文档文本内容
题
专
01 不等式及基本不等式的应用
目录
第一部分 研·考情精析 锁定靶心 高效备考
第二部分 理·方法技巧 梳理知识 总结技巧与方法
第三部分 攻·题型速解 典例精析+变式巩固
【题型01】不等式，基本不等式性质
【题型02】直接公式法（凑项、凑系数、分离或裂项）
【题型03】常数代换
【题型04】消元
【题型05】换元
【题型06】构建目标不等式
【题型07】基本不等式的拓展应用
【题型08】利用基本不等式比较大小求最值
【题型09】基本不等式中恒成立与能成立问题
【题型10】基本不等式中的实际应用
【题型11】一元二次不等式的逆用
【题型12】一元二次不等式中的恒成立与能成立问题
【题型13】不等式根的范围
第四部分 练·决胜冲刺 精选好题+通关训练
考向聚焦
不等式性质、基本不等式、一元二次不等式恒成立与能成立问题是高考热点问题，
重点考查利用：
求最值，强调一正、二定、三相等，结合配
“
”
凑、换元、条件等式设计题型；易错点为忽略正数条件或等号取不到；常以选择题和填
空题的形式进行考查，题目比较灵活；也可能与解三角形、数列、直线与圆、圆锥曲
线、导数等知识结合的综合性问题出现.在不等式恒成立与能成立问题上，通常结合函数
及图象进行最值分析，或参编分析求解函数的最值.
关键能力
掌握基本不等式（如均值不等式）的核心在于：理解一正二定三相等原则，能灵
“
”
活构造或变形表达式以满足应用条件，善于配凑定值、识别变量关系，并在求最值问题
中准确判断等号成立条件；一元二次不等式恒成立与能成立问题上，通常结合函数图象
进行分析，利用数形结合思想，求解函数的最值.同时需结合函数思想与代数技巧，提升
转化与综合分析能力.
备考策略
基本不等式解题策略：紧扣一正二定三相等原则，合理变形或配凑使条件满足；
“
”
灵活运用均值不等式求最值；注意变量的正负与取等条件；结合换元、对称性或整体代
换简化问题；必要时与其他知识（如函数、方程）融合，提升解题效率与准确性；一元
二次不等式恒成立与能成立问题，重点利用函数进行最值的求解，或者利用函数图像进
行零点个数的分析即可.
◇方法技巧 01 基本不等式常用方法
基本不等式的解题方法与技巧核心原则：
一正、二定、三相等：
“
”
一正：参与不等式的变量必须为正数；
二定：构造出和为定值或积为定值；
“
”
“
”
三相等：等号成立条件必须能实现（需验证）.
1、直接公式法：
当题目结构明显符合
，
或其变形时，直
接使用.
2、配凑法（构造法）：
加减常数、拆分项、乘以1，进行凑项，凑系数，分离或裂项，常数代换（如
）；
3、换元法：
引入新变量简化表达式，如令
，或设
等.
4、整体代换法：
利用对称性假设变量相等（在最值问题中常有效），或整体视为一个变量.
5、多次使用基本不等式法：
对复杂式子分段使用基本不等式，但务必检查各次取等条件是否一致.
6、结合约束条件消元法：
如已知
，可将二元问题化为一元，再用基本不等式.
◇方法技巧 02 恒成立与能成立问题常用解题技巧
利用函数的最值进行分析求解目标函数的最值
恒成立问题：①
，即求
；②
即求
.
能成立问题：①
，即求
；②
即求
.
注意：
“1”的代换：若
，则
，展开后可用基本不等式.
平方处理：有时对式子平方后再用不等式更易操作（注意保持等价）.
避免盲目放缩：放缩后若等号无法成立，则结果无效.
图形或函数辅助：结合函数单调性、图像判断最值位置，验证不等式合理性.
◇题型 01 不等式、基本不等式性质
典｜例｜精｜析
典例1．已知正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
（1）基本不等式常见公式：** 错
的表达式
误
**
，满足一正、二定、三相等；
“
”
**
错
的表达式
误
**
，满足二定、三相等．
“
”
（2）常见不等式关系的证明，首先可以通过特殊值法进行求解，其次在利用作差法，作商法和基
本不等式法进行不等式变形进行分析．
变｜式｜巩｜固
变式1．设
，则“
是
”
“
的（ ）
”
A．充要条件
B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
变式2．若
，则使
成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．已知
，
，则下列不等关系中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
◇题型 02 直接公式法（凑项、凑系数、分离或裂项）
典｜例｜精｜析
典例1．若
，则函数
有（ ）
A．最小值1
B．最大值1
C．最小值
D．最大值
典例2．（多选）下列结论不正确的是（ ）
A．当
时,
B．当
时,
的最小值是
C．当
时,
的最小值是
D．设
,
,且
,则
的最小值是
（1）利用题目给出的现有条件，进行目标函数的变形，包括凑项，凑系数，分离或裂项，使其满
足一正、二定、三相等，再进行基本不等式求解
“
”
.
（2）利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
变式1．（多选）下列函数中最小值为2 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．函数
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．
D．
变式3．（多选）若正实数
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最大值为
D．
的最小值为
◇题型 03 常数代换
典例1．若
，且满足
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．18
C．
D．9
典例2．若已知
，
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
1、若已知条件中的１（常量可化为１）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式
“
”
“
”
相乘模型），则实施１代换，配凑和或积为常数
“
”
.
模型1：已知正数
满足
，求
的最小值.
模型2：已知正数
满足
求
的最小值.
2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
（2）把确定的定值(常数)变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
（4）利用基本不等式求解最值．
变式1．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．3
D．2
变式2．若
，且
，则
的最小值是（ ）
A．16
B．25
C．4
D．5
变式3．已知正数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．9
C．
D．13
◇题型 04 消元
典例1．已知正实数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．4
C．
D．
根据条件中的二元方程，结合目标函数的内容，利用代换，转化为只有一个变量的函数，然后转
化为函数进行最值的求解，有时候出现多元的问题时，利用整体代换，进行消元，使其变成整体符合
基本不等式的式子进行求解或者对勾函数的图像进行分析，注意保留变量的取值范围.
变式1．已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
变式2．已知正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．若正数a，b 满足
，则
的最小值是（ ）
A．15
B．18
C．24
D．36
◇题型 05 换元
典例1．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
根据多元目标条件，进行加、减、乘、除等方式的变形，变成基本不等式常数代换的形式；再
“
”
换元上，结合目标函数，进行换元处理.
变式1．已知正数
，
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（多选）已知
为正实数，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最小值为-1
C．
的最小值为12
D．
的最小值为
变式3．若实数
满足
，则
的最大值为________________.
◇题型 06 构建目标不等式
典例1．（多选）下列说法正确的有（ ）
A．
的最小值为
B．已知
，则
的最小值为
C．若正数
、
为实数，若
，则
的最大值为
D．设
、
为实数，若
，则
的最大值
根据多元目标条件给出的和与积的关系时，可以利用常见的两个基本不等式进行放缩，有条件
“
”
“
”
进行构建得到目标不等式，从而转化为一元二次不等式进行最值的求解
变式1．已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
变式2．若
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
变式3．已知
，满足
，则
的取值范围是______________.
◇题型 07 基本不等式的拓展应用
典例1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：
设正数
，
，
，
，满足
，当且仅当
时，等号成立．则函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
典例2．基本不等式是均值不等式链
“
”
中的一环（
时），而
利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求
的最小值我们可以这样处理：
，即
，当且仅当
时等号成立.那么函数
（
）的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
根据题目提供的多元基本不等式的公式及其应用，进行条件和目标函数的变形和应用，结合权方
不等式，多元基本不等式的公式，进行目标函数的最值的求解，注意满足相等的条件.
变式1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：
设a，b，x，y>0，则
，当且仅当
时等号成立．根据权方和不等式，函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
变式2．设
，
，
，则
有（ ）
A．最小值3
B．最大值3
C．最小值
D．最大值
◇题型 08 利用基本不等式比较大小求最值
典例1 ．记
表示数集
中最大的数，设
为正数，
，
，则
的最小值为_________________.
根据给定的条件和目标，首先利用作差法、作商法等方法，进行最值的判断，然后利用基本不等
式等方法进行目标函数中的最值的求解，注意再求解最值时是否符合对应的条件.
变式1．记
表示
中最大的数．已知
均为正实数，则
的最小值为
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
变式2 ．记
表示
这3 个数中最大的数．已知
都是正实数，
，则
的最小值为_______________．
变式3 ．以
表示数集
中最大（小）的数.设
，已知
，则
_________________.
◇题型 09 基本不等式中恒成立与能成立问题
典例1．已知实数
，满足
，若不等式
对任意的正实数
恒成立，
那么实数m 的最大值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
利用函数的最值进行分析求解目标函数的最值
恒成立问题：** 错
的表达式
误
**
，即求
；** 错
的表达式
误
**
即求
.
能成立问题：** 错
的表达式
误
**
，即求
；** 错
的表达式
误
**
即求
.
变式1．设
，
，不等式
恒成立，则实数m 的最小值是（ ）
A．
B．2
C．1
D．
变式2．设实数
满足
，
，不等式
恒成立，则实数
的
最大值为（ ）
A．12
B．24
C．
D．
变式3．当
时，
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
◇题型 10 基本不等式中的实际应用
典例1．（多选）根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（ ）
A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．
B．在b 克盐水中含有a 克盐（
），再加入n 克盐，全部溶解，则盐水变咸了．
C．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于
．
D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量
一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第一种方式购买一定更实
惠.
利用实际应用进行分析，结合问题，进行对应的目标函数的表示，利用基本不等式进行对应的最
值求解，核心关键是如何表示对应的目标函数；注意对应的自变量的范围.
变式1．中国南宋大数学家秦九韶提出了三斜求积术，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三
“
”
角形的三条边长分别为
，
，
，则三角形的面积
可由公式
求得，其中
为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足
，
，则
此三角形面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝
码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出
一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（ ）
A．大于10g
B．小于10g
C．等于10g
D．不能判断大小
变式3．出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我
国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶
等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若
，
，
，图中两个阴影三角形的周长分别为，
，则
的最小值为_____________.
◇题型 11 一元二次不等式的逆用
典例1．（多选）已知关于x 的不等式
的解集为
，则下列选项中正确的是
（ ）
A．
B．不等式
的解集是
C．
D．不等式
的解集为
利用一元二次不等式的求解方法，反过来进行求解，转化为一元二次方程，以及对应的根的关系
（韦达定理），求解出对应的
及关系，最后完成一元二次不等式的逆用.
变式1．若不等式
的解集为
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．若关于
的不等式
的解集是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．（多选）已知关于
的不等式
的解集是
，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式
的解集是
或
◇题型 12 一元二次不等式中的恒成立与能成立问题
典例1．已知关于
的不等式
对任意
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
典例2．已知命题
：
，
；命题
：
，
．若
为假命题，
为
真命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
1、在实数范围内的恒成立与能成立问题时，转化为与
进行对应的比较，首先确定是否为一元二
次不等式，再利用数形结合判断根的个数，
进行求解；
2、在给定区间进行求解时，利用分类讨论求函数最值，或者参变分离进行对应的最值求解，解不
等式求参数的取值范围；注意自变量的取值范围.
变式1．若存在实数
，使得
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．若
，使得
成立是真命题，则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
变式3．（多选）已知
,若对任意的
,不等式
恒成立.则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为12
D．
的最小值为
◇题型 13 不等式根的问题
典例1．已知关于
的不等式
的整数解恰有4 个，则
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
1、一元二次不等式根的问题上，若一元二次不等式可以进行十字相乘，进行分类讨论求解根，即
可直接进行对应的根直接按的讨论.
2、若一元二次不等式不可以进行十字相乘，即可利用开口方向，对称轴，进行简单的数形结合分
析，再利用图像进行二次函数零点的判断，从而找到函数值与0 的大小比较，进行参数范围的求解.
变式1．若关于
的不等式
有且只有一个整数解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．若函数
在区间
内恰有一个零点，则实数a 的取值集合为（ ）
A．
B．
或
.
C．
D．
或
.
变式3．已知方程
有且仅有两个不相等的正实数根，则实数
的取值范围是
__________________.
一、单项选择题
1．（2025·广东梅州·模拟预测）已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
2．（2025·湖北黄冈·一模）已知
为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
3．（2025·山西·三模）已知正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．4
D．7
4．（2025·安徽·一模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河南·期末）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
6．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数
，
，满足
，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记
表示实数a，b 中的较大的数，已知x，y，z 均为正数，则
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．6
二、多项选择题
1．（2025·重庆·期末）设正数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为4
C．
的最大值为
D．
的最小值为
2．（2025·河北保定·模拟预测）已知正数
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
1．（2025·广西来宾·模拟预测）在公差不为0 的等差数列
中，若
是
与
的等差中项，则
的
最小值为_______________．
2．（2024 高三下·全国·专题练习）已知
，若
对一切实数x 恒成立，
则实数a 的取值范围为________________．
3．（2025·山西朔州·模拟预测）已知正数
满足
，则
的最小值为
___________________．
