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专题一 函数与导数
第4 讲 利用导数研究不等式问题
【真题再现●明考向】
1．以导数为工具，通过研究函数的单调性、极值和最值，求解不等式问题．
2．函数不等式中的参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论，是高考的必
考内容．
【考情分析●明方向】
1．(多选)(2024·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则( )
A．x＝3 是f(x)的极小值点
B．当0<x<1 时，f(x)<f(x2)
C．当1<x<2 时，－4<f(2x－1)<0
D．当－1<x<0 时，f(2－x)>f(x)
2．(2024·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ln＋ax＋b(x－1)3.
(1)若b＝0，且f ′(x)≥0，求a 的最小值；
(2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形；
(3)若f(x)>－2 当且仅当1<x<2，求b 的取值范围．
3．(2025·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝5cos x－cos 5x，(1)求f(x)在的最大值；
(2)给定θ∈(0，π)，设a 为实数，证明：存在y∈[a－θ，a＋θ]，使得cos y≤cos
θ；
(3)若存在φ 使得对任意x，都有5cos x－cos(5x＋φ)≤b，求b 的最小值．
4．(2025·北京高考)函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f(0)＝0，f′(x)＝，l1 为
A(a，f(a))(a≠0)处的切线．
(1)求f′(x)的最大值；
(2)证明：当－1<a<0 时，除点A 外，曲线y＝f(x)均在l1上方；
(3)若a>0 时，直线l2过A 且与l1垂直，l1，l2分别与x 轴的交点为x1与x2，求的
取值范围．
5．(2024·全国甲卷理科)已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x.
(1)当a＝－2 时，求f(x)的极值；
(2)当x≥0 时，f(x)≥0 恒成立，求a 的取值范围．
6．(2024·全国甲卷文科)已知函数f(x)＝a(x－1)－ln x＋1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若a≤2 时，证明：当x>1 时，f(x)<ex－1恒成立．
7．(2023·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0 时，f(x)>2ln a＋.
8．(2023·新课标全国Ⅱ卷)(1)证明：当0<x<1 时，x－x2<sin x<x.
(2)已知函数f(x)＝cos ax－ln(1－x2)，若x＝0 是f(x)的极大值点，求a 的取值范
围．
9．(2023·全国甲卷理科)已知f(x)＝ax－，x∈.
(1)若a＝8，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)<sin 2x 恒成立，求a 的取值范围．
【考点突破●提能力】
考点一 不等式的证明
【方法技巧】
利用导数证明不等式的两个妙招
(1)构造函数法证明不等式
①移项，使等式右边为零，左边构造为新函数．
②求导判断单调性，通常要对参数分类讨论．
③根据单调性，求出最值与“0”比较即可得证．
(2)转化函数最值法证明不等式
①条件：函数很复杂，直接求导不可行．
②拆分：把复杂函数拆分成两个易求最值函数．
③方法：分别求导，结合单调性和图象以及极值、最值，比较得出结论．
【典例研析】
1．(2025·上饶二模)已知函数f(x)＝x(ln(x＋1)－ax＋1)．
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)证明：当a≥时，f(x)≤sin x＋xln(x＋1)成立．
【跟踪训练】
1．(2025·浙江模拟)已知函数f(x)＝a(x－1)ex－2x.
(1)若曲线y＝f(x)在x＝－1 处的切线过点(0，－3)，求实数a 的值；
(2)当＜a＜时，证明：f(x)＞－3.
考点二 不等式恒成立、能成立(存在性)问题
【方法技巧】
利用导数解决不等式恒成立问题、存在性问题的策略
(1)分离参数后转化为函数最值问题：将原不等式分离参数，转化为不含参数的
函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，
f(x)≥a 恒成立，只需f(x) min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可．
(2)转化为含参函数的最值问题：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问
题，利用导数求该函数的极值(最值)，伴有对参数的分类讨论，然后构建不等
式求解．
(3)解决存在性问题的一般思路：根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大
(小)值满足的不等式成立问题，然后利用导数求函数在该区间上的最值，最后
构建不等式求解．
【典例研析】
2．(2025·仁寿县校级三模)已知函数f(x)＝ex－aln(x＋1)，g(x)＝sin x－x，其中
a∈R.
(1)证明：当x∈[0，＋∞)时，g(x)≤0；
(2)若x＞0 时，f(x)有极小值，求实数a 的取值范围；
(3)对任意的x∈[0，π]，2f(x)≥g′(x)＋2 恒成立，求实数a 的取值范围．
3．(2025·道里区校级二模)设函数f(x)＝ax－2ln x＋1，a∈R.
(1)若f(x)在x＝1 处切线为y＝b，求实数a＋b 的值；
(2)是否存在实数a，使得当x∈(0，2]时，函数f(x)的最小值是3？若存在，求出
a 的值；若不存在，说明理由．
【跟踪训练】
2．(2025·平度市模拟)已知函数f(x)＝xex＋asin x.
(1)当a＝0 时，求证：＞x＋1；
(2)若f(x)＞0 对x∈(0，π)恒成立，求a 的取值范围．
3．(2025·天津模拟)设函数f(x)＝－ln(1＋x)，g(x)＝ln(1＋x)－bx.
(1)求函数f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)是否存在实数b，使得关于x 的不等式g(x)＜0 在(0，＋∞)上恒成立？若存
在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由．
【限时训练】（限时：120 分钟）
一、单项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2025·海南州模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2x，则“a≤1”是“f(x)在R 上单
调递增”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2025·上饶二模)若不等式x(x＋a)ln(x＋a)≥0 恒成立，则a 的取值集合为(
)
A．{1}
B．(0，1]
C．
D．[1，＋∞)
3．(2025·茂名二模)已知函数f(x)为R 上的奇函数，f(2)＝0，当x＞0 时，f(x)＋
f′(x)＞0，不等式(x－1)f(x)＜0 的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(0，1)
B．(－∞，－2)∪(1，2)
C．(－2，0)∪(0，1)
D．(－2，0)∪(1，2)
4．(2025·安庆三模)已知函数f(x)＝ex－aln(ax－a)＋a(a＞0)，若对于任意的x＞1
使得不等式f(x)≥0 成立，则实数a 的取值范围是( )
A．(0，e2]
B．(0，ee]
C．[e2，＋∞)
D．[ee，＋∞)
二、多项选择题：本题共2 小题，每小题6 分，共12 分．在每个小题给出的选
项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选
错的得0 分．
5．(2025·湖北模拟)已知函数f(x)＝x3－ax＋2 有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，
则( )
A．a≥0
B．x1x2＜0
C．f(x1)＞f(x2)
D．f(x)的图象关于点(0，2)中心对称
6．(2025·鹤山区校级二模)已知函数g(x)＝＋ln x，x∈(0，e]，则( )
A．当a≤0 时，g(x)有最大值
B．当0＜a＜e 时，g(x)可以取得最小值－1
C．当0＜a＜e 时，g(x)可以取得最小值2
D．当a≥e 时，g(x)可以取得最小值3
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
7．(2025·茂名模拟)已知函数f(x)＝aex－ln x－1，若f(x)≥0 恒成立，则实数a
的取值范围是__________________.
8．(2025·讷河市校级一模)设函数f(x)＝(x－1)(ex－e)，g(x)＝x－ln x＋a，若
∀x2∈(0，＋∞)，∃x1∈R，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a 的取值范围是________.
9．(2025·邯郸模拟)设函数f(x)＝(2x－alog2e－kx)(kx－)，若存在实数k＝k0，使得
f(x)＞0 恒成立，则实数a 的取值范围是____________.
四、解答题：每小题15 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
10．(2025·绵阳模拟)已知函数f(x)＝x3－x2－ax－4a.
(1)若0＜a＜3，试判断函数f(x)在区间(1，3)内的极值点个数，并说明理由；
(2)当a＝3，x＞0 时，求证：f(x)＜(x－4)ex.(参考数据：e3≈20.1)
11．(2025·河北模拟)已知函数f(x)＝1－2ln(x＋a)在点(0，f(0))处的切线斜率为－
2.
(1)求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若g(x)＝x2＋x＋1，求证：xf(x)＜g(x)．
12．(2025·山东模拟)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－ax.
(1)当x≥1，f(x)≥0，求a 的取值范围；
(2)当a＝0 时．
①设g(x)＝f′(x)，讨论函数g(x)在(1，＋∞)上的单调性；
②证明：对任意的m，n∈(1，＋∞)，有f(m＋n)＞f(m)＋f(n)．
13．(2025·辽宁二模)已知函数f(x)＝(ln x－2)x2－mx(x＞0)，g(x)为f(x)的导函
数．
(1)当m＝0 时，求曲线g(x)在(1，g(1))处的切线方程；
(2)若f(x)的两个极值点分别为x1和x2，且x1＜x2.
①求实数m 的取值范围；
②证明：x2－x1＜m＋2e.
14．(2025·安庆三模)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－.
(1)当a＝1 时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)≥0，求a 的值；
(3)求证：sin ＋sin ＋…＋sin ＜ln 2(n∈N*)．
15．(2025·杨浦区二模)已知函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，若函数y＝f(x)的
定义域为R，且不等式f(x)＞f′(x)对任意x∈R 成立，则称函数y＝f(x)是“超导
函数”．
(1)判断f(x)＝ex＋1 是否为“超导函数”，并说明理由；
(2)若函数y＝g(x)与y＝h(x)都是“超导函数”，且对任意x∈R，都有h′(x)＞
0、g′(x)＜0，记F(x)＝g(x)h(x)，求证：函数y＝F(x)是“超导函数”；
(3)已知函数y＝φ(x)是“超导函数”且φ(1)＝e，若有且仅有一个实数t 满足φ(ln
t＋1－at)＝eln t＋1－at，求a 的取值范围．
