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6.3 空间几何体空间角与空间距离（精讲）
考向一 线线角向量法
【例1-1】（2025 高三·全国·专题练习）在正四棱台
中，
，
，且该正四棱台的体积
为28，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-2】（2025·江西景德镇·模拟预测）在正方体
中，
为线段
上的动点，则直线
与
所成角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（2025·四川巴中·二模）已知三棱柱
的各条棱长相等，且
，
则异面直线AB 与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）直三棱柱
中，
为
边中点，
则异面直线
与
所成角的余弦值为 .
2．（2025·福建三明·模拟预测）在直三棱柱
中，
，
，
，
分别是
，
的中点，则直线
与直线
所成角的余弦值（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱
的各条棱长相等，且
，则异面直线
与
所成角为 .
考向二 线面角向量法
【例2】（2025·北京·模拟预测）已知三棱锥
，底面
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，平面
平面
，
是棱
的中点，
在棱
上，满足
平面
.
(1)求
的值；
(2)若
，
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【一隅三反】
1．（2025·河北秦皇岛·二模）如图①，已知正方形
的边长为4，
分别为
的中点，沿
将四边
形
折起，如图②，使二面角
的大小为60°，
在线段
上，直线
与直线
的交点为
．
(1)若
为
的中点，证明：
平面
；
(2)当
时，求直线
与平面
所成角的余弦值．
2．（2025·河北·模拟预测）如图，在棱长为3 的正方体
中，E，F 分别为棱
，
的中点，点
G 满足
．
(1)证明：
平面
；
(2)求直线DG 与平面
所成角的正弦值．
3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在中国古代数学中，将底面为矩形并有一条棱垂直于底面的四棱锥称为“阳
马”.如图是一个底面
为正方形的阳马，其中
底面
，且
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
考向三 二面角向量法
【例3】（2025·广东东莞·模拟预测）在四棱锥
中，
，
，
，
，
.
(1)证明：二面角
为
；
(2)求平面
与平面
所成的二面角的余弦值.
【一隅三反】
1．（2025·湖北·三模）如图，已知正三棱台
的体积为
，
．
(1)求棱台的高；
(2)求二面角
的正弦值．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
为
中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
3．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在正三棱柱
中，
为
的中点，点
在棱
上，
.
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
考向四 线线角的几何法
【例4】（2025·辽宁·三模）在正四棱柱
中，
分别是
的中点，则直
线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知圆柱的轴截面
为正方形，
为下底面圆弧
的中点，点
在上底面
圆弧
上且与
在轴截面同侧，若
，则异面直线
与
所成角为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江苏南京·三模）在直三棱柱
中，所有棱长都相等，
，
，
分别是棱
，
，
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·甘肃定西·模拟预测）在直三棱柱
中，
是棱
的中点，
则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考向五 线面角的几何法
【例5-1】（2025·河北秦皇岛·三模）已知圆台的上下底面半径分别是
､
1 和2，且该圆台的表面积为
，则圆台的
母线与底面所成的角的正切值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知三棱锥
的体积为1，
是边长为2 的正三角形，且
，
则直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【一隅三反】
1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在正三棱台
中,
分别为棱
的中点，
，四边形
为菱形，则
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·全国·模拟预测）已知三棱锥
的底面
是正三角形，
平面
，
，
，
，
四点
都在以
为球心的球面上，
，则
与平面
所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，
平面
.
(1)求证:直线
；
(2)求直线
与平面
所成角的正切值
考向六 二面角的几何法
【例6-1】（23-24 湖南）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，且
，
，等边三角
形PCD 所在的平面垂直于底面ABCD，
．
(1)求证：
面
．
(2)若直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为
，求二面角P-AB-D 的余弦值．
【例6-2】（2025·甘肃白银·二模）如图，在直三棱柱
中，
，
，E 为
的中点，平面ABE 与直线
交于点G．
(1)求四棱锥
的体积；
(2)求平面ABEG 与平面CEG 所成角的正弦值．
【一隅三反】
1．（2025·江西新余·模拟预测）在三棱锥
中，
且
，底面
是等边三角形，平面
平面
，若
，则平面
与平面
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥
中，
，若三棱锥
的外接球表面积为
，则二面角
的大小为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
3．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，已知四棱锥
的底面是直角梯形，
，
，
，且
(1)证明：平面
平面
；
(2)求二面角
所成平面角的余弦值．
考向七 空间距离
【例7-1】（2025·上海徐汇·二模）已知
平面
，
是直角三角形，且
，
，则点P
到直线BC 的距离是 .
【例7-2】（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱
中，△ABC 是正三角形，D 为AC 的中点，点E 在棱
上，且
，若
，
，则点
到平面BDE 的距离为 .
【一隅三反】
1．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧棱
底面
是
的中点，点
是棱
上靠近
的四等分点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到直线
的距离.
2．（2025·北京·模拟预测）如图，在三棱柱
中，
，点D,E 分别在棱
和棱
上，且
为棱
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)若
平面ABC，
（i）求二面角
的余弦值：
（ii）点
到平面
的距离．
3．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在四棱锥
中，四边形
是菱形，
，
，三
角形
是正三角形，M 是棱
的中点.
(1)证明：
；
(2)若二面角
为
，求点M 到平面
的距离.
考向八 动点问题
【例8】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形
中，
，将
沿
折起，使点D 到达点P 位置，且
，连接
得三棱锥
，如图2．
(1)证明：平面
平面
；
(2)在线段
上是否存在点M，使平面
与平面
的夹角的余弦值为
，若存在，求出
的值，若不存
在，请说明理由．
【一隅三反】
1．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是矩形，
平面
，
为
边CD 的中点，且
.
(1)求线段
的长；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)在线段
上（不含端点）是否存在点
，使直线
与平面
所成角的正弦值为
，若存在，求线段
的长；若不存在，请说明理由.
2．（23-24 云南）已知平行四边形
如图甲，
，
，沿
将
折起，使点
到
达点
位置，且
，连接
得三棱锥
，如图乙.
(1)证明：平面
平面
；
(2)在线段
上是否存在点
，使二面角
的余弦值为
，若存在，求出
的值，若不存在，请说
明理由.
3．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
，
，四边形
是菱形，
，
是棱
上的动点，且
.
(1)证明：
平面
.
(2)是否存在实数
，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值是
？若存在，求出
的值；若不存在，
请说明理由.
考向九 空间几何体外接球
【例9-1】（2025·陕西延安·模拟预测）如图，三棱锥
中，
底面
，
是
的中点，
是
的
中点，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
，
，且二面角
的正弦值为
，求三棱锥
外接球的表面积．
【例9-2】（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，底面
是
等边三角形，侧面
是等腰直角三角形，
，
，点
是
的中点.
(1)证明：
；
(2)设点
，
，
，
均在球
的球面上.
①证明：点O 在平面
内；
②求直线
与平面
所成角的正弦值.
【一隅三反】
1．（23-24 高二下·江西赣州·期中）如图，在直三棱柱
中，
，
，
为
的
中点.
(1)证明：
平面
.
(2)若以
为直径的球的表面积为
，求二面角
的余弦值.
2．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥
中，
底面
，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，且点
，
，
，
均在球
的球面上．
（i）证明：点
在平面
内；
（ⅱ）求直线
与
所成角的余弦值．
