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拔高点突破 03 导数中的朗博同构、双元同构、指对同构
与二次同构问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：同构法的理解........................................................................................................................5
题型二：利用同构比较大小................................................................................................................5
题型三：方程同构................................................................................................................................6
题型四：零点同构................................................................................................................................7
题型五：双元同构................................................................................................................................8
题型六：朗博同构................................................................................................................................9
题型七：利用同构解决不等式恒成立问题........................................................................................9
题型八：利用同构求最值..................................................................................................................10
题型九：利用同构证明不等式..........................................................................................................11
03 过关测试.........................................................................................................................................12方法技巧总结一、常见的同构函数图像
函数表达式 图像 函数表达式 图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点函数极值点
函数极值点
方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程 和 呈现同构特征，则 可视为方程
的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进
而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”： ， ；寻找“亲戚函数”是
关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果 满足的方程为同构式，则 为方程所表示曲
线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线 的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于 与 的同
构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
ex ≥x+1(x=0);ex ≥ex(x=1)
3、常见的指数放缩：
1 x
1− ≤lnx≤x−1(x=1);lnx≤ (x=e)
x e
4、常见的对数放缩：
( π)
x∈ 0, ,sinx<x<tanx
2
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1） 且 时，有
（2） 当 且 时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中 ）
（3）（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnx x-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以
第（3）条为例进行引申：
（7） ；
（8） ；
7、同构式问题中通常构造亲戚函数 与 ，常见模型有：
① ；
② ；
③
8、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘 同构，如 ；
（2）加法同构，即加 同构，如 ，
（3）两种构法的区别：
①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数 与 易实现，但构造的函数 与 均不是单调函
数；
②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范
围；题型一：同构法的理解
【典例1-1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ．
【典例1-2】关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围是 .
【变式1-1】（2024·内蒙古·三模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
题型二：利用同构比较大小
【典例2-1】已知 ，且 ， ， ，则（ ）A． B．
C． D．
【典例2-2】已知 ．且 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】已知a，b， ，且 ， ， ，则a，b，c的
大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：方程同构
【典例3-1】（江苏省常州市前黄高级中学2023-2024学年高三期初数学试题）已知实数 满足 ，
，则 ．
【典例3-2】（江苏省泰州市泰兴中学2023-2024学年高三期中数学试题）已知实数a，b满足 ，
则ab＝ ．
【变式3-1】设x，y为实数，且满足 ，则 （ ）
A．2 B．5 C．10 D．2018
【变式3-2】同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如： ， ，称
与 为同构式．已知实数 满足 ， ，则 ．
【变式3-3】（2024·高三·辽宁大连·期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子
称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于 的方程 和关于
b的方程 可化为同构方程，则 的值为（ ）
A． B．e C． D．1题型四：零点同构
【典例4-1】（2024·高三·天津西青·期末）已知函数 和 ．
(1)若曲线数 与 在 处切线的斜率相等，求 的值；
(2)若函数 与 有相同的最小值．
①求 的值；
②证明：存在直线 ，其与两条曲线 与 共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点
的横坐标成等差数列．
【典例4-2】（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求 ；
(2)是否存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横
坐标成等差数列？说明理由．
【变式4-1】（2024·上海嘉定·一模）已知 ．
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)请严格证明曲线 有唯一交点；
(3)对于常数 ，若直线 和曲线 共有三个不同交点 ，其
中 ，求证： 成等比数列．
【变式4-2】已知函数 和 有相同的最大值 .
(1)求 ；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
题型五：双元同构
【典例5-1】已知函数 ．
当 时，求函数 的单调增区间；
若函数 在 上是增函数，求实数a的取值范围；
若 ，且对任意 ， ， ，都有 ，求实数a的最小值．
【典例5-2】（河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学试题）已知对任意的 ，
都有 恒成立，则实数 的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．
【变式5-1】（四川省成都市第七中学2023-2024学年高三阶段性考试数学试题）若实数 ， 满足
，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（山西省太原市2024届高三期中数学试题）已知 ，对任意
都有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】对于任意 ， ，当 时，恒有 成立；则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【变式5-4】（多选题）（重庆市2024届高三冲刺押题联考（二）数学试题）若实数 ， 满足，则（ ）
A． B． C． D．
题型六：朗博同构
【典例6-1】已知函数 ，若不等式 对 恒成立，则实数 的取值
范围为 .
【典例6-2】（2024·陕西·模拟预测）当 时， 恒成立，则实数 最大值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【变式6-1】不等式 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式6-2】对任意 ，若不等式 恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型七：利用同构解决不等式恒成立问题
【典例7-1】（2024·江西·三模）已知函数 ，若 在其定义域上没有零
点，则 的取值范围是 .
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知函数 ，若对任意的 恒成立，则正实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 恒成立，则正实数
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·江西赣州·二模）已知函数 ， .若 ，则k的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】已知不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型八：利用同构求最值
【典例8-1】“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将 化成 ， 的变形技巧.已知
函数 ， ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】已知函数 ，若 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2024·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数 ， ，若
， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】已知函数 ，若 ，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】已知大于1的正数 ， 满足 ，则正整数 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．5 D．11题型九：利用同构证明不等式
【典例9-1】已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，求证： 在 上恒成立；
（3）求证：当 时， ．
【典例9-2】已知函数 ．
（1）讨论函数 的零点的个数；
（2）证明： ．
【变式9-1】已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 时，求证： ．
【变式9-2】已知函数 ，函数 ， ， ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
（3）证明：当 时， ．1．若对任意的 ，且 ，则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．对于任意 ，当 时，恒有 成立,则实数 的取值范围是
3．若 ，则实数a的取值范围为
4．已知 ，对任意 都有 ，则实数 的取值范围是 .
5．已知当 ，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是 .
6．当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是 .
7．已知当 时，不等式 恒成立，则正实数 的取值范围是 ．
8．已知函数 ， ．
(1)求函数 在区间 上的最大值；
(2)若 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
9．（2024·云南·模拟预测）已知函数
(1)若函数 在 处的切线 也与函数 的图象相切，求 的值；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.10．已知函数
(1)若 求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若 证明： 在 上单调递增．
(3)当 时， 恒成立，求 的取值范围．
11．已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)求证： ；
(3)当 时，不等式 恒成立，求正数 的取值范围.
12．（2024·广东佛山·一模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时， ，求 的取值范围.
13．（2024·广东深圳·二模）已知函数 的图象在 处的切线经过点 .
(1)求 的值及函数 的单调区间；
(2)设 ，若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求正实数 的取值范围.14．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数 ，其中 ， .
(1)当 时，求函数 的零点；
(2)若函数 恒成立，求 的取值范围.
15．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
16．（2024·广东汕头·三模）设 ， ，
(1)证明： ；
(2)若存在直线 ，其与曲线 和 共有3个不同交点 ， ，
，求证： ， ， 成等比数列.
17．（2024·江西宜春·一模）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.18．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数 ， ，直线 为曲线 与
的一条公切线.
(1)求 ；
(2)若直线 与曲线 ，直线 ，曲线 分别交于 三
点，其中 ，且 成等差数列，证明：满足条件的 有且只有一个.
