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22025 年秋季新九年级开学摸底考试模拟卷
数学•全解全析
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上.
1．二次函数 的图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式解答即可求解，掌握二次
函数的顶点式是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴二次函数 的图象的对称轴为直线 ，
故选： ．
2．用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，其步骤为：把常数项移到等号的右边；把
二次项的系数化为 ；等式两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平
方式，右边化为一个常数．
根据配方法解一元二次方程的步骤即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：B ．3．每一个外角都是 的正多边形是（ ）
A．正四边形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和是 和这个多边形
的每一个外角都等于 ，即可求得多边形的边数．
【详解】解：∵多边形的外角和是 ，这个多边形的每一个外角都等于 ，
∴这个多边形的边数是 ，
∴每一个外角都是 的正多边形是正五边形，
故选：B．
4．如图，在平行四边形 中， ，E为 上一动点，M，N分别为 ， 的
中点，则 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．不确定
【答案】A
【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基
础性质．根据平行四边形的性质可得 ，再根据三角形中位线的性质，求解即
可．
【详解】解：在平行四边形 中， ，
∴ ，
∵M，N分别为 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故选：A
5．下列判断错误的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．对角线相互垂直的矩形是正方形
C．一组邻角互补的四边形是平行四边形D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
【答案】C
【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形、平行四边形的性质，据此相关内容性质进行逐
项分析，即可作答．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故该说法是正确的；
B、对角线相互垂直的矩形是正方形，故该说法是正确的；
C、一组邻角互补的四边形不能证明是平行四边形，故该说法是错误的；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故该说法是正确的；
故选：C
6．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭8次，三人的测试成绩如下表：
甲的成绩
环
数
频
数
乙的成绩
环
数
频
数
丙的成绩
环
数
频
数
分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的方差，下面各式中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】本题考查了方差，熟记方差公式是解题的关键，方差公式计算即可解答．
【详解】解：甲的平均数为
方差 ；
乙的平均数为
方差 ；
丙的平均数为
方差 ；
所以
故选：D．
7．如图，在 中， ， 于点E，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质，掌握平行四边形对角相等是解题
的关键．
根据平行四边形的性质，可得 ，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解： 在 中，
，
，
，
故选B．
8．如图，在正方形 中，点E，F分别是 边上的点， ，且
，过点E作 于点H，过点F作 于点G， 交于点
D，连接 设 ， ， ，给出下面三个结论：① ；② ；③ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，①根据
即可判断；②根据题意可推出四边形 是正方形，结合
即可判断；③证 ，结合 即可判断；
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴
∴
即： ，故③错误；
∵ ， ，
∴四边形 均是矩形
∵ ，
∴四边形 是正方形
∴
∴
∵
∴ ，故①正确；∵ ,
∴
∵
∴
∴
∵
∴ ，故②正确；
故选：A
二、填空题：本题共7小题，每题3分，共21分．
9．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，那么k的取值范围是
．
【答案】 且
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，
并注意本题易忽略二次项系数不为0的情况．
因为一元二次方程有两个不等实数根，所以 且 ，求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得： ，
∵该方程为一元二次方程，
∴ ，
故答案为： 且 ．
10．已知一次函数图象经过第二、四象限，且不经过点 ，请写出一个符合条件的函数
解析式为 ．【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题， (k≠0)当 时经过第
二、四象限；当 时经过第一、三象限．
正比例函数经过二、四象限，得到 ，又不经过 ，得到 ，由此即可求解．
【详解】解：∵正比例函数 经过二、四象限，
∴ ，
当 经过 时， ，
由题意函数不经过 ，说明 ，
故可以写的函数解析式为： ，
故答案为： （答案不唯一）．
11．若点 ， 在抛物线 上，则 与 的大小关系为
（填“ ”，“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
分别求出 与 的值，再比较大小即可．
【详解】解：当 时， ，
当 时， ，
∴ ，
故答案为： ．
12．如图，已知四边形 是矩形， ，点E在 上， ．若 平分
则 的长为 ．【答案】10
【分析】由矩形的性质可得 ， ，由角平分线和平行线的性质可证
，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌
握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解： 平分 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
，
故答案为：10．
13．据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国
原油产量从2021年到2023年增长了 ，设这两年的平均增长率为x，依题意可列方程
为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．利用2023年原油产量=2021年原油产量×（1+这两年的平均增长
率） ，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得： ，即 ．故答案为： ．
14．小明同学想利用“ ， ， ”，这三个条件作 ．他先
作出了 和 ，再作 ，那么 的长是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分 为钝角和锐角，
两种情况进行讨论求解．
【详解】解：过点 作 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ；
当 为钝角时，则： ；
当 为锐角时，则： ；
故答案为： 或 ．
15． 级数学活动中，有小菲、小冬、小敏三位同学进入最后冠军的角逐．决赛共分为
六轮，规定：每轮分别决出第一二三名（不并列），对应名次的得分分别为 （
，且 均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军，下
表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分小菲 26
小冬 12
小敏 10
根据表中信息可得，每轮比赛第二名得分为 分，小敏恰有 轮获得第二名．
【答案】
【分析】根据“每轮分别决出第一二三名（不并列）”及“小菲的得分最高为 ”可计算
出 的值．假设小敏有一轮获得第一，分析三人的实际得分情况即可求解．
【详解】解：∵每轮分别决出第一二三名（不并列）
∴
∴
∵小菲的得分最高为
∴
∵ ，且 均为正整数
∴ 的最小值分别为
∴
故
所以每轮比赛第二名得分为 分；
∵
∴小菲 轮得第一， 轮得第三
设小敏有一轮获得第一，则小敏的得分至少为： （分）
与小敏的实际得分不符合
故小敏没有一轮得第一，小冬有一轮获得第一
∵ （分）
即小冬剩余未知的三轮总分为4分，
∴剩下三轮只能是1轮第二，2轮第三，
∴小冬 轮得第一， 轮得第二， 轮得第三，
又∵小菲 轮得第一， 轮得第三，三人第一、第二和第三的总数都是6，∴小敏 轮得第二， 轮得第三
故答案为：
【点睛】本题考查了不定方程在实际问题中的应用．合理假设是解题关键．
三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于 ，求 的取值范围．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及求根公式：
（1）根据根与系数的关系判断即可；
（2）利用求根公式判断即可．
【详解】（1）证明：
该方程总有两个实数根
（2）解：根据求根公式得
该方程有一个根小于
17．如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点O，过点A作 于点E，延长
到点F，使 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线
性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
（1）根据菱形的性质得到 且 ，等量代换得到 ，推出四边形
是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得 ，由勾股定理求出 ， ，再由直角
三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ 且 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 中， ，
在 中， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ．
18．已知抛物线 图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
(1)求此抛物线的解析式；
(2)画出函数图象，结合图象直接写出当 时，y的范围．
【答案】(1) ，
(2) ．
【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，二次函数的图象性质等知识点，解决此
题关键是能根据表格里的数据得到对称轴．
（1）根据表格里的数据得到对称轴 ，可设抛物线解析式，再找一个组 值代入即
可；
（2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系里描出点，用平滑的曲线连接即可；根据图象
的性质，即可得到 时，y的范围．
【详解】（1）解：由表格可知对称轴为 ，所以可设抛物线的解析式为 ，
∵ 时， ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：函数图象如图所示由（1）可知 ，对称轴为 ，
所以令 时， ，
当 时，
∴ 能取到最小值 ，
即 ．
19．某兴趣小组通过实验研究发现：当音量 （单位：dB）满足 时，听觉舒适
度 与音量 之间满足二次函数关系．当音量为 时，听觉舒适度为6；当音量为
时，听觉舒适度达到最大值 ．
(1)求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；(2)在家听音乐时，小明听到的音量 与所坐位置到音箱的距离 （单位： ）的关系如图
2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱
的距离 的取值范围______（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1) ，图象见解析；
(2)
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、从函数图象获取信
息等知识．
（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，再画出二次函数的图象即可；
（2）当 时， ，解得 或 ，由图2可得，当 时，
，当 时， ，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可设， ，
当音量为 时，听觉舒适度为6；
∴ ，
解得 ，
∴该二次函数的解析式为 ；
图象如下：（2）当 时， ，
解得 或 ，
由图2可得，当 时， ，当 时， ，
∴小明所坐位置到音箱的距离 的取值范围 ，
故答案为：
20．在平面直角坐标系xOy中，点 在抛物线 上，设抛物线的对
称轴为直线 .
(1)当 时，求t的值；
(2)点 ， 在抛物线上，若 ，比较 ， 的大小，并说明理由.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数图象与性质、熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
（1）根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线 ，结合已知求解即可；
（2）先根据已知求得 ，进而求得 ，然后根据抛物线的开口向上，得到离
对称轴越远，函数值越大求解即可．【详解】（1）解：∵点 在抛物线 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
由 得抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，则 或 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，又抛物线的开口向上，
∴ ．
21．已知 ，将 绕点 逆时针旋转 到 ，使得点 的对应
点 落在直线 上．
(1)①依题意补全图1；
②若 垂直 ，直接写出 的值；
(2)如图2，过 作 的平行线 ，与 的延长线交于点 ， 交 于点 ，取
的中点 和 的中点 ，写出线段 与 的数量关系，并证明．【答案】(1)（1）①作图见解答；②
(2) ，理由见解析
【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，平行线的性质，三角形内角和
定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，添加辅助线构造全等三角形是解
题关键．
（1）①根据题意补全图形即可；
②由旋转得 ， ，旋转角度为 ，得出 ，则
，结合 垂直 ，求得 ，即可解答；
（2）连接 并延长，交 延长线于点 ，连接 ，先证明 ，再证明
，得 ， ，利用平行得 ，则可得
，则 ，再证明 是 的中位线，即可得．
【详解】（1）解：①补全图形如图，
②由旋转得 ， ，旋转角度为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
如图，连接 并延长，交 延长线于点 ，连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
由旋转得 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
即： ．
22．在平面直角坐标系 中，对于相交的直线 ， 和图形W，给出如下定义：如果在
图形W上存在两个不重合的点M，N，使得点M到直线 的距离与点N到直线 的距离相
等，则称图形W是直线 ， 的“相合图形”．
如图1，直线 ， 交于点P，三角形W是直线 ， 的“相合图形”(1)已知点 ，线段 上任一点到x轴的距离为______，若线段
是x轴，y轴的“相合图形”，写出一个m的值为______；
(2)点C，D在直线 上，点C在点D左侧且 ，若线段 是直线 ，x轴
的“相合图形”，直接写出点C的横坐标 的取值范围；
(3)直线 与x轴，y轴分别交于E，F两点，边长为2的正方形 的四条边分别与两
坐标轴垂直，其中心T在直线 上，若在线段 上存在点 ，使得正方形
是直线 的“相合图形”，直接写出点T的横坐标t的取值范围．
【答案】(1)2，
(2)
(3) ，或
【分析】（1）根据 轴， 到x轴的距离为2，线段 是x轴，y轴的“相合图
形”，得到 ，可以取 （答案不唯一）；
（2）根据 ，点C在点D左侧且 ，得到 ，当
，得到 ，当 ，得到 ；根据线段 是直线
，x轴的 “相合图形”，上面两点不重合，即得 ；（3）设正方形为 ，直线 交坐标轴于 ，根据点 在直
线 上，得到 ，作直线 、 ，根据正方形特点得到
，得到 ， 过点
F、E作与x轴成最小角为 的射线 ，当点Q在直线 上，且到直线
的距离相等时， ， ，得到 ；当点M在直
线 上，且到直线 的距离相等时， ， ，得到
；当点N在直线 上，且到直线 的距离相等时，
， ，得到 ；当点P在直线 上，且到直线 的
距离相等时， ， ，得到 ，根据正方形的四个顶点到直线
的距离相等时，在边上可以找到另外的点到直线 的距离与之相等，
即得 ，或 ．
【详解】（1）∵点 ，
∴ 轴， 到x轴的距离为2，
∵线段 是x轴，y轴的“相合图形”，
∴线段 上异于点A的另一点到y轴的距离为2，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，取 （答案不唯一），
故答案为：2， ；
（2）设直线 分别交x轴、y轴于点E、F，
中，令 ，则 ，
∴ ；
令 ，则
∴ ，
∴ ，
∵点C，D在直线 上，
∴ ，
∵点C在点D左侧且 ，
∴ ，
∴C，D的水平距离和竖直距离都是1，
∴ ，
∵线段 是直线 ，x轴的“相合图形”，
∴当点C到直线 ，x轴的距离相等时，
，解得， ；
当点D到直线 ，x轴的距离相等时，
，
解得， ，
∵线段 上两个点不重合，
∴ ；
故点C的横坐标 的取值范围是： ；
（3）设正方形为 ，如图，在 中，令 ，则 ，令 ，则 ，
∴ ，
∵点 在直线 上，
∴ 为 ，
过点 作直线 、 ，
∵正方形边长为2，四条边分别与两坐标轴垂直，中心T在直线 上，点T的横坐
标为t，
∴ ，∴ ，
过点F、E作与x轴成最小角为 的射线 ，
∵正方形是直线 的“相合图形”，
∴当点Q在直线 上，且到直线 的距离相等时， ，∵
此时 ，
∴ ，
∴ ；
当点M在直线 上，且到直线 的距离相等时， ，
∵此时 ，
∴ ，
∴ ；
当点N在直线 上，且到直线 的距离相等时， ，
∵此时 ，
∴ ，
∴ ；当点P在直线 上，且到直线 的距离相等时， ，
∵此时 ，
∴ ，
∴ ，
∵当点P在直线 上，到直线 的距离等于16时，点N到直线 的距离等于
16，点Q到直线 的距离等于16,
∴可以找到不同两点到直线 的距离等于16，
同理，点Q，M，N到直线 的距离相等时，也可以找到另外一点到直线
的距离与之相等，
故t的取值范围是： ，或 ．
【点睛】本题主要考查了新定义——“相合图形”．熟练掌握新定义性质，两点间的距离
计算方法，点到坐标轴的距离，点到平行坐标轴的直线的距离，等腰直角三角形性质，正
方形性质，分类讨论，是解决问题的关键．
