直线与圆及圆与圆的位置关系
考点1
专题08 解析几何
7 大考点概览
题型01 直线与圆及圆与圆的位置关系
题型02 椭圆性质及直线与椭圆位置关系
题型03 双曲线性质及直线与双曲线位置关系
题型04 抛物线性质及直线与抛物线位置关系
题型05 圆锥曲线中的动点轨迹问题
题型06 圆锥曲线中的定点、定值问题
题型07 圆锥曲线中的最值、范围问题考点
1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知圆M：
与直线
恰有2 个交点，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖南邵阳·一模）已知直线
与圆
相交于
两
点，则劣弧
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·河南焦作·一模）已知圆
的半径为2，直线与圆
相交于
两点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·湖北荆州·一模）已知点
分别在圆
上运动，
点M 在直线
上运动，则
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
5．（2026·北京延庆·一模）三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，
且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面
直角坐标系中作
，
，点
，点
，且其“欧拉线”与圆
相切，则圆M 上的点到直线
的距离的最小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．（2026·安徽淮北·一模）已知过点
的直线与圆
交于
两点．若
的面积为
8，则点
的坐标可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·山西运城·一模）已知直线
，圆
，则“
”是“直线与圆
相交”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线
与圆
相交于
不同两
点，劣弧
所对的圆心角为
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·福建泉州·一模）已知直线
，圆
关于
轴对称，且过点
，
则圆
上的点到的距离的最大值与最小值之和等于（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线
与圆
相交于
两点，
为坐标原点，若
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．
11．（多选）（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线
的焦点为
，以
为圆
心，
为半径得到圆
，圆上有一点
．过点
的直线与
交于
两点，与圆
另交于点
，则（ ）
A．
B．当
时，
的横坐标为
C．当
时，
D．
12．（多选）（2026·江西南昌·一模）在平面直角坐标系
中，已知
，
，动圆
：
，过点
，
分别作斜率为
，
的两条直线与动圆
相切，
两切线交于第一象限的点
，设点
到直线
的距离为
，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026·天津河东·一模）已知直线：
，
：
，若圆C 的圆心在x 轴
正半轴上，且与直线，
都相切，则圆C 的方程为__________.
14．（2026·天津和平·一模）已知圆
上到直线
的距离为
的点有且仅有4 个，
则实数
的取值范围为___________．
15．（2026·贵州安顺·一模）已知直线
与圆
，若存在以直线l 上一
椭圆性质及直线与椭圆位置关系
考点2
点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有交点，则k 的取值范围是______．
16．（2026·天津南开·一模）过点
及圆
：
与抛物线
的一个交点
的直线被圆
截得的弦长为______.
17．（2026·福建泉州·一模）若存在4 条不同的直线既是圆
的切线，也是曲线
的切线，则
的取值范围是__________.
1．（2026·广东中山·一模）方程
表示的圆锥曲线的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．5
2．（2026·湖南·一模）已知椭圆
：
的左、右顶点分别为
，点
在
上，
且
，
，
，则点
的横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
在椭圆
上，若
的面积为1，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·河南南阳·一模）已知椭圆
与椭圆
交
于四点，且
，
的焦点与这四点在同一个圆上，则
（ ）
A．4
B．5
C．
D．
5．（2026·甘肃兰州·一模）已知曲线
，则曲线上的点到直线
的距离的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过
的
直线与椭圆C 交于M、N 两点，若
，且
，则椭圆C 的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）（2026·辽宁抚顺·一模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
上顶点为
，过点
作垂直于
的直线交
于
两点，则（ ）
A．
的离心率为
B．
的短轴长为
C．
为等边三角形
D．
为等边三角形
8．（多选）（2026·江西宜春·一模）定义曲线
为椭圆
的“倒椭
圆”.已知椭圆
的方程为
，其倒椭圆
的方程为
，O 为坐标原点，P 为曲线
上任意一点，则（ ）
A．椭圆
的离心率
B．
的最小值为4
C．过点P 作x 轴与y 轴的垂线，垂足分别为
，则直线
一定与椭圆
相切
D．椭圆
上至少存在四条切线与曲线
没有公共点
9．（多选）（2026·河北邢台·一模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，H 是C
上异于左、右顶点的点，则（ ）
A．
的周长为12
B．存在点H，使得
C．当
内切圆的半径为
时，
D．当直线l 被C 所截得线段AB 的中点是
时，直线l 的方程为
10．（多选）（2026·河北廊坊·一模）已知
为坐标原点，
是椭圆
上的两点，
且
，
，垂足为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的离心率为
B．
C．
D．
面积的最小值为
11．（2026·江西·一模）已知
，
是椭圆
的两个焦点，
为第
一象限内椭圆
上的一个动点，
为
的内心，过
作直线
的垂线，垂足为
，若
，则椭圆
的离心率
___________
12．（2026·湖北襄阳·一模）已知椭圆
与双曲线
有相同的左焦点
和右焦点
，P 为椭圆
与双曲线
在第一象限内的一个公共点，设椭圆
与双曲线
的离心率分别为
，
，且
，
若
，则双曲线
的渐近线方程为______．
13．（2026·广东·一模）如图，
为坐标原点，
为椭圆
的两个焦点，过
分
别作椭圆
的切线的垂线，垂足分别为
．当
时，
的面积为______．
14．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）椭圆
的右焦点为
，左顶点为
，上
顶点为
，离心率为
，
的面积为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
为坐标原点，椭圆
上有一动点
（不在
轴上），
为线段
的中点，直线
与直线
相交于点
．
（i）当点
的坐标为
时，求
；
（ii）证明：
．
双曲线性质及直线与双曲线位置关系
考点3
15．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：
的一个焦点与抛物线
的
焦点重合，且椭圆C 的离心率为
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过椭圆C 的左顶点A 且倾斜角为30°的直线交椭圆C 于另一点B，O 为坐标原点，求
的面
积.
16．（2026·青海西宁·一模）已知椭圆
的左、右顶点分别为A，B，离心率
为
，且
．
(1)求C 的方程；
(2)已知M，N 是直线
上的两点，且满足
，记直线
，
的斜率分别为
，
．
（i）求
的值；
（ii）若直线
与C 交于另外一点P，直线
与C 交于另外一点Q，求点B 到直线
的距离的
最大值．
17．（2026·天津南开·一模）已知椭圆
：
（
）的左、右焦点分别为
，
，
短轴长为2，过右焦点
且垂直于
轴的直线交椭圆于第一象限的点
，且
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线：
（
）与椭圆
交于点
，
，若椭圆
上存在点
使得四边形
为平
行四边形.且
，求
的值.
1．（2026·云南曲靖·一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线
的焦点重合，且一条渐近线
方程为
，则双曲线的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖北荆州·一模）已知双曲线
（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为
，过
的直线与双曲线的两条渐近线分别交于M，N 两点，且满足
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
3．（2026·天津·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，O 是坐标
原点，过
作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若
，
，则双曲线的
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·湖南怀化·一模）设
为坐标原点，
是
的左、右焦点，若在
双曲线上存在点
，满足三角形
的面积为
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·宁夏银川·一模）若双曲线
与
的两个焦点重合，则称
与
互为“同心双曲线”.已
知双曲线
：
与双曲线
：
互为“同心双曲线”，左、右焦点分
别为
，
，
是
上一点，若
的周长为20，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·辽宁盘锦·一模）已知P，Q 是双曲线
右支上两点，且满足
（其中
），则
最小值为（ ）
A．
B．2
C．4
D．
7．（多选）（2026·青海西宁·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，
直线l 过点
，且与双曲线的右支交于A，B 两点，其中A 点位于第一象限．若
，
的
周长为18，点T 为双曲线C 上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点T 到两条渐近线的距离之积为定值
C．过点
的直线与双曲线C 相交于M，N 两点，且满足D 为线段
的中点，则直线
为
D．若
，则
的面积为
8．（多选）（2026·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系
中，直线
，直线
，曲线
上的动点
到直线与
的距离之积为定值1，
为曲线
的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线
的方程为
B．
C．点
到点
的距离最小值为4
D．若为曲线
在点
处的切线，则直线平分
9．(多选）（2026·广西桂林·一模）已知
是双曲线
上一点，且
，
，
分别是
的左、右焦点，
为坐标原点，下列说法正确的有（ ）
A．
的离心率为
B．若
，则
的面积为1
C．若
，则
的取值范围是
D．过
的直线与
交于A，B 两点，若
为等腰直角三角形，且
，则的斜
率为
10．（多选）（2026·山东济宁·一模）已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，过
且
斜率为
的直线与
的右支交于点
，则（ ）
A．
的离心率为
B．
C．
的最小值为-9
D．若以实轴为直径的圆与相切，则
11．（2026·山东青岛·一模）双曲线
：
（
，
）的左、右焦点分别为
，
，
以
为直径的圆与
在第一象限的交点为
，若直线
与
的一条渐近线平行，则
的离心
率为______.
12．（2026·河北石家庄·一模）已知
为坐标原点，双曲线
的左、右焦点分别为
、
，
为双曲线右支上一点，满足
，且
的面积为
，则双
曲线
的离心率为______.
13．（2026·河北保定·一模）已知双曲线
左、右焦点分别为
，点
是
上一
点且位于第二象限，
的面积为
，过原点O 且平行于
的直线与
和
的
平分线分别交于点
，且
则双曲线
的渐近线方程为________.
14．（2026·江苏·一模）已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
分别为左、右焦点，
为右顶点，
为
左支上的两个动点（不包括顶点）．
(1)求
的离心率；
(2)是否存在常数
，使得
总成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理
由；
(3)若
为定值，直线
经过
，求
的最小值．
15．（2026·河北廊坊·一模）已知
，
分别是双曲线
的上、下焦点，
抛物线性质及直线与抛物线位置关系
考点4
双曲线
的渐近线方程是
，且
到双曲线
的渐近线的距离是
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若过
的直线与
交于
两点，其中
在第一象限，
关于原点对称的点为
，且
，求直线的方程．
16．（2026·广东·一模）设双曲线
的离心率为2，其左、右焦点分别是
，
过
的直线与双曲线
的右支交于点
．当
与
轴垂直时，
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)求
的最小值；
(3)记
的内切圆
与双曲线
的一个公共点为
，双曲线
的左顶点为
，证明：
．
1．（2026·北京顺义·一模）已知抛物线
：
的焦点为
，
.若
上存在
点
，使得
，且
的面积为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2026·天津红桥·一模）设抛物线
的焦点为
，抛物线上一点
，满足直线
与
轴正半轴交于点
，且
在
之间，若
，且点
到抛物线准线的距离为
，
则点
的纵坐标为（ ）
A．1
B．
C．
D．
3．（2026·广东广州·一模）已知抛物线
：
（
）的焦点为
，圆
：
与
交于
，
两点，若直线
与直线
的斜率之积为
，则
（ ）
A．3
B．
C．4
D．5
4．（2026·安徽滁州·一模）若
是抛物线
上的动点，点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．5
C．7
D．
5．（2026·河北保定·一模）抛物线
的焦点为F，动点P 在抛物线C 的准线上，O 为坐标
原点，当
最大时，
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选）（2026·广西北海·一模）已知抛物线
，直线l 过其焦点F 交抛物线于
，
两点，过点A 作抛物线C 的切线，交x 轴于点
，则（ ）
A．若
，则
B．
C．
D．
（
是直线l 的倾斜角）
7．（多选）（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线
的焦点为
，以
为圆
心，
为半径得到圆
，圆上有一点
．过点
的直线与
交于
两点，与圆
另交于点
，则（ ）
A．
2
2
0
E
y
px p
：
F
,0
D p
DF
D
,1
p
F
E
,
P Q
D
M
2
p
B．当
时，
的横坐标为
C．当
时，
D．
8．（多选）（2026·山西运城·一模）已知抛物线
：
的焦点为
，直线：
与
轴交
于点
，
是抛物线
上的动点，以
为圆心的圆
经过点
，
为坐标原点，则（ ）
A．圆
与直线相切
B．圆
的面积的最小值是
C．
的最大值是
D．存在点
，使得
9．（多选）（2026·黑龙江·一模）已知抛物线
的焦点为
，
为
上一动点，A 为一定
点，则正确的有（ ）
A．若
，则点P 的坐标为
B．若
，则
的最小值为6
C．若
，则
的最小值为
D．若
，则
的最大值为
10．（多选）（2026·河南南阳·一模）已知抛物线
的焦点为
，准线为，
为坐标原点，
过点
的直线与抛物线
交于
，
两点，分别过点
，
作的垂线，垂足分别为
，
，若
为等边三角形，则（ ）
A．直线
的斜率为
B．
C．
的周长为12
D．
，
，
三点共线
11．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知点
在圆
：
上，
，
为坐
标原点，动点
满足：在
中，
.则（ ）
2
PF
FQ
P
2 2
2
PF
FQ
2
3
MF
FM PQ
FP FQ
C
2
4
y
x
F
l
1
x
x
H
M
C
M
M
F
O
M
l
M
4π
MH
MF
2
M
2 3
3
OM
MF
2
:
4
C y
x
F
P
C
4
PF
3,2 3
5,3
A
PA
PF
3,0
A
PA
2 2
3,0
A
APF
π
4
2
:
4
C y
x
F
l
O
F
C
A
B
A
B
l
M
N
AMF
AB
3
4
3
BN
AMF
B
O
M
Q
F
2
2
(
2)
1
x
y
( 2,0)
A
O
P
APF
cos
PA
PAF
PF
A．
的轨迹方程为：
B．
的最小值为2
C．
的最小值是
D．
的最大值为
12．(多选）（2026·山东青岛·一模）已知圆
过抛物线
上的两点
，
则（ ）
A．圆
面积的最小值为
B．圆
与抛物线
的公共点个数为3
C．若圆
与抛物线
还有另外两个交点P、Q，则P、Q 的纵坐标之和为2
D．若圆
与抛物线
还有另外两个交点P、Q，则直线PQ 的斜率为4
13．（2026·北京昌平·一模）已知圆
与抛物线
的准线的一个交点为
（A 在x 轴上方），点
关于
轴的对称点
在抛物线
上，则
_____；若直线
上
存在点
，使得
，则
的取值范围为______．
14．（2026·湖北·一模）如图，经过抛物线
：
的焦点
的直线交抛物线
于
，
两点
（点
在第一象限），直线
的倾斜角为
，经过点
和原点
的直线与
的准线交于点
.
（1）当
时，
________；
（2）
绕直线旋转一周所形成的几何体体积最小时，直线
的斜率为________.
15．（2026·天津东丽·一模）已知抛物线
的焦点为
，准线为，点
在上，
以线段
为直径的圆与直线
相交于
，
两点，则
_________．
P
2
8 (
0)
y
x x
PQ
PF
PA
2
2
PAQ
π
3
C
2
:
2
(
0)
y
px p
(1,2), (4, 4)
A
B
C
45 π
4
C
C
C
2
2
5
x
y
2
:
2
0
C y
px p
A
A
y
B
C
p
0
x
y
m
M
MA
MB
m
C
2
6
y
x
F
C
A
B
A
AB
A
O
C
l
D
π
3
AO
OD
ABD
△
l
AB
2
2
(
0)
y
px p
F
l
( 2,4)
P
l
PF
y
x
A
B
AB
16．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆
与抛物线
在第一象限
交于点
，A，B 分别为
的左、右顶点.
(1)若
，且椭圆
的焦距为2，求
的准线方程；
(2)设点
是
和
的一个共同焦点，过点F 的一条直线l 与
相交于C，D 两点，与
相交
于E，G 两点，
，若
，求直线l 的方程；
(3)若
，设直线QA，QB 分别与直线
交于M，N 两点，
与
的面积分别为
，
，若
，求点Q 的坐标.
17．（2026·山东青岛·一模）已知抛物线
，点
为
的焦点，
是
上任意
不重合的两点，当直线
过点
且垂直
轴时，
.
(1)求
的方程；
(2)若直线
过点
且
的面积为
，求
的方程.
18．（2026·广东梅州·一模）如图，
是抛物线
的焦点，
是抛物线
在第一象
限上的一点，
，
.
(1)求抛物线
的方程；
2
2
1
2
:
1(
1)
x
C
y
a
a
2
2 :
2
(
0)
C
y
px p
0
0
(
,
)
Q x
y
1
C
0
1
x
1
C
2
C
(1,0)
F
1
C
2
C
1
C
2
C
CD
EG
1
3
3
a
4
x
QMN
QAB
1S
2
S
1
2
7
9
S
S
2
:
2
(
0)
C y
px p
F
C
,
M N
C
MN
F
x
|
| 4
MN
C
MN
F
OMN
4
MN
F
2
:
2
(
0)
C y
px p
P
C
60
OFP
|
| 2
PF
C
圆锥曲线中的动点轨迹问题
考点5
(2)求抛物线
在点
处的切线方程.
19．（2026·重庆·一模）已知点
，
是直线
上的一点，过
作的垂线
，线段
的垂直平分线
交
于点
．当
在上运动时，记
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)证明：直线
是
的切线；
(3)已知圆
的圆心在第一象限内，
与
有唯一的公共点，且
与
轴相切于点
，求圆
的方
程．
1．（2026·山东青岛·一模）如图，点
为矩形
边
的中点，以动直线为折痕将矩形在其
下方的部分向上翻折，每次翻折后点
都落在边
上，记该落点为
，过点
作
垂直于
交直线于点
，点
的轨迹为曲线
的一部分，则
为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
2．（2026·广东江门·一模）已知正方体
的棱长为，点
是正方形
内（含
边界）的一个动点，且满足
，则点
的轨迹长为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·安徽滁州·一模）若
是抛物线
上的动点，点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．5
C．7
D．
C
P
0,1
F
H
:
1
l y
H
l
l
FH
m
l
M
H
l
M
1
C
1
C
m
1
C
2
C
1
C
2
C
2
C
y
F
2
C
E
ABCD
AB
l
E
CD
F
F
FP
CD
l
P
P
W
W
1
1
1
1
ABCD
A B C D
3
P
ABCD
1
13
A P
P
π
4
π
2
π
2π
( , )
P x y
2
:
12
C x
y
(4,0)
A
|
3|
|
|
y
PA
17
2 13
4．（2026·山西大同·一模）已知双曲线
的左右焦点分别是
，
，
是双曲线右支上
的动点，过
作
平分线的垂线，垂足为
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）（2026·江苏镇江·一模）如图点
是棱长为2 的正方体
的表面上一个
动点，
是线段
的中点，则（ ）
A．当
为
的中点时，
B．当
在面
上，且直线
与
所成的角为
时，点
的轨迹长度为
C．三棱锥
体积的最大值为
D．当
平面
时，线段
长度最大值为
6．（多选）（2026·浙江·一模）
是坐标平面内一个动点，
与直线
垂直，垂足
位于第
一象限，
与直线
垂直，垂足
位于第四象限.若四边形
（
为原点）的面积为，
设
的轨迹为曲线
，则（ ）
A．
的方程为
B．
的方程为
2
2
1
9
72
x
y
1F
2
F
Q
1F
1
2
FQF
M
M
2
2
9( 1
3)
x
y
x
2
2
9
1
3
x
y
x
2
2
3( 1
3)
x
y
x
2
2
3
1
3
x
y
x
P
1
1
1
1
ABCD
A B C D
F
1
1
A B
P
1
1
B C
1
AP
D F
P
1
1
BCC B
AP
CD
45
P
π
2
1
1
A
PB D
8
3
/ /
PF
1
1
B CD
PF
2 2
M
MA
y
x
A
MB
y
x
B
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O
3
,
M x y
C
C
2
2
6
0
x
y
x
C
2
2
6
0
y
x
y
C．
的最大值为
D．
的最大值为
7．（多选）（2026·湖北·一模）平面上一动点
到原点
的距离与到直线
的距离之和为常数
，点
的轨迹为曲线
，点
在曲线
上，则（ ）
A．
B．
C．
面积的最大值为9
D．从曲线
内任取一整点（横纵坐标均为整数），该点位于圆
内的概率大于
8．（多选）（2026·湖南岳阳·一模）如图，圆
，圆
，动圆
与
圆
外切于点
，与圆
内切于点
，记圆心
的轨迹为曲线
，若直线
与曲线
交于
两点，则下面说法正确的是（ ）
A．曲线
的方程为
B．
的最小值为
C．
D．当直线
斜率都存在时，
9．（2026·贵州安顺·一模）已知点M 为正三棱柱
的外接球上动点，且
，若
2
y
x
3 2
2
12
xy
x
17
8
P
O
y
x
a
P
C
3 2,3 2
A
C
6
a
2 3
6
OP
POA
C
2
2
9
x
y
25
81
2
2
1 :(
1)
1
F
x
y
2
2
2 :(
1)
9
F
x
y
P
1F
M
2
F
N
P
C
:l y
kx
C
,
S T
C
2
2
1
2
4
3
x
y
x
MPN
120
1
2
1
2
MP PF
NP PF
,
PS PT
4
3
PS
PT
k
k
1
1
1
ABC
A B C
2
MB
MA
1
2
AA
3
AB
，
，则点M 的轨迹长度为______．
10．（2026·江西九江·一模）在平面直角坐标系中，动点
的轨迹
满足：
到两定点
距离之积等于
，若
是
与
轴的交点，则
面积的最大值为
__________.
11．（2026·四川雅安·一模）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡
西尼卵形线，如图所示的曲线
为卡西尼卵形线且过坐标原点
，其中两定点为
，
，曲线
上点
在第一象限内且满足
的面积为
，则
_______
12．（2026·四川广安·一模）在平面直角坐标系中，
为坐标原点，两点
的
“曼哈顿距离”定义为
．满足
的动点
的轨迹围成的图形面积为
___________；已知点
在直线
上，点
在函数
的图象上，
的最小值为
___________．
13．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点
，点
，点P 满足
.记点P 的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C 的方程；
(2)曲线C 的左、右顶点分别为A、B，设点E 是曲线C 上一动点，且点E 不在x 轴上，直线
交
曲线C 于点M（异于点E），直线
交曲线C 于点N（异于点E）.
1
2
AA
3
AB
P
C
P
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
3
2
,
A B
C
x
PAB
C
O
1
2,0
F
2 2,0
F
C
P
1
2
PF F
2
2
2
1
2
PF
PF
O
1
1
2
2
P x
y
Q x
y
，
，
，
1
2
1
2
PQ
x
x
y
y
2
OP
P
M
e
1
y
x
N
ex
y
MN
1
1,0
F
2 1,0
F
1
2
4
PF
PF
1
EF
2
EF
（i）若
的角平分线交x 轴于点T，
，求t 的取值范围；
（ii）若点E 不在y 轴上，记直线MN 的斜率为k，直线EA 的斜率为
，直线EB 的斜率为
，判
断
是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
14．（2026·福建泉州·一模）在平面直角坐标系
中，已知点
，动点
关于
的对称点为
，且直线
的斜率之积是
，记
的轨迹为曲线
.
(1)求
的方程；
(2)若
关于
轴的对称点为
，求
的面积的最大值.
15．（2026·江西南昌·一模）已知正方体
的棱长为
，对角线
的中点为
，
动点
在平面
内，且点
到平面
的距离等于
.
(1)求四棱锥
体积的最小值；
(2)记点
的轨迹为曲线
，点
，
，
是曲线
上不同三点.
（i）若平面
与轨迹
相交于
两点，求线段
的长；
（ii）若点
在点
上方，且
，
，
与平面
所成角相等，平面
过
且与
平行，判断平面
与平面
的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不
是定值，请说明理由.
1
2
F EF
1
2
FT
tTF
1k
2k
1
2
k
k
k
xOy
2,0
A
P
O
Q
,
AP AQ
1
4
P
E
E
P
x
M
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1
1
1
1
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A B C D
2 2
1
AC
F
P
1
1
AAC C
P
1
1
AA B B
2
2 PF
1
1
P
AA B B
P
M
G
R
Q
M
1
AB F
M
RG
RG
G
F
GF
AC
GR
GQ
ABCD
RQ
AB
ABCD
圆锥曲线中的定点、定值问题系
考点6
16．（2026·河北保定·一模）在平面直角坐标系中，定义
，
两点之间的“曼哈顿
距离”为
，我们把到两个定点
，
的“曼哈顿距离”之和
为常数
的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”．
(1)请分析“曼哈顿椭圆”的对称性，并求出它的面积（用
表示）；
(2)当
，
时，该“曼哈顿椭圆”的顶点都在椭圆C 上，过点
作圆
的两条切线与椭圆
分别交于
两点．
（ⅰ）求椭圆
的方程；
（ⅱ）判断直线
与圆
的位置关系，并说明理由．
1．（多选）（2026·青海西宁·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，
直线l 过点
，且与双曲线的右支交于A，B 两点，其中A 点位于第一象限．若
，
的周长为18，点T 为双曲线C 上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点T 到两条渐近线的距离之积为定值
C．过点
的直线与双曲线C 相交于M，N 两点，且满足D 为线段
的中点，则直线
为
D．若
，则
的面积为
2．（2026·河北邢台·一模）已知双曲线
，过点
的直线l 与圆
交于A，B 两点，且
的最小值为
，当直线l 平行于双曲线C 的渐近线时，
1
1
,
A x y
2
2
,
B x
y
1
2
1
2
d
x
x
y
y
1 - ,0
F
c
2
,0
0
F
c
c
2a a
c
,a c
4
a
60
17
c
0,1
D
2
2
4
:
2
9
M
x
y
C
,
E F
C
EF
M
2
2
2
:
1(
0)
3
x
y
C
a
a
1F
2
F
2
F
7
AB
1F AB
1
a
(1,1)
D
1l
MN
1l
3
2
0
x
y
1
2
π
3
FTF
1
2
FTF
3 3
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
(1,0)
D
2
2
2
:
O x
y
a
|
|
AB
2 3
双曲线C 的左顶点到直线l 的距离为
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过双曲线C 上一点R 作两条渐近线的垂线，垂足分别为G，H，证明：
；
(3)已知点
，两个不重合的动点M，N 均在双曲线C 上，直线PM，PN 分别与y 轴交于点
E，F，点Q 在直线MN 上，
且
．试问：是否存在定点T，使得
为定值？
若存在，求出该定点T 和
；若不存在，请说明理由．
3．（2026·山东滨州·一模）设圆
的圆心为
，直线过点
且与
轴不
重合，交圆
于
两点，过
作
的平行线交
于点
，动点
的轨迹为曲线
．
(1)证明
为定值，并求曲线
的方程；
(2)若直线
与曲线
相交于
两点．
①求
面积的最大值；
②已知点
，直线
与曲线
的另一个交点为
，直线
与曲线
的另一个交点为
．
证明：直线
过定点．
4．（2026·江西上饶·一模）已知椭圆
的焦距为2，点
在椭圆
上．
(1)求椭圆
的方程；
(2)如图，斜率存在且不为0 的直线与
相交于点
（
在
的左侧），
，
分别为左右焦
3 15
5
12
|
| |
|
5
RG
RH
( 10, 3)
P
0
OE
OF
PQ
MN
|
|
QT
|
|
QT
2
2
2 3
13
0
x
y
x
A
l
3,0
B
x
l
A
,
C D
B
AC
AD
E
E
W
EA
EB
W
:
0
l
y
x
t t
W
,
M N
OMN
4,0
P
PM
W
G
PN
W
H
GH
2
2
2
2
1
0
x
y
C
a
b
a
b
：
3
1 2
P
，
C
C
l
C
A
B
，
A
B
1F
2
F
点，设直线
的斜率分别为
，且
．
①求证：直线过定点；
②设直线
相交于点
，求证：
为定值．
5．（2026·河北石家庄·一模）已知椭圆
的右焦点
，短轴长为2.
(1)求椭圆
的方程；
(2)记
为坐标原点，直线
与椭圆
交于
两点，过点
作直线
的垂线，垂足
为
.
（i）求证：直线
恒过定点；
（ii）求
面积的取值范围.
6．（2026·四川宜宾·一模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点M 在C 上，
轴，且
．
(1)求C 的方程；
(2)过点
的直线交C 于不同的两点A、B，
于点H，证明：直线HB 过定点．
7．（2026·安徽淮北·一模）已知椭圆
的短轴长为2，焦距为2，过
的左
焦点
作斜率之和为1 的两条直线和
，与
交于
两点，
与
交于
两点，线段
的中点分别为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)求点
的轨迹方程；
(3)直线
是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由．
8．（2026·广东湛江·一模）已知椭圆
的左、右顶点分别为
，其离心率为
1
1
，
F A F B
1
2
k
k
，
1
2
0
k
k
l
1
2
，
F B
F A
M
2
1
MF
MF
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
1,0
F
C
O
1
0
x
my
C
,
A B
A
2
x
D
DB
ODB
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
1
,1 0
F
2 1,0
F
2
MF
x
2
3
2
MF
4,0
P
2
AH
MF
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
E
F
1l
2l
1l
E
,
A B
2l
E
,
C D
,
AB CD
,
P Q
E
P
PQ
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
a
b
a
b
,
A B
3
2
2
3
(1,0)
G
,
C D
，且
上的点到其中一个焦点的距离的最小值为
，过点
的直线交椭圆于
两点，
直线
分别交直线
于点
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)证明：
三点共线；
(3)试问以
为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
9．（2026·重庆·一模）已知抛物线
，与直线
交于
，
两点（O 为坐标
原点），且
.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)若
，
为抛物线上任意两点，且满足
，证明:直线
经过一个定点，并求出该定点
坐标.
10．（2026·江苏南京·一模）已知抛物线
的焦点为
，
上的点
到
的距离为5．
(1)求
和的值；
(2)
，
为
上两点，
的重心在直线
上．
①证明：直线
的斜率为定值；
②设直线
与
轴交于点
，线段
的中点为
，线段
的中点为
，过点
向直线
作垂线，
垂足为
．证明：点
在定圆上运动．
11．（2026·天津河西·一模）已知椭圆
的右焦点为F，离心率为
，且经过
点
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设不垂直于坐标轴的直线l 与椭圆C 相切，过F 作直线l 的垂线，垂足为H，线段
的长度是
否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由．
3
2
2
3
(1,0)
G
,
C D
,
CB DB
:
4
l x
,
M N
,
,
A D M
MN
2
:
2
0
C y
px p
y
x
O
A
2 2
OA
C
M
N
AM
AN
MN
2
:
2
(
0)
C y
px p
F
C
4,
(
0)
P
t
t
F
p
t
A
B
C
PAB
4
3
y
AB
AB
x
Q
AB
T
PQ
R
P
TR
H
H
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
1
2
3
1, 2
OH
12．（2026·贵州六盘水·一模）已知椭圆
的焦距为2，且过点
．
(1)求椭圆C 的方程.
(2)设B 为椭圆C 的右顶点，过点
的直线l 与椭圆C 交于M，N 两点（异于点B）．
（ⅰ）记直线
的斜率分别为
，证明：
为定值.
（ⅱ）求
的面积的取值范围.
13．（2026·甘肃·一模）如图所示，焦点在
轴上的椭圆
的顶点分别为
，
且椭圆过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过椭圆
上任意一点
作四边形
的内切圆的两条切线
，切点分别为
，当切
线斜率存在时，记切线
斜率分别为
，试判断
是否为定值，若是定值，求出该定值；
若不是，请说明理由；
(3)若切线
与椭圆
的另一个交点分别为
，求
的最小值.
14．（2026·河北沧州·一模）已知椭圆
的中心在原点，坐标轴为对称轴，其中一个焦点为
，
离心率为
．直线
，
与椭圆
交于不同的两点
，
，且直线
，
的斜率之积为
．
(1)证明：
为定值；
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
6
( 2,
)
2
A
(1,0)
P
,
BM BN
1
2
,
k k
1 2
k k
BMN
x
C
1
2
1
2
1
2
2
π
,
,
,
,
3
A A B B
B A B
6
1, 3
C
C
P
1
1
2
2
A B A B
,
PA PB
,
A B
,
PA PB
1
2
,
k k
1
2
k
k
,
PA PB
C
,
E F
EF
E
1,0
F
2
2
OA
OB
E
A
B
OA
OB
1
2
2
2
OA
OB
圆锥曲线中的最值、范围问题
考点7
(2)以椭圆
上一动点
为圆心作与直线
，
均相切的圆，探究圆
的面积是否为定值，若
是定值，求出圆
的面积，若不是定值，说明理由；
(3)求四边形
面积的最大值．
15．（2026·四川巴中·一模）若点
，
是曲线
上相异的两点，且直线
的斜率为
，则称点
，
是
斜率相关的．已知抛物线
：
（
），点
在抛物线上，点
与点
是
斜率相关的，点
与点
是
斜率相关的，其中
为常数且
，记
直线
的斜率为
．
(1)设
为坐标原点，若
，求
的面积．
(2)对任意的正整数
，
是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)求数列
的前
项和
；若对任意的正整数
，都有
，求实数
的取值范围．
1．（2026·甘肃兰州·一模）已知曲线
，则曲线上的点到直线
的距离的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（2026·广西桂林·一模）已知
是双曲线
上一点，且
，
，
分别是
的左、右焦点，
为坐标原点，下列说法正确的有（ ）
A．
的离心率为
E
M
OA
OB
M
M
OAMB
A
B
C
AB
k
A
B
C k
C
2
2
x
py
0
p
1
2,1
P
,
n
n
n
P
x
y
,
n
n
n
Q
a b
C k
n
Q
1
nP
C
k
k
0
k
1
n
n
P P
nk
O
1
k
1
1
OPQ
△
n
n
n
a
k
1
1
n
n
k k
n
n
S
n
1
4
n
S
k
2
:
3
3
C x
y
:
4
0
l x
y
3 2 5 2
,
2
2
2,3 2
3 2
6
4 2
,
2
2
3 2 ,3 2
2
0
0
,
P x
y
2
2
:
1
2
x
C
y
0
0
x
1F
2
F
C
O
C
2
B．若
，则
的面积为1
C．若
，则
的取值范围是
D．过
的直线与
交于A，B 两点，若
为等腰直角三角形，且
，则的斜
率为
3．（多选）（2026·福建泉州·一模）以坐标轴为对称轴的双曲线
过点
，其一条渐近线
过点
，且两焦点为
.若直线
，分别与
的两支交于
两点，线段
的
中点为
，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线
的方程为
B．若
，则点
在直线
上
C．若
，则
的取值范围为
D．若
，则
与
的内切圆的半径之比为2 或
4．（多选）（2026·山东滨州·一模）某市以“渤海湾畔生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”
､
融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线
，其方程为
．对
于曲线
，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线
与曲线
有唯一公共点，则
取值范围为
B．曲线
上存在唯一的点
，使得点
到点
与到点
的距离之差为4
C．曲线
所围成的封闭区域面积等于
D．若曲线
上恰好存在4 个不同点到直线
的距离为
，则实数
的取值范围为
1
OP
OF
1
2
F PF
1
2
0
PF PF
0y
3
3
,
3
3
2
F
l
C
1
AF B
△
1
90
AF B
l
2
C
2,2 2
1,2 2
1
2
,
F F
:l x
my
t
C
,
M N
MN
P
C
2
2
1
8
y
x
1
m
P
4
y
x
0
t
1
1
MF
NF
8,
3
t
1
2
MF F
△
1
2
NF F
△
1
2
C
2
2
2
2
0
x
y
x
y
C
y
kx
C
k
1 1
,
2 2
C
P
P
0,5
0, 5
C
2π
4
C
y
x
m
1
2
m
2
2
2
,2
2
2
5．（多选）（2026·海南儋州·一模）设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
在椭
圆
上，则（ ）
A．若
的面积
，则满足题意的点
有四个
B．若
，则
的面积
C．椭圆
内接矩形面积的最大值为12
6．（多选）（2026·河北·一模）已知O 为坐标原点，椭圆
的离心率为
，长轴长为4，F 为C 的右焦点，第二象限的点 P 为椭圆上一点，Q 为点P 关于y 轴的对称点，
PQ 交y 轴于点M，N 为线段 FQ 的中点，则（ ）
A．
B．
C．设A 是C 的左顶点，直线AP 和AQ 的斜率分别为
，则
D．
内切圆半径的取值范围为
7．（多选）（2026·辽宁辽阳·一模）已知点
，
，曲线
上任意一点
满足
，则（ ）
A．当
时，曲线
经过坐标原点
B．对于不同的
值，曲线
总是关于坐标原点对称
2
2
2
,2
2
2
2
2
:
1
16
9
x
y
C
1F
2
F
P
C
1
2
PF F
3 3
S
P
1
2
30
F PF
1
2
PF F
9 2
3
S
C
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
,
)
(
0
0
a
b
1
2
3
b
3
MN
FN
1
2
,
k k
1
2
3
4
k k
ONF
△
3
0, 4
1
2,0
F
2 2,0
F
E
M
1
2
1
1
0
MF
MF
2
E
E
C．当
时，直线
与曲线
的所有交点的横坐标之积为
D．当
时，
的取值范围为
8．（2026·甘肃·一模）椭圆
的离心率为，双曲线
渐近线的斜率绝
对值小于
，则的取值范围为__________.
9．（2026·安徽滁州·一模）已知椭圆
的短轴长为4，离心率为
．
(1)求Γ 的方程；
(2)若直线
与
交于A，B 两点，且
，求m 的取值范围．
10．（2026·河北·一模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为
E，且
，点
在C 上.
(1)求C 的方程.
(2)已知A，B 是椭圆
上的点，
是C 上一点，若线段 PA，PB 的中点都在
上，记
（i）当点 P 运动时，证明：
的面积是定值；
（ii）求
的取值范围.
11．（2026·天津红桥·一模）已知椭圆
的一个焦点与短轴的两个端点围成的
4
0
y
E
99
3 65
8
1
1
2
MF
MF
4,2 5
2
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
e
2
2
2
2
1
y
x
a
b
3
e
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
a
b
a
b
5
5
y
x
m
8 10
|
|
9
AB
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
1
2
F
F
，
1
2
2
3
F F
EF
2, 2
2
2
1 :
1
4
x
C
y
0
0
,
P x
y
1
C
.
APB
PAB
tan
2
2
2
2
1
0
x
y
C
a
b
a
b
：
三角形面积是1，离心率
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
与椭圆
交于不同两点
，与圆
相切于点
．
①证明：
（
为坐标原点）；
②设
，求实数
的取值范围．
12．（2026·贵州六盘水·一模）已知椭圆
的焦距为2，且过点
．
(1)求椭圆C 的方程.
(2)设B 为椭圆C 的右顶点，过点
的直线l 与椭圆C 交于M，N 两点（异于点B）．
（ⅰ）记直线
的斜率分别为
，证明：
为定值.
（ⅱ）求
的面积的取值范围.
13．（2026·山东济宁·一模）已知椭圆
的两焦点分别为
，
离心率为
，
为椭圆上三个不重合的点，且直线
经过点
与
关于
轴对称.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)求证：直线
经过定点，并求出该定点的坐标；
(3)求
内切圆半径的取值范围.
14．（2026·湖南怀化·一模）在抛物线
中，直线与
交于
两点，
为
的
焦点.当直线为
时，
.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)若线段
中点的纵坐标始终为1，求
的取值范围；
2
2
e
C
:l y
kx
m
C
A
B
、
2
2
2
3
x
y
M
OA
OB
O
AM
λ =
BM
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
6
( 2,
)
2
A
(1,0)
P
,
BM BN
1
2
,
k k
1 2
k k
BMN
2
2
2
2
Γ :
1
0
x
y
a
b
a
b
1
2
1,0 ,
1,0
F
F
1
2
, ,
A B C
AC
2,
F B
C
x
Γ
AB
1
AFC
△
r
2
Γ :
2
0
y
px p
l
Γ
,
A B
F
Γ
l
4
y
x
4 10
AB
Γ
AB
AF
BF
(3)已知直线
与
相交于
两点，直线
与
相交于
两点（点
在
轴的上方），
若
，四边形
的外接圆圆心坐标为
，求证：
.
15．（2026·广东广州·一模）已知双曲线
：
（
，
）的焦点到其渐近线的距
离为
，点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)点
，
分别在
的两条渐近线上运动，且
，线段
的中点为
．
（ⅰ）设
，
，求
的最大值；
（ⅱ）设
，
（
），点
不在
轴上，若
，求
的取值范围．
16．（2026·辽宁抚顺·一模）椭圆
的焦点分别为
，过点
且
倾斜角为
的直线与椭圆
相交于
两点，当
时有
．
(1)求
的值及椭圆
的标准方程；
(2)已知线段
的中点为
．
（ⅰ）求点
的轨迹方程；
（ⅱ）若线段
的垂直平分线与
轴和
轴分别交于
两点，
为坐标原点，记
的面
积为
的面积为
，求
的取值范围．
17．（2026·河北石家庄·一模）已知椭圆
的右焦点
，短轴长为2.
(1)求椭圆
的方程；
(2)记
为坐标原点，直线
与椭圆
交于
两点，过点
作直线
的垂线，垂足
x
m
Γ
,
P Q
x
n
Γ
,
C D
,
P C
x
4
CD
PQ
PQDC
,s t
2
s
t
C
2
2
2
2
1
x
y
a
b
0
a
0
b
2
2, 2
C
C
A
B
C
2 2
AB
AB
M
0, 3
E
0,
3
F
ME
MF
,0
P
t
,0
Q t
1
t
M
x
2
MQP
MPQ
MP
MQ
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
1
2
( 1,0),
(1,0)
F
F
1F
C
,
A B
1
cos
3
1
9
|
|
|
9
5
|
AB
AF
m
m
C
AB
G
G
AB
x
y
,
D E
O
1
GF D
△
1,
S
OED
△
2
S
1
2
2
2
1
2
64
2048
S S
S
S
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
1,0
F
C
O
1
0
x
my
C
,
A B
A
2
x
为
.
（i）求证：直线
恒过定点；
（ii）求
面积的取值范围.
18．（2026·黑龙江·一模）已知离心率相同的椭圆
与椭圆
分别是同一矩形（两组对边分别与对称轴平行）的内切椭圆和外接椭圆
(1)求
，
(2)设直线l 与椭圆
相交于
两点，与椭圆
相交于
两点，且A 在线段BD 上
（ⅰ）求证：
（ⅱ）若
，
恰为DE 的三等分点，求坐标原点O 到直线l 距离的取值范围
19．（2026·陕西商洛·一模）已知双曲线
上的一点到两条渐近线的距离
之积为
，离心率为2．
(1)求
的方程；
(2)记
的左、右焦点分别为
，点
是
上的一点，直线
与
交于另一点
，直线
与
交于另一点
，设
，试判断
是否为定值？若是，则求出该定值；
若不是，请说明理由；
(3)直线
与
交于
两点，点
在
上，且
，其中
为坐标原点，求
的取值范围．
D
DB
ODB
2
2
1
2
:
1(0
2)
4
x
y
C
b
b
2
2
2
2
:
1(
2)
4
x
y
C
a
a
a
b
1
C
,
A B
2
C
D
E
、
AD
BE
A
B
2
2
2
2
1
0
0
x
y
C
a
b
a
b
：
，
3
4
C
C
1
2
F
F
，
P
C
1
PF
C
M
2
PF
C
N
1
1
2
2
PF
F M PF
F N
，
2
y
x
m
C
A
B
，
G
C
2
OG
OA
tOB
O
t
