文档文本内容
培优点01 柯西不等式与权方和不等式
题型方法
题型一 柯西不等式
题型二 权方和不等式
知识点1 柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc 时，等号成立)．
2．二维形式的柯西不等式的变式
(1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc 时，等号成立)．
(2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc 时，等号成立)．
(3)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc 时，等号成立)．
3．二维形式的柯西不等式的向量形式
|α·β|≤|α||β|(当且仅当β 是零向量，或存在实数k，使α＝kβ 时，等号成立)．
知识点2 权方和不等式
1．二维形式：已知x，y，a，b∈R＋，则有＋≥(当且仅当x∶y＝∶时，等号成立)．
题型梳理
知识清单
2．一般形式：设ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，实数m>0，则 ∑
i=1
n ai
m+1
bi
m ≥
(∑
i=1
n
ai)
m+1
(∑
i=1
n
bi)
m ，当且仅当＝＝…＝时等号成立．
称之为权方和不等式．m 为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次．
【题型一】柯西不等式
【例1】（2022·全国甲卷·高考真题）已知a，b，c 均为正数，且
，证明：
(1)
；
(2)若
，则
．
解题技巧
掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法．
【举一反三】【变式1】（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的
“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不
等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
等号成立当且仅当
已知
，请你用柯西不等式，
求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
【变式2】（2021·浙江·模拟预测）已知正实数
满足
，则
的最小值为 ；
的最小值为
.
【变式3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知
.
题型方法
(1)解不等式
；
(2)若
为
的最小值，设
，求
的最小值.
【题型二】权方和不等式
【例2】（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，
其表述如下：设正数
，
，
，
，满足
，当且仅当
时，等号成立．则函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
解题技巧
(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键．
(2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式．
(3)关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次．
【举一反三】【变式1】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初
命名的．其具体内容为：设
，则
，当
且仅当
时，等号成立．根据权方和不等式，若
，当
取得最小值时，
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数
满足
，则
的最小值为 .
【变式3】（2024·四川凉山·三模）已知函数
的最小值为
．
(1)求实数
的值；
(2)求
的最小值．
一、单选题
1．（2023·浙江·一模）若
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．
2．（2021·江西·模拟预测）若正数
满足
，且
，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·浙江·模拟预测）对于
，当非零实数
、
满足
，且使
最大时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛
好题必刷
的应用，其表述如下：设
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立.根据权方和不等式，
函数
的最小值为（ ）
A．39
B．52
C．49
D．36
二、多选题
5．（2021·江苏南通·三模）已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知
，直线
与曲线
相切，则下列不等式一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知
，且
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
.
C．
的最大值为
D．
三、填空题
8．（2023 高三·全国·专题练习）已知
，求
的最小值为
9．（2020·浙江温州·二模）已知实数
满足
则
的最大值为 .
10．（2023 高三·全国·专题练习）求
的最大值为
四、解答题
11．（2020·江西·模拟预测）已知函数
.
（1）求不等式
的解集；
（2）若函数
的最小值为
，且实数
满足
，求
的最大值.
12．（2024·四川·模拟预测）已知
均为正实数，且满足
．
(1)求
的最小值；
(2)求证：
.
13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知
均为正数，且
．
(1)证明：
；
(2)求
的最小值．
14．（2024·全国·模拟预测）已知
均为正数，函数
的最小值为3．
(1)求
的最小值；
(2)求证：
．
15．（2024·陕西·模拟预测）已知函数
（
，
）.
(1)当
，
时，解不等式
；
(2)若
的最小值为6，求
的最小值.
16．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数
．
(1)解不等式
；
(2)若正数
满足
，证明
．
17.（2024·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式
就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设
，
，
，…，
，
，
，
，
…，
，
，当且仅当
（
）或存在一个数
，使得
（
）时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设
是棱长为
的正四面体
内的任意一点，点
到四个面的距离分别为
、
、
、
，求
的最小值；
(3)已知正数数列
满足：①存在
，使得
（
）；②对任意正整数、
（
），均有
.求证：对任意
，
，恒有
.
