y′=(x−1) 2 −2(x−1)−3−1=x2−4x−1=(x−2) 2 −5
∴y′的对称轴为x=2
∵抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与y轴交于点C．
∴C(0,−3),
∵B(3,0),
∴OC=OB=3,∠BCO=∠CBO=45°；
①如图：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴，
∵D在y′的对称轴为x=2，
∴FD=2，
∴CF=FD=2,OF=3+2=5,即点D(2,−5)，
∴点C向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移3个单位
可得到E(5,−3)；
②如图：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y′的对称轴为x=2与x轴交于F，∵D在y′的对称轴为x=2，
∴FO=2，
∴BF=3−2=1，
∵∠CBO=45°，即∠DBO=45°，
∴BF=FD=3−2=1 ,即点D(2,1)，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位
可得到点E(−1,−2)；
③如图：当BC为矩形对角线时，设D(2,d)，E(m,n)，
(3 3)
∴BC的中点F的坐标为 , ，
2 2
2+m 3
{ = )
2 2 { m=1 )
∴ ，解得：
d+n 3 d+n=3
=
2 2
又∵DE=BC,
∴(2−1) 2+(d−n) 2=32+32，解得： { d+n=3 ) ，
d−n=±❑√17
{d−n=±❑√17) −3±❑√17
联立 ，解得：n= ，
d+n=3 2
∴点E的坐标为( −3−❑√17)或( −3+❑√17)．
1, 1,
2 2综上，存在 或 或( −3−❑√17)或( −3+❑√17)使以点 、 、 、 为顶点的四边
E(−1,−2) (5,−2) 1, 1, B C D E
2 2
形是矩形．
1．（2023·广东江门·统考一模）如图，已知抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与x轴交于A、B两点，与y轴交
于点C，点A在点B左侧，点B的坐标为(1,0)，点C的坐标为为(0,−3)．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点D是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点E，使以A、C、D、E为顶点且以AC为一边的四边
形是平行四边形﹖若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=−x+3交坐标轴于B、C两
点，抛物线y=ax2+bx+3经过B、C两点，且交x轴于另一点A(−1,0)．点D为抛物线在第一象限内的一
点，过点D作DQ∥CO，DQ交BC于点P，交x轴于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在∠DCP=∠DPC，求出m值；
（3）在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的
矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．4 8
3．（2023·山西晋城·统考一模）综合与探究：如图，抛物线y= x2+ x−4与x轴交于A，B两点（点A
3 3
在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时
点D的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为
顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：
y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，其对称轴直线l与x轴交于点D．
（1）求抛物线L的函数表达式．
（2）将抛物线L向左平移得到抛物线L′，当抛物线L′经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F
为抛物线L′对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以AE为边的菱
形，请求出满足条件的点M的坐标．5．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2−2x−3与x轴交
于A、B两点（A点在B点的左侧），直线y=x+m与抛物线交于A、C两点．
（1）求点C的坐标；
（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交AC于E点，当EP最长时求此时点P的坐
标；
（3）抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以A,B,M,N为顶点的四边形为平行四边形？若存在
请求出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．1
6．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A(4,0)，
2
1
B(−1,0)两点，直线y=− x+m与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E．
2
（1）求出抛物线与直线的解析式；
（2）已知点K为线段AD上一动点，过点K作y轴的平行线交抛物线于点H，连接DH、AH，求△AHD
的最大面积；
（3）若点M是x轴上的一动点，点N是抛物线上一动点，当以点E、B、M、N四点为顶点的四边形是平
行四边形时，请你直接写出符合条件的点N的坐标．7．（2023·宁夏银川·校考二模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，过点A的
直线l交抛物线于点C(2,m)．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴的正半轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是
平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．8．（2023·湖南娄底·统考一模）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交
于点C，且点A、B的坐标分别为A(−2,0)、B(4,0)，点C的坐标为C(0,6)．点D是抛物线第一象限上一
个动点，设点D的横坐标为m(0<m<4)，连接BC、DC、DB．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当四边形BOCD的面积最大时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是拋物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，
使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请
说明理由．
9．（2023春·广东东莞·九年级校考开学考试）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，
PD交AC于点E，作PF⊥AC，垂足为F，若点P的横坐标为t，请用t的式子表示PE，并求△PEF的面
积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上是否存在点P，使得以点A，P，C，Q
为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由．
10．（2023春·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点
A(−1,0)，B(0,3)，C(3,0)．（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设△PBC的面积为S，求S的最大值及此时点P的坐标；
（3）已知M是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N，使以B、C、M、N为顶点的四边形是矩
形？若存在，直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2023·广西贵港·统考三模）如图，抛物线y=ax2+2ax+c与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B
两点，点A在点B左侧，点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是第三象限抛物线上的动点，连接AC，当△ACD的面积为3时，求出此时点D的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+2ax+c向右平移2个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点M，N在原抛物
线的对称轴上，H为平移后的抛物线上一点，当以A、M、H、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直
接写出点H的坐标．
1
12．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于点A和点B(4，0)，与y轴
2
交于点C(0，4)，点E在抛物线上．（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点
E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；
（3）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．
13．（2023·广东佛山·统考三模）如图，抛物线y=−x2+bx+c交直线y=−x+4于坐标轴上B,C两点，交
x轴于另一点A，连接AC．（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段BC上一点，过点D作直线l∥AC，交x轴于点E．连接AD，求△ADE面积的最大值；
（3）若在直线l上存在点P，使得以点A,C,D,P为顶点的四边形为菱形，求点P的坐标．
3 3
14．（2023·山西大同·校联考三模）综合与探究：如图，抛物线y= x2− x−6与x轴交于A，B两点
4 2
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m(1<m<4)，连
接AC，BC，DC，DB．（1）求A，B，C三点的坐标；
3
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的 时，求m的值；
4
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点M，
使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请
说明理由．
15．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0),C(0,3)两点，并交x
轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
1
y=− x2−x+4与x轴分别交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点．
2（1）求△ABC的面积；
❑√2
（2）点P为直线AC上方抛物线上的任意一点，过点P作PD∥y轴交直线AC于点D，求PD+ CD的
2
最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E为原抛物线与平移后的
抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点N为坐标平面内的一点，直接写出所有使得
以点B、E、M、N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的求解过程写出
来．
17．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校联考期中）综合与探究
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，直线y=2x−6与抛物线交于点B、1
点C，直线y=− x−1与抛物线交于点A，与y轴交于点E，与直线y=2x−6交于点F．
2
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M(m,n)在抛物线上，当−4≤m≤2时，直接写出n的取值范围；
（3）H是直线CB上一点，若S =2S ，求点H的坐标；
△ECH △ECF
（4）P是x轴上一点，Q是平面内任意一点，是否存在以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？者存在，
请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴
交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点．（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线y=x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以
PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
19．（2023·安徽安庆·校考一模）如图，直线y=mx+n(m≠0)．与抛物线y=−x2+bx+c交于A(−1,0)，
B(2,3)两点．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C在抛物线上，且△ABC的面积为3，求点C的坐标；
（3）若点P在抛物线上，PQ⊥OA交直线AB于点Q，点M在坐标平面内，当以B,P,Q,M为顶点的四
边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．
20．（2023·四川·九年级专题练习）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C
，点B的坐标为(1,0)，对称轴是直线x=−1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛
物线于点N．（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时
点P的坐标．
（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存
在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
