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专题 1-1 基本不等式归类
目录
题型01 公式基础..........................................................................................................................................................1
题型02 基础模型：倒数型..........................................................................................................................................2
题型03 常数代换型......................................................................................................................................................3
题型04 积与和型..........................................................................................................................................................4
题型05 积与和互化解不等式型..................................................................................................................................4
题型06 构造分母和定型..............................................................................................................................................5
题型07 凑配系数构造分母和定型..............................................................................................................................5
题型08 换元构造分母和定型......................................................................................................................................6
题型09 分子与分母互消型..........................................................................................................................................7
题型10 “1”代换综合型..............................................................................................................................................7
题型11 分子消去型......................................................................................................................................................8
题型12 消元型..............................................................................................................................................................8
题型13 齐次化构造型..................................................................................................................................................9
题型14 三角换元构造型..............................................................................................................................................9
题型15 因式分解双换元型........................................................................................................................................10
题型16 配方型............................................................................................................................................................11
高考练场.......................................................................................................................................................................11
题型 01 公式基础
【解题攻略】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
【典例1-1】（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2021秋·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）对于任意a，b∈R，下列不
等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D． 2
【变式1-1】（2021·高三阶段测试）下列说法不正确的是（ ）
A．x＋ (x>0)的最小值是2 B． 的最小值是2C． 的最小值是 D．若x>0，则2－3x－ 的最大值是2－4
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x＜0，则
【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是 的是
（ ）
A． B．
C． D．
题型 02 基础模型：倒数型
【解题攻略】
倒数型：
，或者
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如 ，
【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知 且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知 的面积为 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知 ，则 的取值范围是
（ ）．
A． B． C． D．【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若 (x, )
最大值记为 ,则 的最小值为
A．0 B． C． D．
题型 03 常数代换型
【解题攻略】
利用常数 代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多
称之为“1”的代换
（1）条件和结论有“分子分母”特征；
（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件
结构形式：
（1） 求
（2） 求
【典例1-1】（2023·江西·校联考一模）已知 ， ， 是正实数，且 ，则 最小值
为 .
【典例1-2】（2019上·山东潍坊·寿光现代中学校考阶段练习）已知正实数 满足 ，则
的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．13 D．21
【变式1-1】（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知 ， ， ，则
的最小值为 ．
【变式1-2】（2023下·湖南株洲·统考）设正实数 满足 ，则 的最小值为 .
【变式1-3】（2023上·上海松江·高三校考）已知 ， ，且 ，则 取得最小值时 的
值是 .题型 04 积与和型
【解题攻略】
积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如 ，可以通过同除ab，化为 构造“1”的代换求解
【典例1-1】（2021·全国·高三测试）已知 ， ，且 ，则当 取得最小值时，
（ ）
A．16 B．6 C．18 D．12
【典例1-2】（2021·湖南岳阳·高三联考）已知 ， ，且 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】(2020·重庆市暨华中学校高三阶段）已知 ， 且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021·山东威海·高三校考）若 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．18 B．15 C．20 D．13
【变式1-3】（2022·全国·高三一专题练习）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
题型 05 积与和互化解不等式型
【解题攻略】
积与和型，如果满足有和有积有常数，则可以转化为解不等式型。
形形如 求 型，可以对“积 pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的
“和”的系数系数，如下：
【典例1-1】（2022秋·云南·校联考阶段练习）已知正数 、 满足 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知 ，则 的最大值为
（ ）
A．1 B．2 C． D．4【变式1-1】（2022秋·广东深圳·高三深圳外国语学校校考期末）已知曲线 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）设 ， ， ，则ab的最小值是
（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
【变式1-3】（2021·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习）若 ，且 ，则 的取值范
围（ ）
A． B． C． D．
B．
题型 06 构造分母和定型
【解题攻略】
对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求 型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用
“1”的代换来求解。
【典例1-1】（2022上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）若三个正数 满足 ，
则 的最小值为 .
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，那么 的最小值为
（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式1-1】（2022秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）已知实数 ，且 ，则 的最
小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式1-2】（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022上·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数 ， 满足 ，则
的最小值为 .题型 07 凑配系数构造分母和定型
【解题攻略】
对于分数型求最值，如果复合pa+qb=t，求 型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”
的代换来求解。
其中结合所给与所求a、b的系数，可以任意调换，来进行变换凑配。
【典例1-1】（2023·全国·高三题练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为
.
【典例1-2】（2023秋·全国·高三专题练习）已知 且 ，若 恒成立，则
实数 的范围是 ．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 且 ，若 恒
成立，则实数 的范围是 ．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）若三个正数 满足 ，则 的最小
值为 .
【变式1-3】（2021·三课时练习）已知 ，则 的最小值为 .
题型 08 换元构造分母和定型
【解题攻略】
换元型构造分母和定型：
形如 型，则可以 通过换元分母，再利用“1”的代换来求解。
【典例1-1】（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足 ，则
的小值为 ．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知 且 ，则 的最小值为
.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，则 的最小值是
.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数 满足 ，则 的最小值为
.
题型 09 分子与分母互消型
【解题攻略】
满足 一般情况下可以通过“万能K法”转化求解
设K法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值
【典例1-1】（2021秋·高三单元测试）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是 .
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最大值是
.
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知 为正数，且 ，则 的最大值为
．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，则 的最小值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为
（ ）
A． B．1 C．2 D．9
题型 10 “1”代换综合型
【典例1-1】（2022上·辽宁大连·大连二十四中校考）已知 且 ，则 的最小值
等于 .
【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考）若实数 ， 满足等式 ，， ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 .
【变式1-1】（2020上·上海徐汇·高三上海中学校考）已知实数 满足 且 ，若
，则 的最小值是
【变式1-2】（2020·江苏苏州·吴江盛泽中学模拟预测）已知 ，且 ，则
的最小值为 ．
题型 11 分子消去型
【解题攻略】
对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转
化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解
【典例1-1】（2020·江苏省震泽中学高三阶段练习）若 ， ， ，则 的最小
值为 （ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）已知 ， ， ，则 的最小值
为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式1-1】（2022春·广东韶关·高三校考阶段练习）已知a，b为正实数，且 ，则 的最小
值为（ ）
A．1 B．6 C．7 D．
【变式1-2】（2023春·重庆·高三校联考期中）已知点 在线段 上（不含端点）， 是直线 外一点，
且 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考期中）已知正实数 满足 ，则
的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．13 D．21
题型 12 消元型
【解题攻略】消元型：
对于双变量型不等式求最值，如果不符合常见的转化方法，可以通过反解代入消元，转化为单变量型
不等式求最值。
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
【变式1-1】（2023秋·海南海口·高三校考开学考试）已知正实数a，b满足 ，则 的最
小值是（ ）
A．2 B． C． D．6
【变式1-2】（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）若 ，且
，则 的最小值为 ．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数 、 满足 ，则 的最小值是
.
题型 13 齐次化构造型
【解题攻略】
齐次化构造型：
一般情况下，分式分子分母含有 等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量
型来转化计算求解
【典例1-1】（2023春·天津河西·高二统考期末）已知 ，则 的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2022秋·湖北黄石·高一期中）已知x，y为正实数，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式1-1】若a，b均为正实数，则 的最大值为
A． B． C． D．2
【变式1-2】函数 的最大值为（ ）
A. B. C. D.【变式1-3】已知 ， ，则 的最大值是 ．
【变式1-4】若实数 满足 ，且 ，则 的最大值为____
.
题型 14 三角换元构造型
【解题攻略】
一般情况下，复合或者能转化为 型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转
化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值
【典例1-1】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最大值是
（ ）
A． B． C．0 D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为
．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的最小值为 .
【变式1-3】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则
的取值范围为 ．
题型 15 因式分解双换元型
【解题攻略】
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
【典例1-1】（2022秋·浙江温州·高三校考阶段练习）已知 ， ，且 ，则
的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式1-1】（2021江苏高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab−3b2=1，则a2+b2的最小值为_____
【变式1-2】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知 且满足 ，则 的最小值是
.
题型 16 配方型
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知a， ，且 ，则 的最大值为
（ ）
A．2 B．3 C． D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数x、y满足 ，且不等式 恒成
立，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知a，b为非负数，且满足 ，则 的最大
值为（ ）
A．40 B． C．42 D．
【变式1-3】（2022秋·河北保定·高一校联考阶段练习）设 ， ，若 ，则 的
最大值为 ．
高考练场1.（2020秋·浙江绍兴·高三校考阶段练习）给出下面四个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴ ；
②∵x，y为正实数，∴ ；
③∵ ， ，∴ ；
④∵ ， ，∴ ．
其中正确的推导为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
2.（2021上·湖北武汉·高三统考）函数 在区间 上（ ）
A．有最大值为 ，最小值为0 B．有最大值为 ，最小值为0
C．有最大值为 ，无最小值 D．有最大值为 ，无最小值
3.（2023上·新疆乌鲁木齐·高三新疆实验校考）设x，y均为正数，且 ，则 的最小值为
．
4.（2022·山东·薛城区教育局教学研究室）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
5.（2022上·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）已知 ， ， ，则 的最小
值为 .
6.（2022上·湖北恩施·恩施市第一中学校考阶段练习）已知 ，且 ， ，则
的最小值为 .
7.（2023·全国·高三专题练习）若正实数 ， 满足 ，则 的最小值是 ．
8.（2020·全国·高三专题练习）已知正实数 、 满足 ， ，且 ，则 的最小值
为 .
9.（2023·全国·高三专题练习）已知 、 ，且 ，则 的取值范围是 .
10.（2022·重庆·校联考模拟预测）已知 ，且 ，则 的最小值为 .11.（2022秋·贵州毕节·高三统考）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
12.（2023春·天津和平·高三统考）已知 ，则 的最小值是 ．
13.（2023·高三单元测试）函数 的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
14.若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 .
15.（2023秋·全国·高三专题练习）若实数 满足 ，则 的最大值为
.
