文档内容
2024 年高考数学二轮复习测试卷
（江苏专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．全集为 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】由 ，故 ， ，
又 ，
故 或 ， 或 .
故选：C
2．若复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 ，则 ，有 .
故选：A
3．在 中， ， ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，则 ，可得 ，
在 中， ， ， ，
由平面向量数量积的定义可得 ，
因此， .
故选：C.
4．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，
指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率， 表
示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为
0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下（不含
）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据： ， ）
A．11 B．22 C．227 D．481
【答案】D
【解析】由于 ，所以 ，依题意 ，则 ，
由 得 ，
，
， ，
，
所以所需的训练迭代轮数至少为 轮.
故选：D
5．已知 ，设椭圆 ： 与双曲线 ： 的离心率分别为 ， ．若 ，
则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知 ，
又 ，所以 ，
易知双曲线 的渐近线方程为 ，所以其渐近线方程为 .
故选：A
6．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ， 成等差数列，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ．
又因为 ， ， 成等差数列，则 ．
根据正弦定理可得： ，即 ，
展开得： ，
进一步得： ，
因为 ，可得 ，
又易知 为锐角，所以 ，则 ，故A正确.
故选：A．
7．若平面内分别到定点 的距离之差为6的点的轨迹是曲线 ，过点 且斜率为 的直
线与曲线 交于 两点（点 在 轴上方）．设 的内切圆半径分别为 ，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】根据双曲线的定义得，曲线 是以 分别为左、右焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程
为 ．设 的内切圆与 轴切于点 ．
根据双曲线的定义及圆的切线长定理，知 ，
即 ，解得 ，所以 的内切圆与 轴切于点 ．
同理， 的内切圆与 轴也切于点 ，所以 ．设 的内切圆圆心为 ，AB的斜率为 ，则倾斜角为 ，即 ，
则 ，根据圆的性质可得 ，
所以 ，解得 ．
同理，得 ，解得 ，所以 ．
故选：B．
8．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ， ，
则 在 上恒成立，故 在 上单调递减，
故 ，故 ，
即 ，即 ，、
令 ，则 ，故 在定义域内单调递增，
故 ，即 ；
令 ， ，则
在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ，故 ，
故 ，即 ，
故有 .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 ，函数 的最小正周期为 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．函数 在区间 上单调递增
C．将函数 的图象向左平移 个单位长度可得函数 的图象
D．函数 的图象关于直线 对称
【答案】BC
【解析】
,
所以 ，故A错误；即 ，
当 时， ，所以函数单调递增，故B正确；
将函数 的图象向左平移 个单位长度得 ，故C正确；
，所以函数 的图象不关于直线 对称.
故选：BC.
10．在正方体 中， ， 分别为线段 ， 上的动点，则（ ）
A．存在 ， 两点，使得
B．
C． 与 所成的最大角为
D． 与平面 所成的最大角的正弦值为
【答案】ABD
【解析】在正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，令 ，
则 ， ，
由 在线段 上，得 ，则 ， ，由 在线段 上，得 ，则 ， ，
对于A，当 时， ，即 ，而 ，则 ，A正确；
对于B， ， ， ，则 ，B正确；
对于C， ， ，当 时， ，
此时 与 所成的角为 ，C错误；
对于D， ，设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，得 ， ，设 与平面 所成的角为 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，D正确.
故选：ABD
11．某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随
机选择一个开启. 已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为 ，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中
奖品，则这次抽中的概率为 ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为 . 记玩家第 次抽盲盒，抽中
奖品的概率为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．数列 为等比数列
C． D．当 时， 越大， 越小
【答案】BC【解析】对于A， ，A错误；
对于B， ， ，
又 ， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，B正确；
对于C，由B得： ， ；
当 为奇数时， ， ；
当 为偶数时， ；
， ，C正确；
对于D， ， ， ，
即 ，D错误.
故选：BC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知圆 ，直线 ，圆上恰好有两个点到直线 的距离等于1．则符合条件的实数 可
以为 ．（只需写出一个满足条件的实数即可）
【答案】 （答案不唯一，符合 即可）
【解析】圆心为 ，圆的半径为2，设圆心到直线 的距离为 ，
因为圆上恰好有两个点到直线 的距离等于1，所以 ，即 ，
解得 ， ，
所以 的取值范围为 .
故答案为： （答案不唯一，符合 即可）.
13．招待客人时，人们常使用一次性纸杯，将其视为圆台，设其杯底直径为 ，杯口直径为 ，高为ℎ，
将该纸杯装满水（水面与杯口齐平）后，再将一直径为 的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入水
中并静止后，从杯口溢出水的体积为纸杯容积的 ，则
【答案】4
【解析】由题可得纸杯的体积为 ，
小铁球的体积为 ，
由题可得 ，即 ．
故答案为：4
14．函数 的图象与直线 的交点个数为 .
【答案】
【解析】令 ，则 ，
函数 在区间 上单调递增，
所以，曲线 与直线 的交点个数等于曲线 与直线 的交点个数，
作图易知，曲线 和直线 都过点 ，且都关于点 对称，
所以，曲线 与直线 的交点个数或者为 或者为 .下面考察关于 的方程 在区间 上的解的个数，
令 ，其中 ，
则 对 恒成立，
所以，函数 在区间 上单调递增，则 ，
所以，关于 的方程 在区间 上的解的个数为 ，
因此，函数 的图象与直线 的交点个数为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为 和 ， 为圆台的两条不同的母线.
(1)求证： ；
(2)截面 与下底面所成的夹角大小为 ，且截面截得圆台上底面圆的劣弧 的长度为 ，求截面 的面积.
【解析】（1）因为圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就
是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.
可知母线 与母线 的延长线必交于一点，即 四点共面，
又因为圆面 ∥圆面 ，且平面 圆面 ，平面 圆面 ，
所以 ∥ .
（2）解法一：因为劣弧 的长度为 ，则
由 ，可得 .
如图，建立空间直角坐标系 ，设 ，
则 ，
可得 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
由题意可知：底面的一个法向量 ，因为截面与下底面所成的夹角大小为 ，
则 ，
解得 ，即 ，可得 ，
在等腰梯形 中， ，
可得等腰梯形 的高 ，
所以 .
解法二：如图，分别取 的中点为 ，连结 ， ，
由题意可得： ，
所以 为截面 与底面所成夹角，即 ，
过点 作 于点 ，由 ，得 ，
则 （即梯形的高），
所以 .
16．（15分）
我校教研处为了解本校学生在疫情期间居家自主学习情况，随机调查了120个学生，得到这些学生5
天内每天坚持自主学习时长 （单位：小时）的频数分布表，假如每人学习时间长均不超过5小时．时长
学生数 30 24 40 16 10
(1)估计这120个学生学习时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)以表中 的分组中各组的频率为概率，校领导要从120名学生中任意抽取两名进行家长座谈．若抽
取的时长 ，则赠送家长慰问金100元；抽取的时长 ，则赠送家长慰问金200元；抽取的时
长 ，则赠送家长慰问金300元．设抽取的2名学生家长慰问金额之和为 ，求 的分布列及数学
期望．
【解析】（1）这120个学生学习时长的平均数
．
（2）依题意可得 的概率为 ，
的概率为 ， 的概率为 ．
的所有可能取值为200，300，400，500，600，
， ，
，
， ，
则 的分布列为
30 50
200 400 600
0 0
故 ．
17．（15分）已知正项数列 中， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项和 ，求满足 的正整数n的集合．
【解析】（1）由 ，有 ，
即 ，
因为数列 是正项数列，
所以 ，即 ，
可得数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，
故数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）可得 ．
所以 ，
故不等式 可化为 ，解得 ，
所以满足 的正整数n的集合为 .
18．（17分）
在平面直角坐标系 中，已知抛物线 和点 .点 在 上，且 .
(1)求 的方程；(2)若过点 作两条直线 与 ， 与 相交于 ， 两点， 与 相交于 ， 两点，线段 和
中点的连线的斜率为 ，直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， ，证明：
，且 为定值.
【解析】（1）设点 ，则 ，因为 ， ，
所以 ， ，所以点 ，
代入方程 中，得 ，所以 的方程为 .
（2）设点 ， ， ， ，
则直线 的斜率 ，
同理得直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，
所以 ，
，
从而得 .由 消去 得 ，
所以 ，
由 ，得 或 .
设 和 的中点分别为 ， ，
则 ， ，
同理 ， ，
所以 ，即 ，
所以得 .
19．（17分）
已知常数 为非零整数，若函数 ， 满足：对任意 ，
，则称函数 为 函数.
(1)函数 ， 是否为 函数﹖请说明理由；
(2)若 为 函数，图像在 是一条连续的曲线， ， ，且 在区间
上仅存在一个极值点，分别记 、 为函数 的最大、小值，求
的取值范围；
(3)若 ， ，且 为 函数， ，对任意，恒有 ，记 的最小值为 ，求 的取值范围及 关于 的表达式.
【解析】（1） 是 函数，理由如下，
对任意 ， ，
，故
（2）（ⅰ）若 为 在区间 上仅存的一个极大值点，则 在 严格递增，在 严
格递减，
由 ，即 ，得 ，
又 ， ，则 ，（构造 时，等号成立），
所以 ；
（ⅱ）若 为 在区间 上仅存的一个极小值点，则 在 严格递减，在 严格增，
由 ，同理可得 ，
又 ， ，则 ，（构造 时，等号成立），
所以 ；
综上所述：所求取值范围为 ；
（3）显然 为 上的严格增函数，任意 ，不妨设 ，此时 ，
由 为 函数，得 恒成立，即
恒成立，
设 ，则 为 上的减函数，
，得 对 恒成立，
易知上述不等号右边的函数为 上的减函数，
所以 ，所以 的取值范围为 ，
此时 ，
法1：当 时，即 ，由 ，而 ，所以 为 上的增函
数，
法2： ，
因为 ，当 ， ，所以 为 上的增函数，
由题意得， ， .
