文档文本内容
拔高点突破 03 导数中的朗博同构、双元同构、指对同构
与二次同构问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................5
题型一：同构法的理解........................................................................................................................5
题型二：利用同构比较大小................................................................................................................7
题型三：方程同构................................................................................................................................9
题型四：零点同构..............................................................................................................................11
题型五：双元同构..............................................................................................................................18
题型六：朗博同构..............................................................................................................................22
题型七：利用同构解决不等式恒成立问题......................................................................................25
题型八：利用同构求最值..................................................................................................................29
题型九：利用同构证明不等式..........................................................................................................32
03 过关测试.........................................................................................................................................37方法技巧总结一、常见的同构函数图像
函数表达式 图像 函数表达式 图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点函数极值点
函数极值点
方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程 和 呈现同构特征，则 可视为方程
的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进
而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”： ， ；寻找“亲戚函数”是
关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果 满足的方程为同构式，则 为方程所表示曲
线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线 的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于 与 的同
构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
ex ≥x+1(x=0);ex ≥ex(x=1)
3、常见的指数放缩：
1 x
1− ≤lnx≤x−1(x=1);lnx≤ (x=e)
x e
4、常见的对数放缩：
( π)
x∈ 0, ,sinx<x<tanx
2
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1） 且 时，有
（2） 当 且 时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中 ）
（3）（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnx x-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以
第（3）条为例进行引申：
（7） ；
（8） ；
7、同构式问题中通常构造亲戚函数 与 ，常见模型有：
① ；
② ；
③
8、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘 同构，如 ；
（2）加法同构，即加 同构，如 ，
（3）两种构法的区别：
①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数 与 易实现，但构造的函数 与 均不是单调函
数；
②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范
围；题型一：同构法的理解
【典例1-1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ．
【解析】（1）显然 ，则 ， .
（2）显然 ，则 ， .
（3）显然 ，则 ， .
（4）显然 ，则
， .
（5） ， .
（6） ， ， .
（7） ， .
（8） ， .
【典例1-2】关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围是 .
【答案】【解析】不等式 ，得 ，
即 ，
设函数 ， ，故 在 上单调递增，
而 ，即 ，
则 ， ，
即存在 ，使 ，即 ，
设 ， ，得
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值 ，即
故答案为：
【变式1-1】（2024·内蒙古·三模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1） 的定义域为 .
关于 的方程 ，
当 时， ， ，所以 在 上单调递增.
当 时， ，此时 ，
，所以 在 上单调递增.
当 时，则 是方程 的两根.
又 ，所以 ，
令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由 ，可得 ，即 .
令 ，易知 单调递增.
由 ，可得 ，则 ，即 .
设 ，则 ，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 ，
所以 ，则 的取值范围为 .
题型二：利用同构比较大小
【典例2-1】已知 ，且 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设函数 ， ，当 ，此时 单调递增，当
，此时 单调递减，由题 ， ， ，得
，因为 ，所以 ，则
，且 ，所以 .
故选：A.
【典例2-2】已知 ．且 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】令 ，则 ，即 在 上单调递减，
∴ ，即 ，
设 ，则 ，
即 在 上单调递增，
又∵ ，∴ .
故选： .
【变式2-1】已知a，b， ，且 ， ， ，则a，b，c的
大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】构造函数 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
，
，
，
因为 ，所以 ，即 ，
而a，b， ，所以 ，
故选：C
【变式2-2】已知 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ， ，
构造函数 ，其导函数 ，令 ，解得： ，列表得：
+ 0 -
极大值
所以 在 上单增.
因为 ，所以 ，即
故选:D.
题型三：方程同构
【典例3-1】（江苏省常州市前黄高级中学2023-2024学年高三期初数学试题）已知实数 满足 ，
，则 ．
【答案】
【解析】根据题意，显然 是正数. 由 ，两边取对数得， ，即
，又 ，即 ，利用 ，于是 ，记
， ，故 在 上递减，
由 ，于是 ， .
故答案为：
【典例3-2】（江苏省泰州市泰兴中学2023-2024学年高三期中数学试题）已知实数a，b满足 ，
则ab＝ ．
【答案】
【解析】构造函数 ，定义域为R.
因为，所以 在R上单调递减.
因为实数a，b满足 ，
所以 ，所以 .
而 ，所以 ，所以 ，所以 .
故答案为： .
【变式3-1】设x，y为实数，且满足 ，则 （ ）
A．2 B．5 C．10 D．2018
【答案】A
【解析】由题意可设 ，
可得导数 ，
即 为R上的增函数；
又 ，
即 为奇函数，
，可得
，
可得 ，
由 在R上递增，可得 ，
即有 ．
故选A．
【变式3-2】同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如： ， ，称
与 为同构式．已知实数 满足 ， ，则 ．
【答案】5
【解析】易判断 为增函数， ，
，
即 ， ，
所以 ， .
故答案为：5
【变式3-3】（2024·高三·辽宁大连·期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子
称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于 的方程 和关于b的方程 可化为同构方程，则 的值为（ ）
A． B．e C． D．1
【答案】A
【解析】对 两边取自然对数，得 ①，
对 两边取自然对数，得 ，
即 ②，
因为方程①②为两个同构方程，所以 ，解得 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以方程 的解只有一个，
所以 ，所以 ．
故选：A
题型四：零点同构
【典例4-1】（2024·高三·天津西青·期末）已知函数 和 ．
(1)若曲线数 与 在 处切线的斜率相等，求 的值；
(2)若函数 与 有相同的最小值．
①求 的值；
②证明：存在直线 ，其与两条曲线 与 共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点
的横坐标成等差数列．
【解析】（1） ，
由题知 ，即 ，即 .
（2）① 的定义域为 ，而 ，
若 ，则 ，此时 无最小值，不合题意，故 .
令 ，得 ，
当 单调递减，
当 单调递增，
所以 .的定义域为 ，而 .
当 单调递减，
当 单调递增，
所以 .
因为 和 有相同的最小值，
故 ，整理得到 ，其中 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，而 ，
故 的唯一解为 ，故 的解为 .
综上， .
② ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增；
在 上单调递减，在 上单调递增，且 .
当 时，此时 ，
显然 与两条曲线 和 共有0个交点，不符合题意；
当 时，此时 ，
故 与两条曲线 和 共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
当 时，首先，证明 与曲线 有2个交点，
即证明 有2个零点， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ，
(令 ，则 )，
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且
只存在1个零点，设为 .
其次，证明 与曲线和 有2个交点，即证明 有2个零点， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又因为 ，
（令 ，则 ）
所以 在 上存在且只存在1个零点，设为 ，在 上存在且只存在1个零点，设为 ，
再次，证明存在 ，使得 ，
因为 ，所以 ，
若 ，则 ，即 ，
所以只需证明 在 上有解即可，
即 在 上有零点，
因为 ，
所以 在 上存在零点，取一零点为 ，令 即可，
此时取
则此时存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
最后证明 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以 ，
又因为 在 上单调递减， 即 ，所以 ，
同理，因为 ，
又因为 在 上单调递增， 即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即直线 与两条曲线 和 从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【典例4-2】（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数 和 有相同的最小值．(1)求 ；
(2)是否存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横
坐标成等差数列？说明理由．
【解析】（1）
由题意可得 ， ．
①若 ， 在 上恒成立， 在 上单调递增，
即 无最小值；
②若 ，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
所以 在 处取得最小值 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得最小值 ，
又 与 有相同的最小值，
所以 ， ，
设 ， ，则 ，
令 ，则 ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
所以 在 处取得最小值 ，则当 时， 恒成立， 单调递增．
又 ，所以 ．
（2）由（1）得 ， ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
所以 和 的图象在 上有唯一交点，且交点的纵坐标大于1，由函数的单调性及图象可得存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，
当直线 与曲线 和 共有三个不同交点时，设三个交点的横坐标分别为 ，且
，
则 ，
因为 ， ，
所以 ，
由 图象可知 无解，
所以 ， ，所以 ， ，
则 ， ，
上述两式相减得 ，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
【变式4-1】（2024·上海嘉定·一模）已知 ．
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线 有唯一交点；
(3)对于常数 ，若直线 和曲线 共有三个不同交点 ，其
中 ，求证： 成等比数列．
【解析】（1）由题意可知： 的定义域为 ， 的定义域为 ，
，
当 时，得 ，此时函数 单调递增，
当 时，得 ，此时函数 单调递减，
因此函数 极大值为 ，
单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时，得 ，此时函数 单调递增，
当 时，得 ，此时函数 单调递减，
因此函数 极大值为 ，
单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，所以函数 极大值为 ，单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
函数 极大值为 ，单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）设 ，
设 ，
设 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，
设 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，
因此有 ，当 时取等号，
于是有 ，
因此 单调递减，而 ，
根据函数零点存在原理，当 时，函数 在 内有唯一零点，
因此 有唯一实根，因此曲线 有唯一交点.
（3）由（1）可知两个函数的最大值均为 ，
且函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
由（2）可知曲线 有唯一交点，且交点在 内，
因为直线 和曲线 共有三个不同交点 ，其中 ，
因此两条曲线必过两个曲线的交点，
所以有 ，因此有 ，
因为 ， ， 在 上单调递增，
所以有 ，
同理 ， ，而函数 在 单调递减，
所以有 ，而 ，所以 ，
因此 成等比数列.
【变式4-2】已知函数 和 有相同的最大值 .
(1)求 ；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个
交点的横坐标成等比数列.
【解析】（1） ，
当 时，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，即 ；
当 时，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以当 时，函数 有最小值，没有最大值，不符合题意，
由 ，
当 时，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，即 ；
当 时，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以当 时，函数 有最小值，没有最大值，不符合题意，于是有 .
（2）由（1）知，两个函数图象如下图所示：
由图可知：当直线 经过点 时，此时直线 与两曲线 和 恰好有三个交点，不
妨设
且 ，
由 ，又 ，
又当 时， 单调递增，所以 ，
又 ，又 ，
又当 时， 单调递减，所以 ，
；
于是有 .
题型五：双元同构
【典例5-1】已知函数 ．
当 时，求函数 的单调增区间；
若函数 在 上是增函数，求实数a的取值范围；
若 ，且对任意 ， ， ，都有 ，求实数a的最小值．
【解析】 当 时， ．则
令 ，得 ，即 ，解得： 或 ．
因为函数的定义域为 ，
所以函数 的单调增区间为 ．
由函数 ．
因为函数 在 上是增函数，
所以 对 恒成立
即 对 恒成立．
所以
即实数a的 取值范围是 ．
因为 ，由 知函数 在 上是增函数．
因为 ， ， ，不妨设 ，所以
由 恒成立，可得 ，
即 恒成立．
令 ，则 在 上应是增函数
所以 对 恒成立．
即 对 恒成立．
即 对 恒成立
因为 当且仅当 即 时取等号 ，
所以 ．
所以实数a的最小值为 ．
【典例5-2】（河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学试题）已知对任意的 ，
都有 恒成立，则实数 的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】B【解析】通过构造函数，把问题转化为 ，进而转化为 对任意的 恒成立，
然后，对 进行分类讨论，进而可得解解析：∵ ，∴ ，
.
∴
设 ，问题转化为 对任意的 ， 恒成立，则有 时为
对任意的 ， 仍然成立，则问题转化为 对任意的 恒成立，当
时，显然成立；当 时， ，所以 ；当 时， ， .
综上 .
故选：B
【变式5-1】（四川省成都市第七中学2023-2024学年高三阶段性考试数学试题）若实数 ， 满足
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以
所以 所以
令 ，则 即
所以
令 ，
令 解得 ，令 解得 ，
所以 在 单调递增， 单调递减，
，
要使 成立，即 ，
则当且仅当 ，
所以 解得 ，
所以 ，故A正确；，故B错误；
，故C错误；
，故D错误.
故选:A.
【变式5-2】（山西省太原市2024届高三期中数学试题）已知 ，对任意
都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，不妨设 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
令 ，
则 ，所以 在 上为减函数，
所以 在 上恒成立，
因为 在 上单调递减，所以 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 成立，符合题意；
当 时，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，不符合题意.
综上，实数 的取值范围是 .
故选：C.
【变式5-3】对于任意 ， ，当 时，恒有 成立；则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C【解析】对于任意 ， ，当 时，恒有 成立，
即 成立，
令 ，∴ ，
∴ 在 上单调递减，
∴ 在 恒成立，∴ 在 恒成立，
∵当 ， ，∴实数 的取值范围为 ，故选C.
【变式5-4】（多选题）（重庆市2024届高三冲刺押题联考（二）数学试题）若实数 ， 满足
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】依题意可知 ，
不等式 可化为 ，
设 ，则 ，
即 ，
设 ， ，
所以 在区间 递增；在区间 递减.
所以 ，
所以要使 成立，则 ，
即 ，由于 ，故解得 ，
则 ， ， ， ，
所以AC选项正确.
故选：AC题型六：朗博同构
【典例6-1】已知函数 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的取值
范围为 .
【答案】
【解析】不等式 对 恒成立，
等价于 ，所以 ，
设 ，其中 ，则 ，令 得 ，
所以当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以 ，又 ，
所以存在 使得 ，
所以若 ，则 或 ，即 或 ，
，
所以在 上， 单调递增，
在 上， 单调递减，
所以 ，所以只有 才能满足要求，
即 ，又 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【典例6-2】（2024·陕西·模拟预测）当 时， 恒成立，则实数 最大值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】B
【解析】因为 ，由 ，得 .令
令 ，则 在 上恒成立，
故函数 在 上单调递增，所以 即 ，由 ，得 ，所以 .
当且仅当 时，取“=”，
此时 ，由 与 图象可知 使 ，此时 .
所以 ，即 有最大值为4.
故选：B.
【变式6-1】不等式 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】设 ， ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 .
所以 在 恒成立.
由题意：函数的定义域为： .
所以原不等式可化为： ，问题转化为求 （ ）的最小值.
而 （当且仅当 时取“=”）
结合图象：
方程 在 上有唯一解.
所以 .
故选：B
【变式6-2】对任意 ，若不等式 恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由 ，得 ，即 ，所以 .
令 ，设 ，
则当 时 单调递减，当 时， 单调递增，故当 ，故
故 ，则 ，即 .
记 ，则 ，
当 单调递增，当 单调递减，所以 ，故
由 ，得 ，即 ，当 时，上式取等号，所以 .
综上， 的取值范围为
故选：D.
题型七：利用同构解决不等式恒成立问题
【典例7-1】（2024·江西·三模）已知函数 ，若 在其定义域上没有零
点，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为 在 上连续，又 ，
所以要使 无零点，需使 在其定义域上恒成立．
于是原问题转化为 ，求 的取值范围．
，
，
，
，
，
令 ，所以 在 上单调递增，又由 式得
，所以 ，即 恒成立．令 ，令 得 ．
因为当 时， ，所以 在 上单调递增；
因为当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，
，所以 ，即 ．
综上所述， 的取值范围为 ．
故答案为： .
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， 可化为 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递减．
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，因此当 时， ．
所以 ，即 ．则不等式 可化为 ，
所以 在 上恒成立，因此 ，即实数 的取值范围为 ．
故选：A．
【变式7-1】已知函数 ，若对任意的 恒成立，则正实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得 对任意的 恒成立，即 ，对任意的 恒成立；
因为 ，所以 ，化为 ，
令 ，则有 ，因为 ，
在 上恒大于 ，所以 单调递增，所以有 ，
因为 ，所以 ，即 在 上恒成立；
令 ， ，所以 在 上恒成立；
因为 ，令 ，解得 ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
由此可知在 时， 取得最大值，所以 ，所以 .
故选：D
【变式7-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 恒成立，则正实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，且 ，
两边加上 得， ，
设 ，则 ，所以 单调递增，
，即 ，
令 ，则 ，
的定义域是 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， 取得极大值即为最大值， ，
， .故选：C．
【变式7-3】（2024·江西赣州·二模）已知函数 ， .若 ，则k的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
由 得 ，
即 ，
即 ，
构造函数 ，
可化为 ，
因为 ，令 ，
则 ，令 ，解得 ，
所以 时， ， 在 上单调递减，
所以 时， ， 在 上单调递增，
所以 时， 取得最小值，即 ，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ， ， ，
令 ，则 ，
令 ，即 ，解得 ，
所以 时， ， 在 上单调递增，
时， ， 在 上单调递减，所以 时， 取得最大值，即 ，
所以 ，所以 .
故选：C
【变式7-4】已知不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ，
即 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
而 等价于 ，
∴ ，即
令 ， ，则 ，
所以 在 时 ，为增函数；
在 时， ，为减函数，
所以 最大值为 ，∴ ．
故选：C
题型八：利用同构求最值
【典例8-1】“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将 化成 ， 的变形技巧.已知
函数 ， ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】由 ，得 ，
即 ，所以， ，
令 ，则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，
由 可得 ，所以 ，
令 ，所以 ，
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
故选：B.
【典例8-2】已知函数 ，若 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，所以 ，
则 ．
于是 ．所以 ．
构造函数 ，
易知当 时， 单调递增．所以， ．
于是 ，
令 ，则 ． 在 上单调递减，
在 单调递增．所以 ，即 ．
故选：A
【变式8-1】（2024·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数 ， ，若， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的定义域为 ，所以 ， . .
， ，则 ，
又因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
，当 时， ， 递增，
所以 ，则 ，
， ，
所以 在区间 递减；在区间 递增，
所以 的最小值为 ，即B选项正确.
故选：B
【变式8-2】已知函数 ，若 ，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 ，
故选：A
【变式8-3】已知大于1的正数 ， 满足 ，则正整数 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．5 D．11
【答案】C
【解析】 ， ，
令 ， ，则 ，
令 ，解得： ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上递增，在 ， 上递减，
则 的最大值是 ，
令 ， ，则 ，
当 时，此题无解，故 ，
则 时， ，当 ， ，当 ，解得： ，
故 在 递减，在 ， 递增，
则 的最小值是 ，若 成立，只需 ，
即 ，即 ，
两边取对数可得： ， ，
故 的最大正整数为5，
故选：C．
题型九：利用同构证明不等式
【典例9-1】已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证： 在 上恒成立；
（3）求证：当 时， ．
【解析】（1）解：函数 的定义域为 ， ，
令 ，即 ，△ ，解得 或 ，
若 ，此时△ ， 在 恒成立，
所以 在 单调递增．
若 ，此时△ ，方程 的两根为：
， 且 ， ，
所以 在 上单调递增，
在 上单调递减，
在 上单调递增．
若 ，此时△ ，方程 的两根为：
， 且 ， ，
所以 在 上单调递增．
综上所述：若 ， 在 单调递增；
若 ， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
（2）证明：由（1）可知当 时，函数 在 上单调递增，
所以 （1） ，所以 在 上恒成立．
（3）证明：由（2）可知 在 恒成立，
所以 在 恒成立，
下面证 ，即证2 ，
设 ， ，
设 ， ，
易知 在 恒成立，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 ，即当 时， ．
法二： ，即 ，
令 ，则原不等式等价于 ，
，令 ，则 ， 递减，
故 ， ， 递减，
又 ，故 ，原结论成立．
【典例9-2】已知函数 ．
（1）讨论函数 的零点的个数；
（2）证明： ．
【解析】（1）解：函数 定义域为 ，则 ，
故 在 ， 递增，当 时， ，没有零点；
当 时， 单调递增， ， （1） ，
由函数零点存在定理得 在区间 ， 内有唯一零点，
综上可得，函数 只有一个零点．
（2）证明：法一：要证 ，
即证 ，
令 ，定义域为 ，
则 ，
由（1）知， 在区间 ， 内有唯一零点，设其为 ，
则 ①，因 ，且 在区间 上单调递增，
所以当 时， ， ， 单调递减，
当 ， 时， ， ， 单调递增；
所以 ，
由式①可得 ， ，
所以 ，
又 时， 恒成立，
所以 ，得证．
法二：问题转化为证明 ，
令 ，易知 ，（当且仅当 时“ ”成立）
又 ，则 ，
故 （当且仅当 时“ ”成立）．【变式9-1】已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 时，求证： ．
【解析】（1）解： ，
得 ， 得 ，
在 上递减，在 上递增．
（2）解： 函数 在 处取得极值，
，
，
令 ，则 ，
由 得， ，由 得， ，
在 ， 上递减，在 ， 上递增，
，即 ．
（3）证明： ，即证 ，
令 ，
则只要证明 在 上单调递增，
又 ，
显然函数 在 上单调递增．
，即 ，
在 上单调递增，即 ，当 时，有 ．
【变式9-2】已知函数 ，函数 ， ， ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
（3）证明：当 时， ．
【解析】解：（1） 的定义域为 ， ，
当 ， 时， ，则 在 上单调递增；
当 ， 时，令 ，得 ，
令 ，得 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 ， 时， ，则 在 上单调递减；
当 ， 时，令 ，得 ，
令 ，得 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）证明：设函数 ，则 ．
， ， ， ，
则 ，从而 在 ， 上单调递减，
，即 ．
（3）证明：方法一：当 时， ．
由（1）知， （1） ， ，即 ．
当 时， ， ，则 ，
即 ，又 ，
，
即 ．
方法二：当 时，要证 ，
只需证
即证 ，令 ，易证 ，
故 ，
所以当 时， ．
1．若对任意的 ，且 ，则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，故可得 ，
即 ， ，
令 ，则上式等价于 ，又 ，
根据题意， 在 单调递减；
又 ，令 ，解得 ，即 的单调减区间为 ，
要满足题意，只需 ，即 的最小值为 .
故选：B.
2．对于任意 ，当 时，恒有 成立,则实数 的取值范围是
【答案】
【解析】对于任意 ∈ ，当 ＞ 时，恒有a（ln ﹣1n ）＜2（ ﹣ ）成立，
即恒有aln ﹣2 ＜a1n ﹣ 成立，
令f（x）＝alnx﹣2x，则f（x）在 上为减函数，
则f′（x） 0在 上恒成立，a≤2x在 上恒成立，
∴即a≤4．
∴实数a的取值范围是 ．
故答案为 ．
3．若 ，则实数a的取值范围为
【答案】
【解析】不等式 可化为 ，
设 ，则 ，即 在R上单调递增，
因为 ，所以 恒成立，
根据对数函数的性质可得， 时显然不成立，所以 ，
所以 ，所以 恒成立.
令 ，则 ,
当 时 ，即 单调递减；当 时 ，即 单调递增.
所以 ，
所以只需 ，即 ，又 ，
所以 的取值范围为 .
故选：B
4．已知 ，对任意 都有 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为 ，即 ，
令 ，令 ，即 ，所以 ，
令 ，即 ，所以 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
依题意有 ，又 ，
所以 在 恒成立，令函数 ，令 ，即 ，所以 ，
令 ，即 ，所以 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，故 ，
故答案为： .
5．已知当 ，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，
即 ，
设 ，则 ，
因为函数 在 上都单调递增，
所以函数 在 上单调递增，则 ，
所以 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以 ，则 ，
所以实数 的取值范围为 ．
故答案为： .
6．当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】【解析】因为当 时， 恒成立，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
令 ，可得 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以 ， 即可.
令 ，可得 ，
令 则 ，解得 ，
当 时， ,
当 时， ,
所以 在 上单调递增，在 上单调递减,
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
7．已知当 时，不等式 恒成立，则正实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意，原不等式可变形为 ，
即 ，设 ，则当 时， 恒成立，
因为 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ， ，则 ，所以 ， ，因为 在 上单调递增，
所以要使 ，只需 ， 在 上恒成立，取对数，得 ，
因为 ，所以 ．令 ， ，因为 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，则 .
故答案为： .
8．已知函数 ， ．
(1)求函数 在区间 上的最大值；
(2)若 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为 .
由已知可得 ．
当 时， ，故 在区间 上单调递增，
所以函数 在区间 上的最大值为 ；
当 时，由 ，解得 ；由 ，解得 ．
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.，
则当 时， ，则函数 在区间 上单调递增，
所以最大值为 ；
当 时， ，则函数 在区间 上先增后减，
所以最大值为 ；
当 时， ，则函数 在区间 上单调递减，
所以最大值为 ；
综上所述，当 时， 函数 在区间 上的最大值为 ，当 时，函数 在区间 上的最大值为 ，
当 时，函数 在区间 上的最大值为 ；
（2）设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，则 ，
依题意， ， 恒成立，即 恒成立，
而 ，
当且仅当 时，等号成立，
因为函数 在 上单调递增， ，
所以存在 ，使得 成立，
所以 ，即实数a的取值范围为 .
9．（2024·云南·模拟预测）已知函数
(1)若函数 在 处的切线 也与函数 的图象相切，求 的值；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1） ，即 ，
函数 在 的切线 的方程为 ，
代入得切线 的方程为 .
，
由切线 的斜率为1，则令 ，解得： ，
由 ，则函数 在 处的切线方程为 ，
代入得： ，这与 重合，所以得 .
（2）由 恒成立，等价于 恒成立，
即： 恒成立， 利用 ，
则令 ，则 .又 ， 在 上单调递增，
所以不等式 恒成立等价于 恒成立，
即 .
令 ，所以 ，
因为当 时， ，所以 在 上的单调递增，
又因为当 时， ，所以 在 上的单调递减，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围是： .
10．已知函数
(1)若 求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若 证明： 在 上单调递增．
(3)当 时， 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）因为 所以 则
又
所以曲线 在点 处的切线方程为
即
（2）证明：因为 所以 则
令 则
当 时， 单调递增，故
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，故 ．
从而 在 上恒成立，
则在 上单调递增.
（3） 在 上恒成立等价于
在 上恒成立．
若 则 ，则 显然恒成立．
若 则 在 上恒成立，令 由（1）可知 在 上恒成立，
故由 得 则 即 ．
令 则
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
则 则 ．
综上所述， 的取值范围为
11．已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)求证： ；
(3)当 时，不等式 恒成立，求正数 的取值范围.
【解析】（1）由 ，求导可得 ，令 ，解得 ，则
1
- 0 +
减 极小值 增
所以 的最小值为 .
（2）要证 ，只要证 ，
法一：设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 ，即 ，
所以 .
法二：令 ，由（1）可知 ，则 ，
所以只要证 ，设 ， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，即原不等式得证.
（3）不等式 可化为 ，
设 ， ，
由 ，则当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
原不等式等价于 ，
①当 时，因为 ，则 ，
所以 转化为 ，即 ，
由（1）可知 的最小值为 ，所以 ，符合题意，
所以 .
②当 时，由（1）可知， 在 单调递增， ，
所以 在 有唯一实数解，设为 ，且 ，则 ， ，
设 ，则 ，
若 成立，则 ，
因为 在 上是可导函数，所以 ，而 ，
则 ，与 矛盾，不合题意，舍去.
综上：正数 的取值范围是 .
12．（2024·广东佛山·一模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时， ，求 的取值范围.
【解析】（1） ，定义域为当 时， 恒成立，函数 在 上是增函数
当 时，由 得 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减.
综上所述，当 时，函数 在 上是增函数；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）显然 ，由 ，得 ，即
①
令 ，不等式①即为 ，
因为 ，所以函数 在 内单调递增，
所以 即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减
当 时，函数 取最大值
所以 ，解得 .
13．（2024·广东深圳·二模）已知函数 的图象在 处的切线经过点 .
(1)求 的值及函数 的单调区间；
(2)设 ，若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求正实数 的取值范围.
【解析】（1）函数 的定义域是 ，
.
所以 在点 处的切线方程为 ，
切线经过点 ，则 .，设 ，
是 的极小值点，且 ，
因此 在 恒成立，
所以函数 的单调增区间为 ，无单调减区间.
（2） 在区间 上恒成立，即 ，
令 ，则 ，即 .
由（1），只需要 ，也就是 在区间 上恒成立.
设 ，.
，
故 是 的最大值，
所求 的取值范围是 .
14．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数 ，其中 ， .
(1)当 时，求函数 的零点；
(2)若函数 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，
，
当 时， ，得 恒成立.
即可得 在 上单调递增.
而此时 ，
即可得 在 上仅有1个零点，且该零点为0.
（2）函数 等价于 ，
因 ，所以得
所以
所以
构造函数 ，上式等价于
函数 在定义域内单调递增，从而可得 成立.
化简可得 等价于 恒成立.
设函数 ，易知 ，
，
当 时，因 ， ，故 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，满足题意，
当 时， 时， ，
此时 在 上单调递减，
故当 时 ，不符合题意.
综上可得 的取值范围是 .
15．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ， 在 上为增函数；
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上为增函数，在 上为减函数.
综上所述：当 时， 在 上为增函数；
当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数.（2）
，
设 ，则原不等式恒成立等价于 在 上恒成立，
， 在 上为增函数，
则 在 上恒成立，等价于 在 上恒成立，
等价于 在 上恒成立
令 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，故 .
16．（2024·广东汕头·三模）设 ， ，
(1)证明： ；
(2)若存在直线 ，其与曲线 和 共有3个不同交点 ， ，
，求证： ， ， 成等比数列.
【解析】（1）因为 ， ，所以 等价于 ，
即 ，
令 ，则只需证 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
故 ，即 成立，
所以 成立，即 得证；
（2）记 ，则 ，
当 时， ；当 时， ．
故 在 内单调递增，在 内单调递减，故 ；
记 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
故 在 内单调递增，在 内单调递减，故 .
所以函数 与函数 有相同的最大值，画出 与 的图象如下图：
可知， 且 ，又当 时， ，故 ，
当 时，直线 与两条曲线 和 各有两个不同的交点，
则直线 与曲线 的两个交点分别位于区间 和 ，
而直线 与曲线 的两个交点分别位于区间 和 ，
构造 ，当 时， ；当 时， ，
当 时，1-x<0， ， ， ，
故 在 内单调递减，又 ， ，
结合零点存在性定理可知： 在 内存在唯一零点，
故曲线 和 在 有唯一一个公共点，
由图可得：若直线 与两条曲线 和 共有三个不同的交点 ， ， ，
其中 ，即 ，即 ，
， ， ，
由 ，又 ，
结合 在 内单调递增，故 ，
由 ，又 ， ，
结合 在 内单调递减，故 ，
故 ，故 ， ， 成等比数列.
17．（2024·江西宜春·一模）已知函数 ， .(1)讨论 的单调性；
(2)对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意知： 定义域为 ， ；
当 时， ， ， 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得： ；
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减.
（2）由 恒成立得： ，
令 ，
令 ，则 ，
则当 时， ；当 时，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 （当且仅当 时取等号），
（当且仅当 时取等号）；
令 ，则 恒成立，
在 上单调递增，又 ， ，
，使得 ，即 ，
等号可以成立，
，
，解得： ，即实数 的取值范围为 .18．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数 ， ，直线 为曲线 与
的一条公切线.
(1)求 ；
(2)若直线 与曲线 ，直线 ，曲线 分别交于 三
点，其中 ，且 成等差数列，证明：满足条件的 有且只有一个.
【解析】（1）设 与 相切于点 ，而 ，
则 ，即 ， ，则切点为 ， ，即 ；
设 与 相切于点 ，而 ，
，即 ，则切点为 ， ， ，
所以 ， .
（2）依题意， ，则 ， ， ，
由 成等差数列，得 ，即 ， ，
令 ，求导得 ，
令 ，求导得 ，显然函数 在 上单调递增，
， ， 则 ，使得 ，即 ，
当 时， ；当 时， ， 在 上递减，在 上递增，
，
由 ，得 ，则 ，即 ，函数 在 上单调递增，
， ，因此 在 上存在唯一零点，
所以满足条件的 有且只有一个.
