文档文本内容
培优点01 柯西不等式与权方和不等式
题型方法
题型一 柯西不等式
题型二 权方和不等式
知识点1 柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc 时，等号成立)．
2．二维形式的柯西不等式的变式
(1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc 时，等号成立)．
(2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc 时，等号成立)．
(3)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc 时，等号成立)．
3．二维形式的柯西不等式的向量形式
|α·β|≤|α||β|(当且仅当β 是零向量，或存在实数k，使α＝kβ 时，等号成立)．
知识点2 权方和不等式
1．二维形式：已知x，y，a，b∈R＋，则有＋≥(当且仅当x∶y＝∶时，等号成立)．
题型梳理
知识清单
2．一般形式：设ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，实数m>0，则 ∑
i=1
n ai
m+1
bi
m ≥
(∑
i=1
n
ai)
m+1
(∑
i=1
n
bi)
m ，当且仅当＝＝…＝时等号成立．
称之为权方和不等式．m 为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次．
【题型一】柯西不等式
【例1】（2022·全国甲卷·高考真题）已知a，b，c 均为正数，且
，证明：
(1)
；
(2)若
，则
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）方法一：根据
，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得
，即可得到
，再根据权方和不等式即可得证.
【详解】（1）[方法一]：【最优解】柯西不等式
由柯西不等式有
，
所以
，当且仅当
时，取等号，所以
.
[方法二]：基本不等式
由
，
，
，
，
当且仅当
时，取等号，所以
.
（2）证明：因为
，
，
，
，由（1）得
，
即
，所以
，
由权方和不等式知
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
.
【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；
方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法．
题型方法
解题技巧
掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法．
【举一反三】【变式1】（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的
“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不
等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
等号成立当且仅当
已知
，请你用柯西不等式，
求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
【答案】A
【分析】利用柯西不等式求出即可.
【详解】由题干中柯西不等式可得
，
所以
的最大值为
，当且仅当
时取等号.
故选：A
【变式2】（2021·浙江·模拟预测）已知正实数
满足
，则
的最小值为 ；
的最小值为
.
【答案】 9
【分析】第一空将
化为
，然后利用均值不等式即可求出结果；第二空利用柯西不等式即
可求得结果.
【详解】因为正实数
满足
，
所以
，
当且仅当
时取到最小值，
由柯西不等式可知，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以有
.
故答案为：9；
.
【变式3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知
.
(1)解不等式
；
(2)若
为
的最小值，设
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用零点分段法，即可求解；
（2）先求出
的最小值，从而得到
，再利用柯西不等式，即可求解.
【详解】（1）因为
，由
，得到
，即
，
当
时，原不等式等价于
，得到
，
当
时，原不等式等价于
，得到
，
当
时，原不等式等价于
，得到
，
综上，不等式
的解集为
.
（2）因为
，
所以
，得到
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
的最小值为
.
【题型二】权方和不等式
【例2】（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，
其表述如下：设正数
，
，
，
，满足
，当且仅当
时，等号成立．则函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
【答案】D
【分析】根据权方和不等式，直接计算即可.
【详解】因为
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立，
又
，即
，于是得
，
当且仅当
，即
时取“=”，
所以函数的
最小值为49．
故选：D
解题技巧
(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键．
(2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式．
(3)关于带根号的式子，将分子变为次，分母为次．
【举一反三】【变式1】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初
命名的．其具体内容为：设
，则
，当
且仅当
时，等号成立．根据权方和不等式，若
，当
取得最小值时，
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由给定的权方和不等式定义处理即可.
【详解】由题意得，
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
．
故选：C．
【变式2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据分离常量法可得
，结合权方和不等式计算可得
，即
，即
可求解.
【详解】
，
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以
，得
，
所以
或
（舍去），
即
的最小值为
.
故答案为：
【变式3】（2024·四川凉山·三模）已知函数
的最小值为
．
(1)求实数
的值；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用绝对值的三角不等式计算即可；
（2）法一、利用基本不等式灵活运用“1”计算即可；法二、利用柯西不等式配凑即可；法三、利用权方和不等式计
算即可.
【详解】（1）
,
当
时取“＝”，
；
（2）法一：由（1）可知
，即原式
，
当且仅当
，即
时取得等号，
所以
的最小值为
；
法二：由柯西不等式得
原式
，
当且仅当
时，即
时取得等号，
所以
的最小值为
；
法三：由权方和不等式得
原式
，
当
，即
时取得等号，
所以
的最小值为
.
一、单选题
1．（2023·浙江·一模）若
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先把已知整理成
的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进行放缩，得
到关于
的一元二次不等式进行求解.
【详解】由已知
整理得
好题必刷
，
由柯西不等式得
，
当
时取等号，
所以
，即
，
解得
，所以
的最小值为
.
故选：C．
2．（2021·江西·模拟预测）若正数
满足
，且
，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】不等式化为
，左边
，利用柯西不等
式求出最小值即可求解.
【详解】不等式化为
，
左边
，
所以
，
实数
的取值范围为
.
故选：D
3．（2020·浙江·模拟预测）对于
，当非零实数
、
满足
，且使
最大时，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先将等式
变形为
，再由柯西不等式得到
，分别用
表示
、
，再代入到
得到关于
的二次函数，求得其最小值即可.
【详解】
，
，
由柯西不等式可得
，
故当
最大时，有
，则
，
，
，
所以，当
时，
取得最小值
.
故选：C.
【点睛】本题考查代数式最值的求解，考查了柯西不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.
4．（24-25 高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛
的应用，其表述如下：设
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立.根据权方和不等式，
函数
的最小值为（ ）
A．39
B．52
C．49
D．36
【答案】B
【分析】根据权方和不等式的定义，将函数
变形为：
，再根据权方和不等式求出最小值即
可.
【详解】因为
，
因为
，所以
，
，
根据权方和不等式有：
，
当且仅当
时，即
时等号成立.
所以函数
的最小值为
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值.
二、多选题
5．（2021·江苏南通·三模）已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】对于A：用基本不等式直接判断；
对于B：用作差法比较；
对于C：直接用柯西不等式判断；
对于D：取
，排除.
【详解】对于A：由基本不等式可知
显然成立 .故A 正确；
对于B：因为
，
所以
.故B 正确；
对于C：
为柯西不等式，显然成立.故C 正确；
对于D：对于
，取
，则有
，故D 错误.
故选：ABC.
【点睛】证明不等式：
（1）作差法或作商法比较；
（2）根据式子结构利用基本不等式（柯西不等式）等证明；
（3）综合法、分析法、反证法等.
6．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知
，直线
与曲线
相切，则下列不等式一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据导数的几何意义得
，再根据基本不等式与柯西不等式可判断出答案.
【详解】设切点为
，
因为
，所以
，得
，
所以
，所以
，
对于 A，
，所以
，当且仅当
时，等号成立，故A 不正确；
对于B，
，当且仅当
时，等号成立，故B 正确；
对于C，
，当且仅当
，
时，等号成立，故C 正
确；
对于D，
，
所以
，当且仅当
，又
，即
时，等号成立.
故选：BCD
7．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知
，且
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
.
C．
的最大值为
D．
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式可判定A、B 选项，利用排除法可判定C 选项，利用柯西不等式可判定D 选项.
【详解】由题意可得
，
当且仅当
时取得等号，即A 正确；
，
当且仅当
时取得等号，即B 正确；
先证柯西不等式
，
设
，
则
，
所以
，
由柯西不等式可知：
，
当且仅当
，即
时取得等号，即D 正确；
若
，则
，此时
，故C 错误.
故选：ABD
三、填空题
8．（2023 高三·全国·专题练习）已知
，求
的最小值为
【答案】
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【详解】
当且仅当
时取等号
故答案为：60
9．（2020·浙江温州·二模）已知实数
满足
则
的最大值为 .
【答案】
【解析】直接利用柯西不等式得到答案.
【详解】根据柯西不等式：
，故
，
当
，即
，
时等号成立.
故答案为：
.
【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.
10．（2023 高三·全国·专题练习）求
的最大值为
【答案】
【分析】根据权方和不等式直接求解即可.
【详解】
当且仅当
，即
或
时取等号
故答案为：
.
四、解答题
11．（2020·江西·模拟预测）已知函数
.
（1）求不等式
的解集；
（2）若函数
的最小值为
，且实数
满足
，求
的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）首先将
写成分段函数的形式，然后解出即可；
（2）首先求出
，然后利用柯西不等式求解即可.
【详解】（1）
，
等价于
，或
，或
，
解得
，或
，或
.
故不等式
的解集为
.
（2）由（1）知
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
则
，故
(当且仅当
，
时取等号)，
即
的最大值为
.
【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
12．（2024·四川·模拟预测）已知
均为正实数，且满足
．
(1)求
的最小值；
(2)求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合已知等式，将
化为
，利用基本不等式，即可求得答案；
（2）利用柯西不等式，即可证明原不等式.
【详解】（1）因为
均为正实数，
，
所以
，当且仅当
，
即
时等号成立．
（2）证明：根据柯西不等式有
，
所以
．
当且仅当
，即
时等号成立，
即原命题得证.
13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知
均为正数，且
．
(1)证明：
；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)27
【分析】（1）构造基本不等式，利用不等式即可证明；
（2）首先由柯西不等式证明
，再构造柯西不等式，求
的最小值．
【详解】（1）因为
，所以
，
当且仅当
时等号成立，所以
，故
．
（2）由柯西不等式得
，
当且仅当
时上式等号成立，所以
．
再由柯西不等式得
，
所以
，
当且仅当
时上式等号成立，所以
的最小值为27．
14．（2024·全国·模拟预测）已知
均为正数，函数
的最小值为3．
(1)求
的最小值；
(2)求证：
．
【答案】(1)9；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用绝对值的三角不等式求得
，再利用柯西不等式求出最小值.
（2）由（1）有
，利用柯西不等式证得
，
，再相加即可推理得证.
【详解】（1）
，当且仅当
时取等号，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为9．
（2）因为
，
同理
，
所以
．
15．（2024·陕西·模拟预测）已知函数
（
，
）.
(1)当
，
时，解不等式
；
(2)若
的最小值为6，求
的最小值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）把
，
代入，利用分段讨论法求解不等式即得.
（2）利用绝对值的三角不等式求得
，再利用柯西不等式求出最小值.
【详解】（1）当
，
时，不等式
，为
，得
，
化为
或
或
，
解得
或
或
，即
，
所以原不等式的解集为
.
（2）
，
，
当且仅当
时取等号，而
的最小值为6，则
，即
，
由柯西不等式得
，即
，
当且仅当
且
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
16．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数
．
(1)解不等式
；
(2)若正数
满足
，证明
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先将函数
表达式化简成分段函数，然后将原不等式等价变形即可列不等式组求解；
（2）由绝对值不等式（三角不等式）分析可知，只需证明只需证
即可，由柯西不等式即可得证.
【详解】（1）
，
不等式
，等价于
或
或
；
解得
或
，
不等式
的解集为
.
（2）
，
不等式
等价于
.
又
只需证
即可.
又正数a，b，c 满足
，
.
，当且仅当
时，等号成立.
.
17.（2024·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式
就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设
，
，
，…，
，
，
，
，
…，
，
，当且仅当
（
）或存在一个数
，使得
（
）时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设
是棱长为
的正四面体
内的任意一点，点
到四个面的距离分别为
、
、
、
，求
的最小值；
(3)已知正数数列
满足：①存在
，使得
（
）；②对任意正整数、
（
），均有
.求证：对任意
，
，恒有
.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用柯西不等式的定义，写出
时的形式；
（2）由体积法求出
，构造柯西不等式求
的最小值；
（3）
时，由
，有
，由柯西不等式得
，进而可得
.
【详解】（1）柯西不等式的二元形式为：
设
，则
，
当且仅当
时等号成立.
（2）由正四面体
的体积
，
将正四面体
放入到棱长为为正方体
中，
则
,
得
，所以
，
又由柯西不等式得
，
所以
，
当且仅当
时等号成立.
所以
的最小值为
.
（3）对
，记
是
的一个排列，
且满足
,
由条件②得：
.
于是，对任意的
，
都有
，
由柯西不等式得
，
所以
，
从而，对任意
，
，恒有
，
因为对任意
，
，
，
所以，对任意
，
，恒有
，
【点睛】方法点睛：遇到新定义问题一定要准确理解题目的定义，按照新定义交代的性质或者运算规律来解题．
第一、准确转化．解决新信息问题，一定要理解题目定义的本质含义，紧扣题目所给的定义、运算法则对所求问题进
行恰当的转化．
第二、方法的选取．对新信息题可以采取一般到特殊的特例法，从逻辑推理的角度进行转化，理解题目定义的本质并
进行推广、运算．
第三、应该仔细审读题目．严格按新信息的要求运算．解答问题时要避免课本知识或者已有知识对新信息问题的干扰．
