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6.3 空间几何中的垂直（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025 湖北）已知直四棱柱
的底面ABCD 是正方形，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．平面
平面
B．平面
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
【答案】D
【解析】如下图所示，直四棱柱
的底面ABCD 是正方形，结合直棱柱的结构特征，
易知平面
平面
，平面
平面
，平面
平面
，故A，B，C 成立；
当且仅当直四棱柱为正方体时，平面
平面
，D 不一定成立.
故选：D
2．（2025 贵州）在四边形
中，
，将
折起，使平面
平面
，构成三棱锥
，如图，则在三棱锥
中，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．平面
平面
D．平面
平面
【答案】D
【解析】对于B，如图①，因为
，
所以
，
又因为
，
，
所以
，
所以
，
所以
，故B 正确；
对于A，由B 选项知
，
又因为平面
平面
，
平面
， 平面
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，
所以
，故A 正确；
对于C，由选项A 知，
平面
，
因为
平面
，
所以平面
平面
，故C 正确;
对于D，如图②过点A 作
，垂足为
，
因为平面
平面
，
平面
， 平面
平面
，
所以
平面
，
显然
平面
，所以平面
与平面
不垂直，故D 错误.
故选：D.
3．（2024·四川雅安·三模）如图，在正方体
中，已知点
为底面
的中心，
为棱
的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．
平面
B．
平面
C．异面直线
与
所成的角等于
D．直线
与平面
所成的角等于
【答案】D
【解析】对于A，连接
，
，交
于
，则四边形
为平行四边形，
所以
，因为
平面
，
平面
，所以
平面
，故A 正确；
对于B，连接
，
为底面
的中心，
为棱
的中点，
，
由于
平面
，
平面
，所以
，
又
,
且都在面
内，则
平面
，
有
平面
，故
，同理可得
，
再由
平面
,
平面
，则
平面
，B 正确；
对于C，
，
为异面直线
与
所成的角所成的角，
△
为等边三角形，
，故C 正确；
对于D，因为
平面
，
为直线
与平面
所成的角，
由于
，故
不等于
，故D 不正确
故选：D
4．（2025 黑龙江鹤岗·期末）如图，在正四棱锥
中，
分别是
的中点，当点
在线
段
上运动时，下列四个结论：
①
；②
；③
平面
；④
平面
.
其中恒成立的为（ ）
A．①③
B．③④
C．①②
D．②③④
【答案】A
【解析】如图所示，连接
，
因为
分别是
的中点，所以
，
又因为
，且
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，
平面
，所以③恒成立；
设
与
交于点
，则
为底面正方形
的中心，且
，
由正四棱锥
，可得
平面
，
因为
平面
，所以
，
又因为
，且
平面
，所以
平面
，
所以
平面
，因为
平面
，所以
，所以①恒成立；
对于②④对于线段MN 上的任意一点P 不一定成立.
故选：A.
5．（2024·山东·模拟预测）在直四棱柱
中，
，
，点
在侧面
内，且
，则点
轨迹的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图所示，过点
作
，过点
作
，
因为四棱柱
是直四棱柱，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
又因为
，
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为直线
平面
，
所以
，
因为
，
，
所以
，
又因为
，
所以
，
因为点
在侧面
内，
所以在平面直角坐标系中来研究点
轨迹的长度，如图所示：
点
的运动轨迹为以点
为圆心、半径为2 的圆在正方形
内部的弧
，
显然
，
，所以
，
所以
.
故选：C.
6．（2025·陕西 ）在正方体
中，E，F 分别是
，
的中点，则（ ）
A．
B．
平面BCE
C．
D．
平面
【答案】B
【解析】对于A，
设
为
中点，则
，但
相交，所以
异面，故A 错误；
对于B，设
的中点为H，则
，
，
因为
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，
又因为
平面
，
故平面
平面
，
又
平面
，故
平面BCE，选项B 正确．
对于C，在
中，
，
，故EF 与
不可能垂直（否则
垂直平分
，会得到
，这与
矛盾），C 选项错误．
对于D，
易知
平面
，又
，故D 选项错误．
故选：B.
7．（2024·四川眉山·三模）如图，该组合体由一个正四棱柱
和一个正四棱锥
组合
而成，已知
，则（ ）
A．
平面
B．
平面
C．
平面
D．
平面
【答案】C
【解析】对A、B：如图，因为
，
在平面
中有
，
所以
平面
不平行于平面
，故A 错误；
同理
不平行于平面
，故B 错误；
对C、D：
，
，
有
，所以
，
又
，
,
,
平面
，
所以
平面
，又因为
平面
，
所以
，又
，
、
平面
，
所以
平面
，故C 正确；
又因为
，且过一点有且仅有一条直线与平面垂直，
所以
不垂直于平面
，故D 错误.
故选：C.
8．（2025 高三·全国·专题练习）如图，四面体
的棱长均相等，D，F 分别为
的中点，点E 满足
，则（ ）
A．
⊥
B．
C．
平面
D．平面
平面
【答案】B
【解析】A 选项，假设
⊥
，根据等边三角形三线合一可知
，
又
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，则
．
在
中，点
分别为
的中点，
所以
，所以
，与题矛盾，A 错误；
B 选项，由三线合一知
，
，又
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，B 正确；
C 选项，假设
平面
，
由A 项分析可知
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
，
平面
，所以平面
平面
，
又
平面
，则
平面
，即
平面
，显然不成立，C 错误；
D 选项，由B 项分析知
平面
，又
平面
，所以平面
平面
，
又平面
平面
，所以平面
与平面
不垂直，D 错误．
故选：B
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025·吉林长春·模拟预测）设m，n 为直线，α，β 为平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AC
【解析】若
，则
，所以A 选项正确；
若
，则
或m 与n 相交或异面，所以B 选项错误；
若
，则根据线面垂直与线面平行的性质定理可得
，所以C 选项正确；
若
，则
或
或
或m 与α 成
的任意角，所以D 选项错误．
故选：AC．
10．（2024·浙江·模拟预测）如图，在三棱锥
的平面展开图中，
，
分别是
，
的中点，正方
形
的边长为2，则在三棱锥
中（ ）
A．
的面积为
B．
C．平面
平面
D．三棱锥
的体积为
【答案】ABD
【解析】
对于A，易知
，故A 正确；
对于B，连接
交
于G，根据正方形的性质易知
，
所以有
，
又
平面
，所以
平面
，
平面
，所以
，故B 正确；
对于C，由上可知
为平面
与平面
的夹角，
易知
，则
不垂直，故C 错误；
对于D，由题意可知
两两垂直，
则
，故D 正确.
故选：ABD
11．（2025·安徽合肥·模拟预测）在三棱锥
中，
、
分别为
、
的中点，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
平面
C．平面
平面
D．直线
与
所成的角为
【答案】AB
【解析】如下图所示，
设
的外接圆圆心为
，由
知
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，
，
，所以
，所以
，
因为
，故
，
因为
，
、
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，故A 正确；
对于B 选项，因为
、
分别为
、
的中点，则
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，故B 正确；
对于C 选项，若平面
平面
，且平面
平面
，
过点
在平面
内作
，垂足为点
，
由面面垂直的性质定理可得
平面
，
因为过点
作平面
的垂线有且只有一条，且
平面
，矛盾，故C 错误；
对于D 选项，在
中，
，
，
由余弦定理可得
，
因为
，所以
，
由正弦定理可得
，则
，
所以
，所以四边形
为菱形，所以
，
所以直线
与
的夹角等于
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，
，
，则
，故
，
因此，直线
与
所成的角为
，故D 错误.
故选：AB.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
13．（2025·辽宁）在四棱锥P﹣ABCD 中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD 为梯形，AB∥CD，AD⊥DC．
（1）AB∥平面PCD；
（2）AD⊥平面PCD；
（3）M 是棱PA 的中点，棱BC 上存在一点F，使MF∥PC．
正确命题的序号为 ．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）∵
，
平面
，
平面
，∴AB∥平面PCD，正确；
（2）∵平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD
平面PCD
，
，
平面
，∴AD⊥平面PCD，
正确；
（3）假设棱BC 上存在一点F，使MF∥PC．则
共面，而
，∴
确定唯一的平面
即平
面
，于是
平面
，但
平面
，所以
，从而
与
重合，这与MF∥PC 矛
盾，假设不成立，不存在，（3）错误．
故答案为：（1）（2）．
13．（2025·甘肃白银·三模）如图所示，在三棱锥
中，平面
平面
，若
为线段
上一动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】
因为
，
所以
，
，
记
的中点为
，连接
，因为
，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
由
，得
，所以
为等边三角形，
把
绕
翻折，使得平面
与平面
在同一平面上，
连接
交
于点
，则
，如图所示，
则
的最小值为平面
内
的长度，所以
，
所以
，即
的最小值为
．
故答案为：
14．（2025 北京朝阳·期中）如图，在棱长均为2 的正三棱柱
中，点
是侧棱
的中点，点
、
分别是侧面
、底面
内的动点，且
平面
，
平面
，则点
的轨迹的长度为 ．
【答案】
【解析】
是侧面
内的动点，且
平面
，
∴
点的轨迹是过
点与平面
平行的平面与侧面
的交线，即：连接侧棱
，
中点的线段，
是底面
内的动点，
面
，
∴
的轨迹是过与平面
垂直的平面与面
相交的线段
，
过
作
交
于
，连接
，若
交面
于
，连接
，易知
共面，且
面
，即∠EDQ 为M-BC-A 的平面角，如上图，
∴
，而
，而
到
的距离
，可知：
，故
，
∵
，即
，而
，
∴
，即
所在线段
过
的重心且与
平行，
由正三棱柱
中棱长均为2，
故线段
的长为：
，
故答案为：
.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，平面
平面
，底面
为直角梯形，
，
，
与
相交于点
，点
满足
，
且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求
的长度.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】（1）因为底面
为直角梯形，且
，所以
，所以，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
过点
可以作
于点
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
.
（2）由（1）可知
平面
，
平面
，所以
，
在梯形
中，由
，得
，
所以
，
所以
，
所以
，
又因为
，
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
所以
，
可得
，
又因为
，所以
，即
.
16．（2025·全国·二模）如图，四棱锥
的各个顶点均在球
的表面上，且
平面
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)求四棱锥
体积的最大值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题，四边形
在球
的一个圆面的圆周上，故
，
又
，故
，故
，
由
平面
，
平面
,得
，
又
，
平面
，
平面
，
故
平面
，
又
平面
，故平面
平面
.
（2）如图：
作
，由平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
可得
平面
，
记四棱锥
的体积为
，
则
，
而
，
由
平面
，则
，故
，
于是
，当且仅当
时，取等号，
由
，得
，
，
由
，得
，
故
，当且仅当
取等号，于是
，
故
.
故四棱锥
体积的最大值为
.
17．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在平面四边形
中，
，
，
，
，
，
为
的中点，将
沿
翻折至
的位置，连接
，
，使
与平面
所成
角的正弦值为
．
(1)证明：
平面
；
(2)求
的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）连接
，
因为
，
，所以
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，所以
，
则
，所以
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，所以
，
则
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
，
又
，
，
平面
，
所以
平面
．
（2）在直线
上取一点
，使得
，
由（1）知
平面
，又
平面
，
所以
，
所以
，
，
两两互相垂直，
以
为坐标原点，以
，
，
所在直线分别为
，
，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，
则
，
，
，
，
所以
，
，
．
设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
．
设
与平面
所成角为
，
则
，
整理得
，即
，
解得
或
．
又
，所以
，则
，则
，故
．
18．（2025·天津河西·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上异于点
P，
，平面ABE 与棱PD 交于点
(1)求证：
；
(2)若
，求证：
平面
平面
若
，
，直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为
，求点C 到平面ABE 的距
离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
证明见解析；
【解析】（1）
证明：因为矩形
，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，平面
平面
，
所以
（2）
证明：因为
，
，所以
，
因为矩形
，所以
，
又
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，
所以平面
平面
取
的中点O，连接
因为
，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
所以
就是直线
与平面
所成角，即
，
在
中，
，解得
，
以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
由
，知
，
所以
，
，
设平面ABE 的法向量为
，则
，
取
，则
，
，所以
，
而
，
所以点C 到平面
的距离为
19．（2025·浙江杭州·三模）如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，
．
(1)求证：
平面PAD；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC 与平面PAD 所成角的大小．
条件①：
；
条件②：
平面PAD．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为
平面ABCD，AD，
平面ABCD，
所以
，
.
在
中，
，所以
．
因为
，
，
，所以
，即
．
又因为
平面PAD，
，所以
平面PAD．
（2）选条件①
在平面ABCD 上过A 点作
交BC 于E 点，
根据（1）知
，
，
，建立以A 为原点，
向量
，
，
方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系．
连接AC，易知
，因为
，
，
在
中，
，
所以
，因为
，所以
，易证四边形AECD 为正方形．
，
，
，
，
，
，
，
设平面PBC 的法向量为
，则
即
，解得
，
，令
，则
.
由（1）知平面PAD 的法向量为
，
．所以，平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的大小为
．
选条件②
因为
平面PAD，平面
平面
，
平面ABCD，所以
．
在平面ABCD 上过A 点作
交BC 于E 点，
易证四边形AECD 为正方形，
根据（1）知
，
，
，建立以A 为原点，
向量
，
，
方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系．
则
，
，
，
，
，
，
，
设平面PBC 的法向量为
，则
，
即
，解得
，
，令
，则
，
由（1）知平面PAD 的法向量为
，
．
所以，平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的大小为
．
