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专题09 数列中的放缩和新情境问题
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）
核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）
聚焦题型精准解密（5 大题型精讲+变式拔高训练）
题型一 等比放缩（数列不等式证明）（
）
题型二 通项放缩（通项结构优化）（
）
题型三 新定义数列（概念转化）（
）
题型四 裂项放缩（求和不等式）（
题型五 斐波那契型递推新情境（递推创新）（
）
实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
高考中集合、常用逻辑用语、复数是基础送分模块，一般10~15 分试题，常以小题的形式出现，但需
特别关注近年新趋势——集合新定义题型已延伸至解答题，备考需紧扣：
基础知识必备：集合掌握元素关系、交并补运算（数轴/Venn 图法）及符号规范；复数熟用四则运算（尤
其除法分母实数化）、实虚部与模的计算，……；
2026 高考预测：集合以基础运算为送分核心，新定义题型、跨模块融合及解答题延伸为2026 年主要考向；
常用逻辑用语聚焦充要条件判断（结合主干知识），兼顾命题否定与真假判断，隐性逻辑应用增强；复数
侧重四则运算、实虚部与模的计算，几何意义考查概率上升，存在适度拓展趋势.……
重难知识汇总：
常用技巧方法：集合需能结合函数定义域、概率等跨模块应用，应对新定义题型；常用逻辑用语会用定
义/集合法判定充要条件，结合函数、数列化简复杂命题；
易错避坑提效：集合避免漏算空集、混淆区间端点；逻辑用语别颠倒充分必要、漏改命题量词；复数明确
虚部概念。
题型一 等比放缩（数列不等式证明）
方法点拨：构造等比数列：通过放缩通项公式，将非等比数列转化为等比数列（公比 q∈(0,1)），利
用等比数列求和公式求和后证明不等式。 关键工具：糖水不等式（若 a>b>0，m>0，则
、
二项式定理放缩（如
）。 放缩原则：保证放缩后数列可求和，且放缩方向与不等式一致
（放大或缩小）
【典例01】（2025·天津南开·一模）在正项等比数列
中，
.
(1)求
的通项公式：
(2)已知函数
，数列
满足：
.
（i）求证：数列
为等差数列，并求
的通项公式
（ii）设
，证明：
，
【典例02】（云南大理白族自治州2025 高三统一检测）已知首项为3 的正项数列
的前n 项积为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前n 项和为
，证明：
.
【变式01】（四川德阳中学2024 高三高考直击卷）已知数列
和首项为2 的等比数列
的各项均为
正数，若
，
，且
.
（1）求
和
的通项公式和
的前n 项和
；
（2）若数列
的通项公式满足
，设
为
的前n 项和，求证：
.
【变式02】（2025·高三·河南洛阳·期中）已知数列
满足
，设
.
（I）求证：数列
为等比数列，并求
的通项公式；
（II）设
，数列
的前
项和
，求证：
.
【变式03】（2025·天津河西·模拟预测）已知数列
是正项等比数列，
是等差数列，且
，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
数列
的前n 项和为
，求证：
；
(3)
表示不超过x 的最大整数，
；
求（i）
；
（ii）
．
题型二 通项放缩（通项结构优化）
方法点拨：1.结构分析：针对分式型（如
）、根式型（如
）、指数型（如
）通项，
采用裂项、有理化、不等式性质放缩。 2.函数辅助：构造函数 f (x)，利用导数判断单调性，得到通项的
不等关系（如 x>ln (1+x) 用于指数型通项放缩）。3.精度控制：避免过度放缩，必要时可对前几项保留原
式，从第 k 项开始放缩。
【典例01】（25-26 高三上·江苏·期末）已知数列
满足
，且
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)在（2）的条件下，令
，记数列
的前
项和为
，证明：
．
【典例02】（25-26 高三上·广西南宁·开学考试）已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)令
，
为
的前
项之积，求证：
．
【变式01】（2025·高三·山东青岛·期末）在各项均为正数的数列
中，
，
，
．
(1)证明数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)若
，记数列
的前n 项和为
．
（i）求
；（ii）证明：
．
【变式02】（25-26 高三上·浙江温州·期中）已知正项数列
满足
．
(1)求证：
是等比数列
(2)设
，记数列
的前
项和为
，求证：
．
【变式03】（2025 高三·全国·专题练习）已知首项为3 的正项数列
的前n 项积为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前n 项和为
，证明：
.
题型三 新定义数列（概念转化）
方法点拨：核心场景：定义新性质（如 “速增数列”“受限数列”）、新运算（如行列式定义、生
成数列），需转化为熟悉数列问题。 方法点拨： 紧扣定义：将新定义翻译为数学表达式（如 “速增数
列” 转化为 aₙ₊₂ -aₙ₊₁ >aₙ₊₁ -aₙ）。 回归基础：转化为等差、等比数列的通项、前 n 项和问题，或利用
单调性、周期性、有界性分析。 特殊值验证：通过前 3-5 项的计算，发现规律（如周期、单调性），辅
助解题。
【典例01】（2025·湖南永州·三模）如果数列
对任意的
，都有
成立，则称
为
“速增数列”.若数列
为“速增数列”，且任意项
，
，
，
，则正整数k 的最
大值为（ ）
A．62
B．63
C．64
D．65
【典例02】（2025·天津·模拟预测）数列{an}各项均为实数，对任意n∈N
*满足an+3=an
，定义：行列式
|
a
b
c
d|=ad -bc且行列式|
an
an+1
an+2
an+3|=c为定值，则下列选项中不可能的是（ ）
A．a1=1，c =1
B．a1=2，c =2
C．a1=1，c =0
D．a1=2，c =0
【变式01】（24-25 高三上·福建厦门·阶段练习）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制
成9 个圆环，解开九连环共需要256 步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.
九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下
最少需要移动的次数记为an(n≤9,n∈N
*)，已知a1=1,a2=1，按规则有
an=an-1+2an-2+1(n≥3,n∈N
*)，则解下第5 个圆环最少需要移动的次数为（ ）
A．4
B．7
C．16
D．31
【变式02】（2025·江西·模拟预测）若数列
满足
且
，则称数列
为“对数
底数列”.已知正项数列
是“对数2 底数列”且
，则当
且
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式03】（25-26 高三上·江苏南京·开学考试）对于数列
，记
，称数列
为
数列
的差分数列．
(1)已知
，证明：
的差分数列为等差数列；
(2)已知
的差分数列为
，求
的通项公式．
题型四 裂项放缩（求和不等式）
方法点拨：常见裂项形式：
、
。 放缩技巧：裂
项后保证剩余项可抵消，或通过 “添项”“减项” 调整放缩精度（如
）。 求和验证：先
求和再放缩，或先放缩再求和，确保步骤可逆且不等式成立。
【典例01】（2025·辽宁·模拟预测）已知数列
，
为数列
的前
项和，且满足
，
．
(1)求
的通项公式：
(2)证明：
．
【典例02】（2025·吉林长春·三模）记
为数列
的前
项和，已知
，
．
(1)判断
是否为等比数列，并求出
的通项公式；
(2)设递增的等差数列
满足
，且
、
、
成等比数列．设
，
证明：
．
【变式01】（24-25 高三上·辽宁·月考）已知数列
的首项为1，其前
项和为
，等比数列
是首项
为1 的递增数列，若
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)证明：
；
(3)求使得
成立的最大整数
．
【变式02】（2025·四川·模拟预测）已知数列
满足
，且
．
(1)证明：
为等比数列；
(2)设
，证明：
；
(3)设
，且数列
的前
项和为
，证明：
．
【变式03】（2025·浙江·一模）已知渐近线为
的双曲线
过点
，过点
且斜率为
的直线
交双曲线
于异于
的点
，记
的面积为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)求
；
(3)证明：
.
题型五 斐波那契型递推新情境（递推创新）
方法点拨：核心场景：以实际背景（如兔子繁殖、九连环）或递推关系（aₙ₊₂ =aₙ₊₁ +aₙ）定义新数列，
考查通项、求和或不等式。 方法点拨： 递推转化：利用递推关系推导通项性质（如 aₙ₊₂ -aₙ₊₁ =aₙ），或
构造等比数列求通项。 归纳证明：对与 n 相关的不等式，采用数学归纳法证明，结合放缩技巧优化步骤。
性质应用：利用斐波那契数列的单调性、有界性辅助解题。
【典例01】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳
多
斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：
・
1、1、2、3、5、8、13、21、
34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：F (1)=1，
F (n)= F (n-1)+ F (n-2)(n≥3,n∈N
*)，记此数列为{an}，则a2019+a2020+a2022+a2024
等于（ ）
A．a2023
B．a2024
C．a2025
D．a2026
【典例02】（2025·广东·一模）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数
列”.这一数列如下定义：设{an}为斐波那契数列，a1=1，a2=1，an=an-1+an-2(n≥3,n∈N
*)，其通项
公式为an= 1
❑√5[(
1+ ❑√5
2 )
n
-(
1- ❑√5
2 )
n
]
，设n是log2[(1+ ❑√5)
x -(1- ❑√5)
x]< x + 4的正整数解，则n的最大
值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式01】（2025·湖南长沙·一模）裴波那契数列
，因数学家莱昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而
引入，故又称为“兔子数列”，该数列
满足
，且
.洛卡斯数列
是
以数学家爱德华·洛卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式02】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）提丢斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何
学规则，它是1766 年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一
条定律，即数列
：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n 颗行星与太阳的平均
距离（以AU 为天文单位）．现将数列
的各项乘以10 后再减4 得数列
，可以发现
从第3 项起，
每一项是前一项的2 倍，则
．
【变式03】（2025·江苏淮安·模拟预测）斐波拉契数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于它前
两项的和.很多自然现象中都蕴含着这个数列，比如图（1）中螺旋星系的星球分布呈螺旋形结构，这个结
构中的每条曲线称为等角螺线.现用图（2）的方式近似地绘制等角螺线：由正方形构成一系列的长方形，
正方形的边长为斐波拉契数列的连续项，在每一个正方形内绘制一个圆的
，这些圆弧连结起来就近似地
得到等角螺线.将正方形的边长由小到大排列，已知第
个正方形的边长为
，第
个正方形的边长
为
，则前
个正方形中圆弧总长为 .
（限时训练：15 分钟）
1． （2025·高三·浙江·期中）已知数列
满足
，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选题）（2025·辽宁铁岭·一模）设数列
满足
，
对
恒成立，
则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．
是递增数列
C．
D．
3. （24-25 高三上·湖北·月考）定义：在数列
中，
，其中
为常数，则称数列
为“等比差”数列．已知“等比差”数列
中，
，
，则
（ ）
A．1763
B．1935
C．2125
D．2303
4. （2025·云南昆明·一模）数列{Fn}:1,1,2,3,5,8,13,21,34 ,...,成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数
学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等
于其前两相邻两项之和，记该数{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是（ ）
A．S2019= F2021+2
B．S2019= F2021-1
C．S2019= F2020+2
D．S2019= F2020-1
5. （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿用“作切线”的方法求函数f (x)零点时给出一个数列
{xn}: xn+1= xn- f (xn)
f
'(xn)
，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x)=a x
2+bx +c (a>0)有两个零点1，
2，数列{xn}为f (x)的牛顿数列．设an=ln xn-2
xn-1
，已知a1=2，{an}的前n项和为Sn
，则S2025+2等于（ ）
A．2025
B．2026
C．2
2025
D．2
2026
6. （2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列{an}(n∈N
*)的首项a1=1，前n项和为Sn
.设λ与k是常数，
若对一切正整数n，均有Sn+1
1
k
- Sn
1
k = λ an+1
1
k
成立，则称此数列为“λ & k”数列.若数列{an}(n∈N
*)是“
❑√3
3 &2”数列，则数列{an}的通项公式an=（ ）
A．3×4
n-2
B．¿
C．4×3
n-2
D．¿
7.（2025·浙江·模拟预测）已知数列
满足
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)记
为
的前n 项和，证明：当
时，
．
8. （2025·天津南开·模拟预测）设数列
满足：
．设
为数列
的前n 项和，
已知
，
．
（1）求数列
，
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前n 项和
；
（3）证明：对任意
且
，有
．
