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2025二轮复习大题规范练（四）
一、基础保分练
1．（2024·浙江·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若曲线 在点 处的切线与二次曲线 只有一个公共点，
求实数a的值．
2．（24-25高三上·福建·阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ．已知
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， ，求 ；
(3)若 ，求 的值．
3．（2024·福建龙岩·三模）若数列 是公差为1的等差数列，且 ，点 在函
数 的图象上 ，记数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，证明: .
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面
为正方形，E为线段 的中点， ．(1)求证： ；
(2)求点E到平面 的距离．
5．（2024·河南开封·二模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，
上顶点为 ，且 ．
(1)求 的离心率；
(2)射线 与 交于点 ，且 ，求 的周长．
6．（2024·河南新乡·模拟预测）氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至
2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份
2015~2023．
已知 ， ， ， ．
(1)可否用线性回归模型拟合 与 的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明．
(2)若根据所给数据建立回归模型 ，可否用此模型来预测2024年和2034年
我国的氮氧化物排放量？请说明理由．附：相关系数 ．
二、能力增分练
7．（24-25高三上·江苏·开学考试）已知函数 ，其
中 是自然对数的底数．
(1)当 ，证明： 为定值，并求出函数 的对称中心；
(2)当 时，若 在定义域上单调递增，求实数 的最小值．
8．（2024·山西·模拟预测）已知函数 .
(1)若 ， ，求 的值；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，再将函数 图象
上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象，若 在区
间 上没有零点，求 的取值范围.
9．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知数列 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
10．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面
为矩形，且平面 平面 分别为棱 的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的大小为120°，求 的值．
11．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线 过点 ，左、右顶
点分别为 ， ，直线 与直线 的斜率之和为 ．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点 的直线 交双曲线右支于 ， （ 在第一象限）两点， ，
是双曲线上一点， 的重心在 轴上，求点 的坐标．
12．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根
据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站.
(1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车P的旅客中，随
机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示：
满
车站编号 不满意 合计
意
10 28 40
11 3
合计 85
完善表格数据并计算分析：依据小概率值 的独立性检验，在这两个车站中，能否
认为旅客满意程度与车站编号有关联？
(2)根据以往调图经验，列车P在编号为8至14的终到站每次调图时有 的概率改为当前终
到站的西侧一站，有 的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立.已知原
定终到站编号为11的列车P经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为X，求X的分布列及均值.
附： ，其中 .
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
三、拓展培优练
13．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)若 在 处的切线过原点，求 的取值；
(2)若 在 上单调递增，求 的取值范围.
14．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为a,b,c，若
内一点P满足 ，则称点P为 的布洛卡点，θ为
的布洛卡角．如图，已知 中， ，点P为 的布洛
卡点，θ为 的布洛卡角．
(1)若 ，且满足 ，求 的大小．
(2)若 为锐角三角形．证明： ．
15．（2024·福建·模拟预测）为庆祝祖国 周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活
动．盒中装有 个除颜色外均相同的小球，其中 个是红球， 个是黄球．每位顾客均有一
次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出 球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小
球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中．(1)在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；
(2)记 为第 个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列
的通项公式；
(3)设事件 为第 个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使 发生概率最大，求 的
值．
16．（2024·河南信阳·模拟预测）在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面） 的方程，
若曲面 和三元方程 之间满足：①曲面 上任意一点的坐标均为三元方程
的解；②以三元方程 的任意解 为坐标的点均在曲面
上，则称曲面 的方程为 ，方程 的曲面为 .已知空间中某单叶双
曲面 的方程为 ，双曲面 可视为平面 中某双曲线的一支绕 轴旋转一
周所得的旋转面，已知直线 过C上一点 ，且以 为方向向量.
(1)指出 平面截曲面 所得交线是什么曲线，并说明理由；
(2)证明：直线 在曲面 上；
(3)若过曲面 上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面 上.设直线 在曲面
上，且过点 ，求异面直线 与 所成角的余弦值.
17．（2024·四川内江·三模）已知抛物线E的准线方程为： ，过焦点F的直线与抛物
线E交于A、B两点，分别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、
D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明： 为定值.
18．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资
源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，
成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，
哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
（日） 1 2 3 4 5
（万
45 50 60 65 80
人）
(1)计算 的相关系数 （计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数
的相关性很强；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程；
(3)为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖
规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅
游团中有5个男游客和 个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为
，当 取多少时， 最大？
参考公式： ， ， ，
参考数据： ．
参考答案：1．(1)单调增区间： ，单调减区间： ．
(2) 或 ．
【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）首先求出函数的切线方程，与曲线联立方程，分析 得出结论.
【详解】（1）易知 定义域为R， ，
所以 ， ， ， ．
故 单调增区间： ，单调减区间： ．
（2）因为 ， ，
所以曲线 在点 处的切线为
把切线方程 代入二次曲线方程 ，得 有唯一
解，
即 且 ，即
解得 或 ．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形内角的范围即可求得；
（2）由余弦定理计算即得；
（3）方法一：利用正弦定理化边为角，再消去角 ，利用和角公式化简，解三角方程即得；
方法二：由角 的余弦定理推得 ，再用角 的余弦定理求出 ，结合角 的范围，即可求得 的值.
【详解】（1）由 及正弦定理得， ．
因为 ，所以 ，则 ，即 ．
因为B∈(0,π)，所以 ．
（2）根据余弦定理得 ，即 ，解得 或 （舍去），
故 ．
（3）方法一：由 和正弦定理，得 ，即 ．
，即 ，则得 ．
方法二：根据余弦定理得 ，
则 ．
,则角 是锐角，故 ，
则 ．
3．(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解 ，代入 到 中
即可求解 ，
（2）利用裂项求和即可求解.
【详解】（1）由 得 ， ，点 在函数 的图象上 ，
（2） ,显然数列 为等比数列，首项为1，公比为3，则 ，
.
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明 平面PAC，结合线面垂直性质定理推
得线线垂直；
（2）设点A到平面PBD的距离为d，得点E到平面PBD的距离为 ．结合三棱锥等体积
变换 求得距离．
【详解】（1）证明： 平面 ， 平面 ， ，
又底面ABCD为正方形， ，
又 ，且 平面 ，
平面PAC，
平面PAC， ．
（2） E为线段AB的中点，若点A到平面PBD的距离为d，则点E到平面PBD的距离为 ．
由题易知 ，
．
， ，解得 ．
点E到平面 的距离为 ．
5．(1)
(2)
【分析】（1）由 ，可得 ， 的关系，进而求出椭圆的离心率；
（2）由（1）可得 与 ， 与 的关系，设直线 的方程，与椭圆的方程联立，可得点
的坐标，求出|AB|的表达式，由题意可得 ， 的值，由椭圆的性质可得 的周长
为 ，即求出三角形的周长．
【详解】（1）依题意可得上顶点 ，左，右焦点分别为F (-c,0)， ，
1
所以 ， ，
又 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，所以离心率 ；
（2）由（1）可得 ， ，则椭圆方程为 ，射线 的方程为 ，
联立 ，整理可得 ，
解得 或 ，则 ，即 ，
所以 ，解得 ，则 ，
所以 的周长 ．
6．(1)可以用线性回归模型拟合 与 的关系，说明见解析
(2)可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量，理由见
解析
【分析】（1）根据题意，由相关系数的计算公式代入计算，即可判断；
（2）根据题意，由线性回归方程的意义，即可判断.
【详解】（1）从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合 与
的关系，
由题意知 ，
相关系数 ．
故可以用线性回归模型拟合 与 的关系．（2）可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量．
理由如下：
①2024年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，
故可以用此模型进行预测；
②2034年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在
短期内可能保持不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的．
7．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）当 时，得到 ，即可证明结果，由
，即可求出对称中心；
（2）由题有 在 上恒成立，利用基本不等式得到 ，即可求解.
【详解】（1）当 时， ，其中 ，
，
所以 ，
故函数 的对称中心为 ．
（2）当 时， ，其中 ，
因为 在定义域上单调递增，所以 在 上恒成立，
又 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
得到 ，所以 ，即 ，
所以 的最小值为 ．
8．(1)(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，进一步由题意得 、
，结合两角和的余弦公式即可求解；
（2）首先根据函数平移伸缩变换法则求得 的表达式，根据题意列出不等式组即可求
解.
【详解】（1）由题意知
，
因为 ，
所以 ，令 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以
.
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到，
将函数 图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），
得到函数 .
令 ，得 ，解得 ，
又 在区间 上没有零点，所以 ，
解得 ， ，又 ，
所以当 时， ；当 时， ，
即 的取值范围是 .
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由等差数列的定义得到数列{a }为以3为公差的等差数列，进而
n
求得其通项公式；
（2）由（1）求得 ，结合裂项法求和，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，数列{a }满足 ，即 ，
n
由等差数列的定义，可得数列{a }是以3为公差的等差数列，
n
因为 ，可得 ，所以数列{a }的通项公式为 .
n
（2）解：由（1） ，可得 ，
所以数列{b }的前 项和为：
n
.
10．(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）取棱 的中点 ，连结 ， ，可证四边形 是平行四边形，利
用线面平行的判定即可证明；
（2）建立空间直角坐标系 ，利用二面角的向量公式求出参数，即可求解
【详解】（1）如图，取棱 的中点 ，连接 ．
因为 是棱 的中点，所以 且 ．
又因为四边形 是矩形， 是棱 的中点，故 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ．
又 平面 平面 ，故 平面 ．
（2）取棱 的中点 ，则在正三角形 中， ，所以 平面 ．
以 为坐标原点， 的方向分别为 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐
标系设 ，则
．
所以 ．
设平面 的法向量为 ，
则 即 可取 ．
设平面 的法向量为 ，
则 即 可取 ．
由题设知 ，故 ，
即 ．
11．(1)
(2) 或【分析】（1）首先表示出左右顶点，由斜率公式求出 ，将点的坐标代入方程求出 ，
即可得解；
（2）设P(x ,y )，Q(x ,y )，直线 的方程为 ，联立直线与双曲线方程，消元、
1 1 2 2
列出韦达定理，由 得到 ，即可求出 ，即可求出 ，从而求出
，即可得解.
【详解】（1）依题意左、右顶点分别为 ， ，
所以 ，解得 ，
将 代入 得 ，解得 ，
故双曲线方程为 ；
（2）设P(x ,y )，Q(x ,y )，直线 的方程为 ，
1 1 2 2
将 代入 整理得 ， ，
∴ ， ，又由 ，
代入上式得 ，解得 ， ，
因为 的重心在 轴上，所以 ，
所以 ，代入双曲线得 ，
故 或 ．12．(1)表格补充见解析；在这两个车站中，旅客满意程度与车站编号有关联.
(2)X的分布列见解析，X的均值为 .
【分析】（1）根据题目所给数据补充表格即可；先零假设为 ：旅客满意程度与车站编
号无关，接着依据表格数据计算 的值，比较 与 的大小，再结合独立性检验的
思想方法即可下结论得解.
（2）先由题得X的取值，接着依次计算每个取值相应的概率即可得X的分布列，再根据均
值公式即可直接计算求解X的均值.
【详解】（1）补充列联表如下：
满
车站编号 不满意 合计
意
10 28 12 40
11 57 3 60
合计 85 15 100
零假设为 ：旅客满意程度与车站编号无关，
则 ，
所以根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为旅客满意程度与车站编号有关联.
（2）由题X的可能取值为 ，则 ； ；
； ，
所以X的分布列为
X 8 10 12 14
P
所以 .
13．(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义可得切线方程，结合切线过原点，即
可求得答案；
（2）先由题意可取特殊值求出 ，继而利用放缩法结合构造函数，说明 时
f'(x)≥0恒成立，再说明 时，不符合题意，即可确定答案.
【详解】（1）由题意知 ，得 ，
又 ，故切线方程为 ，
即 ，
由切线过原点，则 ，
故 .
（2）由题可知， 在R上单调递增，则f'(x)≥0恒成立，故必有 ，得 ，
而当 时，由于 ，则 ，
当 时f'(x)最小，此时 ，
令 ，则 ，有 ，
当 时， ， ，故 ，f'(x)在 上单调递减，
则
当 时， ，故 ，f'(x)在 单调递增，
则 ；
令 ， ，
当 时，当 时h'(x)>0，h(x)在(0,π)上单调递增，
反之 时h'(x)<0，h(x)在(0,π)上单调递减，
由三角函数知识，存在两点 使得 ，
且 和 上h'(x)>0， 上h'(x)<0，
故h(x)先增后减再增， ， ，
则h(x)在 时有唯一零点 且h(x)在 为正， 为负，
故f'(x)在 先增后减，且 ，故f'(x)>0，
则f'(x)≥0恒成立，故 时f'(x)≥0， 在R上单调递增；
当 时，由于 ，则 ，当 时，即有 ，不符合题意；
故a的取值范围为 .
【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于根据函数的单调性求解参数范围，解答时要借助
于特殊值先求出参数范围，继而再利用导数说明所求范围即为所求，计算量较大，解答过
程要不断构造函数，利用导数解决问题.
14．(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先判断 与 相似，进而得到 ，应用余弦定理求出
的值即可;
（2）在 内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式后，再针对 分别在
和 内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式，且
，表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，再化简整理得
，即可得证.
【详解】（1）若 ，即 ，得 ，
点 满足 ，则 ，
在 和 中， ， ，
所以 与 相似，且 ，所以 ，
即 ，由余弦定理得 ，且 ，
所以 .（2）在 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得
，
，
，
三式相加可得：
①；
在 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
在 和 内，同理 ，
于是 ，
因为 ，
由等比性质得 ②，
由①②得
即 ，
因为 ，所以 .
【点睛】关键点点睛：根据 表示出三角形得面积，在
中，由余弦定理相加，得出 与 的等量关系，是解决本题
的关键.
15．(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）利用条件概率公式计算；
（2）将 个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”转化为最后一位顾客中“特等
奖”，前 位顾客中有一位中“特等奖”，然后结合等比数列求和公式计算概率；
（3）根据概率最大列不等式，然后解不等式即可.
【详解】（1）设第 位顾客中“特等奖”为事件 ，第 位顾客中“参与奖”为事件 ，
， ，
故 ，
所以在第 位顾客中“参与奖”的条件下，第 位顾客中“特等奖”的概率为 .
（2）由题意得 ， 个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”表示最后一位
顾客中“特等奖”，前 位顾客中有一位中“特等奖”，
所以，
故数列 的通项公式为 .
（3）设第 个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大，
则概率 ，
要使 最大，即使 最大，
所以 ，
即 ，化简得 ，且 ，
又 在(0,+∞)上单调递减，
所以 ，综上所述， .
【点睛】关键点睛：（2）的解题关键在于将 个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特
等奖”转化为最后一位顾客中“特等奖”，前 位顾客中有一位中“特等奖”，然后求
概率.
16．(1)平面 上，以原点 为圆心，1为半径的圆；理由见解析(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据坐标平面 内点的坐标的特征可知，可得坐标平面 的方程；当
时，可得 平面截曲面 所得交线的方程，进而可得曲线类型；
（2）设 是直线 上任意一点，由题意有 ，从而得点 的坐标，代入曲
面 的方程验证即可.
（3）设 是直线 上任意一点，直线 的方向向量为 ，由题意有
，可得点 的坐标，代入曲面 的方程，进而可求得 的关系，可得 ，利
用向量夹角公式求解即可得出答案.
【详解】（1）根据坐标平面 内点的坐标的特征可知，坐标平面 的方程为 ，
已知曲面 的方程为 ，
当 时， 平面截曲面 所得交线上的点 满足 ，
即 ，
也即 在平面 上到原点距离为定值1，
从而 平面截曲面 所得交线是平面 上，以原点 为圆心，1为半径的圆.（2）设 是直线 上任意一点，
由 ， 均为直线 的方向向量，有 ，
从而存在实数 ，使得 ，即 ，
则 ，解得 ，
所以点 的坐标为 ，
于是 ，
因此点 的坐标总是满足曲面 的方程，从而直线 在曲面 上.
（3）直线 在曲面 上，且过点 ，
设 是直线 上任意一点，直线 的方向向量为 ，
由 ， 均为直线 的方向向量，有 ，
从而存在实数 ，使得 ，即 ，
则 ，解得 ，
所以点 的坐标为 ，
∵ 在曲面 上，∴ ，
整理得 ，
由题意，对任意的 ，有 恒成立，∴ ，且 ，
∴ ，或 ，
不妨取 ，则 ，或 ，
∴ ，或 ，
又直线 的方向向量为 ，
则异面直线 与 所成角的余弦值均为
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或
给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的
信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，
应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，
逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由抛物线的准线方程求解 ，即可求解抛物线标准方程.
（2）设出直线AB的方程，然后与抛物线方程联立，韦达定理，推出两切线方程，进而求
得点 ，点 ，从而求出直线 方程，联立抛物线方程，结合弦长公
式求出|MN|,|PQ|，代入运算化简即可证明.
【详解】（1）因为抛物线的准线为： ，设 ，则 ，所以 ，
故抛物线E的标准方程为 .
（2）易知抛物线E的焦点 ，设直线AB的方程为 ，A(x ,y )、B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为 ，
联立 可得 ，即 ，即 ，
所以，直线 与抛物线E只有唯一的公共点，
所以，AC的方程为 ，
同理可知，直线BD的方程为 ，
在直线AC的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
同理可得点 ，所以，直线 的方程为 ，即 ，
设点 、 ，联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以 ，
同理可得 ，所以
，
故 为定值 .
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明
这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定
值.
18．(1) ，可以认为两者的相关性很强
(2)
(3)当 时，恰有一次中奖的概率 最大
【分析】（1）根据相关系数 的公式计算并判断；
（2）根据公式求出 ，得解；
（3）根据题意可得 ，判断 的单调性可得
，即 ，由二项分布得 ，利用导数求
出最大值.
【详解】（1）因为 ，所以
，
，
，
所以 ，
由此可以认为两者的相关性很强．
（2）由（1）知 ， ．
所以 = ．
因为 ，所以回归方程为 ．
（3）记 ，
，
，即 ．
，令 ，
则 ，得 ， ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，当 时， 取得最大值．由 ，解得 或 （舍去），
当 时，恰有一次中奖的概率 最大．
【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是根据题意列出 的表达式，并判断单调
性求出 的范围，利用二项分布求出 ，借助导数求出最大
值.
