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第二章 等式与不等式（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．一元二次方程
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将一元二次方程因式分解后，求得方程的解集.
【详解】
，即
，所以
或
，
解得
，
.
故选:C.
【点睛】本小题主要考查提公因式法求一元二次方程的解集，属于基础题.
2．已知p：
，那么p 的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解不等式，然后根据充分条件和必要条件的定义逐项判断即可.
【详解】由
，得
，解得
，
对于选项A，
是命题p 的充要条件，故A 错误；
对于选项B，
，反之不能推出，
所以
是命题p 的一个必要不充分条件，故B 正确；
对于选项C，
，反之不能推出，
所以
是命题p 的一个充分不必要条件，故C 错误；
对于选项D，
推不出
，反之也不能推出，
所以
是命题p 的一个既不充分也不必要条件，故D 错误；
.故选：B.
3．已知
，则
（ ）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
【答案】C
【分析】根据题意利用基本不等式运算求解即可.
【详解】因为
，则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
有最大值
.
故选：C.
4．若不等式
的解集为
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，及根与系数的关系，求出
，从而求出不等式的
解集.
【详解】
不等式
的解集为
，
和
是
的解，
，
解得
，
，
整理的
，
，
故不等式的解集为：
，
故答案为：B.
5．在R 上定义运算⊗：
，
时，不等式
有解，则实数a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】转化条件得
在
上有解，利用基本不等式求得
在
的最大值即可得解.
【详解】依题意，
在
上有解，
则
，即
在
上有解，
又
，当且仅当
时取等号，
所以实数
的取值范围是
.
故选：B
6．已知
，则下列结论错误的是（ ）
A．
的取值范围为
B．
的取值范围为
C．
的取值范围为
D．
取值范围为
【答案】D
【分析】根据
的取值范围，可得到
以及
的取值范围，然后相加相乘即可得解.
【详解】对于A，因为
，
所以
，即
，
所以
的取值范围为
，故A 正确，不符合题意；
对于B，因为
，所以
，
因为
，所以
，即
，
所以
的取值范围为
，故B 正确，不符合题意；
对于C，因为
，则
，
所以
，则
，
所以
的取值范围为
，故C 正确，不符合题意；
对于D，因为
，所以
，则
，
因为
，所以
，则
，
所以
取值范围为
，故D 错误，符合题意；
故选：D.
7．若关于
的不等式
的解集中恰有3 个整数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】将原不等式化为
，按照
与2 的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的
整数个数建立不等式求解可得,
【详解】
．
当
时，不等式
的解集为空集，不符合题意．
当
时，不等式
的解集为
，
要使关于
的不等式
的解集中恰有3 个整数，
只需满足
解得
．
当
时，不等式
的解集为
，
要使关于
的不等式
的解集中恰有3 个整数，
只需满足
解得
．
综上，实数
的取值范围为
.
故选：B
8．设
，已知
或
，则
的最小值为（以
表示数集
中最大的数）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用换元法表示出
，再根据不等式性质，分情况讨论求解.
【详解】令
，
，
，其中
，
所以
，
令
，因此
，
若
，则
，即
，
所以
，则
，
若
，则
，即
，
所以
，则
，
综上所述，
，当且仅当
，且
时等号成立，
因此
的最小值为
.
故选：C.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据不等式的性质及特值法求解.
【详解】若
，则
，即
，
显然
，所以
，两边同乘
，得
，故A 正确；
若
，则
，则
，即
，可得
，故B 正确；
取
，满足
，但
，故C 错误；
取
，满足
，但
，故D 错误，
故选：AB.
10．某单位有10000 名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占
，如果对
每个人的血样逐一化验，就需要化验10000 次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5 人一组分组，
然后将各组5 个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5 个人全部阴性；如果混合血样呈阳
性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次，则下列正确的是（ ）
A．按照统计专家的化验方法能减少化验次数
B．按照统计专家的化验方法不能减少化验次数
C．如果携带病毒的人只占
，按照
个人一组，
取7 时化验次数最少
D．如果携带病毒的人只占
，按照
个人一组，
取8 时化验次数最少
【答案】AC
【分析】对于AB，第一轮化验次数为
，第二轮最多500 组需要化验，可判断最多化验次数为
，
可判断AB，对于CD，由化验次数为
结合基本不等式求解即可判断.
【详解】按照统计专家的化验方法，需要化验两轮，第一轮化验次数为
，
携带病毒的人占
，因此携带病毒的人有
(人)，
第二轮最多有500 组需要化验，最多化验次数为
，
因此这种方法最多化验次数为
，化验次数减少．
按
人一组，第一轮需要化验
次，
如果携带病毒的人只占
，则携带病毒的人有
(人)，最多有200 组需要化验第2 轮，
第二轮最多化验次数为
，因此最多化验次数为
，
当且仅当
时等号成立，由于
，易得
，所以
时，化验次数最少．
故选：AC
11．已知集合
有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A．
B．
C．若不等式
的解集为
，则
D．若不等式
的解集为
，且
，则
【答案】ABD
【分析】根据集合
子集的个数列方程，求得
的关系式，对A，利用二次函数性质
可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断.
【详解】由于集合
有且仅有两个子集，所以
，
由于
，所以
.
A，
，当
时等号成立，故A 正确.
B，
，当且仅当
时等号成立，故B 正确.
C，不等式
的解集为
，
，故C 错误.
D，不等式
的解集为
，即不等式
的解集为
，且
，则
，
则
，
，故D 正确，
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知
，且
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先将
用
和
线性表示，再运用不等式的性质求其范围即得.
【详解】设
，
则
,解得
，
即
.
又
，
，
故
，
，
则
，
即
的取值范围是
．
故答案为：
.
13．若对于任意的实数
，
恒成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据绝对值三角不等式求得
的最小值，由此列不等式来求得
的取值范围.
【详解】
，
当且仅当
时等号成立，
所以
，解得
故答案为：
14．定义：区间
、
、
、
的长度均为
．若不等式
的解集中所
有区间长度总和为，则用
的代数式表示
．
【答案】
【分析】变形给定不等式，转化成一元二次不等式组，进而求出解集即可得答案.
【详解】当
时，
，
令
，则
，
令
的两根为
，且
，
，
则
，因此
或
，
而当
时，
，
当
时，
，于是
，
解
得
，解
得
，
则不等式
的解集为
，
所以
.
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．设
.
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)解关于
的不等式
（
）.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案.
（2）对
进行分类讨论，由此求得不等式的解集.
【详解】（1）若
，则由
，
解得
或
，所以不等式
的解集为
.
（2）不等式
，
即
，
当
时，
，解得
，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
16．（1）已知
，
，
，求证：
．
（2）已知
，
，
，
，求证：
．
【答案】证明见解析；证明见解析
【分析】（1）利用不等式的性质证明；
（2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式.
【详解】（1）证明：∵
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，
又∵
，∴
；
（2）证明：∵
，
，
，且
，
∴
，当且仅当
时取等号．
.
17．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为
，底
面积为
，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲
工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400 元，左右两面新建墙体报价为每平方米
150 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200 元．设屋子的左右两侧墙的长度均为
．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为
元
．若无论左右两面
墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围．
【答案】(1)当左右两面墙的长度为
时，甲工程队报价最低
(2)
【详解】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为
，底面积为
，所以屋子的前面墙
的长度为
．
设甲工程队报价为y 元，所以
．
因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以当左右两面墙的长度为
时，甲工程队报价最低，为14400 元．
（2）根据题意可知
对任意的
恒成立，即
对任意
的
恒成立，所以
对任意的
恒成立．
因为
，当且仅当
，
即
时，等号成立，所以
．
故当
时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
18．对于四个正数
，如果
，那么称
是
的“下位序列”.
(1)对于
，试问
是否为
的“下位序列”，请说明理由；
(2)设
均为正数，且
是
的“下位序列”，试判断：
，
之间的大小关系，并说明
理由；
(3)已知正整数
满足条件：对集合
内的每个元素
，总存在正整数
，使得
是
的“下位序列”，且
是
的“下位序列”，求
的最小值.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
，理由见解析
(3)4045
【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可；
（2）根据新定义得到
，再利用不等式的性质利用作差法判断即可；
（3）由题意得到
，
，进而得到
，从而求出最小值.
【详解】（1）由于
，不满足"下位序列"的概念，所以不是“下位序列”.
（2）
均为正数，由
是
的“下位序列”，得
，即
，
则
，即
，
，即
，
所以
.
（3）由
是
的“下位序列”，得
，
即
，则
，
由
是
的“下位序列”，得
，
即
，则
，
所以
，
则
，又对集合
内的每个
均成立，
则
，
所以正整数
的最小值为4045.
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“下位序列”，解题时要充分利用这个定义构造不等关系，结合不
等式的性质求解.
19．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
，
，当且仅当
时，等号成
立.我们从不等式
出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般
形式为：
，且
，
，当且仅当
时，等号成立.
(1)若
，求
的最小值；
(2)求
的最大值；
(3)若
，
，不等式
恒成立，求m 的取值范围.
【答案】(1)3
(2)9
(3)
【分析】（1）构造应用柯西不等式计算即可；
（2）构造应用柯西不等式计算即可；
（3）先化简得出
，再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算
即可
求解；
【详解】（1）因为柯西不等式可得
，
又因为
，
所以
，即得
.
当且仅当
取最小值3；
（2）因为柯西不等式可得
，
又因为
，
所以
，
即得
，化简得
，
当且仅当
取最大值9；
（3）因为
，
所以
，所以
，
所以
，
因为柯西不等式可得
，
又因为
，
，所以
，令
，
所以
，
即得
，当且仅当
取最小值24；
所以m 的取值范围是
.
【点睛】关键点点睛：化简构造柯西不等式结合基本不等式是解题的关键点.
