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专题 22.5 二次函数综合——特殊四边形问题
【典例1】如图1，抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作
PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标；
（3）如图3，将抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新
的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是
矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．
【思路点拨】
（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）设 ，则 ，进而得到 ， ；再表示出
P(a,a2−2a−3) Q(a+1,a2−4) M(a,a−3) N(a+1,a−2)
，最后根据二次函数的性质即可解答；
PM+QN=−2a2+4a+2=−2(a−1) 2+4
（3）分以BC为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解
答即可．
【解题过程】
（1）解：把A(−1,0)和B(3,0)代入y=ax2+bx−3(a≠0)，得
{ a−b−3=0 )
，解得a=1，b=−2
9a+3b−3=0
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3．（2）解：设 ，则 .
P(a,a2−2a−3) Q(a+1,a2−4)
又l :y=x−3
BC
∴M(a,a−3)，N(a+1,a−2)
∴PM=−a2+3a，QN=−a2+a+2
∴
PM+QN=−2a2+4a+2=−2(a−1) 2+4
∴当a=1时，(PM+QN) =4
max
∴Q(2,−3)．
（3）解：由题意可得： ，
y′=(x−1) 2 −2(x−1)−3−1=x2−4x−1=(x−2) 2 −5
∴y′的对称轴为x=2
∵抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与y轴交于点C．
∴C(0,−3),
∵B(3,0),
∴OC=OB=3,∠BCO=∠CBO=45°；
①如图：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴，
∵D在y′的对称轴为x=2，
∴FD=2，
∴CF=FD=2,OF=3+2=5,即点D(2,−5)，
∴点C向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移3个单位
可得到E(5,−3)；
②如图：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y′的对称轴为x=2与x轴交于F，∵D在y′的对称轴为x=2，
∴FO=2，
∴BF=3−2=1，
∵∠CBO=45°，即∠DBO=45°，
∴BF=FD=3−2=1 ,即点D(2,1)，
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位
可得到点E(−1,−2)；
③如图：当BC为矩形对角线时，设D(2,d)，E(m,n)，
(3 3)
∴BC的中点F的坐标为 , ，
2 2
2+m 3
{ = )
2 2 { m=1 )
∴ ，解得：
d+n 3 d+n=3
=
2 2
又∵DE=BC,
∴(2−1) 2+(d−n) 2=32+32，解得： { d+n=3 ) ，
d−n=±❑√17
{d−n=±❑√17) −3±❑√17
联立 ，解得：n= ，
d+n=3 2
∴点E的坐标为( −3−❑√17)或( −3+❑√17)．
1, 1,
2 2综上，存在 或 或( −3−❑√17)或( −3+❑√17)使以点 、 、 、 为顶点的四边
E(−1,−2) (5,−2) 1, 1, B C D E
2 2
形是矩形．
1．（2023·广东江门·统考一模）如图，已知抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与x轴交于A、B两点，与y轴交
于点C，点A在点B左侧，点B的坐标为(1,0)，点C的坐标为为(0,−3)．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若点D是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点E，使以A、C、D、E为顶点且以AC为一边的四边
形是平行四边形﹖若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=−x+3交坐标轴于B、C两
点，抛物线y=ax2+bx+3经过B、C两点，且交x轴于另一点A(−1,0)．点D为抛物线在第一象限内的一
点，过点D作DQ∥CO，DQ交BC于点P，交x轴于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在∠DCP=∠DPC，求出m值；
（3）在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的
矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．4 8
3．（2023·山西晋城·统考一模）综合与探究：如图，抛物线y= x2+ x−4与x轴交于A，B两点（点A
3 3
在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点D是第三象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时
点D的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，点Q是平面内一点，试探究，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为
顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：
y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，其对称轴直线l与x轴交于点D．
（1）求抛物线L的函数表达式．
（2）将抛物线L向左平移得到抛物线L′，当抛物线L′经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F
为抛物线L′对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以AE为边的菱
形，请求出满足条件的点M的坐标．5．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2−2x−3与x轴交
于A、B两点（A点在B点的左侧），直线y=x+m与抛物线交于A、C两点．
（1）求点C的坐标；
（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作y轴平行线交AC于E点，当EP最长时求此时点P的坐
标；
（3）抛物线顶点为M，在平面内是否存在点N，使以A,B,M,N为顶点的四边形为平行四边形？若存在
请求出N点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．1
6．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A(4,0)，
2
1
B(−1,0)两点，直线y=− x+m与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E．
2
（1）求出抛物线与直线的解析式；
（2）已知点K为线段AD上一动点，过点K作y轴的平行线交抛物线于点H，连接DH、AH，求△AHD
的最大面积；
（3）若点M是x轴上的一动点，点N是抛物线上一动点，当以点E、B、M、N四点为顶点的四边形是平
行四边形时，请你直接写出符合条件的点N的坐标．7．（2023·宁夏银川·校考二模）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，过点A的
直线l交抛物线于点C(2,m)．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴的正半轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是
平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．8．（2023·湖南娄底·统考一模）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交
于点C，且点A、B的坐标分别为A(−2,0)、B(4,0)，点C的坐标为C(0,6)．点D是抛物线第一象限上一
个动点，设点D的横坐标为m(0
