专题 08 概率统计与计数原理
5 大考点概览
考点01 计数原理
考点02 概率
考点03 随机变量及其分布
考点04 统计
考点05 成对数据的统计分析
1．（2026·四川遂宁·一模）二项式(
1
x
2 −2 x)
5
的展开式中，含x
−1项系数为（ ）
A．80
B．−80
C．120
D．−120
2．（2026·四川攀枝花·一模）二项式(x + 1
x
2)
6
的展开式中的常数项为（ ）
A．30
B．20
C．15
D．6
3．（2025·四川自贡·一模）如图，某设备内部从a 到b 的电路包含三个元件A，B，C，现该设备
从a 到b 的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C 的工作状态（通路/断路）共
有n 种不同情况，则n 为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
4．（2025·四川泸州·一模）要安排4 名学生到2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每
个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．12
B．14
C．16
D．20
5．（2025·四川成都·一模）某种产品的加工需要经过5 道不同工序，如果指定其中某2 道工序必须
相邻，那么加工顺序共有（ ）
A．96 种
B．72 种
C．48 种
D．36 种
6．（2025·四川成都·一模）（多选）已知在(x + 2
x)
n
的展开式中，第3 项的二项式系数与第5 项的
二项式系数相等，则下列说法正确的有（ ）
考点1
计数原理
A．n=6
B．第4 项的二项式系数最大
C．x
2的系数为60
D．展开式各项系数之和为64
7．（2025·四川德阳·一模）(
x
2 + 1
❑√x)
6
的展开式中，常数项为 （用数字作答）.
8．（2025·四川达州·一模）(2 x −1)
5的展开式中，x
2的系数是 ．
9．（2026·四川巴中·一模）一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4
列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有 种.
10．（2026·四川广安·一模）某中学对秋假期间申请留校的学生实行免费托管，现要从
“
”
5名教师
中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），同一人不能连续值班2天，则可能的安排方法有
种．
11．（2026·四川宜宾·一模）甲乙两人分别从标有数字1,2,3,4 ,⋯,13的13 张卡片中各抽取一张，
甲乙取得的卡片上的数字分别记为a，b，则满足2
a+3
b的个位数字为9 的有序数对(a,b)的个数为
.
1．（2025·四川成都·一模）三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，
现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（ ）
A．1
6
B．1
3
C．1
2
D．2
3
2．（2025·四川达州·一模）已知P( AB)>0, P( A)=0.8, P( B) A)=0.6, P( ABC )=0.24，则
P(C ) AB)=（ ）
A．0.4
B．0.5
C．0.6
D．0.7
3．（2026·四川巴中·一模）（多选）若 P( AB)= 1
3 , P( A)= 1
3 , P(B)= 1
2 ，则关于事件 A 、B
的关系正确的是（ ）
A．事件 A 与 B 互斥
B．事件 A 与 B 不互斥
C．事件 A 与 B 不相互独立
D．事件 A 与 B 相互独立
4．（2025·四川泸州·一模）（多选）记A ,B为事件A ,B的对立事件，已知P( A)=0.4 , P(B)=0.3，
下列结论正确的是（ ）
考点2
概率
A．若B⊆A，则P( AB)=0.3
B．若A与B相互独立，则P( A B)=0.42
C．若P(B| A)=0.2，则P( AB)=0.06
D．若P( A |B)=0.6，则P( A ∪B)=0.78
5．（2026·四川巴中·一模）某学校围棋社团组织高一与高二的同学比赛，双方各挑选业余一段、
业余二段、业余三段三位选手，段位越高水平越高．已知高二每个段位的选手都比高一相应段位的
选手强一些.比赛胜负仅由段位决定，段位高者获胜；若段位相同，则高二选手获胜.比赛共三局，
每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利．在比赛之
前，双方都不知道对方选手的出场顺序，则第一局比赛高一获胜的概率为 ，在一场比赛中高
二获胜的概率为 ．
6．（2026·四川雅安·一模）甲、乙两人分别从A，B，C，D，E 五个景点中随机选择一个景点游玩，
若这两人中至少有一人选择景点A，则他们选择的景点不相同的概率为 .
7．（2025·四川成都·一模）如图，已知正四面体D−ABC顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地
沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻
顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABC上的概率为
Pn.则P2= ；满足Pn−3
4 >
1
2025
的n的最大值为 .
8．（2025·四川眉山·一模）将五张标有1，2，3，4，5 的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，
每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为和谐序（例如
“
”
按1-3-5-4-2 取走卡片的顺序是和谐序），现依次不放回地随机抽取这
“
”
5 张卡片，则取卡顺序是
和谐序的概率为
“
”
.
1
2
3
4
5
9．（2026·四川攀枝花·一模）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6 分的初始积分，每
答对一题加1 分，每答错一题减1 分，已知小王每道题答对的概率为2
3
，答错的概率为1
3
，且每道
题答对与否互不影响．
(1)求小王答3 道题后积分小于6 的概率；
(2)设小王答4 道题后积分为X，求E (X )；
(3)若小王一直答题，直到积分为0 或12 时停止，记小王的积分为i（i=0，1，2，
，
…
12）时，最
终积分为12 的概率为Pi，则P0=0，P12=1．
（i）证明：数列{Pi+1−Pi)(i=0,1,2,⋯,11)为等比数列；
（
）求
ⅱ
P6的值．
10．（2026·四川广安·一模）甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局
比赛结果相互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为1
3
，规定先达到净胜3 局者获得训练赛胜利并结
束训练赛（某人的净胜局数=某人胜的局数−某人负的局数）．
(1)记经过n局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为pn，求p3和p5；
(2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X，记事件“X =k时，甲最终获得训练赛胜利”
发生的概率为qk
，求证：{qk +1−qk) (−3≤k ≤2,k ∈Z )是等比数列；
(3)求甲获得训练赛胜利的概率．
1．（2025·四川资阳·一模）某果园中某品种水果的单果质量m（单位：g）服从正态分布
N (70,σ
2)，且P(m<50)=0.2，若从该果园中随机选取400个该品种水果，则质量在50g~90g的
水果个数的期望为（ ）
A．120
B．160
C．180
D．240
2．（2025·四川自贡·一模）已知随机变量ξ ~ N (1,σ
2)，且P(ξ ≤−2)= P(ξ ≥a)，则当0< x<a时，
1
x +
4
a−x
的最小值为（ ）
考点3
随机变量及其分布
A．9
2
B．3
C．7
3
D．9
4
3．（2026·四川宜宾·一模）（多选）下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量X ~ B(4 , 3
4)
，则E (X )=3
B．已知随机变量ξ服从正态分布N (2,σ
2), P(1<ξ ≤2)=0.2，则P(ξ >3)=0.2
C．在做回归分析时，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区
域内，且宽度越窄表示回归效果越差
D．若随机事件A，B 满足：P( A)= 1
2 , P(B)= 2
3 , P( A ∪B)= 5
6
，则事件A与B相互独立
4．（2025·四川资阳·一模）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上得2 分，反面向上得−1分.若连续
抛掷2 次，记所得总分为随机变量X，则E( X )= .
5．（2026·四川巴中·一模）有6 个红色小球和4 个黑色小球(除颜色不同外，其余都相同)，将其中
2 个红色小球和3 个黑色小球放入一个不透明的箱子中，剩余的4 个红色小球和1 个黑色小球放在
箱外. 现从箱子中随机取出1 个小球，若取出红色小球，则把它放回箱子中；若取出黑色小球，则
该黑色小球不再放回，并将箱子外1 个红色小球放入箱中. 按此操作若干次， 直到将箱中的黑色
小球全部置换为红色小球为止.
(1)求在操作3 次后箱中黑色小球剩余0 个的概率；
(2)记在操作3 次后箱中黑色小球的个数为随机变量X ，求X的分布列及数学期望；
(3)在第1 次取到红色小球的条件下，求再操作4 次恰好完成置换的概率.
6．（2026·四川巴中·一模）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派
一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成
功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别
为p1、p2、p3，假定p1、p2、p3互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．
(1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若p1= 4
5
，p2= 3
4
，p3= 2
3
，求该小组比赛胜利的概率；
(2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X的分布，并求X的期望E ( X )；
(3)已知1> p1> p2> p3，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、
丙谁先派出．
7．（2025·四川自贡·一模）从甲、乙两支篮球队各随机抽取10 名队员进行定点投篮测试，甲队有
8 人投中，乙队有7 人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率．
(1)估计甲队队员投中的概率p；
(2)从甲、乙两队中各随机抽取1 名队员依次定点投篮一次，设X 为这2 名队员中投中的人数，估计
X 的数学期望；
(3)设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为p1，p2，若甲、乙两队队员掌握了技巧则
分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，比较p1与p2的大
小．
8．（2025·四川德阳·一模）大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大
学有A，B，C三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1 天等可能性的随机在某
个餐厅就餐，若他在A餐厅就餐，则下一天在A，B，C三个餐厅就餐的概率分别为2
5
，3
10
，3
10
；
若他在B餐厅就餐，则下一天在A，B，C三个餐厅就餐的概率分别为1
2
，1
5
，3
10
；若他在C餐厅
就餐，则他下一天到A，B，C三个餐厅就餐的概率分别为3
5
，3
10
，1
10
.
(1)求小丁同学第2 天在B餐厅就餐的概率；
(2)求小丁同学第n(n∈N
*)天在B餐厅就餐的概率；
(3)若小丁同学前n(n∈N
*)天到B餐厅就餐的天数为X，求数学期望E ( X ).
（若小丁第i(i=1,2,⋯,n)天到B餐厅就餐的天数为Xi，则E (X )= E(∑
i=1
n
Xi)=∑
i=1
n
E(Xi) ）
9．（2026·四川宜宾·一模）2025 年政府工作报告明确提出持续推进人工智能
“
+”行动.上海某人工智
能实验室的多模态大模型intern−S1−20251122在某次数学测评中表现特别突出，所有测评试
题能得1 分的可能性为3
4
，能得2 分的可能性为1
4
，假设每道试题得分情况相互独立.
(1)从所有测评试题中随机抽取4 道试题，记这4 道题得分总数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从所有测评试题中随机抽取n 道试题(n∈N
*)，记这n 道题得分总数为(n+1)的概率为Pn
，求
P1+ P2+ P3+⋯+ Pn的值；
(3)已知王老师班有20 名学生分别用intern−S1−20251122模型解答该数学测评中最后一题.若
王老师按照这20 人的总分概率最大为依据，一分奖励一朵小红花，请问王老师应该提前准备多少
朵小红花比较合理？
10．（2025·四川成都·一模）口袋中有2 个白球和2 个红球，这些球除颜色外完全相同.现有两种游
戏方案：
游戏一：从袋中有放回地摸球2 次，记摸到白球的次数为X；
游戏二：从袋中无放回地摸球2 次，记摸到白球的次数为Y .两种游戏的结果相互独立.
(1)分别求两种游戏中第二次摸到白球的概率；
(2)求P(X =Y )；
(3)对于随机变量ξ (ξ =0,1,2,⋯,n)，定义信息熵H (ξ)=−∑
i=0
n
P(ξ =i)log2 P(ξ =i)，它量化了一个
随机系统所包含的不确定性程度，熵值越大，表明该系统的不确定性越高，比较
“
”
“
”
H (X )与H (Y )
的大小，并判断哪种游戏的不确定性更高
“
”
.
11．（2025·四川泸州·一模）甲同学进行定点投篮训练，假设甲同学每次投篮命中的概率为2
3
，且
各次投篮互不影响，设Pi（i≥2，i为整数）表示甲同学投篮i次恰好有2 次命中的概率.
(1)求P4；
(2)投篮前约定：甲同学最多投篮N次，当出现两次命中时就不再投篮，投篮N次后即使没有出现
两次命中也不再投篮，用ξ表示甲同学在约定条件下投篮的次数.
（i）若N =6，求P(ξ =6)；
（ii）若E(ξ)≥2∑
i=2
N +2
Pi
，求N的最小值.
1．（2025·四川德阳·一模）随着2025 年央视中秋晚会选址德阳以及四川省城市足球联赛（川超）
如火如荼的开展，为德阳带来了大量游客.10 月12 日，德阳体育公园迎来首个川超主场，现场人声
鼎沸，座无虚席.某球迷团队共10 人（其中男7 人，女3 人）来现场观赛，已知男球迷消费平均数
和方差都是2；女球迷消费平均数为3，方差为1，则该团队总体10 人消费的平均数和方差分别是
（ ）（平均数单位均为千元，方差单位均为(千元)2）
A．2.3，1.91
B．2.3，2.27
C．1.7，1.91
D．1.7，2.27
2．（2025·四川成都·一模）某校高三年级1000 名学生参加体育健康标准测试，从中随机抽取部分
学生的成绩（规定满分为100 分），得到如图频率分布直方图，则估计该次考试成绩在区间
[90,100)内的学生人数为（ ）
考点4
统计
A．100
B．200
C．300
D．400
3．（2026·四川攀枝花·一模）某校300 名学生参加国学知识竞赛，随机抽取了40 名学生的竞赛成
绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．a 的值为0.025
B．这40 名学生竞赛成绩的平均数为75
C．这40 名学生竞赛成绩的众数大于其平均数
D．这40 名学生竞赛成绩的第80 百分位数约为86.7
4．（2026·四川巴中·一模）水稻是世界最重要的农作物之一，也是我国60%以上人口的主粮．以
袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的第五大发明，育种
“
”
技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡
献．某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6 年的产量（单位：kg）如下：
品种
第1 年
第2 年
第3 年
第4 年
第5 年
第6 年
甲
900
920
900
850
910
920
乙
880
860
950
830
990
890
根据以上数据，下面说法正确的是（ ）．
A．甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大
B．甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小
C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等
D．甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定
5．（2025·四川成都·一模）三次产业增加值占国内生产总值的比重是衡量一个国家或地区经济发
展阶段、产业结构优化程度以及未来经济发展潜力的重要指标、其中第一产业包括农业、林业、渔
业等；第二产业涵盖制造业、建筑业等；第三产业则包括服务业、金融业、信息技术等.如图为我
国2020-2024 年三次产业增加值占国内生产总值比重的等高堆积条形图，则（ ）
A．2020-2024 年第一产业增加值占国内生产总值比重逐年递增
B．2020-2024 年第二产业增加值占国内生产总值比重的中位数为36.9%
C．2020-2024 年第三产业增加值占国内生产总值比重的平均数为55.1%
D．2020-2024 年三次产业中增加值占国内生产总值比重极差最大的是第二产业
6．（2025·四川自贡·一模）（多选）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某
项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于
c 的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率即将患病者判为阴性的概率；误诊率即将未患病者判定为
阳性的概率，以下说法正确的是（ ）
A．某人的医学指标大于临界值c，那么他可能是患病者
B．在患病者中，其指标的中位数大于平均数
C．在未患病者中，指标的第25 百分位数为76.5
D．指标临界值c 越高，漏诊率越低，误诊率越高
1．（2026·四川宜宾·一模）对具有线性相关关系的变量x，y 有一组观测数据(xi, yi)(i=1,2,⋯,8)，
其回归直线方程是^y = ^b x + 1
4
，且x1+ x2+ x3+⋯+ x8=2( y1+ y2+ y3+⋯+ y8)=8，则实数^b的值
是（ ）
A．1
8
B．1
4
C．1
2
D．1
2．（2025·四川成都·一模）一组样本数据( xi, yt),i∈{1,2,3,⋯,100}.其中xi>1895，
∑
i=1
100
xi=2×10
5，∑
i=1
100
yi=970，求得其经验回归方程为：^y =−0.02 x +^a1
，残差为^ei
.对样本数据进
行处理：x
′
i=ln( xi−1895)，得到新的数据( x
′
i, yi)，求得其经验回归方程为：^y =−0.42 x + ^a2
，
其残差为^μi
. ^ei
，^μi
分布如图所示，且^e∼N (0,σ1
2),^μ∼N (0,σ 2
2)，则下列说法错误的是（ ）
A．样本(xi, yi)负相关
B．^a1= 49.7
C．σ1
2<σ 2
2
D．处理后的决定系数变大
3．（2026·四川广安·一模）（多选）为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5 组样本数据（见
下表）：
x
1
2
3
4
5
y
0.3
0.8
1
1.2
1.7
假设经验回归方程为^y = ^b x +0.04，则（ ）
考点5
成对数据的统计分析
（参考公式：相关系数为r =
∑
i=1
n
(xi−x)( yi−y)
❑√∑
i=1
n
(xi−x)
2∑
i=1
n
( yi−y)
2
）
A．^b=0.32
B．当x = 4时，对应的残差为0.08
C．样本数据y的第40 百分位数为0.8
D．去掉点(3,1)后，x与y的样本相关系数r不变
4．（2025·四川德阳·一模）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．数据0，1，2，3，5 的60 %分位数是2
B．线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
C．经验回归直线一定过点(x , y)
D．残差散点图所在的带状区域越窄，则两个变量的相关性越弱
5．（2025·四川资阳·一模）（多选）某车间为了解加工的零件数x（单位：个）与加工时间y（单
位：min）的关系，收集到5 组观测数据（如下表所示）：
零件数x/个
10
20
30
40
50
加工时间
y/min
67
74
80
86
93
假设加工时间y与加工的零件数x满足的经验回归方程为^y = ^b x +60.8，则（ ）
A．^b=0.64
B．当x =60时，y的预测值为102
C．加工时间y的5 个观测数据的60 %分位数为80
D．当加工的零件数x =50时，加工时间y的残差为0.2
6．（2025·四川达州·一模）某景区为了更好的开发旅游资源，试产了一系列的文创产品进行销售，
对今年前几月的销售额统计如下：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
销售额
y万元
3
4
8
9
12
12
15
17
(1)根据表中数据建立月份x与销售额y的经验回归方程^y = ^b x + ^a；
(2)为了更好的规划文创产品，从这8个月中随机抽取2个月对销售情况进行分析，求抽到的月份数
据含有残差（观测值减去预测值称为残差）为负的概率．
参考公式：{
^b=
∑
i=1
n
xi yi−n x y
∑
i=1
n
xi
2−n x
2
^a= y −^b x )
．参考数据：∑
i=1
n
xi yi= 444，∑
i=1
8
xi
2=204．
7．（2025·四川成都·一模）某校举办校刊义卖活动，学生在义卖处每领取一本校刊，便自觉向收
银箱中支付至少两元钱.现统计了连续5 天的售出校刊数量和收益情况，如下表：
售出校刊数量x（单位：箱）
6
5
7
5
7
收益y（单位：元）
240
220
260
230
270
(1)求收益y 关于售出数量x 的回归直线方程，并计算售出8 箱校刊时的预计收益；
(2)学校决定将收益奖励在科技创新大赛中获奖的学生，获奖学生每人奖励100 元.已知甲、乙两名
学生是否获奖是相互独立的，甲获奖的概率为2
3
，乙获奖的概率为1
2
，求甲、乙两名学生获奖总金
额X 的分布列及数学期望.附：^b=
∑
i=1
n
xi yi−n x y
∑
i=1
n
xi
2−n x
2
，^a= y −^b x.
8．（2026·四川雅安·一模）某高校为制定针对性的阅读推广方案，从全校随机抽取400 名大学生
开展纸质书阅读偏好专项调查，收集到的性别与专业交叉数据如下表（单位：人）：
“
”
专业类型
阅读偏好
合计
喜欢阅读纸质书
不喜欢阅读纸质书
文科
150
120
270
理工科
50
80
130
合计
200
200
400
(1)依据α=0.005的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢阅读纸质书与专业类型有关？
“
”
“
”
(2)从样本中喜欢阅读纸质书的大学生里，按专业类型用分层抽样抽取
“
”
8 人组建纸质书推广志愿
“
队，再从这
”
8 人中随机抽取3 人负责校园书展策划，记最后抽取的3 人中，选中的文科学生人数
为X，求X的分布列与数学期望.
参考公式：χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c +d.
参考数据：
α
0.05
0.01
0.005
0.001
χ α
2
3.841
6.635
7.879
10.828
9．（2026·四川遂宁·一模）冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻
肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，
尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量
与年份的统计表：
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码x
1
2
3
4
5
销量y（万
台）
2
3.5
2.5
8
9
(1)求这种品牌制氧机的销量y关于年份代码x的线性回归方程，并预测2027 年这种品牌制氧机的销
量；
(2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活
动，随机抽取了男生和女生各100 名，得到如下2×2列联表：
学
生
制氧机知识
合计
了解
不了解
男
生
20
女
生
40
合
计
（
）根据已知条件，填写
ⅰ
2×2列联表；
（
）根据小概率值
ⅱ
α =0.005的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否
有关联；
(3)从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10 人，再从这10 人中
随机抽取4 人做某项调查，记这4 人中对制氧机知识不了解的人数为X，试求X的分布列和数学期
望.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
^b=
∑
i=1
n
(xi−x)( yi−y)
∑
i=1
n
(xi−x)
2
,^a= y −^b x , χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d)(a+c)(b+d )
α
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
χα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
10．（2025·四川资阳·一模）某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线
的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500 件进行检测，检测结果（合格或
“
”
优良）如下表：
“
”
生产线
检测结果
合计
合格
优良
甲生产线
20
180
200
乙生产线
60
240
300
合计
80
420
500
(1)根据小概率值α =0.01的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？
(2)用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产
线随机抽取1 件产品.
（i）求抽出的产品是优良品的概率；
（ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率.
附：χ
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )
；
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
