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专题3-7利用导函数研究双变量问题
目录
专题3-7利用导函数研究双变量问题.....................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：分离双参，构造函数................................................................................................................1
②根据分离后的不等式结构的对称性，构造新函数；........................................................................3
题型二：糅合双参（比值糅合）............................................................................................................6
题型三：糅合双参（差值糅合）..........................................................................................................14
题型四：利用对数平均（指数平均）不等式解决双变量问题..........................................................19
题型五：最值定位法解决双参不等式问题..........................................................................................26
................................................................34
题型一：分离双参，构造函数
【典例分析】
例题1．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习） ，均有
成立，则 的取值范围为___________.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）证明： ， ， .【提分秘籍】
①在含有双参（ ， ）的不等式中，将双参分别分离到不等式左右两边；
②根据分离后的不等式结构的对称性，构造新函数；
③证明构造函数的单调性，利用单调性证明结论
【变式演练】
1．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））若实数 满足
，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·广西玉林·模拟预测（理））已知 ， 都是正整数，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·四川省泸县第二中学一模（理））已知函数 的图像在 处
的切线与直线 平行．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，且 时， ，求实数m的取值范围．题型二：糅合双参（比值糅合）
【典例分析】
例题1．（2022·山东德州·高三期中）已知函数 .
(1)求 在 的最小值；
(2)若方程 有两个不同的解 ，且 成等差数列，试探究 值的符号.
例题2．（2022·山东威海·三模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ，且 ，从下面两个结论中选一个证明．
① ；
【提分秘籍】
利用换元法解决双变量问题，将要证明的不等式或目标代数式通过变形成关于
（或 等）的整体结构，通过将 （或 等）换元成 把问题化归成单变量问题
来处理.这一方法也称为“齐次换元”。
【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，
(1)求 的单调区间；
(2)设 ，求证： ，恒有
.
(3)若 ，函数 有两个零点 ，求证 .
2．（2022·广东·广州市第七中学高二期中）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若函数 的图像与x轴交于A，B两点，线段 中点的横坐标为 ，证明：
.
3．（2022·陕西师大附中高三期中（理））已知函数 ，曲线 在
点 处的切线与直线 垂直.
(1)试比较 与 的大小，并说明理由；
(2)若函数 有两个不同的零点 ，证明： .题型三：糅合双参（差值糅合）
【典例分析】
例题1．（2022·江苏江苏·高三期末）设 ， .
(1)设 ，讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在 有两个零点 ， ，证明： .
【提分秘籍】
利用换元法解决双变量问题，将要证明的不等式或目标代数式通过变形成关于
（或 等）的整体结构，通过将 （或 等）换元成 把问题化归成单变量问题
来处理.这一方法也称为“齐次换元”。
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 ，求 的单调区间；
(3)当 时，若函数 恰有两个不同的极值点 、 ，且 ，求
证： .题型四：利用对数平均（指数平均）不等式解决双变量问题
【典例分析】
例题1、已知函数 （ 为常数）有两个不同的零点 ， （ 为自然对数
的底数）请证明： .
例题2．（2022·重庆·高二阶段练习）已知函数 ，
.
(1)求证： ， ；
(2)若存在 、 ，且当 时，使得 成立，求证： .【提分秘籍】
1.对数均值不等式法
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平
均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
2.指数不等式法
在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均
值不等式有如下关系：
【变式演练】
1．（2022·湖北·武汉市第一中学高二期中）已知函数 有两个零点 、
，则下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二期末）已知函数 ．
(1)若 ，当 时，试比较 与 的大小；
(2)若 的两个不同零点分别为 、 ，求证： ．
3．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）已知为自然对数的底数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个不同零点 ，求证： .
题型五：最值定位法解决双参不等式问题
【典例分析】
例题1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知函数
.
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若对于任意的 ，都存在 ，使得 成立，试求实数 的取
值范围.
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 .(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 （ 为自然对数的底数），当 时，对任意
，存在 ，使 ，求实数 的取值范围.
【提分秘籍】
最值定位法解决双参不等式问题
（1） , ,使得 成立
（2） , ,使得 成立
（3） , ,使得 成立
（4） , ,使得 成立
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，
， ，使不等式 成立，则 的取值范围是______.
2．（2022·山东聊城·高三期中）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ，当 时，对任意 ，存在 ，使
，求实数m的取值范围．
3．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））函数 ，
．(1)求 的单调递增区间；
(2)对 ， ，使 成立，求实数 的取值范围．
4．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（文））已知函
数 ， ，其中 ， ．
(1)试讨论函数 的极值；
(2)当 时，若对任意的 ， ，总有 成立，
试求b的最大值．
一、单选题
1．（2022·山东烟台·高三期中）若对任意正实数x，y都有 ，则
实数m的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若对于任意的 ，都有 ，则
的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2022·江西省丰城中学高三开学考试（文））已知 ， ，有如下
四个结论：
① ；② ；③ 满足 ；④ ．
则正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
4．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知 ，若对于 且
都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高二课时练习）设函数 ， ，若对任意 、
，不等式 恒成立，则正数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数 的定义域为 ，当 ， 时，
， ，若对 ， ， ， ，使得
，则正实数 的取值范围为（ ）A． ， B． ， C． ， D． ，
7．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数 ， ，若
对任意 ，存在 ， ，使 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． ， D． ，
8．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数 ，对
，使得 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2021·广东·金山中学高二期中）已知函数 ， ，若
， ，则 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
10．（2021·江西·赣州市第一中学高二阶段练习（理））已知三个函数 ，
， .若 ， ，都有
成立，求实数b的取值范围______.
11．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））已知函数 ，
，若 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是
________．
四、解答题12．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））设 ， .
（1）如果存在 使得 成立，求满足上述条件的最大值 ；
（2）如果对于任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
13．（2022·安徽·合肥市第九中学高二期中）已知 的图象在 处的
切线与直线 平行．
（1）求函数 的极值；
（2）若 ， ， ，求实数 的取值范围．
14．（2022·河南·郑州励德双语学校高三阶段练习（文））已知函数
.
(1)当 时,讨论 的单调性；
(2)设 ，当 时,若对任意 ,存在 使 ,求实
数 取值范围.
15．（2022·四川乐山·高二期末（文））已知函数 ．(1)求函数 的最大值；
(2)斜率为k的直线与曲线 交于 ， 两点，求证：
．
16．（2022·江西·二模（理））设 为实数，函数 ．
(1)判断函数 在定义域上的单调性；
(2)若方程 有两个实数根 ，证明： （
是自然对数的底数）
17．（2022·天津二十中高三期中）已知函数.
(1)若 ，求函数 的单调增区间；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求整数a的最小值；
(3)当 时，函数 恰有两个不同的零点 ，且 ，求证： .
18．（2022·四川·盐亭中学模拟预测（文））设m为实数，函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若方程 有两个实数根 ，证明： .
（注： 是自然对数的底数）
