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圆锥曲线的综合应用
题型归纳
题型一：最值问题
（24-25 高三上·福建福州·月考）已知椭圆
经过点
，右焦点为
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线与
交于
两点，且直线
与
的斜率互为相反数，求
的中点
与
的最小距离．
2
1．（24-25 高三上·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线
：
的一个焦点与抛物线
：
的焦点
重合，且
被
的准线截得的弦长为
.
(1)求
的方程；
(2)若过
的直线与
的上支交于
，
两点，设
为坐标原点，求
的取值范围.
2．（24-25 高三上·四川成都·期中）已知抛物线
：
经过点
，直线：
与
的交点为A，B，且直线
与
倾斜角互补.
(1)求抛物线在点
处的切线方程；
(2)求
的值；
(3)若
，求
面积的最大值.
题型二：参数范围问题
（23-24 高三下·全国·模拟预测）已知椭圆
.
(1)若椭圆
的左右焦点分别为
为
的上顶点，求
的周长；
(2)设过定点
的直线与椭圆
交于不同的两点
，且
为锐角（其中
为坐标原点），求
直线的斜率
的取值范围.
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1．（23-24 高三下·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系
中，已知动点
到定点
的距离和它到
定直线
的距离之比为
，记
的轨迹为曲线
.
(1)求
的方程；
(2)已知点
，不过
的直线与
交于
，
两点，直线
，
，
的斜率依次成等比数列，求
到距离的取值范围.
2．（24-25 高三上·湖南·开学考试）已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，
且
.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)抛物线的准线与
轴交于点
，过
的直线交抛物线
于
两点，且
，点
为
线段
的垂直平分线与
轴的交点，求点
的横坐标
的取值范围.
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题型三：定值问题
（24-25 高三上·贵州毕节·期中）已知椭圆
的焦距为4，
为椭圆
上一点.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设
为椭圆
的左焦点，直线
，
为椭圆上任意一点，点
到
的距离为
，点
到的距离为
，若
为定值，求此定值及的值.
1．（24-25 高三上·湖北武汉·开学考试）已知曲线
上的点到点
的距离比到直线
的距离小
为坐标原点.直线过定点
.
(1)直线与曲线
仅有一个公共点，求直线的方程；
(2)曲线
与直线交于
两点，试分别判断直线
的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理
由.
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2．（24-25 高三上·甘肃张掖·模拟预测）已知双曲线
的焦距为8，右焦点为
，
直线
与双曲线在一､三象限的交点分别为
，且
．
(1)求双曲线
的方程及
的面积；
(2)直线
与双曲线
交于
两点，若直线
与
轴分别交于点
，且
．
证明：
为定值．
题型四：过定点问题
（24-25 高三上·河南驻马店·开学考试）已知动圆P 过点
，并且与圆
外切，设动
圆的圆心P 的轨迹为C.
(1)直线
与圆
相切于点Q，求
的值；
(2)求曲线C 的方程；
(3)过点
的直线与曲线C 交于E，F 两点，设直线
，点
，直线
交于点M，证明直线
经过定点，并求出该定点的坐标.
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1．（24-25 高三上·湖北襄阳·月考）已知抛物线
与双曲线
的渐近线在第一象限
的交点为Q，且Q 点的横坐标为3．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)过点
的直线l 与抛物线E 相交于
两点，B 关于x 轴的对称点为
，求证：直线
必过定点．
2．（24-25 高三上·天津北辰·期中）已知椭圆
：
（
）的一个焦点为
，其短轴长是焦
距的
倍，点
为椭圆上任意一点，且
的最大值为.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设动直线：
与椭圆
有且只有一个公共点
，且与直线
相交于点
.问：
轴上是否存在
定点
，使得以
为直径的圆恒过定点
？若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由.
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题型五：定直线问题
（24-25 高三上·北京·月考）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
、
，一个焦点为
，P 是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）.已知
的面积的最大值为2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点
且斜率不为0 的直线l 与椭圆C 相交于M，N 两点，椭圆长轴的两个端点分别为
，
，
与
相交于点Q，求证：点Q 在某条定直线上.
1．（23-24 高三下·湖南长沙·三模）已知抛物线
，过点
的直线与
交于不同的
两点
.当直线的倾斜角为
时，
.
(1)求
的方程；
(2)在线段
上取异于点
的点
，且满足
，试问是否存在一条定直线，使得点
恒在这条
定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
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2．（24-25 高三上·上海·期中）已知双曲线C 的中心为坐标原点，
是
的两个焦点，其中左焦点为
，离心率为
.
(1)求
的方程；
(2)双曲线
上存在一点
，使得
，求三角形
的面积；
(3)记
的左、右顶点分别为
，过点
的直线与
的左支交于M，N 两点，
在第二象限，直线
与
交于点
.证明：点
在定直线上.
题型六：动点轨迹问题
（23-24 高三下·湖南益阳·一模）已知两点
，
及一动点
，直线
，
的斜率满足
，动点
的轨迹记为
.过点
的直线与
交于
，
两点，直线
，
交于点
.
(1)求
的方程；
(2)求
的面积的最大值；
(3)求点
的轨迹方程.
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1．（23-24 高三下·江西抚州·月考）在平面直角坐标系
中，已知双曲线
经过点
，
点
与点
关于原点对称，
为
上一动点，且
异于
两点.
(1)求
的离心率；
(2)若△
的重心为
，点
，求
的最小值；
(3)若△
的垂心为
，求动点
的轨迹方程.
2．（23-24 高三下·安徽合肥·模拟预测）图1 为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线
为抛物线的一部分，已知该接收器的口径
，深度
，信号处理中心
位于抛物线的焦点处，
以顶点
为坐标原点，以直线
为
轴建立如图2 所示的平面直角坐标系
．
(1)求该抛物线的方程；
(2)设
是该抛物线的准线与
轴的交点，直线过点
，且与抛物线交于
，两点，若线段
上有一点
，满足
，求点
的轨迹方程．
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题型七：角度关系证明问题
（24-25 高三上·云南昆明·开学考试）在平面直角坐标系
中，已知点
，动点
满足直
线
与直线
的斜率之积为
，设点
的轨迹为曲线
.
(1)求
的方程；
(2)已知点
，直线
与
轴交于点
，直线
与交于点
，证明：
.
1．（23-24 高三下·山西运城·三模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
为
的左
顶点，点
为
右支上一点（非顶点），
的平分线
交
轴于
(1)过右焦点
作
于
，求
；
(2)求证：
.
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2．（23-24 高三下·广西·二模）已知抛物线
，过点
作直线交抛物线C 于A，B 两点，过
A，B 两点分别作抛物线C 的切线交于点P．
(1)证明：P 在定直线上；
(2)若F 为抛物线C 的焦点，证明：
．
题型八：向量共线问题
（24-25 高三上·四川成都·模拟预测）椭圆
的中心为坐标原点
，焦点在
轴上，离心率
，椭圆上
的点到焦点的最短距离为
，直线与
轴交于点
（
），与椭圆
交于相异两点
、
，且
．
(1)求椭圆方程；
(2)求
的取值范围．
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1．（23-24 高三下·山西太原·三模）已知双曲线
的左、右顶点分别为
与
，
点
在
上，且直线
与
的斜率之和为
.
(1)求双曲线
的方程;
(2)过点
的直线与
交于
两点(均异于点
)，直线
与直线
交于点
，求证:
三点共线.
2．已知抛物线
经过点
，直线与抛物线
有两个不同的交点
，直线
交
轴于
，直线
交
轴于
．
(1)若直线过点
，求直线的斜率
的取值范围；
(2)若直线过抛物线
的焦点
，交
轴于点
，求
的值；
(3)若直线过点
，设
，求
的值．
题型九：存在性问题探究
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（23-24 高三下·上海·三模）已知椭圆
：
，
、
分别为左、右焦点，直线过
交椭圆于
、
两点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)当
，且点
在
轴上方时，求
、
两点的坐标；
(3)若直线
交
轴于
，直线
交
轴于
，是否存在直线，使得
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.
1．（24-25 高三上·上海·月考）已知双曲线
的离心率
，左顶点
，过
C 的右焦点F 作与x 轴不重合的直线l，交C 于P、Q 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)求证：直线
、
的斜率之积为定值；
(3)设
，试问：在x 轴上是否存在定点T，使得
恒成立？若存在，求出点T 的坐标；
若不存在，说明理由．
2．（23-24 高三下·西藏拉萨·月考）已知抛物线
，准线与
轴交于点
为抛
物线
上一点，
交
轴于点
.当
时，
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)设直线
与抛物线
的另一交点为
（点
在点
之间），过点
且垂直于
轴的直线交
于点
.是否存在实数
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
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题型十：“非对称”韦达定理
（23-24 高三上·陕西西安·期中）已知椭圆
的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，
经过点P（1，0）的动直线与椭圆
相交于不同的两点C，D（不与点A，B 重合）．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线CB 与直线AD 相交于点M，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不
是，说明理由．
1．（23-24 高三上·上海闵行·期中）已知双曲线
：
的离心率为
，点
在双
曲线
上．过
的左焦点F 作直线交
的左支于A、B 两点．
(1)求双曲线C 的方程；
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(2)若
，试问：是否存在直线，使得点M 在以
为直径的圆上?请说明理由．
(3)点
，直线
交直线
于点
．设直线
、
的斜率分别
、
，求证：
为定值．
2．（24-25 高三上·重庆·月考）已知
是椭圆
的右焦点，
为坐标原点，
为椭
圆上任意一点，
的最大值为
，当
时，
的面积为
.
(1)求
的值；
(2)
为椭圆的左､右顶点，点
满足
，当
与
不重合时，射线
交椭圆
于点
，直线
交于点
，求
的最大值.
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必刷大题
1．（23-24 高三下·河北·模拟预测）椭圆
：
左右顶点分别为
，
，且
，离
心率
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线与抛物线
相切，且与
相交于
、
两点，求
面积的最大值.
2．（24-25 高三上·河北石家庄·月考）已知焦距为
的椭圆
的右焦点为
，右顶
点为
，过F 作直线与椭圆
交于
、
两点（异于点
），当
轴时，
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)证明：
是钝角．
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3．（24-25 高三上·重庆·月考）已知双曲线
的一条渐近线方程为
，点
在双曲线C 上．
(1)求双曲线C 的方程.
(2)设过点
的直线l 与双曲线C 交于M，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q，使得
为常数？
若存在，求出Q 点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
4．（24-25 高三上·云南保山·期中）若
为抛物线
上一点，过
作两条关于
对称的直
线分别另交
于
两点.
(1)求抛物线
的方程与焦点坐标；
(2)判断直线
的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
5．（24-25 高三上·湖北武汉·期中）已知椭圆
：
的离心率为
，点
在
上，
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直线与
交于不同于A 的两点
，
．
(1)求
的方程；
(2)若
，求
面积的最大值；
(3)记直线
，
的斜率分别为
，
，若
，证明：以
为直径的圆过定点，并求出定点
坐标．
6．（24-25 高三上·上海宝山·月考）已知椭圆
的左、右焦点分别为
为椭圆的一个顶点，且右焦点 F₂ 到双曲线.
渐近线的距离为
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线
与椭圆C 交于 A、B 两点.
①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B 的面积为
求实数k 的值；
②若直线过定点P(0,2)， 且k>0， 在x 轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB 为邻边的平行四边形为菱形?
若存在，则求出实数t 的取值范围； 若不存在，请说明理由.
1．（2024·全国·高考真题）已知
和
为椭圆
上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线交C 于另一点B，且
的面积为9，求的方程．
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2．（2024·全国·高考真题）已知椭圆
的右焦点为
，点
在
上，且
轴．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，
为线段
的中点，直线
交直线
于点
，证明：
轴．
3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆
的离心率为1
2．左顶点为
，下顶点为
是
线段
的中点（O 为原点），
的面积为
．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C 的动直线与椭圆相交于
两点．在
轴上是否存在点
，使得
恒成立．若存在，求
出点
纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
4．（2024·北京·高考真题）已知椭圆
：
，以椭圆
的焦点和短轴端点为顶点的四边
形是边长为2 的正方形.过点
且斜率存在的直线与椭圆
交于不同的两点
，过点
和
的直线
与椭圆
的另一个交点为
．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
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5．（2024·上海·高考真题）已知双曲线
左右顶点分别为
，过点
的直线
交双曲线
于
两点.
(1)若离心率
时，求
的值．
(2)若
为等腰三角形时，且点
在第一象限，求点
的坐标．
(3)连接
并延长，交双曲线
于点
，若
，求
的取值范围．
6．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系
中，已知点
为椭圆
上一点，
、
分
别为椭圆的左、右焦点.
(1)若点
的横坐标为2，求
的长;
(2)设
的上、下顶点分别为
、
，记
的面积为
的面积为
，若
，求
的
取值范围
(3)若点
在
轴上方，设直线
与
交于点
，与
轴交于点
延长线与
交于点
，是否存在
轴上方的点
，使得
成立?若存在，请求出点
的坐标;若不存
在，请说明理由.
