专题16一元二次不等式和基本不等式问题（分层训练）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_考点2023年高考数学二轮复习讲义+训练（新高考专用）

专题16一元二次不等式和基本不等式问题 【练基础】 一、单选题 1．（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知 ，则 的最小值是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用基本不等式性质求解即可. 【详解】因为 ，所以 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立． 所以 的最小值为 . 故选：D 2．（2023·山东潍坊·统考一模）“ ”是“ ， 成立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式 恒成立，可求得 ，即可得出答案. 【详解】因为 ， 成立，则 ，即 . 所以，“ ”是“ ， 成立”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“ ， ”为真命题，则实 数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知 时， ，再根据二次函数求最值即可得答案.【详解】解：因为命题“ ， ”为真命题， 所以，命题“ ， ”为真命题， 所以， 时， ， 因为， ， 所以，当 时， ，当且仅当 时取得等号. 所以， 时， ，即实数 的取值范围是 故选：C 4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数 满足 ， 且 ， 若不等 式 恒成立， 则实数 的最大值为 （ ） A．9 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【分析】由 得到 ，从而利用基本不等式“1”的妙用求出 的最小值，从而得到 . 【详解】因为 ，所以 ， ， 当且仅当 ， 即 时，等号成立． 因不等式 恒成立，只需 ， 因此 ，故实数 的最大值为25． 故选：D 5．（2023·辽宁·校联考模拟预测）古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布 施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算， 记此人第n日布施了 子安贝（其中 ， ），数列 的前n项和为 ．若关于n的不等式恒成立，则实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 是等比数列，求出 与 ，代入不等式 中，结合基本不等式实数t的取值范围． 【详解】由题意可知，数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，故 ， 所以 ． 由 ，得 ， 整理得 对任意 ，且 恒成立， 又 ，当且仅当 ，即n＝2时等号成立， 所以 ，即实数t的取值范围是 故选：B． 6．（2023秋·广西河池·高三统考期末）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且 ，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点， ， ，则 的最小值为（ ） A． B．1 C． D．4 【答案】B【分析】由 可得 ，根据三点共线向量性质可得 ，再结合均值不等式 即可求出结果． 【详解】由于M为线段BC的中点，则 又 ，所以 ，又 ， 所以 ，则 因为 三点共线，则 ，化得 由 当且仅当 时，即 时，等号成立， 的最小值为1 故选：B 7．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知 ， ， 是 与 的等比中项，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比中项定义可求得 ，将所求式子化为 ，利用基本不等式可求得最小 值. 【详解】由等比中项定义知： ， ，（当且仅当 ，即 ， 时取等号）， 即 的最小值为 . 故选：B. 8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若存在 使得 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 ，易得 与 的图象关于直线 对称，由 大小关 系易判断 ，再将 全部代换为含a的式子得 ，令 ，利用换元法和对勾 函数性质进而得解. 【详解】∵ ，∴ 与 的图象关于直线 对称，作出 的 大致图象如图所示， 易知 ，由 ，即 ， ，得 ，∵ ，∴ ，得 ， ∴ . 设 ， 则 ， . ，当且仅当 取到等号， 故当 时，令 ， 单减， ， 故 . 故选：A 9．（2022·广西·校联考模拟预测）双曲线 的左右顶点分别为 ，曲线 上的一点 关于 轴的对称点为 ，若直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则当 取到最小值时，双曲线离心 率为（ ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】由题意 利用均值定理可得 ，再利用双曲线的几何性质求解即可. 【详解】设 ， 则 ， ，所以 ， 将曲线方程 代入得 ， 又由均值定理得 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以离心率 ， 故选：B 二、多选题 10．（2023·安徽宿州·统考一模）已知 ，且 ，则下列不等关系成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式易知选项AB正确；利用对数运算法则和重要不等式可知C正确；将不等式 化简整理可得 ，构造函数 利用函数单调性即可证明D错 误. 【详解】由基本不等式可知， ，当且仅当 时，等号成立，即A正确； 易知 ，当且仅当 时，等号成立，即B正确； 由重要不等式和对数运算法则可得： ，当且仅当且仅当 时，等号成立，即C正确； 由 可得 ，所以 ， 若 ，即证明 ，即 即需证明 ， 令函数 ，则 ， 当 时， ，即 在 上单调递增， 所以 时，解不等式 可得 即可，即 时不等式 成立； 当 时， ，即 在 上单调递减，解不等式 可得 ，即 时不等式 才成立； 综上可知，当 时，不等式 才成立，所以D错误. 故选：ABC 11．（2023·全国·模拟预测）已知m，n为正实数，且满足 ，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】依题意得 ，直接用基本不等式即可判断A；根据 ，再结 合基本不等式即可判断B；根据 ，再结合基本不等式即可判断C；结合C即可判断D． 【详解】由 ，得 ． 对于A，因为m＞0，n＞0，所以 ，当且仅当n＝2时等号成立，故A正确； 对于B， ， 又 ，当且仅当n＝4时等号成立， 故 ，故B正确； 对于С， ，当且仅当n＝2时等号成立，故C错误； 对于D， ， 由选项C可知 ，故 ，当且仅当n＝2时等号成立，故D正确． 故选：ABD．12．（2022秋·山东·高三山东聊城一中校联考阶段练习）已知命题 ：关于 的不等式 的解集为 R，那么命题 的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出命题p成立时a的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断即可． 【详解】命题p：关于x的不等式 的解集为R， 则 ，解得 又  ，  ， 故选：CD． 13．（2023·全国·高三专题练习）若 ，使得 成立是假命题，则实数 可能取值是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】AB 【解析】首先由条件可知命题的否定是真命题，参变分离后，转化为最值问题求 的取值范围. 【详解】由条件可知 ， 是真命题， 即 ，即 ， 设 等号成立的条件是 ，所以 的最小值是 ， 即 ，满足条件的有AB. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是写出特称命题的否定，第二个关键是参变分离，转化为函数的最值求参数的取值范围. 14．（2022秋·江苏淮安·高三校考开学考试）已知曲线 上存在两条斜率为3的不同切线，且 切点的横坐标都大于零，则实数 可能的取值（ ） A． B．3 C． D． 【答案】AC 【分析】本题先求导函数并根据题意建立关于 的方程，再根据根的分布求 的取值范围，最后判断得到答案即 可. 【详解】解：∵ ， ∴ ， 可令切点的横坐标为 ，且 ， 可得切线斜率 即 ， 由题意，可得关于 的方程 有两个不等的正根， 且可知 ， 则 ，即 ， 解得： ， 所以 的取值可能为 ， . 故选：AC. 【点睛】本题考查求导函数，导数的几何意义，根的分布，是中档题. 15．（2023·辽宁·校联考模拟预测）设 均为正数，且 ，则（ ） A． B．当 时， 可能成立 C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式相关公式逐项分析即可求解.【详解】对于A：因为 ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 又 ，所以 ， 所以A选项正确； 对于B：若 ，则 ， 因为 为正数，所以 ， 所以B选项错误； 对于C：由 ，且 为正数， 得 ，则 ，即 ， 所以C选项正确； 对于D： ， 当且仅当 时，等号成立，所以 ， 所以D选项正确． 故选：ACD. 16．（2023·福建·统考一模）已知正实数x，y满足 ，则（ ） A． 的最小值为 B． 的最小值为8 C． 的最大值为 D． 没有最大值 【答案】AC【分析】将 代入 ，根据二次函数的性质即可判断A；根据 及基本不等式可判 断B； ，根据基本不等式可判断C； ， ，根据基本不等式可判断D. 【详解】因为x，y为正实数，且 ，所以 . 所以 ， 当 时， 的最小值为 ，故A正确； ， 当且仅当 时等号成立，故B错误； ， 当且仅当 时等号成立， 故 ，即 的最大值为 ，故C正确； ， ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 . 所以 有最大值 ，故D错误. 故选:AC.17．（2023·山西·统考一模）设 ， ， ，则下列结论正确的是（ ） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为9 D． 的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于AD，利用基本不等式判断即可；对于B，利用不等式 判断即可，对于C，利用基本 不等式“1”的妙用判断即可. 【详解】对于A，因为 ， ， ， 则 ，当且仅当 时取等号，故A正确； 对于B，因为 ， 故 ，当且仅当 时取等号，即 的最小值 ，故B正确； 对于C， ， 当且仅当 且 ，即 ， 时取等号， 所以 的最小值为9，故C正确； 对于D， ， 故 ，当且仅当 时取等号，即 的最大值 ，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题 18．（2022·上海松江·统考一模）对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 ______ 【答案】 . 【分析】由 得 的最小值，转化为解关于a的一元二次不等式.【详解】由题意知， ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，解得： ， 故答案为： . 19．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）若命题：“ ，使 ”是假命题，则 实数m的取值范围为____． 【答案】 或 【分析】先得出存在量词命题的否定，即为恒成立问题，结合二次函数的图象与性质对 的符号分类讨论即可 【详解】由题意得，“ ，使 ”是真命题， 当 时，易得 时命题成立； 当 时，由抛物线开口向下，命题不成立； 当 时，则命题等价于 ，即 或 故答案为： 或 20．（2022秋·四川内江·高三校考阶段练习）已知函数 ，关于 的方程 有三个不等的 实根，则实数 的取值范围是___________. 【答案】 【分析】求函数 的导数，判断其单调性，作出其大致图象，数形结合，将关于 的方程有三个不等的实根转化为 有两个不等的实根，结合二次方程根的分布，求得答案. 【详解】由题意得 ， 当 时， ， 递增；当 时， ， 递减， 且 ；可知函数 的图象如图所示， 令 ，则方程 有三个不等的实根， 即为 有两个不等的实根， 令 ，则 有两个不等的实根， 则 ，所以不妨令 ， 则 ，解得 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了利用导数解决方程的根的个数问题，考查求参数的范围，解答时要注意利用导数判断函数的 单调性，进而作出函数图象，数形结合，将方程根的问题转化为二次方程的根的分布问题. 21．（2023·全国·模拟预测）已知向量 ， ， ，若 ，且a，b均为正数.则 ab的最大值为______. 【答案】 ## 【分析】根据 求得 的关系式，结合基本不等式求得 的最大值. 【详解】 ，由于 ， 所以 ， 所以 ， 当且仅当 时等号成立. 故答案为： 22．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知实数 ，满足 ，则 的最小值是 ______. 【答案】9 【分析】将已知条件 通过恒等变形，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由已知条件得 ， ∵ ，∴ ， 又∵ ， ，∴ ， ∴ ， 当且仅当 ，即 时等号成立. 故答案为：9. 23．（2023·湖北·校联考模拟预测）设 且 ，若对 都有 恒成立，则实数a的取值范 围为______. 【答案】 【分析】由原不等式结合基本不等式可得 ，再由 可得 ，则得 ，然后由 结合指数的运算可得 ，再通过构造函数利用导数证明在 ，有 即可. 【详解】因为 且 ，因为 ，当且仅当 时取等号， 故 ，所以 ， 又 ，所以 ，当且仅当 时取等号， 所以 . 又 ，所以 ，显然 ， 所以有 ，即 恒成立， 又 ，所以 ，故 ，所以 . 当 时， 恒成立，即 恒成立，与 矛盾. 下面证明：在 ，有 ， 令 要使 ，即 即 由 知 ，得 从而需证： 即需证明： ，记 从而只需证： ①而 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 上递减，在 上递增， 所以 ，即 ， 因为 ，所以 ∴ 在 上递增，又 ， ∴在 递减， ， 递增， ， 而 ，从而在 时总有 ∴①式恒成立，不等式 得证. 综上所述， . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查不等式恒成立问题，解题的关键是根据已知条件结合基本 不等式确定出 的范围，然后通过构造函数再证明其正确性即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 24．（2023·四川内江·统考一模）已知正实数a、b满足 ，则a、b一定满足的关系有______．（填序号） ① ；② ；③ ；④ ． 【答案】①③. 【分析】因为 ，所以 ，即 ，即 ，可得 ， ，结合基本不等 式即可求解最值，进而判断可得答案.【详解】因为 ，所以 ，即 ，即 ， 可得 ， ，所以 ， 对于①， 当且仅当 时等号成立，所以 ，故①正确. 对于②， 当且仅当 时等号成立，所以 ，故②错误. 对于③， ， 当且仅当 ， 时等号成立，所以 ，故③正确. 对于④， 当且仅当 ， 时等号成立，所以 ，故④错误. 综上所述：正确的序号为①③. 故答案为：①③. 【提能力】 一、单选题 25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 恰有两个零点，则实数 的取 值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数 ， 均有有两个零点，分类讨论每部分的零点个数，结合零点分布处理． 【详解】∵ ，则二次函数 有两个零点 若 恰有两个零点，则 ，得 此时 无零点，则 ，解得 则 若 无零点，则 ，得 此时 有两个零点，则 ，得 则 若 有且仅有一个零点，则 得 ， 或 ，得 或 ，经检验 不合题意 则 此时 有且仅有一个零点，则 ，解得 且 则 且 综上所述： 故选：B． 26．（2022·山西运城·统考模拟预测）已知椭圆 的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在 点P，使得 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D．【答案】C 【分析】设出 ，利用 得到 在区间 上有解，结合端点值的符号得到 ，求出 的最小值. 【详解】易知 ，设 ，则 ， 所以 ， 即 ， 即方程 在区间 上有解， 令 ， 因为 ， ， 所以只需 ， 即 解得： . 故选：C. 27．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 （ ）A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，画出图形，结合 ，分 和 进行讨论，解得 的范围，从而即可得实数 的取值范围． 【详解】解：作出函数 的图象如图， 因为 ，若 ，由 在 上单调递增，且 ， 则 ，解得 ； 若 ，则 ，解得 ； 综上， ，解得 或 . 所以实数 的取值范围是 ． 故选：A. 28．（2022秋·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）在正四棱台 中， ， ． 当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据正棱台的性质，表示出棱台的高与边长之间的关系，根据棱台的体积公式，将体积函数式子表示出 来，利用不等式求解最值，得到棱台的高.因为外接球的球心一定在棱台上下底面中心的连线及其延长线上，通过 作图，数形结合，求出外接球的半径，得到表面积. 【详解】 图1 设底边长为a，原四棱锥的高为h，如图1， 分别是上下底面的中心，连结 ， ， ， 根据边长关系， 知该棱台的高为 ，则 ， 由 ，且四边形 为直角梯形， ， ，可得 ，则 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，此时棱台的高为1. 上底面外接圆半径 ，下底面半径 ，设球的半径为R，显然球心M在 所在的直线上. 显然球心M在 所在的直线上.图2 当棱台两底面在球心异侧时，即球心M在线段 上，如图2，设 ，则 ， ，显然 则，有 ，即 解得 ，舍去. 图3 当棱台两底面在球心异侧时，显然球心M在线段 的延长线上，如图3，设 ，则 ，显然即 ，即 解得 ， ， 此时，外接球的表面积为 . 故选：D. 29．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数 ，若不等式 对任意 均成立，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数奇偶性的定义及导数可得函数 为R上单调递增的奇函数，化简不等式，然后将 分离，利 用基本不等式，即可求出答案. 【详解】因为 的定义域为R， ， 所以函数 是奇函数， 由 ， 可知 在 上单调递增， 所以函数 为R上单调递增的奇函数， 所以不等式 对任意 均成立等价于 ，即 ，即 对任意 均成立， 又 ，当且仅当 时取等号， 所以 的取值范围为 . 故选：A. 30．（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知椭圆和双曲线有共同的焦点 ， ，P是它们的一个交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ， ，则 的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用椭圆和双曲线的定义及 可以列出关于 ， 的方程，再利用均值定理即可得到 的最 小值 【详解】设椭圆长轴长为 ，双曲线实轴长为 ， ， ，（ ） ， 则 ，解之得 又 则 则 ，则 则 ，则 （当且仅当 时等号成立） 则 的最小值为 故选：B31．（2022秋·福建福州·高三校考阶段练习）已知 且 ，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得 及 的取值范围，再把 转化为关于 的代数式 ，利用函数 的单调性 去求 的取值范围即可解决 【详解】由 ，可得 ， 则 ，则 ，令 ，则 ， 又 在 单调递增，在 单调递减 ， ， 则 ，即 故选：C 32．（2022·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知函数 ，（ ）的三个零点分 别为 ， ， ，其中 ， 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 ，则 有两个不等于 的零点，再根据 ，可知 的零点互为倒数，则 ， ， ，且 ，则 ，利用 可求 出结果. 【详解】因为 恒有零点1， 令 ，则 有两个不等于 的零点， 因为 ， 所以 的零点互为倒数，则必然一个大于0小于1，另一个大于1， 所以 ， ， ，且 ， 所以 ， 令 ，因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 的取值范围为 . 故选：B 【点睛】关键点点睛：设 ，根据 推出 的零点互为倒数是解题关键. 二、多选题33．（2022·浙江·模拟预测）已知a，b为正数，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A选项，配成完全平方后验证取等条件即可判断A选项正误； 对于B选项，根据均值定理中的“1”的妙用即可判断B选项正误； 对于C选项，将 代入，整理成二次函数，借助二次函数值域即可判断C选项的正误； 对于D选项，将 代入，整理成分式函数，借助分式函数值域即可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项， ，当且仅当 时等号成立， 当 时，由于 ，得 ，与 为正数矛盾，故 ， 即得 ，故A选项正确； 对于B选项， ， .又 ， 当且仅当 ，即 时等号成立；故B选项不正确； 对于C选项， ， ， . ， ，当且仅当 时等号成立， ，故C选项正确； 对于D选项， ， ， . ， 当 时， ， ，得 ，即 ，故D选项正确.故选：ACD 34．（2022秋·山东青岛·高三校考阶段练习）已知a，b为正实数，且 ，则（ ） A．ab的最大值为8 B． 的最小值为8 C． 的最小值为 D． 的最小值为 【答案】ABC 【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可. 【详解】因为 ，当且仅当 时取等号， 解不等式得 ，即 ，故 的最大值为8，A正确； 由 得 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号，此时取得最小值8，B正确； ，当且仅当 ， 即 时取等号，C正确； ， 当且仅当 时取等号，此时 取得最小值 ，D错误． 故选：ABC． 35．（2022·全国·南京外国语学校校考模拟预测）下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ， ，且 ，则 的最大值是1 C．若 ， ，则D．函数 的最小值为9 【答案】ACD 【分析】利用不等式的性质由 ，可得到 ，可知选项A正确；利用均值定理和题给条件可得 的最大值是 ，可得选项B错误；利用均值定理和题给条件可得 最小值为 ，可得选项C 正确；利用均值定理和题给条件可得函数 的最小值为9，可得选项D正确. 【详解】因为 ，则 ，所以 成立，故A正确； 由 ． 当且仅当 时， 取得最大值 ，故B错误； 因为 ， ，所以 ， 当且仅当 即 时，等号成立，故C正确； ， 当且仅当 时等号成立，故D正确． 故选：ACD． 36．（2022·山东·烟台二中校联考模拟预测）著名的伯努利（Bemoulli）不等式为： ，其中实数 同号，且均大于－1．特别地，当 ，且 时，有 ．已知伯努利不等式还可以推广为：设x， ，若 ，且 ，则．设a，b为实数，则下列结论正确的为（ ） A．任意 ，且任意 ，都有 B．任意 ，存在 ，使得 C．任意 ，且任意 ，都有 D．任意 ，存在 ，且 ，使得 【答案】ACD 【分析】由题目所给不等式及推广不等式依次判断4个选项即可. 【详解】选项A：由 ， ，则 ，且 ， ∴ ， 由基本不等式可知 ，当且仅当 时取等，∴ ，故选项A正确； 选项B：∵ ，∴ ，又 ，∴ ，即 ，∴ 恒成立， 故选项B错误； 选项C：∵ ，且 ，∴ ，且 ，∴ ，即 ，∴ ，故选项C正确； 选项D：①若 ，则当 时，不等式 显然成立； ②若 ，∵ ，∴ ， ，∴当 时，， ∴ ，记 为不超过b的最大整数，易知 ．∴当 时， 成立， ∴任意 ，存在 ，且 ，使得 ，故选项D正确. 故选：ACD． 三、填空题 37．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知 ， ， 是正实数，且 ，则 最小值为 __________. 【答案】 【分析】由于 ， ， 是正实数，且 ，所以先结合基本不等式“1”的代换求 的最小值，得 ，则 ，再根据基本不等式凑项法求 的最小值，即可求得 的最小值. 【详解】解： ，由于 ， ， 是正实数，且 ， 所以 ，当且仅当 ，即 ，所以 时 等号成立， 则 的最小值为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 则 最小值为 . 故答案为： . 38．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b满足 ，则a、b满足的关系有__________.（填序号） ① ；② ；③ ；④ . 【答案】①③ 【分析】对于①，先得到 ，再利用基本不等式判断得解；对于②③，利用作差比较即得解；对于④，先 作差，再求出 ，即可判断得解. 【详解】解： ， ， ， 对于①， ， 所以 （由于 ，所以不能取等）. 所以该命题正确； 对于②，由 得 ，因为 . ，所以 ，所以该命题错误； 对于③， ，所以 ，所以该命题正确； 对于④， , ， ， 所以 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以该命题错误. 故答案为：①③ 【点睛】关键点睛：这道题关键是如何处理④，利用作差法得到 ，然后用利用 ， 得到 ，即可求解 39．（2022·浙江·模拟预测）已知实数x，y满足 ，则 的最小值是______． 【答案】 【分析】根据等式结构特点转化后可构造函数 ，根据函数单调可得 ，由指数、对数 的运算性质化简后由均值不等式求解. 【详解】由原式可得 ，且 令 ，则原式即为 ， 因为 在 上单调递增， 所以 ，所以 ， 则 ， 当且仅当 时，即 时等号成立. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据所给方程，利用指数、对数的运算性质，得到方程右边为 ，构 造函数 得出 是解题关键. 40．（2022秋·江苏盐城·高三盐城市第一中学校考阶段练习）已知函数 （ 且 ），若不等式 的解集为 ，则a的取值范围是___________. 【答案】 【分析】由 得到a取不同值时x的范围，由 的解集为 得到 及 ，即可得出答案. 【详解】若 ，则 ，即 ， 当 时， ，当 时， . 由 的解集为 ，得 ， ， 故 ，所以 解得 ， 又因为 ，所以 ，又 ，所以 . 故答案为： 41．（2023·全国·高三专题练习）若非负实数 满足 ，则 的最大值为 _____. 【答案】 【解析】令 ，结合题意，得到 ，根据关于 的方程必须有解， 利用 ，求得以 ，即可求解. 【详解】令 ， 则 ，两边平方，可得 ， （1） 因为 ， 所以 ， （2）由（1）（2）可得 ， 整理得 ， 因为关于 的方程必须有解，所以 ， 解得 ，因为 ，所以 ，所以 的最大值为16， 即 的最大值为 . 故答案为： .