文档文本内容
培优专题02 数列及其应用 4 大重难题型
题型01 数列的通项公式问题
抓关键
· 破难点
💎题型 01 数列的通项公式问题
命题方向一 定义法求数列的通项公式
命题方向二 退位法求数列的通项公式
命题方向三 累加法求数列的通项公式
命题方向四 累乘法求数列的通项公式
命题方向五 构造求数列的通项公式
💎题型 02 数列的前 n 项和问题
命题方向一 分组求和法求数列的前项和
命题方向二 裂项相消法求数列的前项和
命题方向三 错位相减法求数列的前项和
💎题型 03 数列与不等式的综合应用
命题方向一 数列与不等式的证明
命题方向二 数列与不等式的恒成立或能成立问题
💎题型 04 数列与其他模块知识的创新交汇问题
命题方向一 数列与集合的融合创新
命题方向二 数列与复数的交汇问题
命题方向三 数列与三角的交汇问题
命题方向四 数列与概率统计交汇问题
命题方向五 数列与函数、导数的交汇问题
一、退位相减法
◎适用于递推关系中含有
与
的形式
（1）退位：仿照
写出
.
（2）相减求
：将
与
的表达式代入
中化简计算，得到
.
（3）验证：验证
时的情况，若符合，则通项公式成立；若不符合，则要将通项公式写成分段形式.
二、构造法
◎适用于形如
的递推公式求通项.
①若
为常函数：可构造
为待定系数）.
②若
为一次函数，可构造
为待定系数）.
③若
为①②外的其他函数类型，可将等式两边同时除以
，转化为
，令
，
，原式转化为
，结合累加法求出
，进而求得
.
三、不动点法
◎适用于形如
为参数，
的递推公式求通项.
①求不动点：
，
，
令
，即
，令此关于的一元二次方程的两个根分别为
.
②构造特殊数列：若
，则有
为参数），构造等差数列；若
，则有
为参数），构造等比数列.
③求通项：利用公式法求新构造数列的通项公式，进而得到
.
刷经典
· 通方法
🎯命题方向一 定义法求数列的通项公式
1．（2021·新高考Ⅱ卷）记
是公差不为0 的等差数列
的前n 项和，若
，
.
（1）求数列
的通项公式
；
（2）求使
成立的n 的最小值.
【答案】（1）
；
（2）7.
【分析】（1）设等差数列首项为
，公差为
，将若
，
转化为关于
的方程
组，解出
后得到通项公式
.
（2）由（1）写出前
项和
的表达式，代入不等式
，解关于
的一元二次不等式，结合
求出最小的
.
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为
，则
1
1
1
1
1
2
5
10 ,
3
4
6 ,
a
d
a
d
a
d
a
d
a
d
解得
所以
4
(
1)
2
2
6
na
n
n
.
（2）结合（1）可知，
，则
n
n
S
a
等价于
，
解得
1
n
或
，又
*
nN
，所以
，故使
成立的n 的最小值为7.
2．（2023·新课标Ⅰ卷）设等差数列
的公差为
，且
，令
，记
，
分别为数列
，
的前
项和.
（1）若
，
，求
的通项公式；
（2）若
为等差数列，且
，求d.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先由
结合等差数列通项公式求出公差
，再将
转化为关于首项
的方程，解出
后得到
的通项公式.
（2 ）由
为等差数列，结合
与等差数列通项形式，推导出
的表达式，再代入
，求解d.
【详解】（1）因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
.因为
，所以
，
所以
，
.
因为
，所以
，解得
或
，
因为
，所以
.所以
的通项公式为
.
（2）因为
，且
为等差数列，所以
，即
，
所以
，所以
，解得
或
.
①当
时，
，所以
，
，
.
因为
，
所以
，即
，解得
或
（舍去）.
②当
时，
，所以
，
，
.
因为
，所以
，即
，
解得
（舍去）或
（舍去）.
综上，
.
3．（2026·安徽合肥模拟预测）已知
是等差数列，
是等比数列，且
，
，
．
（1）求
和
的通项公式；
（2）求数列
的前
项和．
【答案】（1）
，
；
（2）
【分析】（1）设等差数列
公差为
，等比数列
公比为
，将已知条件
，
转化为关于
，
的方程组，解出
，
后得到两个数列的通项公式。
（2）由（1）得到
的表达式，利用错位相减法求其前n 项和.
【详解】（1）设公差为
，公比为
，
，故
，
，
，故
，联立
，解得
或
（舍去），
故
，
；
（2）
，设数列
的前
项和为
，
则
，①
，②
两式①-②得
，
所以
.
🎯命题方向二 退位法求数列的通项公式
4．（2026·甘肃陇南·二模）记数列
的前n 项和为
，已知
．
（1）证明：
为等比数列；
（2）设
，求数列
的前n 项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）对已知递推式
．进行变形，构造
与
的关系，结合
首项验证等比数列定义，完成证明.
（2）先由（1）求出
，再利用
及
得到
，进而写出
，最后用错位相减
法求数列
的前n 项和．
【详解】（1）将
两边同时加
，得
，
因为
，所以
是以3 为首项，3 为公比的等比数列；
（2）由（1）知
，即
， 当
时，
，
当
时，
不符合上式，
故
，所以
，
当
时，
，
由于当
时也满足该式，因此
．
5．（2026·河北保定模拟·预测）记数列
的前
项和为
，已知
.
（1）证明：数列
为等差数列；
（2）求数列
的前
项和
.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）利用再利用
将已知递推式转化为关于
的等式，再通过
推导
为常数，结合首项验证等差数列定义.
（2）先由（1）求出
与
，对
的进行裂项变形，再利用裂项相消法求前
项和
.【详解】
（1）因为
，所以
，
当
时，
，
两式相减得
，①
则
，②
②
①得
，所以
.
因为
，又
，所以当
时，
；
当
时，
，则
，所以
，满足
，
所以
，故数列
为等差数列.
（2）由（1）可知数列
是首项为，公差为
的等差数列，
所以
，
，
则
，
所以
.
🎯命题方向三 累加法求数列的通项公式
6.（2026·山东滨州检测训练）在数列
中，
.
（1）求
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
的最大值.
【答案】（1）
；
（2）90.
【分析】（1）由递推式
，利用累加法，将
表示为等比数列与等差数列的求和，
结合
求出通项公式.
（2）由
化简得等差数列
，写出其前
项和
的的二次函数形式，根据二次函数性质或数列
单调性求最大值。
【详解】（1）依题意，当
时，
，则
，
满足上式，
所以
的通项公式为
.
（2）由（1）得
，数列
是递减等差数列，
由
，得
，则数列
前10 项均为非负数，从第11 项起为负数，
而
，因此数列
前10 项和与前9 项和相等，都最大，
所以数列
的前
项和
的最大值为
.
7．（2026·四川德阳模拟·预测）已知数列
和首项为2 的等比数列
的各项均为正数，若
，
，且
.
（1）求
和
的通项公式和
的前n 项和
；
（2）若数列
的通项公式满足
，设
为
的前n 项和，求证:
.
【答案】（1）
；
；
（2）证明见详解
（1）先由等比数列
的首项及
求出公比，得到
；再利用
求出
，通过累加法结合
求出
；最后用错位相减法求
的前n 项和
；
（2）将
代入
，对
进行裂项变形，利用裂项相消法求出
，再放缩证明
.
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，首项
，
，
所以
，
，
，
又因为
，所以
，
令
，
，又
有
，
则有
，
所以
，
又因为数列
的各项均为正数，所以
，
令
，
所以
①，
②，
由①—②有：
，
（2）因为
，
所以
.
🎯命题方向四 累乘法求数列的通项公式
8．（2022·新高考Ⅱ卷）记
为数列
的前n 项和，已知
，
是公差为
的等差数列.
（1）求
的通项公式；
（2）证明：
.
【答案】（1）
，
（2）证明见解析
【分析】（1）先由等差数列
的首项与公差，写出其通项公式，结合
推导出
的表达式，再用累乘法求出
的通项公式；
（2）由（1）得
，对其进行裂项变形，利用裂项相消法求出前
项和，最后通过放缩证明
不等式成立.
【详解】（1）法一：因为
，所以
，又
是公差为
的等差数列，
所以
.因为当
时，
，
所以
，所以
，整理得
，
所以
，
所以
，
又
也满足上式，所以
，则
，
所以
，
又
也满足上式，所以
.
法二：因为
，所以
，又
是公差为
的等差数列，
所以
，所以
.
因为当
时，
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
又
也满足上式，所以
.
（2）因为
，所以
，
所以
.
9．（2026·江西福州阶段检测）已知数列
的首项
，且
.
（1）求数列
的通项公式：
（2）若数列
的前
项和为
，证明：
.
【答案】（1）
（2）证明见详解.
【分析】由递推式
变形得
，利用累乘法结合首项
求出通项公
式；
（2）由（1）得
，通过放缩
后裂项，再用裂项相消法求和，证明
.
【详解】（1）因为
，所以
，
即
，将上述
个式子相乘得
，
所以
，当
时，成立，故
.
（2）由（1）得
，所以
，
所以
，即
.
10．（2026·河北沧州质量检测）在数列
中，
是公差为1 的等差数列.
（1）求
的通项公式；
（2）设
为数列
的前
项和，若对任意
，总有
，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）先由等差数列
的首项与公差，写出其通项公式，得到
的表达式，再用累
乘法求出
的通项公式；
（2）将
代入
，对
进行裂项变形，利用裂项相消法求出前
项和
，，分析
的
单调性，由
恒成立，得到
的取值范围.
【详解】（1）由
可知
.
由题设条件可知
，所以
，
当
时，
，
所以
.
当
时，
满足
，故
的通项公式为
.
（2）由（1）可知
，
所以
. 则
.
🎯命题方向五 构造求数列的通项公式
11．（2026·石家庄第一中学·一模）已知数列
满足
，且
．
（1）若
，证明：数列
是等比数列；
（2）求数列
的前
项和
．
【答案】 （1）证明见解析
（2）
【分析】（1）将
，代入递推式，整理得到
与
的倍数关系，结合首项验证等比数列定义，
完成证明；
（2）由（1）得到
的通项，反解出
，将
项和拆分为等比数列与等差数列的和，分别求和后合并得
到
．
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，即
，又
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公比的等比数列
（2）由（1）可得
，所以
，
所以前项和
12．（2026·河北秦皇岛阶段检测）在数列
中，已知
，且满足
．
（1）求
的通项公式；
（2）求数列
的前
项和
．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）对递推式
变形，构造新数列
，证明其为等比数列，进而求出
的通项公式；
（2）将
代入
，化简后利用裂项相消法或错位相减法求前
项和
．
【详解】（1）因为
，且易知
，
所以
，所以
，所以
．
因为
，所以
，所以
是首项为1，公比为
的等比数列，
所以
，所以
．
（2）因为
，
所以
．
13.（2025·高考综合改革适应性·演练）已知数列
中，
（1）证明：数列
为等比数列；
（2）求
的通项公式；
（3）令
，证明:
．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
；
（3）证明见解析.
【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求得数列
的通项公式，再求
即得；
（3）将（2）中得到的
的通项代入
求得
，化简后利用数列的单调性即可得证.
【详解】（1）由
得
，则
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列.
（2）由（1）得
,解得：
.
（3）
令
，
，
因为
在
上单调递增，则
所以数列
在
上单调递减，从而数列
在
上单调递增，且
，
故得
.
题型02 数列的前n 项和问题
抓关键
· 破难点
◎高分技法一、分组求和法
①适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注
意在含有字母的数列中对字母的讨论．
②常见类型：
分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列：
奇偶并项求和：通项公式为an＝的数列，
其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列．
◎高分技法二、裂项相消法
①识别：观察待求和式子是否满足分式型、指数型、根式型等结构.
②裂项：利用裂项技巧裂项，检验裂项后的式子是否需要“配凑”系数才能保证裂项前、后的式子等价.
③相消：明确正、负相消时，是从哪一项开始消去的，消去多少项，留下了多少项，一般前面留下了几项，
后面相应留下几项。
-----------------------考场必备的5 大裂项技巧--------------------------
◎高分技法三、错位相减法
①识别：数列各项由公差为
的等差数列
和公比为
的等比数列
对应项之积构成.
②展开：
---------------①
③乘公比：
--------②
④错位相减：
得
.
⑤求和：
.
刷经典
· 通方法
🎯命题方向一 分组求和法求数列的前项和
1.（2021·新高考Ⅰ卷）已知数列
满足
，
（1）记
，写出
，
，并求数列
的通项公式；
（2）求
的前20 项和.
【答案】（1）
.
（2）300.
【分析】（1）根据递推式计算
，
，再由
，结合奇偶项递推关系，证
明
是等差数列，进而求出其通项公式；
（2）将前 20 项和拆分为奇数项和与偶数项和，分别利用等差数列求和公式计算，再合并得到结果.
【详解】（1）因为2n 为偶数，所以
，
，
所以
，即
，且
，
所以
是以2 为首项，3 为公差的等差数列，
所以
，
，
.
（2）当n 为奇数时，
，所以
的前20 项和为
.
由（1）可知，
，
所以
的前20 项和为
.
2．（2026·湖南邵阳第二次联考）已知数列
是等差数列，且
，
，数列
满足
，
.
（1）求
的通项公式，并证明数列
是等比数列；
（2）若数列
满足
，求
的前
项和.
【答案】（1）
，证明见解析
（2）
【分析】（1）利用等差数列通项公式，由
，求出公差
，得到
的通项；将
代入
，+an，构造数列
，证明其为等比数列；
（2）由（1）得
的通项，进而得到
，将前
项和.拆分为等差数列与等比数列的和，分别求
和后合并.
【详解】（1）设等差数列
的公差为，由
，
，
得
，解得
.所以
.
由
得
，即
，
又
，所以
是一个以4 为首项，3 为公比的等比数列.
（2）由（1）可得
，所以
.所以
.
所以
.
3.（2026·内蒙古包头市·一模）数列
的前n 项和
，数列
满足
，
．
（1）求数列
，
的通项公式；
（2）将数列
和数列
各取前100 项，按从小到大排成一个新的数列
，其中重复的数只取
一次，求数列
的前100 项和．
【答案】（1）
；
（2）
【分析】（1）利用
与
的关系可求数列
的通项公式，当
时，由已知可得
，
两式相除可求数列
的通项公式；
（2）结合（1），利用分组求和法可求数列
的前100 项和．
【详解】（1）令
，则
，
，
当
时，
，
也符合上式，∴
；
当
时，由
，可得
，
两式相除可得
，
也符合上式，∴
．
（2））
，
，
，…，
，
，
，
，…，
，
将数列
和数列
各取前100 项，按从小到大排成一个新的数列
，其中重复的数只取一次，
则
，
，…，
，
，
，…，
，
∴
．
🎯命题方向二 裂项相消法求数列的前
项和
4. （2026·黑龙江哈尔滨第三中学·一模）已知数列
的前项和为
.
（1）求
的通项公式；
（2）令
，求数列
的前项和
.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据
关系即可作差求解；
（2）利用裂项相消法求和即可得解.
【详解】（1）当
时，
，当
时，
，
当
时，
也符合
，所以
.
（2）由（1）可得
，
5 .（2026·广东深圳市第一次调研）已知数列
是等比数列，
，
，数列
满足：
.
（1）求
，
的通项公式；
（2）求数列
的前项和
.
【答案】（1）
，
，
，
.
（2）
.
【分析】（1）根据
，
，通过等比数列定义求出公比
，代入等比数列通项公式求
出
，再根据作差法求出在
时，
，验证当
时，
符合该式，即可求出
；
（2）利用裂项相消的方法求出
即可.
【详解】（1）设等比数列
的公比为，则
，所以
，
，
因为
，当
时，
，
两式相减得
，则
时，
；
当
时，由
得
，解得
符合该式；所以
，
.
（2）由于
，
，所以
.
6.（2026·河北唐县第一中学·一模） 已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
（1）求
；
（2）若
，求数列
的前n 项和.
【答案】（1）
；
（2）
.
【分析】（1）由
.知
是首项为 1、公差为
的等差数列，先求
，再得
；
（2）由
求
，将
裂项后，按
奇偶性用裂项相消法求和.
【详解】（1）因为
，且
，可知数列
是以首项为
，公差为的等差数列，
则
，所以
.
（2）由（1）可知：
，当
时，则
，
且
符合上式，所以
，可得
，
设数列
的前n 项和为
，
则
，
所以数列
的前n 项和为
.
7.（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列
满足
，且对任意的正整数，当
时，都有
．
（1）证明：数列
是等差数列；
（2）设
，求数列
的前项和
．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）对递推式变形，证明
的后项减前项为常数，结合首项验证其为等差数列；
（2）由（1）得
，将
裂项后，用裂项相消法求前n 项和.
【详解】（1）根据题意，令
，
当
时，
，
，所以
，
且
，则
，
所以数列
是首项为，公差为的等差数列；
（2）根据（1）可得
，所以
，
则
，
所以
.
8 .（2026·辽宁名校联盟·二模）已知数列
的前n 项和为
，
，且
．
（1）证明：数列
为等差数列；
（2）记
，求数列
的前
项和
．
【答案】（1）证明见详解
（2）
【分析】（1）由
及
，变形得
，结合首项
，
证明
为等差数列；
（2）由（1）得
，进而求出
，将
裂项后，用裂项相消法求前
项和
．
【详解】（1）由
得：
，
即
，
所以
，
又
，所以
，所以数列
是以首项为2，公差为2 的等差数列.
（2）由（1）知数列
是以首项为2，公差为2
等差数列，
所以
，
当
时，
，
当
时，
满足条件，所以
，
所以
，
所以
.
9.（2026·安徽江南十校检测）已知等差数列
的前项和为
，且
.
（1）求数列
的通项公式；
（2））若
，求数列
的前项和.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）设等差数列
的首项为
，公差为
，利用
和
列方程组，解出
与
，进而得到通项公式。
（2）将
代入
，化简后裂项，再用裂项相消法求前
项和
.
【详解】（1）数列
为等差数列，设首项为，公差为
对
恒成立，
必有
，所以
，解得
所以
即数列
的通项公式为
.
（2）
.
10.（2026·山东聊城·一模）已知数列
满足
.
（1）求
的前n 项和
；
（2）记数列
的前n 项和为
，若
．
（i）证明数列
为等差数列，并求出
的通项公式；
（ii）求数列
的前n 项和
．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析，
；（ii）
【分析】（1）分
、
两种情况结合等差数列的求和公式求解即可；
（2）（i）结合题设及
与
的关系可得
，即可求证，再求解通项公式即可；
（ii）先得到
，再结合分组求和、裂项相消法求解即可
【详解】（1）当
时，
；
当
时，
，
显然
满足上式，则
.
（2）（i）由
，
当
时，
，即
；
当
时，
，则
，
即
，则
，即
，
所以数列
是以
为首项，以2 为公差的等差数列，
则
，即
.
由（1）知，
，
由（i）知，
，
则
，
所以
.
🎯命题方向三 错位相减法求数列的前项和
11．（2025· 全国高考一卷）已知数列
中，
，
.
（1）证明：数列
为等差数列；
（2）给定正整数m，设函数
，求
.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）对递推式变形，得到
，结合首项
，证明
为等差数列；
（2）由（1）得
，对
求导后代入
，得到等差乘等比型数列求和，用错位相减法计算最终结
果.
【详解】（1）
1
1
1
(
1)
n
n
a
a
n
n
n n
两边同时乘
，得
1
(
1)
1
n
n
n
a
na
，
又
，所以
是首项为3，公差为1 的等差数列.
（2）由（1）可知数列
的通项公式为
，
又
，
故
，
所以
.
两式相减，得
，
所以
.
12．（2026·四川成都石室中学二模））已知正项数列
的前n 项和为
，且
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前n 项和．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用
与
作差，结合正项数列条件，证明
是
首项为 1、公差为1 的等差数列，进而得到
的通项公式；
（2）将
代入
，此为等差乘等比型数列，用错位相减法求前n 项和．
【详解】（1）由
，当
时，
，
则
，即
，
所以
，即
，
由数列
为正项数列，所以
，从而有
，
，
所以数列
是以
为首项，为公差的等差数列，
所以
，
．
（2）由（1）知
，所以
，
，则
，
从而
，
即
，
所以
.
13．（2026·河南九师联盟模拟预测））已知数列
的前n 项和为
，且
，
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）数列
满足
，求数列
的前n 项和．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由
可知
是等差数列，设公差为 d，结合
，与
列
方程，求出首项
和公差
，进而得到通项公式；
（2）由（1）得
，代入
，得到
为等差乘等比型数列，用错位相减法求前n 项和．
【详解】（1）因为
，所以数列
为等差数列，
设数列
的公差为d，且
，则
，解得
，
又
，所以
，即
，
则
，解得
，所以
；
（2）由（1）可知
，
，所以
，
则
，
两式相减可得：
，
即
，
化简可得：
.
14. （2026·陕西榆林一模）已知数列
的前n 项和
，等比数列
满足
，
．
（1）求
和
的通项公式；
（2）求数列
的前n 项和
．
【答案】（1）
，
（2）
．
【分析】（1）利用
并验证
，求出
的通项；再由已知求出等比数列
的
首项与公比，进而得到其通项。
（2）
为等差乘等比型数列，采用错位相减法求前
项和
.
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，
也满足
，所以
．
因为
，所以
的公比
，
所以
．
（2）由（1）可知
，
所以
①，
②
两式相减，得
，
所以
．
题型03 数列与不等式的综合应用
抓关键
· 破难点
高考对数列解答题的考查偏重于综合性，其中数列不等式的证明是数列模块中的难点。当数列结构复杂
时，不能直接求和，要对通项进行预放缩后才能利用求和公式，进而证明不等式.因此，放缩的思想就是通过
放缩将不能求和的数列变成可以求和的数列.
一、数列不等式放缩法的类型
序号
放缩法类型
具体操作
①
分式放缩
对于 “分式” 型不等式，将代数式中的分母或分子 “扩大” 或 “缩小”，
放缩成等比数列的形式，再利用等比数列求和公式化简，进而得以证明
②
不等式放缩
利用基本不等式或其他重要不等式对 “和”“积”“倒数和”“平方和” 等放
缩。
③
添项或去项放缩
在不等式的两边同时 “加上” 或 “减去” 某一项实现放缩
④
拆项放缩
对一些比较复杂的代数式 “拆开” 再重新组合，可以消去一些项，从而简化运
算（如裂项相消）
二、数列不等式的6 大放缩实例
①
②
，
③
④
刷经典
· 通方法
🎯命题方向一 数列与不等式的证明
1．（2023·新课标Ⅱ卷）已知
为等差数列，
.记
，
分别为数列
，
的前n 项和，若
，
.
（1）求
的通项公式；
（2）证明：当
时，
.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）利用等差数列前
项和公式与
的分段定义，列方程组求出
的首项和公差，得到通项；
（2）分别写出
和
的表达式，通过作差比较，证明当
时，
.
【详解】（1）设等差数列
的公差为d.因为
，
所以
，
，
.
因为
，
，所以
，
整理得
，解得
，所以
的通项公式为
.
（2）由（1）知
，所以
.
当n 为奇数时，
.
当
时，
，
所以
.
当n 为偶数时，
.
当
时，
，所以
.
综上可知，当
时，
.
2．（2026·锡林郭勒盟检测）记
为正项数列
的前项和，已知
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足
，
，求证：
.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）利用
与
作差，结合正项数列条件，
证明
是等差数列，进而求出通项公式；
（2）由递推关系
累乘得到
的表达式，将其裂项后求和，通过放缩证明不等式成立.
【详解】（1）当
时，可得
，
当
时，
，
.作差可得
，
因为是正项数列，所以
，即数列
为等差数列，所以
.
（2）由题可得
，
所以
，又
，
所以
，
又
也满足上式，
所以，
3. （2026·重庆名校联盟第一次·联考）已知数列
的前项和为
，若
，
且
．
（1）证明：
为等差数列，并求
．
（2）若
，数列
的前项和
，求证：
．
【答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的概念证明，结合等差数列通项公式求
；
（2）利用裂项相消法求和即可证明．
【详解】（1）
，
所以数列
是以
为首项，2 为公差的等差数列，
所以
；
（2）
，
．
4.（2026·湖北武汉3 月·调研）在数列
中，
，
，
，且
是等差数列.
（1）求
；
（2）证明：
【答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）使用等差中项性质即可求解；
（2）使用累加法求得
的通项公式，再使用裂项相消即可得证.
【详解】（1）设
，则
，
因为
是等差数列，即
是等差数列，
则有
，即
，解得
.
（2）由（1）知，
，则
公差为2，首项为6，
则
，即
，
当
时，
将各式相加，得
，
即
，即
，而
满足上式，
因此
，
，
则
，
因为
，则
，则
，得证.
🎯命题方向二 数列与不等式的恒成立或能成立问题
5．(2026·贵州黔东南模拟·预测)已知公差不为0 的等差数列
的前n 项和为
，且
，
，
，
成等比数列.
（1）求
的通项公式；
（2）求使
成立的n 的最小值.
【答案】（1）
；
（2）6.
【分析】（1）利用等差数列前n 项和公式
及等比中项性质
，联立方程求出首项与公差，
得到通项公式；
（2）写出
与
的表达式，解不等式
，求出满足条件的最小正整数n.
【详解】（1）设等差数列的公差为
，首项为，
由题意可得
，化简得
，
解得
，
，所以
.
（2）由（1）可知
.
由
，得
，即
，即
，解得
或
.
因为
，所以n 的最小值是6.
即使
成立的n 的最小值为6.
6．（2026·湖北孝感·二模）已知数列
的前项和为
，若对任意
，向量
，
，有
．数列
满足
，其前项和为．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
对任意
恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【分析】由
得
，再写出
时的式子作差，整理后证明
是等差数列，进而
求出通项公式；
（2）根据
的分段定义，分
为奇数、偶数分别求出
，再将不等式
恒成立问题转化
为求
的最小值，从而确定
的取值范围.
【详解】（1）因为
，即：
．①
当
时，
，又
，所以
．
当
时，
，②
由①－②整理得：
．整理得
，
由累乘法得：
，代入比值：
，
当
时，
，符合上式，
所以数列
的通项公式为
．
（2）当为偶数时，
，
所以
，为偶数
，由
恒成立，得
，
是偶数，当
时，
有最小值，所以
；
当为奇数时，
为偶数，
，
所以
，为奇数，
由
恒成立，得
，
又
在
上单调递增，
所以当
时，
有最小值1，所以
．
综上，实数的取值范围是
7. (2026·福建名校联盟·开学考试)记数列
的前n 项和为
，已知
．
（1）求
的通项公式；
（2）设
，记数列
的前n 项和为
，若
，
，求t 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）由
，写出
时的式子作差，得到
与
的递推关系，证明
是等比数
列，进而求出通项公式；
（2）将
代入
，裂项后求
；再求出
的表达式，根据
，对任意
恒成立，分别求
的上确界和
的下确界，从而确定的取值范围.
【详解】（1）因为
，所以
，
当
时，
，所以
，即
，
则
是首项为1，公比为3 的等比数列，所以
的通项公式为
．
（2）由（1）可得
，
所以
，
因为
，
，
所以t 的取值范围为
．
题型04 数列与其他模块知识的创新交汇问题
抓关键
· 破难点
数列是以正整数为自变量的一类特殊函数，因此数列创新问题常与解析几何、函数、概率等模块交汇
考查。与解析几何交汇，能依托数的本质属性与形的几何特征；与函数交汇，能放大数列的函数特征；与
概率交汇，能彰显数列工具的妙用。这些问题以数列为核心，常出现在解答题中，明确问题属于哪个知识
主体、运用相应主体模块是解题关键。
创新交汇1：交汇函数
定位主体：需要分析切线、单调性、极值时，主体为函数，要充分运用导数工具；根据函数图象上的
点列建立坐标之间的递推关系时，主体为数列。
创新交汇2：交汇概率
定位主体：需要求概率值、分布列、期望时，主体为概率；根据实际情境分析出各个情况下概率的递
推关系后，需要求具体期望值时，主体为数列。
刷经典
· 通方法
🎯命题方向一 数列与集合的融合创新
1. （2026·广东东莞3 月质量·检测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设集合
，
，等差数列
的任一项
，
其中
是
中的最小元素，
，求数列
的前n 项和
.
【答案】（1）
，
（2）
【分析】（1）根据
求出通项公式；
（2）在第一问基础上得到
，
，
，根据
求出
，
，求出等差数列
的公差，及通项公式
，从而求出
.
【详解】（1）由
，
得：
当
时，
，
当
时，
符合上式，
所以数列
是首项为1，公差为3 的等差数列.故
，
；
（2）因为
，
，∴
，
又∵
，其中
是
中的最小元素，∴
，
∵
的公差是3 的倍数，∴
.
又∵
，∴
，解得：
，所以
，
设等差数列
的公差为d，则
，所以
，
所以
的通项公式为
.
因此数列
的前n 项和
.
🎯命题方向二 数列与复数的交汇问题
2．（2026·山东青岛3 月·调研）设
为复数数列，
，
，记
的实部为
，
虚部为
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）证明：数列
为等比数列；
（3）求
．
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【分析】（1）由复数递推式
，展开后分离实部与虚部，得到
的递推关系，进而求出通
项公式；
（2）由虚部
的递推式，变形得到
的递推关系，取对数后证明
是等比数列；
（3）利用（2）的结论，将乘积转化为指数形式，结合等比数列求和公式计算结果。
【详解】（1）因为
，故
，
而
，
均为实数，故
，
而
，，均为实数，故
，故
.
（2）由（1）可得
，故
，
，
所以
，因为
，故
，
故
，而
，
故数列
为等比数列，且首项为
，公比为.
（3）由（2）可得
，故
，
故
.
🎯命题方向三 数列与三角的交汇问题
3. （2026·湖北随州·二模）已知数列
和
，
为数列
的前n 项和，
，且
，
．
（1）求
；
（2）求数列
的通项公式；
（3）求证：
．
【答案】（1）
，
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）先由
求出
，进而得到
，算出
；再由
求出
，得到
，算出
；
（2）利用
，结合已知的
与
表达式，消去
，得到
的递推关系，进而求出通项公
式；
（3）由
的表达式，结合
的放缩，利用等比数列求和公式证明不等式。
【详解】（1）由
，
，得
，故
，
由
，
，得
，故
（2）由
，
得
，又
，
所以
两边同时乘以
得
，
由
得
，即
，
于是
，又
得
，
所以
，所以
，
经验证
也符合，所以
；
（3）构造函数
，则
，
所以
在
单调递减，且
，
，
由零点存在定理，存在唯一的
，使得
，
则当
时，
；当
时，
；
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，所以
所以当
时，
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，
当
时，
．
当n＝1，n＝2 时，不等式成立.
🎯命题方向四 数列与概率统计交汇问题
4．（2026·广东茂名第一次·综合测试）已知甲乙两个盒子均装有
､
1 个白球和1 个黑球，现进行如下操作：
从这两个盒子中各取1 个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为
.
（1）求
；
（2 证明：
是等比数列；
（3）求
的数学期望.
【答案】（1），
（2）证明见解析
（3）1
【分析】（1）初始状态甲盒有1 个白球，第一次操作分四种取球情况，计算得
，
；
（2）由状态转移得到
与
的关系，结合
，整理后证明
是公
比为
的等比数列；
（3）数学期望
，
结合（2）的结论化简求值.
【详解】（1）初始时甲、乙两盒均装有 1 个白球和 1 个黑球，第一次操作时，从两盒中各取一球交换，
共有 4 种等可能情况：
甲取白、乙取白：交换后甲盒白球数为 1；
甲取白、乙取黑：交换后甲盒白球数为 0；
甲取黑、乙取白：交换后甲盒白球数为 2；
甲取黑、乙取黑：交换后甲盒白球数为 1。
故
（2）记
，则
，
由全概率公式得：
，
，
所以
，
，
由 （1） 和（3）知
，结合初始值
，
可得对任意
有
，代入
中，得：
，
将（4） 代入（2）式得：
，
整理得
，即：
，又
，
所以数列
是公比为
的等比数列.
（3）由题意知：
的取值为：
，
分布列为：
0
1
2
，由 （2） 知
，因此
.
🎯命题方向五 数列与函数、导数的交汇问题
5 .（2026·江苏南京师范大学附属中学G4·联考）数列
中，
，
，
.
（1）证明：
是等差数列；
（2）设
，求
.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
.
【分析】（1）对递推式变形，两边同乘
，得到
，结合首项
，证明
是等差数列是等差数列；
（2）由（1）得
，代入
后求导，在
处转化为等差乘等比型数列求和，用错位相
减法计算结果.
【详解】（1）对任意的
，
，
等式两边同时除以
得
，即
，
又
，所以
是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知
，所以
，
因为
，则
，
对任意的
，
，
所以
.
6．（2026·河南开封高级中学第一次·调研）已知函数
.
（1）若数列
，求数列
的前n 项和
；
（2）已知函数
在
处的切线为直线，直线在y 轴上的截距为
，求数列
的
前n 项和.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1） 将
拆分为等比数列
与等差数列
，分别用等比数列、等差数列前
项和公式求和后相加；
（2）先求
在
处的导数得到切线斜率，写出切线方程，令
求出截距；再将 拆分为
等比数列与等差乘等比型数列，分别求和后得到.
【详解】（1）因为
，所以
.
（2）
，直线的方程为
，
令
，得
，
所以
，
令数列
的前项和为
，则
，
，
两式相减得
，故
，
又数列
的前项和为
，
所以数列
的前项和
.
7. （2026·江苏南京市六合区名校联盟第一次·调研）设
，
，
为数列
的前项
和，令
，
，
．
（1）若
，求数列
的前项和
；
（2）求证：对
，方程
在
上有且仅有一个根；
（3）求证：对
，由（2）中
构成的数列
满足
．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【分析】（1）由题意结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解；
（2）求导得函数
在
上是增函数，结合零点存在定理即可得证；
（3）一方面由
结合
上单调递增可得
，
即
；另一方面通过放缩、
以及裂项相消可得
，由此即可得证.
【详解】（1）若
，
，则
，
则
，
，
，
；
（2）
，
，
故函数
在
上是增函数．
由于
，当
时，
，即
．
又
，
，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的
，满足
．
（3）对于任意
，由
中
构成数列
，当
时，
，
．
由
在
上单调递增，可得
，即
，
故数列
为减数列，即对任意的、
，
．
由于
，
，
，
，
用
减去
并移项，利用
，可得
．
综上可得，对于任意
，由
中
构成数列
满足
．
8．（2026·云南红河州、文山州·模拟预测））已知数列
满足
（
），且
，
函数
．
（1）求函数
的极大值；
（2）若
，
，
，使得
成立，求
的取值范围；
（3）若
，求
的前项和．
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）先由数列递推关系求出
，得到
；求导找极值点，判断单调性后求
出极大值；
（2）将不等式转化为
；分别求
在
上的最大值和
在
上的最大值，代入解出
的范围；
（3）先由数列递推式求出
，化简
，得到
；用错位相减法求前
项和
.
【详解】（1）由
（
），则
，
所以函数
，则
，
令
，解得
，或
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以
时，
有极大值，极大值为
；
（2）因为
，
，使得
成立，
所以
，
由（1）知
时，
，
由
，则
，
令
，解得
，或
．
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
取得最大值，即
，故
，解得
，
所以
；
（3）因为
①，则
，
且
②，
①②得
（
），则
，
即
，其中
的指数为
个2 相乘，
因为
，所以
，
当
时，
，所以数列
的通项公式为
，
当
时，
，
令
，则
，①
两边同乘得，
，②
①②得
，化简得：
，
令
，
法一：
，①
两边同乘得，
，②
①②得：
，所以
，
法二：因为
（
），
将上式两边求导得
，
两边同乘
，
将上式两边求导得：
两边同乘：
即
，
令
，则
，
所以
，所以
，当
时，
，满足上式，所以
.
