专题29 圆锥曲线选填题综合
（椭圆、双曲线、抛物线）
（七大考点，137 题）
考点分类
十年考情（2017-2026）
命题规律
考点01 椭圆方程
及其性质
2026 上海、2023 全国甲、2022 全
国甲/新高考Ⅰ、2021 新高考Ⅰ、
2020 山东/海南/上海、2019 全国
Ⅰ/Ⅲ、2018 上海/北京
1.圆锥曲线基础必考小题，以定
义、标准方程、顶点、焦点、
长/短轴为核心。
2.核心考法：利用椭圆第一定义求
线段长、根据几何条件求椭圆方
程、焦点三角形周长与边长计算。
3.常结合过焦点直线、两椭圆相交
模型命题。
考点02 椭圆的离
心率
2026 上海、2023 新课标Ⅰ、2022
全国甲、2021 全国乙/浙江、2019
北京、2018 全国Ⅰ/Ⅱ、2017 全国
Ⅲ
1.高频中档难点，填空、选择均大
量出现。
2.依托焦点三角形、斜率、对称
点、六边形几何关系建立a,b,c 等
式求解离心率或范围。
3.容易结合不等式求离心率取值范
围。
考点03 双曲线方
程及其性质
2026 全国二/北京、2025 全国
二/天津/上海、2024 天津、2023
全国甲/天津、2022 天津、2021 北
京/全国甲、2020 浙江/天津、
2019 全国Ⅲ、2018 全国Ⅰ/Ⅲ/浙
江、2017 天津/山东
1.题量最多的圆锥曲线考点之一，
核心包含渐近线、焦点、实虚轴、
定义。
2.考法：求双曲线标准方程、渐近
线、焦点三角形面积、渐近线与圆
相交弦长、焦点到渐近线距离。
3.常和抛物线、圆交叉综合。
考点04 双曲线的
离心率
2026 全国一卷/天津、2025 全国
一/二/天津、2024 全国甲/新课标
Ⅰ、2023 新课标Ⅰ、2022 全国
甲/浙江、2021 全国甲/天津、
2019 北京/全国Ⅰ/Ⅱ、2018 全国
Ⅱ/Ⅲ、2017 全国Ⅱ
1.选填压轴热门题型，区分度高。
2.通过直角焦点三角形、圆与渐近
线相交、直线斜率、几何长度关系
构造方程求离心率。
3.常设置离心率取值范围类多选
题。
考点05 抛物线及
其性质
2026 全国一/二/天津/上海、2025
全国一/二/北京、2024 新课标
Ⅱ/天津/上海、2023 北京/新课标
Ⅱ、2022 全国乙/新高考Ⅰ/Ⅱ、
1.高考必考内容，核心为抛物线定
义（到焦点与准线距离相等）。
2.考法：焦半径、焦点弦、准线、
切线、等边三角形、垂直直线、面
2021 新高考Ⅰ/Ⅱ/北京、2020 全
国Ⅰ/Ⅱ/Ⅲ/浙江/北京、2019 全国
Ⅱ/浙江/北京、2017 全国Ⅰ/天津
积最值、多选综合判断。
3.多选多结论题型是新高考主流出
题形式。
考点06 曲线与方
程
2024 新课标Ⅰ/Ⅱ、2021 浙江、
2020 全国Ⅲ、2019 北京/上海
1.轨迹方程基础小题，难度中等。
2.考法：相关点法求轨迹、距离等
式定义曲线、整点与曲线范围判
断。
3.区分直线、圆、椭圆、双曲线、
抛物线四类轨迹。
考点07 圆锥曲线
综合
2023 全国乙/新课标Ⅱ、2022 全国
乙、2021 全国乙、2020 全国
Ⅰ/Ⅲ、2019 全国Ⅲ/浙江、2018
全国Ⅰ/浙江、2017 全国Ⅰ
1.选填压轴难题，多曲线混合命
题。
2.综合椭圆、双曲线、抛物线、
圆，考查中点、面积、向量最值、
焦点三角形综合计算。
3.数形结合、设点联立是主要解题
思路。
考点01 椭圆方程及其性质
1. （2023·全国甲卷·高考真题）设
为椭圆
的两个焦点，点
在
上，若
，
则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．5
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出
的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为
，所以
，
从而
，所以
．
故选：B.
方法二：
因为
，所以
，由椭圆方程可知，
，
所以
，又
，平方得：
，所以
．
故选：B.
2. （2023·全国甲卷·高考真题）设O 为坐标原点，
为椭圆
的两个焦点，点 P 在C 上，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出
的面积，即可得到点
的坐标，从而得出
的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出
，再结合中线的向量公式以及数量积即
可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出
，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设
，所以
，
由
，解得：
，
由椭圆方程可知，
，
所以，
，解得：
，
即
，因此
．
故选：B．
方法二：因为
①，
，
即
②，联立①②，
解得：
，
而
，所以
，
即
．
故选：B．
方法三：因为
①，
，
即
②，联立①②，解得：
，
由中线定理可知，
，易知
，解得：
．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常
规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难
度不是很大．
3. （2022·全国甲卷·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，
分别为C 的左、右
顶点，B 为C 的上顶点．若
，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据离心率及
，解得关于
的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率
，解得
，
，
分别为C 的左右顶点，则
，
B 为上顶点，所以
.
所以
，因为
所以
，将
代入，解得
，
故椭圆的方程为
.
故选：B.
4. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知
，
是椭圆
：
的两个焦点，点
在
上，则
的最大值为（ ）
A．13
B．12
C．9
D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到
，借助基本不等式
即
可得到答案．
【详解】由题，
，则
，
所以
（当且仅当
时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
5. （2020·海南·高考真题）已知曲线
.（ ）
A．若m>n>0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上
B．若m=n>0，则C 是圆，其半径为
C．若mn<0，则C 是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C 是两条直线
【答案】ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解，
时表示椭圆，
时表示圆，
时表示双曲线，
时表示两条直线.
【详解】对于A，若
，则
可化为
，
因为
，所以
，
即曲线
表示焦点在
轴上的椭圆，故A 正确；
对于B，若
，则
可化为
，
此时曲线
表示圆心在原点，半径为
的圆，故B 不正确；
对于C，若
，则
可化为
，
此时曲线
表示双曲线，
由
可得
，故C 正确；
对于D，若
，则
可化为
，
，此时曲线
表示平行于
轴的两条直线，故D 正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算
的核心素养.
6. （2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3
B．6
C．8
D．12
【答案】B
【分析】根据椭圆中
的关系即可求解.
【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，
所以
，
，可得
，
，
所以
，可得
，
所以该椭圆的短轴长
，
故选：B.
7. （2019·全国I 卷·高考真题）已知椭圆C 的焦点为
，过F2的直线与C 交于A，B 两点.
若
，
，则C 的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知可设
，则
，得
，在
中求得
，再在
中，由余弦定理得
，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设
，则
，由椭圆的定义有
．在
中，由余弦定理推论得
．在
中，由余弦定理得
，解得
．
所求椭圆方程为
，故选B．
法二：由已知可设
，则
，由椭圆的定义有
．在
和
中，由余弦定理得
，又
互补，
，两式消去
，得
，解得
．
所求椭圆方程为
，故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直
观想象、逻辑推理等数学素养．
8. （2018·上海·高考真题）设
是椭圆
上的动点，则
到该椭圆的两个焦点的距离之和为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．
【详解】椭圆
=1 的焦点坐标在x 轴，a=
，
P 是椭圆
=1 上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2
．
故选C．
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．
9. （2026·上海·高考真题）已知椭圆
与椭圆
相交于
、
、
、
四点，且与
和
的四个焦点在同一个圆上，则
_____________.
【答案】
【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可.
【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上，
所以根据椭圆
和
的对称性可知，该圆的圆心为原点，
因此有
，
且两个椭圆的半焦距为
，
因此该圆的方程为
，
又因为
、
、
、
四点与
和
的四个焦点在同一个圆上，
所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆
上，
由
，代入椭圆
中，
得
，又
，故
，
故答案为：
10. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆
，C 的上顶点为A，两个焦点为
，
，离心率为
．过
且垂直于
的直线与C 交于D，E 两点，
，则
的周长是
________________．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为
，根据离心率得到直线
的斜
率，进而利用直线的垂直关系得到直线
的斜率，写出直线
的方程：
，代入椭圆方程
，整理化简得到：
，利用弦长公式求得
，得
，根据
对称性将
的周长转化为
的周长，利用椭圆的定义得到周长为
.
【详解】∵椭圆的离心率为
，∴
，∴
，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为
，右焦点为
，如图所示，∵
，∴
，∴
为正三角形，∵过
且垂直于
的直线与C 交于
D，E 两点，
为线段
的垂直平分线，∴直线
的斜率为
，斜率倒数为
， 直线
的方程：
，代入椭圆方程
，整理化简得到：
，
判别式
，
∴
，
∴
， 得
，
∵
为线段
的垂直平分线，根据对称性，
，∴
的周长等于
的周长，
利用椭圆的定义得到
周长为
.
故答案为：13.
11. （2020·上海·高考真题）椭圆
，过右焦点F 作直线交椭圆于P、Q 两点，P 在第二象限已知
都在椭圆上，且
，
，则直线的方程为________
【答案】
【分析】根据已知可得
关于
轴对称，再由
，可得
，结合点
的位置，可得直
线的倾斜角，即可求出结论.
【详解】已知
都在椭圆上，且
，
关于
轴对称，再由
，
，
过右焦点F 作直线交椭圆于P、Q 两点，P 在第二象限，
所以直线的倾斜角是
，
，
直线的斜率是
，且过点
，
得到直线的方程为
，即
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查椭圆的对称性以及直线与椭圆位置关系，属于基础题.
12. （2019·全国III 卷·高考真题）设
为椭圆
的两个焦点，
为
上一点且在第一象限.
若
为等腰三角形，则
的坐标为___________.
【答案】
【分析】根据椭圆的定义分别求出
，设出
的坐标，结合三角形面积可求出
的坐标.
【详解】由已知可得
，
又
为
上一点且在第一象限,
为等腰三角形，
．∴
．
设点
的坐标为
，则
，
又
，解得
，
，解得
（
舍去），
的坐标为
．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直
观想象、逻辑推理等数学素养．
考点02 椭圆的离心率
1. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设椭圆
的离心率分别为
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由
，得
，因此
，而
，所以
.
故选：A
2. （2022·全国甲卷·高考真题）椭圆
的左顶点为A，点P，Q 均在C 上，且关于y
轴对称．若直线
的斜率之积为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，则
，根据斜率公式结合题意可得
，再根据
，将
用
表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设
，则
则由
得：
，
由
，得
，
所以
，即
，
所以椭圆
的离心率
，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故
，
由椭圆第三定义得：
，
故
所以椭圆
的离心率
，故选A.
3. （2021·全国乙卷·高考真题）设
是椭圆
的上顶点，若
上的任意一点
都满
足
，则
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，由
，根据两点间的距离公式表示出
，分类讨论求出
的最大值，再
构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设
，由
，因为
，
，所以
，
因为
，当
，即
时，
，即
，符合题意，由
可得
，即
；
当
，即
时，
，即
，化简得，
，显然该
不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出
的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论
函数的单调性从而确定最值．
4. （2019·北京·高考真题）已知椭圆
（a＞b＞0）的离心率为
，则
A．a2=2b2
B．3a2=4b2
C．a=2b
D．3a=4b
【答案】B
【分析】由题意利用离心率的定义和
的关系可得满足题意的等式.
【详解】椭圆的离心率
,化简得
,
故选B.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.
5. （2018·全国II 卷·高考真题）已知
，
是椭圆
的两个焦点，
是
上的一点，若
，且
，则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】分析：设
，则根据平面几何知识可求
，再结合椭圆定义可求离心率.
详解：在
中，
设
，则
，
又由椭圆定义可知
则离心率
，
故选D.
点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义
求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知
识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.
6. （2018·全国I 卷·高考真题）已知椭圆
：
的一个焦点为
，则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为
，从而求得
，再根据题中所给的方
程中系数，可以得到
，利用椭圆中对应
的关系，求得
，最后利用椭圆离心率的公式求
得结果.
详解：根据题意，可知
，因为
，
所以
，即
，
所以椭圆
的离心率为
，故选C.
点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要
学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中
的关系求得结果.
7. （2018·全国II 卷·高考真题）已知
，
是椭圆
的左，右焦点，
是
的左顶点，
点
在过
且斜率为
的直线上，
为等腰三角形，
，则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率.
【详解】因为
为等腰三角形，
，所以PF2=F1F2=2c,
由
斜率为
得，
，
由正弦定理得
,
所以
，
故选：D.
8. （2017·全国III 卷·高考真题）（2017 新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：
的左、
右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线
相切，则C 的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】以线段
为直径的圆的圆心为坐标原点
，半径为
，圆的方程为
，
直线
与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
，
整理可得
，即
即
，
从而
，则椭圆的离心率
，
故选A.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一
个关于
的方程或不等式，再根据
的关系消掉得到
的关系式，而建立关于
的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
9. （2026·上海·高考真题）在
中，
，
，
．已知点
，
，
分别为椭圆的
上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．
【答案】
【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求
的值，即可得离心率.
【详解】因为
，
根据对称性可知：点
其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点.
①当点
中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1
则
或
，解得
或无解；
②当点
中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2，
则
或
，方程组均无解；
综上所述：
，
，
，所以离心率
.
10. （2021·浙江·高考真题）已知椭圆
，焦点
，
，若过
的直线
和圆
相切，与椭圆在第一象限交于点P，且
轴，则该直线的斜率是___________，
椭圆的离心率是___________.
【答案】
【分析】不妨假设
，根据图形可知，
，再根据同角三角函数基本关系即可求出
；再根据椭圆的定义求出
，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设
，设切点为
，
，
所以
, 由
，所以
，
，
于是
，即
，所以
．
故答案为：
；
．
11. （2018·北京·高考真题）已知椭圆
，双曲线
．若双曲线N 的两条
渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为
__________；双曲线N 的离心率为__________．
【答案】
2
【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中
关系，即得双曲线N 的离心率；
由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为
，再根据椭圆定义得
，解得椭圆M
的离心率.
【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法
由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为
，再根据椭圆定义得
，所以椭圆M
的离心率为
双曲线N 的渐近线方程为
，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为
，
故答案为：
；
．
［方法二］： 数形结合＋齐次式求离心率
设双曲线
的一条渐近线
与椭圆
在第一象限的交点为
，椭圆的右焦
点为
．由题可知，
为正六边形相邻的两个顶点，所以
（O 为坐标原点）．
所以
．因此双曲线的离心率
．
由
与
联立解得
．
因为
是正三角形，所以
，因此，可得
．
将
代入上式，化简、整理得
，即
，解得
，
（舍去）．
所以，椭圆的离心率为
，双曲线的离心率为2．
故答案为：
；
．
［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形
由条件知双曲线N 在第一、三象限的渐近线方程为
，于是双曲线N 的离心率为
．
设双曲线
的一条渐近线与椭圆
在第一象限的交点为A，椭圆的左、右焦点分别为
．在
中，
．
由正弦定理得
．
于是
．
即椭圆的离心率
．
故答案为：
；
．
【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；
方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算
较为复杂；
方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．
考点03 双曲线方程及其性质
1. （2026·全国二卷·高考真题）设双曲线
：
（
，
）经过点
和点
，则C
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把点
和
代入双曲线方程求出
，再求出渐近线方程即可.
【详解】把点
和
，代入双曲线方程可得
，
所以双曲线方程为
，
故该双曲线渐近线方程为
.
2. （2026·北京·高考真题）已知双曲线
：
的渐近线方程为
，则
的值为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．9
【答案】B
【分析】根据渐近线方程结合已知双曲线方程列式计算求解.
【详解】因为双曲线为
，则渐近线为
，
又因为渐近线为
，且
，所以
.
3. （2025·全国二卷·高考真题）双曲线
的左、右焦点分别为
，左、右顶点
分别为
，以
为直径的圆与C 的一条渐近线交于M，N 两点，且
，则（ ）
A．
B．
C．C 的离心率为
D．当
时，四边形
的面积为
【答案】ACD
【分析】由平行四边形的性质判断A；由
且
结合
在渐近线上可求
的坐标，从而
可判断B 的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B 的结果可得
，
计算后可判断C 的正误，或者利用
并结合离心率变形公式即可判断；结合BC 的结果求出
面积后可判断D 的正误.
【详解】不妨设渐近线为
，
在第一象限，
在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得
为平行四边形，故
，
故A 正确；
对于B，方法一：因为
在以
为直径的圆上，故
且
，
设
，则
，故
，故
，
由A 得
，故
即
，故B 错误；
方法二：因为
，因为双曲线中，
，
则
，又因为以
为直径的圆与
的一条渐近线交于
、
，则
，
则若过点
往
轴作垂线，垂足为
，则
，则点
与
重合，则
轴，
则
，则
为直角三角形，且
，则
，
方法三：在
利用余弦定理知，
，
即
，则
，
则
为直角三角形，且
，则
，故B 错误；
对于C，方法一：因为
，故
，
由B 可知
，
故
即
，
故离心率
，故C 正确；
方法二：因为
，则
，则
，故C 正确；
对于D，当
时，由C 可知
，故
，
故
，故四边形
为
，
故D 正确，
故选：ACD.
4. （2024·天津·高考真题）双曲线
的左、右焦点分别为
点
在双曲线右支上，
直线
的斜率为2．若
是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】可利用
三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设
，由面积公式求出
，由
勾股定理得出，结合第一定义再求出
.
【详解】如下图：由题可知，点
必落在第四象限，
，设
，
，由
，求得
，
因为
，所以
，求得
，即
，
，由正弦定理可得：
，
则由
得
，
由
得
，
则
，
由双曲线第一定义可得：
，
，
所以双曲线的方程为
.
故选：A
5. （2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线
的离心率为
，C 的一条渐近线与
圆
交于A，B 两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由
，则
，
解得
，
所以双曲线的渐近线为
，
当渐近线为
时，圆心
到该渐近线的距离
，不合题意；
当渐近线为
时，则圆心
到渐近线的距离
，
所以弦长
.
故选：D
6. （2023·全国乙卷·高考真题）设A，B 为双曲线
上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得
，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；
对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设
，则
的中点
，
可得
，
因为
在双曲线上，则
，两式相减得
，
所以
.
对于选项A： 可得
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；
对于选项B：可得
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；
对于选项C：可得
，则
由双曲线方程可得
，则
为双曲线的渐近线，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；
对于选项D：
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，故直线AB 与双曲线有两个交点，故D 正确；
故选：D.
7. （2023·天津·高考真题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．过
向一条渐
近线作垂线，垂足为
．若
，直线
的斜率为
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出
，设
，由
得到
，
.再由
三角形的面积公式得到
，从而得到
，则可得到
，解出
，代入双曲线的方程即可得到答
案.
【详解】如图，
因为
，不妨设渐近线方程为
，即
，
所以
，
所以
.
设
,则
，所以
，所以
.
因为
,所以
，所以
，所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，解得
，
所以双曲线的方程为
故选：D
8. （2022·天津·高考真题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，抛物线
的准线l 经过
，且l 与双曲线的一条渐近线交于点A，若
，则双曲线的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知可得出的值，求出点
的坐标，分析可得
，由此可得出关于
、
、的方
程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线
的准线方程为
，则
，则
、
，
不妨设点
为第二象限内的点，联立
，可得
，即点
，
因为
且
，则
为等腰直角三角形，
且
，即
，可得
，
所以，
，解得
，因此，双曲线的标准方程为
.
故选：D.
9. （2021·北京·高考真题）若双曲线
离心率为
，过点
，则该双曲线的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析可得
，再将点
代入双曲线的方程，求出
的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】
，则
，
，则双曲线的方程为
，
将点
的坐标代入双曲线的方程可得
，解得
，故
，
因此，双曲线的方程为
.
故选：B
10. （2021·全国甲卷·高考真题）点
到双曲线
的一条渐近线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：
，即
，
结合对称性，不妨考虑点
到直线
的距离：
.
故选：A.
11. （2020·天津·高考真题）设双曲线
的方程为
，过抛物线
的焦点和点
的直线为．若
的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点
可求得直线的方程为
，即得直线的斜率为
，再根据双曲线的渐
近线的方程为
，可得
，
即可求出
，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为
，所以直线的方程为
，即直线的斜率为
，
又双曲线的渐近线的方程为
，所以
，
，因为
，解得
．
故选：
．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，
属于基础题．
12. （2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P 满足|PA|–|PB|=2，且P
为函数y=
图像上的点，则|OP|=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，点
既在双曲线的一支上，又在函数
的图象上，即可求出点
的坐
标，得到
的值．
【详解】因为
，所以点
在以
为焦点，实轴长为
，焦距为
的双曲线的右支上，
由
可得，
，即双曲线的右支方程为
，而点
还在函数
的图象上，所以，
由
，解得
，即
．
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算
能力，属于基础题．
13. （2020·全国III 卷·高考真题）设双曲线C：
（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心
率为
．P 是C 上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】
，
，根据双曲线的定义可得
，
，即
，
，
，
，即
，解得
，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于
中档题.
14. （2020·全国I 卷·高考真题）设
是双曲线
的两个焦点，
为坐标原点，点
在
上且
，则
的面积为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
【答案】B
【分析】由
是以P 为直角直角三角形得到
，再利用双曲线的定义得到
，联立即可得到
，代入
中计算即可.
【详解】由已知，不妨设
，
则
，因为
，
所以点
在以
为直径的圆上，
即
是以P 为直角顶点的直角三角形，
故
，
即
，又
，
所以
，
解得
，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，
是一道中档题.
15. （2019·全国III 卷·高考真题）双曲线C：
=1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐
标原点，若
，则△PFO 的面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采
取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】由
．
，
又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在
上，
，故选A．
【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的
高，便可求三角形面积．
16. （2018·全国III 卷·高考真题）已知双曲线
的离心率为
，则点
到
的
渐近线的距离为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】分析：由离心率计算出
，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．
详解：
所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离
故选D
点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．
17. （2018·浙江·高考真题）双曲线
的焦点坐标是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据
求焦点坐标.
【详解】因为双曲线方程为
，所以焦点坐标可设为
，
因为
，所以焦点坐标为
，选B.
【点睛】由双曲线方程
可得焦点坐标为
，顶点坐标为
，
渐近线方程为
.
18. （2018·全国II 卷·高考真题）双曲线
的离心率为
，则其渐近线方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为
，所以渐近线方程为
，选A.
点睛：已知双曲线方程
求渐近线方程：
.
19. （2018·全国I 卷·高考真题）已知双曲线C：
，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线
与C 的两条渐近线的交点分别为M、N.若
OMN 为直角三角形，则|MN|=
A．
B．3
C．
D．4
【答案】B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到
，根据直角三角形的条件，可以确定直线
的倾斜角为
或
，根据相关图形的对称性，
得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为
，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两
条渐近线方程联立，求得
，利用两点间距离公式求得
的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为
，且右焦点为
，
从而得到
，所以直线
的倾斜角为
或
，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为
，
可以得出直线
的方程为
，
分别与两条渐近线
和
联立，
求得
，
所以
，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点
是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线
方程，利用直角三角形的条件得到直线
的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方
程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
20. （2018·天津·高考真题）已知双曲线
的离心率为2，过右焦点且垂直于
轴的直
线与双曲线交于
两点.设
到双曲线的同一条渐近线的距离分别为
和
，且
则双曲线
的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】分析：由题意首先求得A,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后利用离心率求
解a 的值即可确定双曲线方程.
详解：设双曲线的右焦点坐标为
（c>0），则
，
由
可得：
，
不妨设：
，双曲线的一条渐近线方程为
，
据此可得：
，
，
则
，则
，
双曲线的离心率：
，
据此可得：
，则双曲线的方程为
.
本题选择A 选项.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准
方程的形式，然后再根据a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出a，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方
程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为
，再由条件求出λ 的值
即可.
21. （2017·天津·高考真题）【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线
的左焦点为
，点
在双曲线的渐近线上，
是边长为2 的等边三角形（
为
原点），则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：
，解得：
，
双曲线方程为：
.
故选：D..
【考点】 双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目
的条件列出关于
的方程，解方程组求出
，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两
点可设为
，（2）与
共渐近线的双曲线可设为
，（3）等
轴双曲线可设为
等，均为待定系数法求标准方程.
22. （2017·天津·高考真题）已知双曲线
的左焦点为
，离心率为
.若经过
和
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意得
，选B.
【考点】 双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法
就是依据题目的条件列出关于
的方程，解方程组求出
，另外求双曲线方程要注意巧
设双曲线（1）双曲线过两点可设为
，（2）与
共渐近线的双曲线
可设为
，（3）等轴双曲线可设为
等，均为待定系数法求标准
方程.
23. （2017·全国I 卷·高考真题）已知F 是双曲线C：
的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂
直，点A 的坐标是(1，3)，则
的面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
得
，所以
，将
代入
，得
，所以
，
又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为
，选D．
点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得
，结合
PF 与x 轴垂直，可得
，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．
24. （2025·上海·高考真题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．通过
且倾斜角
为
的直线与双曲线交于第一象限的点A，延长
至B 使得
．若
的面积为
，则a 的
值为__________．
【答案】
【分析】由题意作图，根据三角形面积公式以及直线方程，结合双曲线的标准方程，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
由
，则
，解得
，且
，
则
，
，
设
，则
，解得
，
由题意可得直线
的斜率
，则方程为
，
将
代入上式，则
，解得
，
由题意可得
，
易知
.
故答案为：
.
25. （2023·北京·高考真题）已知双曲线C 的焦点为
和
，离心率为
，则C 的方程为
____________．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线
的实半轴、虚半轴长，再写出
的方程作答.
【详解】令双曲线
的实半轴、虚半轴长分别为
，显然双曲线
的中心为原点，焦点在x 轴上，其半
焦距
，
由双曲线
的离心率为
，得
，解得
，则
，
所以双曲线
的方程为
.
故答案为：
26. （2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线
的渐近线与圆
相切，则
_________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆
心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线
的渐近线为
，即
，
不妨取
，圆
，即
，所以圆心为
，半径
，
依题意圆心
到渐近线
的距离
，
解得
或
（舍去）．
故答案为：
．
27. （2022·北京·高考真题）已知双曲线
的渐近线方程为
，则
__________．
【答案】
【分析】首先可得
，即可得到双曲线的标准方程，从而得到
、
，再跟渐近线方程得到方程，解得
即可；
【详解】解：对于双曲线
，所以
，即双曲线的标准方程为
，
则
，
，又双曲线
的渐近线方程为
，
所以
，即
，解得
；
故答案为：
28. （2022·上海·高考真题）双曲线
的实轴长为__________．
【答案】6
【分析】根据双曲线的标准方程和实轴的定义可得答案.
【详解】由
知，
，所以
，
所以实轴长
.
故答案为：6
【点睛】本题考查了由双曲线的标准方程以及几何性质，属于基础题.
29. （2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若双曲线
的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程
___________.
【答案】
【分析】根据离心率得出
，结合
得出
关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率
，即
，
又
，即
，则
，
故此双曲线的渐近线方程为
.
故答案为：
.
30. （2021·全国乙卷·高考真题）已知双曲线
的一条渐近线为
，则C 的焦
距为_________．
【答案】4
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出
的关系，再结合双曲线中
对应关系，联立求解
，再由
关系式求得，即可求解.
【详解】由渐近线方程
化简得
，即
，同时平方得
，又双曲线中
，故
，解得
（舍去），
，故焦距
.
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
31. （2021·全国乙卷·高考真题）双曲线
的右焦点到直线
的距离为________．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，
，所以双曲线的右焦点为
，
所以右焦点
到直线
的距离为
.
故答案为：
32. （2020·北京·高考真题）已知双曲线
，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其
渐近线的距离是_________．
【答案】
【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线
的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直
线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.
【详解】在双曲线
中，
，
，则
，则双曲线
的右焦点坐标为
，
双曲线
的渐近线方程为
，即
，
所以，双曲线
的焦点到其渐近线的距离为
.
故答案为：
；
.
【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，
属于基础题.
33. （2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系
中，若双曲线
经过点（3，4)，则该双
曲线的渐近线方程是_____.
【答案】
.
【分析】根据条件求
，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.
【详解】由已知得
，
解得
或
，
因为
，所以
.
因为
，
所以双曲线的渐近线方程为
.
【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲
线渐近线与双曲线标准方程中的
密切相关，事实上，标准方程中化1 为0，即得渐近线方程.
34. （2017·上海·高考真题）设双曲线
的焦点为
、
，
为该双曲线上的一点，若
，则
________
【答案】11
【详解】由双曲线的方程
，可得
，
根据双曲线的定义可知
，
又因为
，所以
.
35. （2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系
中，双曲线
的右支与焦点为
的
抛物线
交于
两点，若
，则该双曲线的渐近线方程为_________.
【答案】
【详解】
，
因为
，所以
渐近线方程为
.
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.
对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程
的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.
因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为
的形式，当
，
，
时为椭
圆，当
时为双曲线.
2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
36. （2017·全国III 卷·高考真题）双曲线
的一条渐近线方程为
，则
________．
【答案】
【分析】依题意由双曲线方程可得双曲线的渐近线为
，即可得到方程，解得即可.
【详解】解：双曲线
的一条渐近线方程为
，
又双曲线的渐近线为
，可得
，解得
．
故答案为：．
37. （2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
的右准线与它的两条渐近线分别
交于点
P，Q，其焦点是F1 ，F2 ，则四边形F1 P F2 Q 的面积是________．
【答案】
【详解】右准线方程为
，渐近线方程为
，设
，则
，
，
，则
．
点睛:（1）已知双曲线方程
求渐近线：
；（2）已知渐近
线
可设双曲线方程为
；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为，垂
足为对应准线与渐近线的交点．
考点04 双曲线的离心率
1. （2026·天津·高考真题）已知双曲线
（
，
）的左焦点为
，
是右顶点，
是双
曲线上一点，满足
，
，则双曲线离心率为（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解法一：过点
作
垂直
轴，垂足为
，根据几何关系用
表示出点
坐标，代入双曲线
方程构造齐次式，然后可得离心率.
解法二：设右焦点为
，连接
，根据双曲线的定义和性质可得
，
，结合
余弦定理运算求解.
【详解】解法一：如图，过点
作
垂直于
轴，垂足为
，
因为
，所以
，所以
，
又
，所以
，
根据双曲线对称性，不妨设点
在第二象限，则
，
将点
坐标代入双曲线方程得：
，
整理得
，
将
代入上式，整理得
，
两边同时除以
，整理得
，解得
.
解法二：如图，
设右焦点为
，连接
，
由题意可知：
，
，
在三角形
中，
，
在三角形
中，
，
即
，
整理可得
，可得
，
所以
.
2. （2025·北京·高考真题）双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出
，即可求出离心率．
【详解】由
得，
，所以
，
即
，所以
，
故选：B．
3. （2025·天津·高考真题）双曲线
的左、右焦点分别为
，以右焦点
为焦点
的抛物线
与双曲线交于第一象限的点P，若
，则双曲线的离心率
（ ）
A．2
B．5
C．
D．
【答案】A
【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出
，根据勾股定理从而确定P 的坐标，
利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可.
【详解】根据题意可设
，双曲线的半焦距为，
，则
，
过
作
轴的垂线l，过
作l 的垂线，垂足为A，显然直线
为抛物线的准线，
则
，
由双曲线的定义及已知条件可知
，则
，
由勾股定理可知
，
易知
，即
，
整理得
，∴
，即离心率为2.
故选：
4. （2025·全国一卷·高考真题）已知双曲线C 的虚轴长是实轴长的
倍，则C 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】由题可知双曲线中
的关系，结合
和离心率公式求解
【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为
，
由题知，
，
于是
，则
，
即
.
故选：D
5. （2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为
，点
在该双曲线上，则
该双曲线的离心率为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距
，结合双曲线定义计算可得
，即可得离心率.
【详解】由题意，设
、
、
，
则
，
，
，
则
，则
.
故选：C.
6. （2021·天津·高考真题）已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重
合，抛物线的准线交双曲线于A，B 两点，交双曲线的渐近线于C、D 两点，若
．则双曲线的
离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为
，进而可得准线为
，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得
，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线
与抛物线
的公共焦点为
，
则抛物线
的准线为
，
令
，则
，解得
，所以
,
又因为双曲线的渐近线方程为
，所以
，
所以
，即
，所以
，
所以双曲线的离心率
.
故选：A.
7. （2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C 的两个焦点为
，以C 的实轴为直径的圆记为D，过
作D
的切线与C 交于M，N 两点，且
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在
轴，设过
作圆
的切线切点为
，利用正弦定理结合三角变换、
双曲线的定义得到
或
，即可得解，注意就
在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在
轴，设过
作圆
的切线切点为B，
所以
，因为
，所以
在双曲线的左支，
，
，
，设
，由即
，则
，
选A
情况二
若M、N 在双曲线的两支，因为
，所以
在双曲线的右支，
所以
，
，
，设
，
由
，即
，则
，
所以
，即
，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过
且与圆相切的一条直线为
，
两交点都在左支,
，
，
则
，
特值双曲线
，
过
且与圆相切的一条直线为
，
两交点在左右两支，
在右支，
，
，
则
，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在
轴，设过
作圆
的切线切点为
，
若
分别在左右支，
因为
，且
，所以
在双曲线的右支，
又
，
，
，
设
，
，
在
中，有
，
故
即
，
所以
，
而
，
，
，故
，
代入整理得到
，即
，
所以双曲线的离心率
若
均在左支上，
同理有
，其中
为钝角，故
，
故
即
，
代入
，
，
，整理得到：
，
故
，故
，
故选：AC.
8. （2021·全国甲卷·高考真题）已知
是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出
，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为
，由双曲线的定义可得
，
所以
，
；
因为
,由余弦定理可得
，
整理可得
，所以
，即
.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立
间的等量关系是求解的关键.
9. （2019·北京·高考真题）已知双曲线
（a＞0）的离心率是
则a=
A．
B．4
C．2
D．
【答案】D
【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解.
【详解】 ∵双曲线的离心率
，
，
∴
，
解得
，
故选D.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查
学生的转化能力和计算求解能力.
10. （2019·天津·高考真题）已知抛物线
的焦点为
，准线为.若与双曲线
的两条渐近线分别交于点A 和点B，且
（
为原点），则双曲线的离心率为
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】只需把
用
表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．
【详解】抛物线
的准线的方程为
，
双曲线的渐近线方程为
，
则有
∴
，
，
，
∴
．
故选D．
【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度．
11. （2019·全国II 卷·高考真题）设F 为双曲线C：
（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以
OF 为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设
与
轴交于点
，由对称性可知
轴，
又
，
为以
为直径的圆的半径，
为圆心
．
，又
点在圆
上，
，即
．
，故选A．
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代
数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，
才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
12. （2019·全国I 卷·高考真题）双曲线C:
的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的
离心率为
A．2sin40°
B．2cos40°
C．
D．
【答案】D
【分析】由双曲线渐近线定义可得
，再利用
求双曲线的离心率．
【详解】由已知可得
，
，故选D．
【点睛】对于双曲线：
，有
；对于椭圆
，有
，防止记混．
13. （2018·全国III 卷·高考真题）设
,
是双曲线
（
）的左、右焦点，
是坐
标原点．过
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
．若
，则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】分析：由双曲线性质得到
，
然后在
和在
中利用余弦定理可得．
详解：由题可知
在
中，
在
中,
故选B.
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．
14. （2017·全国II 卷·高考真题）若双曲线
（
，
）的一条渐近线被圆
所截
得的弦长为2，则
的离心率为
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由几何关系可得，双曲线
的渐近线方程为
，圆心
到
渐近线距离为
，则点
到直线
的距离为
，
即
，整理可得
，双曲线的离心率
．故选A．
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有
两种方法：①求出a，c，代入公式
；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合
b2＝c2－a2转化为a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程(不等式)，
解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．
15. （2017·全国II 卷·高考真题）若
，则双曲线
的离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，
，
，
，则
，选C.
16. （2026·全国一卷·高考真题）双曲线
的离心率为__________．
【答案】
【分析】先将给定双曲线方程化为标准形式，确定
、
，再利用双曲线中
的关系求出，最后根
据离心率定义计算结果.
【详解】将双曲线
化为标准方程，得
，则
，
因此
，则离心率为
.
17. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线
的左右焦点分别为
，过
作平
行于
轴的直线交C 于A，B 两点，若
，则C 的离心率为___________．
【答案】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出
，结合双曲线第一定义求出
，即可得到
的值，
从而求出离心率.
【详解】由题可知
三点横坐标相等，设
在第一象限，将
代入
得
，即
，故
，
，
又
，得
，解得
，代入
得
，
故
，即
，所以
.
故答案为：
18. （2024·上海·高考真题）三角形三边长为
，则以边长为6 的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双
曲线的离心率为______.
【答案】3
【分析】利用双曲线的定义求解即可.
【详解】由双曲线的定义，
则
.
故答案为：3
19. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为________．
【答案】
/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到
关于
的表达式，
从而利用勾股定理求得
，进而利用余弦定理得到
的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得
，
，将点
代入双曲线
得到关于
的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设
，则
，
在
中，
，则
，故
或
（舍去），
所以
，
，则
，
故
，
所以在
中，
，整理得
，
故
.
方法二:
依题意，得
，令
，
因为
，所以
，则
，
又
，所以
，则
，
又点
在
上，则
，整理得
，则
，
所以
，即
，
整理得
，则
，解得
或
，
又
，所以
或
（舍去），故
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定
理得到关于
的齐次方程，从而得解.
20. （2022·浙江·高考真题）已知双曲线
的左焦点为F，过F 且斜率为
的直线交双
曲线于点
，交双曲线的渐近线于点
且
．若
，则双曲线的离心率是
_________．
【答案】
【分析】联立直线
和渐近线
方程，可求出点
，再根据
可求得点
，最后根据
点
在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过
且斜率为
的直线
，渐近线
，
联立
，得
，由
，得
而点
在双曲线上，于是
，解得：
，所以离心率
.
故答案为：
．
21. （2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线
的离心率为e，写出满足条件“直线
与C 无公共点”的e 的一个值______________．
【答案】2（满足
皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线
中
即可求得满足要求的e 值.
【详解】解：
，所以C 的渐近线方程为
,
结合渐近线的特点，只需
，即
，
可满足条件“直线
与C 无公共点”
所以
，
又因为
，所以
，
故答案为：2（满足
皆可）
22. （2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点
与双曲线
的左焦
点重合，若两曲线相交于
，
两点，且线段
的中点是点
，则该双曲线的离心率等于______.
【答案】
【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.
【详解】由题意知：
抛物线方程为：
在抛物线上，所以
在双曲线上，
，又
，
故答案为：
23. （2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
﹣
=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=
x，则该双曲线的离心率是____.
【答案】
【分析】根据渐近线方程求得
，由此求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线
，故
.由于双曲线的一条渐近线方程为
，即
，所
以
，所以双曲线的离心率为
.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
24. （2020·全国III 卷·高考真题）设双曲线C：
(a>0，b>0)的一条渐近线为y=
x，则C 的离
心率为_________．
【答案】
【分析】根据已知可得
，结合双曲线中
的关系，即可求解.
【详解】由双曲线方程
可得其焦点在
轴上，
因为其一条渐近线为
，
所以
，
.
故答案为：
【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所
在位置，属于基础题.
25. （2020·全国I 卷·高考真题）已知F 为双曲线
的右焦点，A 为C 的右顶点，B
为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.
【答案】2
【分析】根据双曲线的几何性质可知，
，
，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】联立
，解得
，所以
.
依题可得，
，
，即
，变形得
，
,
因此，双曲线
的离心率为
.
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
26. （2019·全国I 卷·高考真题）已知双曲线C：
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1
的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若
，
，则C 的离心率为____________．
【答案】2.
【分析】通过向量关系得到
和
，得到
，结合双曲线的渐近线可得
从而由
可求离心率.
【详解】如图，
由
得
又
得OA 是三角形
的中位线，即
由
，得
则
有
，
又OA 与OB 都是渐近线，得
又
，得
．又渐近线OB 的斜率为
，所以该双曲线的离心率为
．
【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．
采取几何法，利用数形结合思想解题．
27. （2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系
中，若双曲线
的右焦点
到
一条渐近线的距离为
，则其离心率的值是________．
【答案】2
【详解】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.
详解：因为双曲线的焦点
到渐近线
即
的距离为
所以
，
因此
点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.
28. （2018·北京·高考真题）若双曲线
的离心率为
，则a=_________.
【答案】4
【详解】分析：根据离心率公式
，及双曲线中
的关系可联立方程组，进而求解参数
的值.
详解：在双曲线中，
，且
点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点,根据双曲线的离
心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式
，找到
之间的关系.
29. （2017·全国I 卷·高考真题）已知双曲线
：
的右顶点为
，以
为圆心，
为
半径作圆
，圆
与双曲线
的一条渐近线于交
、
两点，若
，则
的离心率为
__________．
【答案】
【详解】如图所示，
由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，
∵∠MAN=60°，
∴|AP|=
b，
∴|OP|=
．
设双曲线C 的一条渐近线y=
x 的倾斜角为θ，则tan θ=
．
又tan θ=
，
∴
，解得a2=3b2，
∴e=
．
答案：
点睛：
求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量
的方程或不等式，再根据
和
转化为关于离心率e 的方程或不等式，通过解方程或不
等式求得离心率的值（或取值范围）．
30. （2017·北京·高考真题）若双曲线
的离心率为
，则实数
__________．
【答案】2
【详解】
，
.
考点05 抛物线及其性质
1. （2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线
（
）和
（
）均经过点
，则
的焦点与
的焦点之间的距离为（ ）
A．12
B．
C．6
D．
【答案】D
【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数
，再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后
代入距离公式计算即可.
【详解】∵ 抛物线
经过点
，
∴ 将
代入
的方程得
，即
，解得
.
∴
的焦点坐标为
，即
.
∵ 抛物线
经过点
，
∴ 将
代入
的方程得
，即
，解得
.
∴
的焦点坐标为
，即
.
根据两点间距离公式，
与
之间的距离为：
.
2. （2025·全国二卷·高考真题）设抛物线
的焦点为
点A 在C 上，过A 作
的准线的
垂线，垂足为B．若直线BF 的方程为
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】先由直线
求出焦点
和
即抛物线
的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依
次求出
和
，再由焦半径公式即可得解.
【详解】对
，令
，则
，
所以
，
即抛物线
，故抛物线的准线方程为
，
故
，则
，代入抛物线
得
.
所以
.
故选：C
3. （2023·北京·高考真题）已知抛物线
的焦点为
，点
在
上．若
到直线
的距离为
5，则
（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线
的焦点
，准线方程为
，点
在
上，
所以
到准线
的距离为
，
又
到直线
的距离为，
所以
，故
.
故选：D.
4. （2022·全国乙卷·高考真题）设F 为抛物线
的焦点，点A 在C 上，点
，若
，
则
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点
的横坐标，进而求得点
坐标，即可
得到答案.
【详解】由题意得，
，则
，
即点
到准线
的距离为2，所以点
的横坐标为
，
不妨设点
在
轴上方，代入得，
，
所以
.
故选：B
5. （2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）抛物线
的焦点到直线
的距离为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得
的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为
，
其到直线
的距离：
，
解得：
(
舍去).
故选：B.
6. （2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为
，焦点为
，准线为．
是抛物线上异于
的一点，过
作
于
，则线段
的垂直平分线（ ）．
A．经过点
B．经过点
C．平行于直线
D．垂直于直线
【答案】B
【分析】依据题意不妨作出焦点在
轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可
知，线段
的垂直平分线经过点
，即求解.
【详解】如图所示：
．
因为线段
的垂直平分线上的点到
的距离相等，又点
在抛物线上，根据定义可知，
，
所以线段
的垂直平分线经过点
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
7. （2020·全国I 卷·高考真题）已知A 为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，
到y 轴的距离为9，则p=（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知
，即
，解得
.
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
8. （2019·全国II 卷·高考真题）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆
的一个焦点，则p=
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】D
【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于
的方程，即可解出
，或者利用检验排除的方法，
如
时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
【详解】因为抛物线
的焦点
是椭圆
的一个焦点，所以
，解得
，故选D．
【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
9. （2017·全国I 卷·高考真题）已知F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l1，l2，直
线l1与C 交于A、B 两点，直线l2与C 交于D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16
B．14
C．12
D．10
【答案】A
【详解】设
，直线的方程为
，联立方程
，
得
，∴
，同理直线与抛物线的交点满足
，由抛物线定义可知
，当且仅当
（或
）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线
上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌
握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的
倾斜角表示，设直线的倾斜角为
，则
，则
，所以
.
10. （2026·全国二卷·高考真题）（多选）已知抛物线
：
，斜率为
的直线经过点
，
等边三角形
的顶点A 在E 上，顶点
,
均在上，下列结论正确的有（ ）
A．E 的准线方程为
B．若与E 没有公共点，则
C．若与
的唯一公共点为
，则E 的焦点在直线
上
D．若
，则
面积的最小值为
【答案】ABD
【分析】A 选项，根据抛物线方程得
，进而得出准线方程；B 选项，设直线为
，和抛物线方
程联立消去
，令
求解；C 选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点
，假设
过焦点，则得到
，根据两直线的夹角的公式推出
的正切值，从而判断；D 选项，可将问题转化为抛物线上一点
到直线的距离最小值来处理.
【详解】A 选项，
，则
，故准线
，A 选项正确；
B 选项，设直线为
，则
，
联立
得到，
，
直线和抛物线无交点，则
，
结合
，解得
，B 选项正确；
C 选项，由联立方程
，
若与
相交于唯一点
，只可能是相切，
则
，解得
，
此时
，解得
，进而得
，则
，
若
过焦点
（如图），由于
，
，而
，
根据倾斜角的定义，
，
，
而
，此时
的正切值为
，
即
，这与
为等边三角形矛盾，C 选项错误；
D 选项，当
，此时直线方程为
，
设
，则
到的距离为
，
即等边三角形的高的最小值为
，此时面积
，D 选项正确.
C 选项方法二：求得
，则
，
，
则
，
则
，抛物线E 的焦点不在直线
上，故C 错误.
D 选项方法二：
到
的最小距离可转化为抛物线和
平行的切线，求得两平行线的距离即可，
由于
，设直线
为
，
联立
，得到
，
由
，此时直线
为
，
由平行线的距离公式可推出
直线间距离为
，其余同上.
11. （2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知抛物线
的焦点为F，过F 的一条直线交C 于A，B
两点，过A 作直线
的垂线，垂足为D，过F 且与直线
垂直的直线交于点E，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，先判断得直线
为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用
三角形相似证得
，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联
立直线
与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得
，
，结合焦半径公式可判断D.
【详解】法一：对于A，对于抛物线
，
则
，其准线方程为
，焦点
，
则
为抛物线上点到准线的距离，
为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，
，故A 正确；
对于B，过点
作准线的垂线，交于点
，
由题意可知
，则
，
又
，
，所以
，
所以
，同理
，
又
，
所以
，即
，
显然
为
的斜边，则
，故B 错误；
对于C，易知直线
的斜率不为
，
设直线
的方程为
，
，
联立
，得
，
易知
，则
，
又
，
，
所以
，
当且仅当
时取等号，故C 正确；
对于D，在
与
中，
，
所以
，则
，即
，
同理
，
又
，
，
所以
，
则
，故D 正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线
，
则
，其准线方程为
，焦点
，
则
为抛物线上点到准线的距离，
为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，
，故A 正确；
对于B，过点
作准线的垂线，交于点
，
由题意可知
，则
，
又
，
，所以
，
所以
，同理
，
又
，
所以
，即
，
显然
为
的斜边，则
，故B 错误；
对于C，当直线
的斜率不存在时，
；
当直线
的斜率存在时，设直线
方程为
，
联立
，消去
，得
，
易知
，则
，
所以
，
综上，
，故C 正确；
对于D，在
与
中，
，
所以
，则
，即
，
同理
，
当直线
的斜率不存在时，
，
；
所以
，即
；
当直线
的斜率存在时，
，
，
所以
，
则
；
综上，
，故D 正确.
故选：ACD.
12. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）抛物线C：
的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与
相切
B．当P，A，B 三点共线时，
C．当
时，
D．满足
的点
有且仅有2 个
【答案】ABD
【分析】A 选项，抛物线准线为
，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，
三点共线时，先
求出
的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据
先算出
的坐标，然后验证
是否成立；
D 选项，根据抛物线的定义，
，于是问题转化成
的
点的存在性问题，此时考察
的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设
点坐标进行求解.
【详解】A 选项，抛物线
的准线为
，
的圆心
到直线
的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和
相切，A 选项正确；
B 选项，
三点共线时，即
，则
的纵坐标
，
由
，得到
，故
，
此时切线长
，B 选项正确；
C 选项，当
时，
，此时
，故
或
，
当
时，
，
，
，
不满足
；
当
时，
，
，
，
不满足
；
于是
不成立，C 选项错误；
D 选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，
，这里
，
于是
时
点的存在性问题转化成
时
点的存在性问题，
，
中点
，
中垂线的斜率为
，
于是
的中垂线方程为：
，与抛物线
联立可得
，
，即
的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个
点，使得
，D 选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设
，由
可得
，又
，又
，
根据两点间的距离公式，
，整理得
，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的
点，D 选项正确.
故选：ABD
13. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设O 为坐标原点，直线
过抛物线
的焦点，且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）．
A．
B．
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．
为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得
，根据弦长公式求得
，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答
案.
【详解】A 选项：直线
过点
，所以抛物线
的焦点
，
所以
，则A 选项正确，且抛物线
的方程为
.
B 选项：设
，
由
消去
并化简得
，
解得
，所以
，B 选项错误.
C 选项：设
的中点为
，
到直线的距离分别为
，
因为
，
即
到直线的距离等于
的一半，所以以
为直径的圆与直线相切，C 选项正确.
D 选项：直线
，即
，
到直线
的距离为
，
所以三角形
的面积为
，
由上述分析可知
，
所以
，
所以三角形
不是等腰三角形，D 选项错误.
故选：AC.
14. （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知O 为坐标原点，过抛物线
焦点F
的直线与C 交于A，B 两点，其中A 在第一象限，点
，若
，则（ ）
A．直线
的斜率为
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由
及抛物线方程求得
，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线
的
方程，联立抛物线求得
，即可求出
判断B 选项；由抛物线的定义求出
即可判
断C 选项；由
，
求得
，
为钝角即可判断D 选项.
【详解】对于A，易得
，由
可得点
在
的垂直平分线上，则
点横坐标为
，
代入抛物线可得
，则
，则直线
的斜率为
，A 正确；
对于B，由斜率为
可得直线
的方程为
，联立抛物线方程得
，
设
，则
，则
，代入抛物线得
，解得
，则
，
则
，B 错误；
对于C，由抛物线定义知：
，C 正确；
对于D，
，则
为钝角，
又
，则
为钝角，
又
，则
，D 正确.
故选：ACD.
15. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知O 为坐标原点，点
在抛物线
上，过点
的直线交C 于P，Q 两点，则（ ）
A．C 的准线为
B．直线AB 与C 相切
C．
D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式
可判断C、D.
【详解】将点
的代入抛物线方程得
，所以抛物线方程为
，故准线方程为
，A 错误；
，所以直线
的方程为
，
联立
，可得
，解得
，故B 正确；
设过
的直线为，若直线与
轴重合，则直线与抛物线
只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为
，
，
联立
，得
，
所以
，所以
或
，
，
又
，
，
所以
，故C 正确；
因为
，
，
所以
，而
，故D 正确.
故选：BCD
16. （2026·天津·高考真题）在平面内，
为坐标原点，抛物线
上有
、
、
、
四个点，
、
、
、
的纵坐标分别为
、
、
、
，直线
与直线
交
轴于点
，直线
交
轴于点
，
直线
交
轴于点
，以下说法正确的有______．
①若
与抛物线焦点重合，则
；
②
；
③
；
④
；
⑤
【答案】②④
【分析】首先探求抛物线弦与
轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得，
③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得.
【详解】由题意
、
、
、
为抛物线
上四个点可知，
两两不等.
设抛物线
上任意两点
，其中
.
当
时，直线
的斜率
，
则直线
方程为
，
令
，则直线
与
轴的交点
横坐标
特别地，当
时，
，
此时直线
垂直于
轴，
也成立，
因此，直线
与
轴的交点
横坐标
（）.
①由题意直线
交
轴于点
，若
与抛物线焦点重合，则其横坐标为
，
故由式可得
，即
，故①错误；
②由题意直线
与直线
交
轴于点
，
则由式可得点
横坐标
，
可得
，故②正确；
③由题意直线
交
轴于点
，直线
交
轴于点
，
则由式可得
，
则
，
故
，故③错误；
④由式可得
，
当点
或
为原点时，则点
也重合于原点，此时
；
当点
与
均不为原点时，即
，且
，
则结合②结论可知，
，
则有
，故④正确；
⑤由
，可知
，则
，
，
如图，当
时，
不成立，故⑤错误；
故答案为：②④
17. （2026·上海·高考真题）已知点
为抛物线
上一点，若点
到
的焦点的距离是
到
轴的距
离的两倍，则点
的横坐标是____________.
【答案】
【分析】设
，根据条件，利用抛物线的定义得
，即可求解.
【详解】因为抛物线
的焦点为
，准线方程为
，设
，
由题有
，解得
，
故答案为：.
18. （2025·北京·高考真题）已知抛物线
的顶点到焦点的距离为3，则
________．
【答案】
【分析】根据抛物线的几何性质可求
的值.
【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为
，故
，故
，
故答案为：
.
19. （2024·上海·高考真题）已知抛物线
上有一点
到准线的距离为9，那么点
到
轴的距离为
______．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义知
，将其再代入抛物线方程即可.
【详解】由
知抛物线的准线方程为
，设点
，由题意得
，解得
，
代入抛物线方程
，得
，解得
，
则点
到
轴的距离为
．
故答案为：
．
20. （2024·北京·高考真题）抛物线
的焦点坐标为________．
【答案】
【分析】形如
的抛物线的焦点坐标为
，由此即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为
，所以其焦点坐标为
.
故答案为：
.
21. （2024·天津·高考真题）已知圆
的圆心与抛物线
的焦点
重合，且两曲线在第
一象限的交点为
，则原点到直线
的距离为______．
【答案】
/
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求
及
的方程，从而可求原点
到直线
的距离.
【详解】圆
的圆心为
，故
即
，
由
可得
，故
或
（舍），
故
，故直线
即
，
故原点到直线
的距离为
，
故答案为：
22. （2023·全国乙卷·高考真题）已知点
在抛物线C：
上，则A 到C 的准线的距离为______.
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为
，最后利
用点的坐标和准线方程计算点
到
的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：
，则
，抛物线的方程为
，
准线方程为
，点
到
的准线的距离为
.
故答案为：
.
23. （2021·北京·高考真题）已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，
垂直
轴于点
.若
，则点
的横坐标为_______；
的面积为_______．
【答案】 5
【分析】根据焦半径公式可求
的横坐标，求出纵坐标后可求
.
【详解】因为抛物线的方程为
，故
且
.
因为
，
，解得
，故
，
所以
，
故答案为：5；
.
24. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知
为坐标原点，抛物线
：
(
)的焦点为
，
为
上一点，
与
轴垂直，
为
轴上一点，且
，若
，则
的准线方程为______.
【答案】
【分析】先用坐标表示
，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得
，即得结果.
【详解】抛物线
：
(
)的焦点
,
∵P 为
上一点，
与
轴垂直，
所以P 的横坐标为
，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为
,
不妨设
,
因为Q 为
轴上一点，且
，所以Q 在F 的右侧，
又
，
因为
，所以
,
，
所以
的准线方程为
故答案为：
.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
25. （2019·北京·高考真题）设抛物线y2=4x 的焦点为F，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为
__________．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】抛物线y2=4x 中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l 的方程为x=-1，
以F 为圆心，
且与l 相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意
在考查学生的转化能力和计算求解能力.
26. （2018·北京·高考真题）已知直线l 过点（1,0）且垂直于
轴，若l 被抛物线
截得的线段长为
4，则抛物线的焦点坐标为_________.
【答案】
【详解】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点
，将点
坐标代入可求参数
的值，进而可求焦点坐标.
详细：由题意可得，点
在抛物线上，将
代入
中，
解得：
，
，
由抛物线方程可得：
，
焦点坐标为
.
点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛
物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.
27. （2018·全国III 卷·高考真题）已知点
和抛物线
，过
的焦点且斜率为
的直线与
交于
，
两点．若
，则
________．
【答案】2
【分析】方法一：利用点差法得到AB 的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】［方法一］：点差法
设
，则
，所以
所以
，
取AB 中点
,分别过点A,B 作准线
的垂线，垂足分别为
因为
,
，
因为
为AB 中点，所以
平行于x 轴，
因为M(-1,1)，所以
，则
即
．
故答案为：2.
［方法二］：【最优解】焦点弦的性质
记抛物线的焦点为F，因为
，则以
为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质
可知
，所以
．
［方法三］： 焦点弦性质+韦达定理
记抛物线的焦点为F，因为
，则以
为直径的圆与准线相切于点M，记
中点为N，则
，设
，代入
中，得
，所以
，得
，所以
．
［方法四］：【通性通法】暴力硬算
由题知抛物线
的焦点为
，设直线
的方程为
，代入
中得
，设
，则
，同理有
，
由
，即
．又
，所以
，得
．
［方法五］：距离公式+直角三角形的性质
设直线为
，与
联立得
，则
从而
，可得
的中点
，所以
．
又由弦长公式知
．
由
得
，解得
，所以
．
［方法六］：焦点弦的性质应用
由题可知，线段
为抛物线的焦点弦，
，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，
又点M 恰为抛物线准线上的点，因此，以
为直径的圆必与准线相切于点M．
过点M 作平行于
轴的直线交
于点N，则N 为圆心．
设
，则
．
又因为
，所以联立解得
．将
的值代入
中求得
．
因为抛物线C 的焦点
，所以
．
【整体点评】方法一：根据点差法找出直线
的斜率与
两点纵坐标的关系，再根据抛物线定义求出
中点坐标，从而解出；
方法二：直接根据焦点弦的性质解出，是该题的最优解；
方法三：根据焦点弦性质可知，直线过点
，再根据韦达定理求出直线
的斜率；
方法四：直接设出直线方程，联立运算，属于解决直线与抛物线位置关系问题的通性通法，思路直接，运
算复杂；
方法五：反设直线，再通过联立，利用直角三角形的性质求解，运算较复杂；
方法六：利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标，再根据斜率公式求出．
28. （2017·天津·高考真题）设抛物线
的焦点为F，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y
轴的正半轴相切于点A.若
，则圆的方程为____________ .
【答案】
【详解】设圆心坐标为
，则
，焦点
，
，
，
，
由于圆
与
轴得正半轴相切，
则取
，所求圆得圆心为
，半径为1，
所求圆的方程为
.
29. （2017·全国II 卷·高考真题）已知
是抛物线
的焦点，
是
上一点，
的延长线交
轴
于点
．若
为
的中点，则
____________．
【答案】6
【详解】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与
轴交于点
，作
与点
，
与点
，由抛物线的解析式可得准线方程为
，则
，在直角梯形
中，中
位线
，由抛物线的定义有：
，结合题意，有
，故
．
点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物
线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，
那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛
物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
考点06 曲线与方程
1. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：
（
），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段
，
为垂足，则线段
的中点M 的轨迹方程为（ ）
A．
（
）
B．
（
）
C．
（
）
D．
（
）
【答案】A
【分析】设点
，由题意，根据中点的坐标表示可得
，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点
，则
，
因为
为
的中点，所以
，即
，
又
在圆
上，
所以
，即
，
即点
的轨迹方程为
.
故选：A
2. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设计一条美丽的丝带,其造型
可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C
过坐标原点O.且C 上的点满足:横坐标大于
，到点
的距离与到定直线
的距离之积为
4，则（ ）
A．
B．点
在C 上
C．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点
在C 上时，
【答案】ABD
【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求
，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利
用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.
【详解】对于A：设曲线上的动点
，则
且
，
因为曲线过坐标原点，故
，解得
，故A 正确.
对于B：又曲线方程为
，而
，
故
.
当
时，
，
故
在曲线上，故B 正确.
对于C：由曲线的方程可得
，取
，
则
，而
，故此时
，
故
在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.
对于D：当点
在曲线上时，由C 的分析可得
，
故
，故D 正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等
来处理.
3. （2021·浙江·高考真题）已知
，函数
.若
成等比
数列，则平面上点
的轨迹是（ ）
A．直线和圆
B．直线和椭圆
C．直线和双曲线
D．直线和抛物线
【答案】C
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】由题意得
，即
，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以
或
，
其中
为双曲线，
为直线.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心
素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
4. （2020·全国III 卷·高考真题）在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若
，则点C 的轨迹为
（ ）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
【答案】A
【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】设
，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：
，设
，可得：
，
从而：
，
结合题意可得：
，
整理可得：
，
即点C 的轨迹是以AB 中点为圆心，
为半径的圆.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
5. （2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：
就是其中
之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C 恰好经过6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过
；
③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．①
B．②
C．①②
D．①②③
【答案】C
【分析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到
坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.
【详解】由
得,
,
,
所以
可为的整数有0,-1,1,从而曲线
恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,
结论①正确.
由
得,
,解得
,所以曲线
上任意一点到原点的距离都不超过
.
结论②正确.
如图所示,易知
,
四边形
的面积
,很明显“心形”区域的面积大于
,即“心形”区域的面
积大于3,说法③错误.
故选C.
【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算
能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.
6. （2019·上海·高考真题）以
为圆心的两圆均过
，与
轴正半轴分别交于
，
且满足
，则点
的轨迹是
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
【答案】A
【分析】根据圆心和圆上点建立关于半径的方程，得到
和
；根据
整理
出
，从而得到点的轨迹.
【详解】因为
同理：
又因为
，所以
则
，即
设
，则
为直线
本题正确选项：
【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题，关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等量关系，从
而转化为轨迹方程.
考点07 圆锥曲线综合
1. （2023·全国乙卷·高考真题）设A，B 为双曲线
上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得
，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；
对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设
，则
的中点
，
可得
，
因为
在双曲线上，则
，两式相减得
，
所以
.
对于选项A： 可得
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；
对于选项B：可得
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；
对于选项C：可得
，则
由双曲线方程可得
，则
为双曲线的渐近线，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；
对于选项D：
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，故直线AB 与双曲线有两个交点，故D 正确；
故选：D.
2. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，直线
与C
交于A，B 两点，若
面积是
面积的2 倍，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用
，求出
范围，再根据三角形面积比得到关于
的方
程，解出即可.
【详解】将直线
与椭圆联立
，消去
可得
，
因为直线与椭圆相交于
点，则
，解得
，
设
到
的距离
到
距离
，易知
，
则
，
，
，解得
或
（舍去），
故选：C.
3. （2021·全国乙卷·高考真题）设B 是椭圆
的上顶点，点P 在C 上，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】设点
，由依题意可知，
，
，再根据两点间的距离公式得到
，然后
消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点
，因为
，
，所以
，
而
，所以当
时，
的最大值为
．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数
的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B 最远的点，或者认为是椭圆的
长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量
的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
4. （2020·全国III 卷·高考真题）设
为坐标原点，直线
与抛物线C：
交于
，
两
点，若
，则
的焦点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题中所给的条件
，结合抛物线的对称性，可知
，从而可以确定
出点
的坐标，代入方程求得
的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】因为直线
与抛物线
交于
两点，且
，
根据抛物线的对称性可以确定
，所以
，
代入抛物线方程
，求得
，所以其焦点坐标为
，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，
点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
5. （2020·全国I 卷·高考真题）设
是双曲线
的两个焦点，
为坐标原点，点
在
上且
，则
的面积为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
【答案】B
【分析】由
是以P 为直角直角三角形得到
，再利用双曲线的定义得到
，联立即可得到
，代入
中计算即可.
【详解】由已知，不妨设
，
则
，因为
，
所以点
在以
为直径的圆上，
即
是以P 为直角顶点的直角三角形，
故
，
即
，又
，
所以
，
解得
，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，
是一道中档题.
6. （2020·全国II 卷·高考真题）设
为坐标原点，直线
与双曲线
的两条渐
近线分别交于
两点，若
的面积为8，则
的焦距的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】B
【分析】因为
，可得双曲线的渐近线方程是
，与直线
联立方程求
得
，
两点坐标，即可求得
，根据
的面积为，可得
值，根据
，结合均值不
等式，即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
，
两点
不妨设
为在第一象限，
在第四象限
联立
，解得
故
联立
，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当
取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求
最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
7. （2019·全国III 卷·高考真题）已知
是双曲线
的一个焦点，点
在
上，
为坐标原点，
若
，则
的面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，因为
再结合双曲线方程可解出
，再利用三角形面积公式可求出结果.
【详解】设点
，则
①．
又
，
②．
由①②得
，
即
，
，
故选B．
【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．
8. （2018·全国I 卷·高考真题）已知双曲线C：
，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线
与C 的两条渐近线的交点分别为M、N.若
OMN 为直角三角形，则|MN|=
A．
B．3
C．
D．4
【答案】B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到
，根据直角三角形的条件，可以确定直线
的倾斜角为
或
，根据相关图形的对称性，
得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为
，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两
条渐近线方程联立，求得
，利用两点间距离公式求得
的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为
，且右焦点为
，
从而得到
，所以直线
的倾斜角为
或
，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为
，
可以得出直线
的方程为
，
分别与两条渐近线
和
联立，
求得
，
所以
，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点
是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线
方程，利用直角三角形的条件得到直线
的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方
程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
9. （2018·全国I 卷·高考真题）设抛物线C：y2=4x 的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为
的直线与C 交
于M，N 两点，则
=
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消
元化简，求得两点
，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公
式，求得
，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.
【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为
的直线方程为
，
与抛物线方程联立
，消元整理得：
，
解得
，又
，
所以
，
从而可以求得
，故选D.
【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首
先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出
，之
后借助于抛物线的方程求得
，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐
标公式求得结果，也可以不求点M、N 的坐标，应用韦达定理得到结果.
10. （2017·全国I 卷·高考真题）（2017 新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B 是椭圆C：
长轴的两个端
点，若C 上存在点M 满足∠AMB=120°，则m 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，焦点在轴上，要使C 上存在点M 满足
，则
，
即
，得
；当
时，焦点在
轴上，要使C 上存在点M 满足
，则
，即
，得
，故
的取值范围为
，选A．
点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利
用条件确定
的关系，求解时充分借助题设条件
转化为
，这
是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨
论．
11. （2019·浙江·高考真题）已知椭圆
的左焦点为
，点
在椭圆上且在
轴的上方，若线段
的中点在以原点
为圆心，
为半径的圆上，则直线
的斜率是_______.
【答案】
【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联
立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.
【详解】方法1：由题意可知
，
由中位线定理可得
，设
可得
，
联立方程
可解得
（舍），点
在椭圆上且在
轴的上方，
求得
，所以
方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知
，
由中位线定理可得
，即
求得
，所以
.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是
解答解析几何问题的重要途径.
12. （2018·浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆
(m>1)上两点A，B 满足
，则当
m=___________时，点B 横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【分析】方法一：先根据条件得到A,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关
于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可解出.
【详解】［方法一］：点差法＋二次函数性质
设
，由
得
因为A,B 在椭圆上,所以
，即
，与
相减得：
，所以，
，当且仅当
时取最等号，即
时，点B 横坐标的绝对值
最大.
故答案为：5．
［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理
由条件知直线
的斜率存在，设
，直线
的方程为
，联立
得
，根据韦达定理得
，由
知
，
代入上式解得
，所以
．此时
，又
，解得
．
［方法三］：直线的参数方程+基本不等式
设直线
的参数方程为
其中t 为参数，
为直线
的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得
，设点A，B 对应的参数分别为
，则
．由韦达定理知
，解得
，所以
，此时
，即
，代入
，解得
．
［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质
设
，因为
，所以
．
即
①，
②，
又因为
，所以
．
不妨设
，因此
，代入②式可得
．化简整理得
．
由此可知，当
时，上式有最大值16，即点B 横坐标的绝对值有最大值2．
所以
．
［方法五］：【最优解】仿射变换
如图1，作如下仿射变换
，则
为一个圆．
根据仿射变换的性质，点B 的横坐标的绝对值最大，等价于点
的横坐标的绝对值最大，则
．
当
时等号成立，根据
易得
，此时
．
［方法六］：中点弦性质的应用
设
，由
可知
，则
中点
．因为
，所以
，整理得
，由于
，则
时，
，所以
．
【整体点评】方法一：由题意中点
的坐标关系，以及点差法可求出点
的横、纵坐标，从而可以根据
二次函数的性质解出；
方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点
的横坐标，然后利用基本不等式求出
最值，由取等条件得解，是该题的通性通法；
方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点
的横坐标，再利用基本不
等式求出最值，由取等条件得解；
方法四：利用题目条件硬算求出点
的横坐标，再根据二次函数的性质解出；
方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，
从而解出，计算难度小，是该题的最优解；
方法六：利用中点弦的性质找出点
的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点
的横坐标的绝对
值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法．
