文档文本内容
培优点02 指对同构问题
题型方法
题型一 同构法的理解
题型二 同构法的应用
把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这
个函数模型的方法就是同构法．同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题．
【题型一】同构法的理解
【例1】若
(a，b 为变量)成立，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】【变式1】（2021·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称
为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于
的方程
和关于
的方程
（
，
，
）可化为同构方程，则
，
．
【变式2】（24-25 高三上·黑龙江鸡西·期中）同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式
结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结
构的等式或不等式问题.如
与
（可化为
）可以同构为
.若已知
恒成立，则
的取值范围是 .
【变式3】（2025 高三·全国·专题练习）对不等式
进行同构变形，并写出相应的同构函数.
题型梳理
知识清单
题型方法
【题型二】同构法的应用
【例2】（2022·河南·模拟预测）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝.
其中①④可以借助＝＝，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t 进行指对互化．
【举一反三】【变式1】（2020·陕西榆林·一模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·河南郑州·三模）若直线
为曲线
的一条切线，则
的最小值为 ．
【变式3】（2024·内蒙古·三模）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
好题必刷
一、单选题
1．（2020·河南焦作·一模）已知对任意的
，
都有
恒成立，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．0
D．
2．（2025·海南·模拟预测）已知函数
，设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·陕西西安·模拟预测）已知
，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·广东茂名·一模）e 是自然对数的底数，
，已知
，则下列结论一定正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
三、填空题
6．已知a，b，
，且
，
，
，则a，b，c 的大小关系是 .
（用“<”号连接）．
7．已知函数
，若不等式
对
恒成立，则实数
的取值范围为 .
8．已知
，若对于任意的
，不等式
恒成立，则
的最小值为 .
9．（2025·重庆·三模）已知
，
恒成立，则实数
的取值范围是 .
四、解答题
10．（2025·山东济南·三模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
(3)记
的极小值为
，证明：
．
11．（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数
.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的最小值；
(3)求证：
.
12．（2025·山东·模拟预测）已知函数
，曲线
在
处的切线方程为
．
(1)求实数
的值
(2)证明：
．
13．（2023·广东汕头·三模）设
，
，
(1)证明：
；
(2)若存在直线
，其与曲线
和
共有3 个不同交点
，
，
，求
证：
，
，
成等比数列.
14.（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数
．
(1)证明：
；
(2)证明：
在其定义域内为减函数；
(3)若在
的定义域内，
恒成立，求实数
的取值范围．
15.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：
；
(3)若
，求
的取值范围．
16.（2025·青海海东·三模）已知函数
，
．
(1)求
的极值；
(2)当
时，讨论
的单调区间；
(3)若
，
，求
的取值范围．
