文档文本内容
第20 讲 等差数列及其前n 项和
知识清单
知识点01.等差数列的有关概念
知识点02.等差数列的有关公式
知识点03.等差数列的常用性质
知识点04.等差数列前n 项和的常用性质
知识点05 等差数列的常用结论
题型讲解
【题型一】等差数列及其通项公式
【题型二】等差数列的性质
【题型三】 等差数列的函数特性
【题型四】 等差数列的前n 项和
【题型五】 等差数列中 an 与Sn 的关系
【题型六】等差数列前n 项和的性质
【题型七】 等差数列前n 项和的函数特
性
好题必刷
知识点01.等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*).
(2)等差中项
由三个数a，A，b 组成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有2A＝a＋b.
知识点02.等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n 项和公式：Sn＝na1＋n(n−1)
2
d 或Sn＝n(a1＋an)
2
.
知识点03.等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*).
内容预览
知识清单
(2)等差数列{an}的单调性：当d>0 时，{an}是递增数列；当d<0 时，{an}是递减数列；当d＝0 时，{an}是常数列.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n 项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n 项和，则数列{
Sn
n }也为等差数列.
(6)若两个等差数列{an}，{bn}的前n 项和分别为Sn，Tn，则an
bn
＝S2n−1
T 2n−1
.
(7)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数).
知识点04.等差数列前n 项和的常用性质
(1)当d≠0 时，等差数列{an}的前n 项和Sn＝d
2 n2＋(a1−d
2)n 是关于n 的二次函数.
(2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.
知识点05 等差数列的常用结论
若等差数列{an}的项数为偶数2n，则(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；(2)S 偶－S 奇＝nd，S奇
S偶
＝an
an＋1
.
若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；(2)S奇
S偶
＝n＋1
n
.
【题型一】 等差数列及其通项公式
【例1】（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列
的首项
，公差
，在
中每相邻两项之间都插入
3 个数，组成一个新的等差数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（多选）（2025·内蒙古包头·模拟预测）将所有正整数按照如下规律形成如下数阵M：
第1 行 1 2 3 …… 7 8 9
题型方法
第2 行 10 11 12 …… 97 98 99
第3 行 100 101 102 …… 997 998 999
第4 行 1000 1001 1002 …… 9997 9998 9999
…………
将上述M 数阵中的数进行如下操作，如果该正整数中相邻两位数字（从左到右）出现12，则将该正整数去掉，其余
数保持原有顺序不变，得到一个新数阵Q，记新数阵Q 第
行正整数的个数为
，则以下说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
是等差数列
D．将数列
与数列
的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列
，则
位于数阵M 中的第2 行第7
个位置（从左向右数）
【变式2】（2025·江西新余·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
，
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)求
的通项；
(3)求
的最大值．
【变式3】（2025·重庆九龙坡·三模）已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若无穷的非常数数列
同时满足两个性质: ①对于
中任意两项
，在
中都存在一项
，使
得
; ②对于
中任意一项
，在
中都存在两项
，使得
. 则称数
列
为
数列.
(i)判断数列
是否为
数列，并说明理由；
(ii)若数列
是
数列且为单调递增数列，证明:数列
是等差数列.
【题型二】 等差数列的性质
【例2】（2025·安徽·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式1】（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，
其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的
形式表示
和
除以
的
余数相同．已知集合
满足
，
，
．对于集合
中的任意一个元素，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·广东·模拟预测）方程
有四个可以排列成等差数列的实根，则
的值为 .
【变式3】（2025·江西南昌·二模）对于共
项的等差数列
（公差不为0）各项重新排列得到新数列
，若
中的任意两项的等差中项都不在这两项所在位置之间，则称数列
是等差数列
的“无均数列”.
(1)若
，写出等差数列
（公差不为0）的4 个不同的“无均数列”；
(2)若
，写出等差数列
（公差不为0）的一个“无均数列”；
(3)若
，判断等差数列
（公差不为0）的“无均数列”是否存在，并证明你的结论.
【题型三】 等差数列的函数特性
【例3】（多选）（2023·安徽芜湖·模拟预测）下面是关于公差
的等差数列
的四个命题，其中正确的有
（ ）
A．数列
是等差数列
B．数列
是等差数列
C．数列
是递增数列
D．数列
是递增数列
【变式1】（2024·山西吕梁·二模）已知函数
的图象关于点
中心对称，也关于点
中心对称，则
的中位数为 .
【变式2】（2023·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三
数之剩二（除以3 余2），五五数之剩三（除以5 余3），问物几何？”现将1 到200 共200 个整数中，同时满足“三
三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列
，则该数列最大项和最小项之和为
．
【变式3】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知数列
的各项均为正整数，设集合
，
，记
的元素个数为
.
1．若数列A:1，3，5，7，求集合
，并写出
的值;
2．若
是递减数列，求证:“
”的充要条件是“
为等差数列”;
3．已知数列
，求证:
.
【题型四】 等差数列的前n 项和
【例4】（2025·山东德州·三模）已知
为等差数列
的前
项和，
，则
（ ）
A．2
B．8
C．16
D．32
【变式1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知数列
是公差为2 的等差数列，且
，则数列
的前20 项之
和为（ ）
A．80
B．208
C．680
D．780
【变式2】（2025·河北邢台·二模）已知数列
的前n 项和为
，且
，
，则
．
【变式3】数列
中，
，前n 项和
满足
．
（1）证明：
为等差数列；
（2）求
．
【变式4】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列
为等差数列，
．
(1)求数列
的通项公式．
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【题型五】 等差数列中 an 与Sn 的关系
【例5】已知数列
的前
项和
，则
是（ ）
A．公差为2 的等差数列
B．公差为3 的等差数列
C．公比为2 的等比数列
D．公比为3 的等比数列
【变式1】（2025·河北唐山·三模）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，若
，则
（ ）
A．27
B．28
C．54
D．55
【变式2】设
为数列
的前
项和，
.
(1)求
；
(2)证明
是等差数列.
【变式3】设数列
的各项均为正数，前n 项和为
，满足
（
，
，
，
，
，
，c
为常数）.
(1)若
，
，求
的通项公式；
(2)若
，证明
为等差数列.
【题型六】 等差数列前n 项和的性质
【例6】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）各项均为正数的等差数列
的前n 项和为
，若
，则
的最大
值为（ ）
A．20
B．64
C．45
D．50
【变式1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5
【变式2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设等差数列
，
的前
项和分别为
，
，
，则
．
【变式3】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知
是等差数列
的前
项和，若
，则
．
【变式4】（2024·四川乐山·三模）已知
是等差数列
的前
项和.
(1)证明：
是等差数列；
(2)设
为数列
的前
项和，若
，求
.
【题型七】 等差数列前n 项和的函数特性
【例7】（24-25 高三上·广东东莞·阶段练习）设等差数列
的前n 项和为
，若
> 0，
，则
时，n
的最大值为（ ）
A．14
B．13
C．11
D．7
【变式1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知数列
是公差为d 的等差数列，其前n 项和为
且
，若
对任意的
恒成立，则公差d 的取值范围为 ．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，已知
．
(1)若
，求
的通项公式；
(2)若对于任意
，都有
，求公差
的取值范围．
【变式3】（2024·贵州六盘水·三模）已知
为等差数列，且
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
恒成立，求实数λ 的取值范围．
一、单选题
1．（2025·广西柳州·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
的公差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2025·四川成都·一模）在等差数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
3．（2025·江苏泰州·模拟预测）设
是等差数列
的前n 项和，
是数列
的前n 项和.若
，则
等于（ ）
A．49
B．50
C．51
D．52
4．（2025·江西·模拟预测）记
为等差数列
的前n 项和，且
，则满足
的n 的最大值为（ ）
A．40
B．41
C．42
D．43
5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知等差数列
中，
，则数列
的前2026 项
的和为（ ）
A．1013
B．1014
C．2026
D．2028
6．（2025·江苏·模拟预测）函数
满足：
，且
．设
，则
的前
项的和为（ ）
A．
B．
C．
D．
好题必刷
二、多选题
7．（2025·安徽·模拟预测）已知等差数列
的首项为
，公差为
，前
项和为
，且
是以1 为
公差的等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·山西·三模）已知数列
的通项公式为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是递增数列
B．在
的所有前
项和中，前五项和最小
C．在
的所有前
项积中，前五项积最小
D．在
的所有前
项积中，前四项积最大
9．（2025·四川成都·一模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角
垛”.“三角垛”的最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球，第四层有10 个球……设第
层有
个球，则
（ ）
A．
B．
是等差数列
C．
为偶数
D．
三、填空题
10．（2024·上海·三模）设
是等差数列，其前
项和为
．若
，
，则
．
11．（2025·广东广州·三模）已知等差数列
的前n 项和为
，则
．
12．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）数列
满足
，
，且
，令
，
则数列
的前
项和为 ．
13．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，且
为等差数列，若
，
则
.
14．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2 数列
的前
项和为
，且
．若
，则
的最
小值为 ．
15．（2025·甘肃白银·三模）若数列
是有穷数列，且各项之和为0，各项的绝对值之和为1，则称数列
是“
项优待数列”.若等差数列
是“
项优待数列”，
，则
.
四、解答题
16．（2025·广东佛山·三模）已知数列
满足
，且
是关于
的方程
的两个根．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前21 项和
．
17．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列
是等差数列，且
，数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
18．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在数列
中，
，其前n 项和为
．数列
是公差为d 的等差数列．
(1)求d；
(2)若
，
（i）求数列
的通项公式
；
（ii）若
，数列
满足
的前n 项和
，证明：
．
