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2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）01
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为 8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答
题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及整除与算术基本定理、同余与著名数论定
理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数方程、多项式理论与代数基本定理、常
用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块，以解答题的方式进行考查。
2023年全国新高考地区解答题中，结构中规中矩。但预测2024年新高考地区将以结构不良型方式整
除与算术基本定理、同余与著名数论定理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数
方程、多项式理论与代数基本定理、常用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块中的一
个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某车间有两条生产线分别生产 号和 号两种型号的电池，总产量为 个．质检人员采用分层抽样的
方法随机抽取了一个样本容量为 的样本进行质量检测，已知样本中 号电池有 个，则估计 号电
池的产量为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．如图所示，四边形 是正方形， 分别 ， 的中点，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．3．已知 为等差数列 的前n项和， ，则 （ ）
A．60 B．120 C．180 D．240
4．设 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 ，则
C．若 ，且 ，则
D．若 ，则
5．第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南
忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．
某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，
且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．6
6．已知函数 恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点 的直线
的一个法向量为 ，则直线 的点法式方程为： ，化简得 .类
比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点 的平面的一个法向量为 ，则该平面的
方程为（ ）A． B．
C． D．
8．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 的直线与双曲线 分别在第一、二
象限交于 两点， 内切圆的半径为 ，若 ， ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．当 时， 的值域为
C．将函数 的图象向右平移 个单位长度可得函数 的图象
D．将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
10．已知 是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 与 均为实数 B．若 与 均为实数，则
C．若 均为纯虚数，则 为实数 D．若 为实数，则 均为纯虚数
11．已知函数 在 上可导且 ，其导函数 满足： ，则下列结论
正确的是（ ）
A．函数 有且仅有两个零点
B．函数 有且仅有三个零点
C．当 时，不等式 恒成立
D． 在 上的值域为
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合 ，若 ，则 的最小值为 ．
13．已知M，N是抛物线 上两点，焦点为F，抛物线上一点 到焦点F的距离为 ，
下列说法正确的是 ．（把所有正确结论的编号都填上）
① ；
②若 ，则直线MN恒过定点 ；
③若 的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为 ；
④若 ，则直线MN的斜率为 ．
14．如图，在正方体 ，中， ， 分别为线段 ， 上的动点.给出下列四个结论:①存在点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
②任意点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
③任意点 ，存在点 ，满足 ；
④任意点 ，存在点 ，满足 .
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)对 ， 恒成立，求a的取值范围.
16．（15分）我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中
国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口
老龄化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的
二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．
非一线 一线 总计
愿生 40 y 60
不愿生 x 22 40
总计 58 42 100
(1)求x和y的值．
(2)分析调查数据，是否有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？
(3)在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求
至少有一名来自一线城市的概率．
参考公式： ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.82817．（15分）在直角梯形 中， ， ， ，如图（1）．把
沿 翻折，使得平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由．
18．（17分）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 为椭圆 上异于顶点的一动点，
的角平分线分别交 轴、 轴于点 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求证： 为定值；
(3)当 面积取到最大值时，求点 的横坐标 ．
19．（17分）已知数列 为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k
减数列：
① ；
②对于 ，使得 的正整数对 有k个.
(1)写出所有4的1减数列；
(2)若存在m的6减数列，证明： ；
(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.
