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专题3-7利用导函数研究双变量问题
目录
专题3-7利用导函数研究双变量问题.....................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：分离双参，构造函数................................................................................................................1
②根据分离后的不等式结构的对称性，构造新函数；........................................................................3
题型二：糅合双参（比值糅合）............................................................................................................6
题型三：糅合双参（差值糅合）..........................................................................................................14
题型四：利用对数平均（指数平均）不等式解决双变量问题..........................................................19
题型五：最值定位法解决双参不等式问题..........................................................................................26
................................................................34
题型一：分离双参，构造函数
【典例分析】
例题1．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高三阶段练习） ，均有
成立，则 的取值范围为___________.
【答案】
【详解】不妨设 ，则 ，
由 可得 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，
所以 对于 恒成立，
所以 对于 恒成立，
可得 对于 恒成立，
所以 ，因为 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）证明： ， ， .
【答案】（1）单调递减区间 ，单调递增区间为 ；（2）证明见解析.
【详解】解：（1）由 ，则 ， ，
，
令 ，解得 ；令 ，解得 .所以函数 的单调递减区间 ，单调递增区间为 .
（2）证明： ，要证明 .
即证明： .
即证明： .
令 ， ，且 .
，所以函数 在 上单调递减，
则 ，由 ，则 ，
所以 ，
即： ， ， 成立.
【提分秘籍】
①在含有双参（ ， ）的不等式中，将双参分别分离到不等式左右两边；
②根据分离后的不等式结构的对称性，构造新函数；
③证明构造函数的单调性，利用单调性证明结论
【变式演练】
1．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））若实数 满足
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】∵
∴ ，
即
∴ ，
设 ，则有 ，即 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
∴ ，即 ，
要使 成立等价于 成立，
只有当 时，即 时才满足，
∴
∴ ，∴ .
故选：A.
2．（2022·广西玉林·模拟预测（理））已知 ， 都是正整数，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】因为 ，所以 ，令 ，
所以 ，故 在 上单调递增，由已知得 ，
故 ，因为 ， 都是正整数，即 .
故选：A.
2．（2021·四川省泸县第二中学一模（理））已知函数 的图像在 处
的切线与直线 平行．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，且 时， ，求实数m的取值范围．
【答案】(1) 在 递增，在 递减
(2)
(1)
的导数为 ，
可得 的图象在 处的切线斜率为 ，
由切线与直线 平行，可得 ，即 ，
， ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，则 在 递增，在 递
减．
(2)因为 ，若 ，由 ，
即有 恒成立，设 ，
所以 在 为增函数，即有 对 恒成立，可得 在 恒成立，由 的导数为 ，
当 ，可得 ， 在 递减，在 递增，
即有 在 处取得极小值，且为最小值 可得 ，解得
则实数m的取值范围是 ．
题型二：糅合双参（比值糅合）
【典例分析】
例题1．（2022·山东德州·高三期中）已知函数 .
(1)求 在 的最小值；
(2)若方程 有两个不同的解 ，且 成等差数列，试探究 值的符号.
【答案】(1)答案见解析；
(2)正，理由见解析
【详解】（1） .
当 时， 在 单调递减， ；
当 时， 在 单週递减， ；
当 时， 时， 时， ， 所以 在
单週递减， 在 单调递增，综上，当 时， ；当 时， .
（2） 值的符号为正，理由如下：
由 (1) 知， 当 时， 单调递减， 不符合題意.
当 时， 在 单调递减， 在 单调递增.
不妨设 ，由方程 有两个不同的解 ，
则 ， 整理得
.
令 ， 则 ，令 ，
在 单调递增， .故 得证
例题2．（2022·山东威海·三模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ，且 ，从下面两个结论中选一个证明．
① ；【答案】(1) 的单增区间为 ；单减区间为 ，
(2)证明见解析
（1） ，当 时，
，令 ，解得 ；令
，解得 或 ，所以 的单增区间为 ；单减区间为 ，
．
（2）证明①：由题意知， 是 的两根，则 ，
，将 代入得，
，要证明 ，只需证明
，即 ，因为 ，所以
，只需证明 ，令 ，则 ，只需证明 ，即
，令 ， ，所以
在 上单调递减，可得 ，所以 ，综上可知，
．
【提分秘籍】
利用换元法解决双变量问题，将要证明的不等式或目标代数式通过变形成关于
（或 等）的整体结构，通过将 （或 等）换元成 把问题化归成单变量问题
来处理.这一方法也称为“齐次换元”。【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，
(1)求 的单调区间；
(2)设 ，求证： ，恒有
.
(3)若 ，函数 有两个零点 ，求证 .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(1)
函数 的定义域为 ，
且 ，
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
因此函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， 恒成立，此时 的单调递增区间为 ，
综上所述：当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 .
(2)
， ，所以 ，
因为 ，
所以当 时， ，函数 在区间 上单调递减，
当 时， ， ，
所以 ，其中 ，
构造函数 ，其中 ， ，
则 ，所以函数 在 上单调递增，
则 ，
所以函数 在 上单调递增， ，
所以对于 、 ，恒有 ；
(3)
因为 ，则 ，
所以函数 单调递增，且 ，
要证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，
因为函数 有两个零点 ，由题意可得 ，
上述两个等式作差得 ，
下面先证明 ，只需证： ，
整理得 ，即证 ，
设 ，不妨设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
因为 ，所以 ，故原不等式 成立.
2．（2022·广东·广州市第七中学高二期中）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若函数 的图像与x轴交于A，B两点，线段 中点的横坐标为 ，证明：
.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(1)
的定义域为 ，
．
①若 ，则 ，所以 在 单调递增．②若 ，则由 得 ，
且当 时， ，当 时， ．
所以 在 单调递增，在 单调递减．
(2)
由（1）可知：当 时，函数 在 上单调递增，
故 图像与x轴至多有一个交点，不符合题意，从而 ．
当 时， 在 单调递增，在 单调递减，
不妨设 ， ， ，则 ．
由 ，
两式相减得： ，
即： ，
又
令 ， ，则 ，从而函数 在 上单调递减，
故 ，从而 ，又 ，所以 ．
3．（2022·陕西师大附中高三期中（理））已知函数 ，曲线 在
点 处的切线与直线 垂直.
(1)试比较 与 的大小，并说明理由；
(2)若函数 有两个不同的零点 ，证明： .
【答案】(1) ，证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题可知： ，
，而直线 的斜率 ，
所以有 ，解得： 或 ，
又因为函数 在 处有意义，所以 ，故 ，
所以 ， ，
时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，
即 ，即有 ，
所以 .
（2）不妨设 ，
所以有 ，
化简得
即 ， ，
要证 ，即证 ，
即证 ，因为 ，
所以即证： ，
即 ，
设 ，因为 ，所以 ，
即证 ( )
设 ( )，
，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
即 ，即 .题型三：糅合双参（差值糅合）
【典例分析】
例题1．（2022·江苏江苏·高三期末）设 ， .
(1)设 ，讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在 有两个零点 ， ，证明： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(1)
， ，
时， ，当 时 ， 是单调递增函数，
当 时 ， 是单调递减函数；
时，令 ，得 ，
当 即 时， 或 时 ， 是单调增函数，
时 ， 是单调递减函数，
当 即 时， 或 时 ， 是单调增函数，
时 ， 是单调递减函数，
当 即 时， ， 在 上是单调增函数，
综上所述
时， 在 是单调递增函数，在 上是单调递减函数；
时， 在 ， 上是单调增函数， 在 是单调递
减函数，时， 在 ， 上是单调增函数， 在 是单调递减
函数，
时， 在 上是单调增函数.
(2)
令 ，因为 ，所以 ，
令 ， ，两式相除得，
， ①
不妨设 ，令 ，则 ， ，
代入①得： ，反解出： ，则 ，
故要证 即证 ，又因为 ，
等价于证明： ，
构造函数 ，
则 ， ，
故 在 上单调递增， ，
从而 在 上单调递增， .
即 .
【提分秘籍】
利用换元法解决双变量问题，将要证明的不等式或目标代数式通过变形成关于
（或 等）的整体结构，通过将 （或 等）换元成 把问题化归成单变量问题
来处理.这一方法也称为“齐次换元”。【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 ，求 的单调区间；
(3)当 时，若函数 恰有两个不同的极值点 、 ，且 ，求
证： .
【答案】(1)
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
(1)解：当 时， ， ，则 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
(2)
解：当 时， ，该函数的定义域为 .
.
当 时，由 可得 或 .
（i）当 时， ，由 ，可得 ，
由 ，可得 或 ，
此时函数 的增区间为 、 ，减区间为 ；
（ii）当 时， ，对任意的 ， 且 不恒为零，此时函数 在 上单调递增；
（iii）当 时， ，由 ，可得 ，
由 ，可得 或 ，
此时函数 的增区间为 、 ，减区间为 .
综上所述
当 时，函数 的增区间为 、 ，减区间为 ；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 的增区间为 、 ，减区间为 .
(3)
证明： ，则 ，
令 ，则 .
当 时，由 可得 .
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，解得 .
下面证明不等式 ，其中 ，即证 ，
令 ，即证 对任意的 恒成立，
构造函数 ，其中 ，则 对任意的 恒成立，故函数 在 上单调递
增，
当 时， ，所以，当 时， ，
由已知可得 ，两式作差可得 ，
则 ，即 ，故原不等式得证.
题型四：利用对数平均（指数平均）不等式解决双变量问题
【典例分析】
例题1、已知函数 （ 为常数）有两个不同的零点 ， （ 为自然对数
的底数）请证明： .
解析：借助 作为媒介，构造指数均值不等式：
因 为 ： ， 是 函 数 的 两 个 零 点 ， 所 以 ：
， 欲 证 ， 只 需 证 ： ； 又
；
所以只需证： ，即只需证： ，由指数均值不
等式可知， 成立；故 成立.
例题2．（2022·重庆·高二阶段练习）已知函数 ，
.(1)求证： ， ；
(2)若存在 、 ，且当 时，使得 成立，求证： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)
证明：构造函数 ，其中 ，
则
，
因为 ，则 ， ，
即当 时， ，所以，函数 在 上单调递减，
故当 时， ，即 .
(2)
证明：先证明对数平均不等式 ，其中 ，
即证 ，
令 ，即证 ，
令 ，其中 ，则 ，所以，函数 在 上为减函数，当 时， ，
所以，当 时， ，
本题中，若 ，则 ，
此时函数 在 上单调递减，不合乎题意，所以， ，
由（1）可知，函数 在 上单调递减，不妨设 ，则 ，
则 ，即 ，
所以， ，
因为 ，则 ，
所以， ，
所以， ，
所以， ，所以， ，
由对数平均不等式可得 ，可得 ，所以， .
【提分秘籍】
1.对数均值不等式法
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平
均不等式）取等条件：当且仅当 时，等号成立．
2.指数不等式法
在对数均值不等式中，设 ， ，则 ，根据对数均
值不等式有如下关系：
【变式演练】
1．（2022·湖北·武汉市第一中学高二期中）已知函数 有两个零点 、
，则下列说法正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】由 可得 ，令 ，其中 ，
所以，直线 与曲线 的图象有两个交点，
，令 ，可得 ，列表如下：
减 极小值 增
作出函数 与 的图象如下图所示：由图可知，当 时，函数 与 的图象有两个交点，A对；
接下来证明对数平均不等式 ，其中 ，且 、 均为正数.
先证明 ，其中 ，
即证 ，
令 ， ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，当 时， ，
所以，当 时， ，
接下来证明： ，其中 ，即证 ，
令 ，即证 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为减函数，当 时， ，
所以，当 时， ，由已知可得 ，两式作差可得 ，所以， ，
因为 ，故 ， ，B错，CD都对.
故选：ACD.
2．（2022·全国·高二期末）已知函数 ．
(1)若 ，当 时，试比较 与 的大小；
(2)若 的两个不同零点分别为 、 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
解：因为 ， ，
当 时， ，且 ，
又当 时， ，即函数 在 上单调递减，所以 ．
(2)
证明：先证明 ，其中 ，
即证 ，
令 ， ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为增函数，当 时， ，
所以，当 时， ，
由题知 ，取对数有 ，即 ，
又 ，所以 ．
3．（2022·广东·深圳市第七高级中学高三阶段练习）已知
为自然对数的底数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个不同零点 ，求证： .
【答案】(1)详见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题可得 ，
当 时， ，当 时， ；
所以当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数；
当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数；
（2）因为 有两个不同零点 ， ，则 ， ，
因此 ，即 ，
要证 ，只要证明 ，即证 ，
不妨设 ，记 ，则 ， ，因此只要证明 ，即 ，
记 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上递增，
则 ，即 ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，
即 成立，
∴ .
题型五：最值定位法解决双参不等式问题
【典例分析】
例题1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高三期中）已知函数
.
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若对于任意的 ，都存在 ，使得 成立，试求实数 的取
值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
【详解】（1）由题可知函数 的定义域为 .因为 ，则 .
当 时， .
所以当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增.
所以 的单调递增区间为 的单调递减区间为 .
（2）因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，故函数 在 上单调递增，
所以 .
所以对任意的 恒成立，即 恒成立.
所以 恒成立.
令 ，则 .
令 ，则 ，解得 .
当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ，所以函数 在 上单调递减.
所以 .所以 .
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、确定不等式恒成立问题．在含有全称量词与存在量词的命题中注意问题的转化：
（1）对于任意的 ，任意的 ， 恒成立 ，
（2）对于任意的 ，存在 ，使得 成立 ，
（3）存在 ，使得对任意的 ，都有 成立 ，
（4）存在 ，存在 ，使得 成立 ．
例题2．（2022·全国·高二专题练习）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 （ 为自然对数的底数），当 时，对任意
，存在 ，使 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(1)
函数 的定义域为 ，
，
①当 时，由 得 ，即 的单调递增区间是 ；
由 得 ，即单调递减区间是 .
②当 时，由 得 ，即 的单调递增区间是 ）；
由 得 ，即单调递减区间是 .
(2)当 时，由（1）知，函数 在 上道减，
所以 ，所以
对任意 ，存在 ，使
即等价为 恒成立即可，即 .∴ ，
设 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，∴
∴
【提分秘籍】
最值定位法解决双参不等式问题
（1） , ,使得 成立
（2） , ,使得 成立
（3） , ,使得 成立
（4） , ,使得 成立
【变式演练】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，
， ，使不等式 成立，则 的取值范围是______.
【答案】
【详解】因为对 ， ，使不等式 成立，所以
，
当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
2．（2022·山东聊城·高三期中）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 ，当 时，对任意 ，存在 ，使
，求实数m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1） 定义域为 ，
，
令 ，得 或 ．
当 即 时：
， ，函数 在 上单调递减；
， ，函数 在 单调递增；
当 ，即 时：， ，函数 在 单调递增；
， ，函数 在 上单调递减；
， ，函数 在 上单调递增；
当 即 时： ， ，函数 在 单调递增；
当 即 时：
， ，函数 在 单调递增；
， ，函数 在 上单调递减；
， ，函数 在 上单调递增；
综上：当 时，单调递减区间有 ，单调递增区间有 ；
当 时，单调递减区间有 ，单调递增区间有 ， ；
当 时，单调递增区间有 ，无单调递减区间；
当 时，单调递减区间有 ，单调递增区间有 ， ．
（2）当 时，
由（1）得函数 在区间 上单调递减，在区间 ， 上单调递增，
从而函数 在区间 上的最小值为 ．
即存在 ，使 ，
即存在 ，使得 ，
即 ，令 ， ，则 ，
由 ，当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减，
所以 ，所以 ．
3．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（理））函数 ，
．
(1)求 的单调递增区间；
(2)对 ， ，使 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ;
(2) .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ， 单调递增，
等号仅在 时取得，
综上， 的单调递增区间是 .
（2） ，即 ，
设 ，
则问题等价于 ， ，
由（1）可知，当 时， ，故 在 递增，∴ ，
， ，
∵ 时， ， ，
故当 时， ， 在 递增， ，
故 ，即 ，
即实数 的取值范围是 ；
4．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（文））已知函
数 ， ，其中 ， ．
(1)试讨论函数 的极值；
(2)当 时，若对任意的 ， ，总有 成立，
试求b的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由题意得 的定义域为 ， ．
当 时， 在区间 内恒成立，
在区间 内单调递增， 无极值．
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ．
在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，
在 处取得极大值，且极大值为 ，无极小值．综上，当 时， 无极值；当 时， 的极大值为 ，无极小值．
（2）由 知当 时， 的最大值为 ．
由题意得 ，且 在区间 内单调递增．
又 ， ，根据零点存在定理可得，
存在 ，使得 ，
且当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
．
， ，两边取对数可得
，
．
令 ，则当 时， ，
即函数 在区间 内单调递减，故 ，
，即 ，即
．对任意的 ， ，总有 成立，
，即 ， ，即 ．
又 ，故 的最大值为0．一、单选题
1．（2022·山东烟台·高三期中）若对任意正实数x，y都有 ，则
实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，
所以 ，设 ，
则 ， ，
令
恒成立，故 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；.
故
所以 ，得到 .
故选:A.2．（2022·全国·高三专题练习）若对于任意的 ，都有 ，则
的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】解： ， ，
，
，
，
函数 在定义域 上单调递增，
在 上恒成立，
由 ，解得 ，故 的最大值是 .
故选：C．
3．（2022·江西省丰城中学高三开学考试（文））已知 ， ，有如下
四个结论：
① ；② ；③ 满足 ；④ ．
则正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】C
【详解】由 ，则 ，设 ,则
当 时， ，当 时，所以 在 上单调递增，在 上单调递减,
又 ，当 时，有 ，则 的图象如图.
由 ，即 ，且 ，所以 ，所以①正确，②错
误；
设 ，则
两式相减得 ，得
两式相加得
设
，则
所以 在 上单调递增，则
所以 在 上单调递增， ,即所以 ，即
所以 ，故④正确，③错误；
综上，正确的命题是①④，
故选：C.
4．（2022·江西南昌·高二期末（理））已知 ，若对于 且
都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，对于 且 都有 成立，
不妨设 ，可得 恒成立，
即对于 且 时，都有 恒成立，
构造函数 ，
可转化为 ，函数 为单调递增函数，
所以当 时， 恒成立，
又由 ，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
又由 ，所以 ，
即实数 的取值范围为 .故选：D.
5．（2021·全国·高二课时练习）设函数 ， ，若对任意 、
，不等式 恒成立，则正数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对任意 、 ，不等式 恒成立，则 .
当 时，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，所以， .
， 对任意的 恒成立，
所以，函数 在区间 上单调递增，所以， ，
所以， ，因为 ，解得 .
故选：D.
6．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数 的定义域为 ，当 ， 时，
， ，若对 ， ， ， ，使得
，则正实数 的取值范围为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D【详解】解： 对 ， ， ， ，使得 ， ，
①当 ， 时， ， ，
②当 ， 时， ， ， 在 ， 上单调递增，
（4） ，由①②得 ，
又 ， 在 ， 上为增函数， ， ， ，
的取值范围为 ， ．
故选：D．
7．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数 ， ，若
对任意 ，存在 ， ，使 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． ， D． ，
【答案】B
【详解】解： 函数 ，
，
若 ， ， 为增函数；
若 ， 或 ， 为减函数；
在 上有极值，
在 处取极小值也是最小值 ；
，对称轴 ， ， ，
当 时， 在 处取最小值 ；当 时， 在 处取最小值 ；
当 时， 在 ， 上是减函数， ；
对任意 ，存在 ， ，使 ，
只要 的最小值大于等于 的最小值即可，
当 时， ，解得 ，故 无解；当 时， ，解得 ，
综上： ，
故答案为： ， ．
8．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数 ，对
，使得 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 时，
，使得 成立对函数
当 时， ，此时
当 时，
令 得
当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增
所以 为极小值点，此时
故
当 ， 不合题意；
当 ，
所以 ，解得
当 ，
所以 ，解得
综上得
故选：D.
二、多选题
9．（2021·广东·金山中学高二期中）已知函数 ， ，若， ，则 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】由题意， ，得 ，
∴ ，即 ，
又 ，得
∵ 在 上单调递增，
∴综上知： ，
∴ ，
令 ， ，则
∴ ，得 ； ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增.
∴ ，
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项符合题意；
C：显然符合题意；
D：因为 ，所以本选项不符合题意，
故选：BC
三、填空题10．（2021·江西·赣州市第一中学高二阶段练习（理））已知三个函数 ，
， .若 ， ，都有
成立，求实数b的取值范围______.
【答案】
【详解】由题知 ， .
.
在 上单调递增；在 上单调递减，
易知 在区间 上的最大值为 ，
， ，都有 成立，
即 在 上的最大值大于等于 在 上的最大值，
即 ，即 ，解得 ，
故答案为： .
11．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））已知函数 ，
，若 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是
________．
【答案】 .
【详解】解：依题意知 ，令 ， 在 恒成立，
在 上单调递增， ，
所以 在 上单调递减， ，
在 是增函数， ，
所以 ，即
故答案为： .
四、解答题
12．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））设 ， .
（1）如果存在 使得 成立，求满足上述条件的最大值 ；
（2）如果对于任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）由题意，存在 使 成立，等价于
，
因为函数 ，可得 .
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
又因为 ，所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，又由 ，所以 ，
所以 ，即 的最大值为 .
（2）对于任意的 ，都有 成立，
等价于在区间 上， ，
由（1）知在区间 上 ，
在区间 上， 恒成立等价于 恒成立，
设 ，可得
可知 在区间 上是减函数，
又由 ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，所以 ，即 的取值范围是 .
13．（2022·安徽·合肥市第九中学高二期中）已知 的图象在 处的
切线与直线 平行．
（1）求函数 的极值；
（2）若 ， ， ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）极大值为 ，无极小值；（2） ， ．
【详解】（1） 的导数为 ，
可得 的图象在 ， （1） 处的切线斜率为 ，由切线与直线 平行，可得 ，
即 ， ，
，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，
则 在 递增，在 递减，
可得 在 处取得极大值为 ，无极小值；
（2）可设 ，若 ， ，
，可得 ，
即有 ，
设 在 为增函数，
即有 对 恒成立，
可得 在 恒成立，
由 的导数为 得：
当 ，可得 ，
在 递减，在 ， 递增，
即有 在 处取得极小值，且为最小值 ，
可得 ，
解得 ，
则实数 的取值范围是 ， ．14．（2022·河南·郑州励德双语学校高三阶段练习（文））已知函数
.
(1)当 时,讨论 的单调性；
(2)设 ，当 时,若对任意 ,存在 使 ,求实
数 取值范围.
【答案】（1）当 时,函数 在 上单调递减；函数 在 上单调递增；当
时,函数 在 上单调递减；
当 时,函数 在 上单调递减；函数 在 上单调递增;函数 在
上单调递减；（2） ．
【详解】(1)定义域
因为
所以
令
(i)当 时,
所以当 时, ,此时 ,函数 单调递增;
当 时, ,此时 ,函数 单调递增
(ii)当 时,由 ,
即 ,解得①当 时, ， 恒成立,此时 ,函数 在 上单调递减;
②当 时,
时, ,此时 ,函数 单调递减；
时, ,此时 ,函数 单调递增；
时, ,此时 ,函数 单调递减；
③当 时,由于
时, ,此时 ,函数 单调递减；
时, ,此时 ,函数 单调递增；
综上所述:
当 时,函数 在 上单调递减；
函数 在 上单调递增；
当 时,函数 在 上单调递减；
当 时,函数 在 上单调递减；
函数 在 上单调递增;
函数 在 上单调递减
(2)因为 ,由于(I)知, ,当 时, ,函数 单调递减:当 时, ,函数 单调递增,所以 在 上的最
小值为
由于“对任意 ,存在 ,使 ”等价于“ 在 上的最小值
不大于 在 上的最小值 ”
又 , ,所以
①当 时,因为 ,此时与 矛盾
②当 时,因为 ,同样与 矛盾
③当 时,因为 ，解不等式
可得
综上, 的取值范围是 ．
15．（2022·四川乐山·高二期末（文））已知函数 ．
(1)求函数 的最大值；
(2)斜率为k的直线与曲线 交于 ， 两点，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）
∵ ，令 ，得 ．当 时， ， 单调
递增；当 时， ， 单调递减，∴ ．
（2）
∵ ，又 ，则 ，则
，欲证 ，
只需证 ．只要证 ，令 ，只要证 ，由
知 ，只要证 ．
①设 ，∵ ，∴ 在 是增函数，∴当 时，
，即 ；
②设 ，∵ ，∴ 在 是增函数，∴当
时， ，即 ．
由①②知 成立，则 得证．
16．（2022·江西·二模（理））设 为实数，函数 ．
(1)判断函数 在定义域上的单调性；
(2)若方程 有两个实数根 ，证明： （
是自然对数的底数）
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(1)
，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
(2)
证明： ，
令 ，
在 上单调递增，在 上单调递减， ，∴ ，
不妨设 ，则 ，故 ，
令 ，所以 ，
要证 ，只要证 ，只要证 ，
令 ，
设 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∵ ，则存在 ，使得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
∵ ，
∴ 在 上恒成立，即证 ．
17．（2022·天津二十中高三期中）已知函数.
(1)若 ，求函数 的单调增区间；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求整数a的最小值；
(3)当 时，函数 恰有两个不同的零点 ，且 ，求证： .
【答案】(1)单调增区间为
(2)2
(3)证明见解析
【详解】（1）当 时， ，所以 ，
则 ，定义域为 .
令 ，解得： .
所以 的单调增区间为 .
（2）依题意 对 恒成立，等价于 对
恒成立.
令 ，则
令 在 上是增函数，
，
所以 ，使 即
对 ， ， ，所以 在 上单调递增；对 ， ， ，所以 在 上单调递减.
所以 .
所以 .
又 ，所以整数a的最小值2
（3）当 时，由（2）知 在 上单调递增，在 上单调递减且
， 时， ； 时， ；
依题意存在 ， 使得
已知 可得
要证 成立，只需证
因为 是 的零点，所以 ，
两式相减得：
即
只需证
又因为 只需证
即证令 则 ，所以 ，
所以 在 增函数，所以 即 .
即 成立.
所以原不等式得证.
18．（2022·四川·盐亭中学模拟预测（文））设m为实数，函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若方程 有两个实数根 ，证明： .
（注： 是自然对数的底数）
【答案】(1)在 上单调递增，在 上单调递减
(2)证明见解析
（1）
，
令 解得： ；令 解得：
函数 在 上单调递增，在 上单调递增.
（2）
证明： ，
令 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，则 的极大值为： ，
，不妨设 ，则 ，故 ，
令 ，所以 ，
要证 ，只要证： ，
只要证： ，
令 ，
设 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
∵ ，
则存在 ，使得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
，
在 上恒成立，
即证得： .
