文档内容
专题 10 数列不等式的放缩问题
【目录】
..............................................................................................................................................1
...............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................6
考点一：先求和后放缩................................................................................................................................................6
考点二：裂项放缩.......................................................................................................................................................7
考点三：等比放缩.......................................................................................................................................................8
考点四： 型不等式的证明................................................................................................................9
考点五： 型不等式的证明................................................................................................................10
考点六： 型不等式的证明......................................................................................................................11
考点七： 型不等式的证明.....................................................................................................................12
数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，
将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠
拢．
考点要求 考题统计 考情分析
【命题预测】
预测2024年高考，多以解答
2023年II卷第18题，12分 题形式出现，具体估计为：
2022年I卷第17题，10分 （1）导数压轴题第二问，利
数列不等式 2021年乙卷第19题，12分 用导数证明数列不等式，难
2021年II卷第17题，10分 度较大．
2021年浙江卷第20题，15分 （2）数列解答题第二问，难
度中等偏上，属综合性问
题．
常见放缩公式：
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9） ；
（10）
；
（11）
；
（12） ；
（13） ．
（14） ．（15）二项式定理
①由于 ，
于是
② ，
；
，
（16）糖水不等式
若 ，则 ；若 ，则 ．
1．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前 项和，
， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
2．（2022•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
3．（2021•乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等差数列．（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前 项和．证明： ．
4．（2021•天津）已知数列 是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列 是公比大于0的等
比数列， ， ．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）记 ， ．
证明： 是等比数列；
证明： ．
5．（2021•新高考Ⅱ）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）求使 成立的 的最小值．
6．（2021•浙江）已知数列 的前 项和为 ， ，且 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ，记 的前 项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围．考点一：先求和后放缩
例1．（2023·广西玉林·校联考模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
(1)证明：当 时，数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
例2．（2023·全国·模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ，且 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式．
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
例3．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．例4．（2023·辽宁大连·高三校联考期中）已知 为数列 的前 项和， ， ，记
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .
考点二：裂项放缩
例5．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知数列 满足 ，数
列 的首项为2，且满足
(1)求 和 的通项公式
(2)记集合 ，若集合 的元素个数为2，求实数 的取值范围．
(3)设 ，证明： ．
例6．（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知数列 满足 ， ，且 ．
(1)令 ，求 ；
(2)记 的前n和为 ，求证： ．
例7．（2023·江西萍乡·高三统考期中）已知正项数列 中， ，前 项和为 ，且__________.请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：① ，② .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
考点三：等比放缩
例8．（2023·山东青岛·高三山东省青岛第十九中学校考期中）数列 是等差数列，数列 是等比数列，
满足： ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)数列 和 的公共项组成的数列记为 ，求 的通项公式；
(3)记数列 的前 项和为 ，证明：
例9．（2023·河南·高三校联考期中）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，记数列 的前n项和为 ，求证： ．
例10．（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知数列 的首项 ， 是 与 的等差中项．
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)证明： ．考点四： 型不等式的证明
例11．（2023·北京通州·高三统考期中）已知数列 的各项均为正数，且满足 （ ，
且 ）.
(1)若 ；
（i）请写出一个满足条件的数列 的前四项；
（ii）求证：存在 ，使得 成立；
(2)设数列 的前 项和为 ，求证： .
例12．（2023·江苏盐城·高三统考期中）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”
来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列” 的前几项分别是：0，2，
4，8，12，18，24，…，且 满足 其中 .
(1)求 （用 表示）；
(2)设数列 满足： 其中 ， 是 的前 项的积，求证： ，
.
例13．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设数列 的前n项之积为 ，满足
（ ）.(1)设 ，求数列 的通项公式 ；
(2)设数列 的前n项之和为 ，证明： .
例14．（2023·山西太原·高三统考期中）已知 为单调递增的等比数列， ，记 ，
分别是数列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
考点五： 型不等式的证明
例15．（2023·广东佛山·高一佛山一中校考期中）已知数列 满足 ，且 ，
（1）求证数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）记 ，求 ；
（3）是否存在实数k，使得 对任意 都成立？若存在，求实数
k的取值范围；若不存在，请说明理由．
例16．（2023·福建厦门·高一厦门外国语学校阶段练习）已知数列 的满足 ，且,记 .
(1)求证： 为等差数列，并求 的通项公式 ；
(2)设 ，求 的值；
(3)是否存在正实数 ，使得 对任意 都成立？若存在，求实数 的
取值范围；若不存在，请说明理由.
例17．（2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）设数列 满足 ， ，
令 .
(1)试证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)是否存在常数 ，使得数列 是等比数列？请说明理由.
(3)令 ，是否存在实数 ，使得 对一切 都成立？若存在，
求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
考点六： 型不等式的证明
例18．（2023·福建·高二福建师大附中校考期中）已知函数 的最小值为0，其中 ．
(1)求 的值；
(2)若对任意的 ，有 成立，求实数 的最小值；
(3)证明： ．例19．（2023·广东东莞·高三东莞市东莞中学校联考期中）已知数列 是公比大于0的等比数列， ，
.数列 满足： （ ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： 是等比数列；
(3)证明： .
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 ， 为数列 的前 项和，且满足 ，
．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
考点七： 型不等式的证明
例21．（2023·吉林·统考三模）已知函数 ．
（1）求 的最大值；
（2）设 ， 是曲线 的一条切线，证明：曲线 上的任意一点都不可
能在直线 的上方；
（3）求证： （其中 为自然对数的底数， ）．例22．（2023·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
(3)求证： （ ， 是自然对数的底
数）．
例23．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求 的值；
(2)证明： （ 且 ）.
