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2023 年新高考数学仿真演练综合能力测试（一）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若 ，则 在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
在复平面内对应的点为 ，在第三象限.
故选：C
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 .
故选：B
3． 是定义在R上的函数， 为奇函数，则 （ ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】A
【解析】 是定义在R上的函数， 为奇函数，则
.
∴ .
故选：A4．已知椭圆的两个焦点为 ， ，M是椭圆上一点，若 ， ，则该椭
圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，因为 ， ， ，所以 ，
，所以 ，所以 ，所以 ．因为 ，所以
．所以椭圆的方程是 ．
故选：C
5．已知函数 ，函数 的图象由 图象向右平移 个单位得到，则下列关于函数
的图象说法正确的是（ ）
A．关于y轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线 对称 D．关于点 对称
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，且 ，所以函数是非奇
非偶函数，故A，B项错误；
因为 ，既不是 的最大值也不是最小值，所以 不是 的对称
轴，故C项错误；
因为 ，所以 是 的一个对称中心，故D项正确.
故选：D.
6．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是
用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 是边长为2
的正方形，且 均为正三角形， ，则该木楔子的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，分别过点A，B作 的垂线，垂足分别为G，H，连接 ，
易得 .
取 的中点O，连接 ，易得 ，
∴ .
∴多面体的体积
，
故选：A.
7．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，动点 满足 ，过点 的直线
与动点 的轨迹交于 ， 两点，记点 的轨迹的对称中心为 ，则当 面积取最大值时，直线
的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，由 得 ，
化简得 的轨迹方程为 ，所以点 ，
设点 到 的距离为 ，则 ，
所以 的面积 ，
等号成立时 ，即 面积最大时，点 到直线 的距离为 ，
故直线 不垂直于 轴，设直线 方程为 ，
即 ，则 ，
解得 ，所以直线 方程为 ．故选：A
8．在 中， ， 的内切圆的面积为 ，则边 长度的最小值为（ ）
A．16 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【解析】因为 的内切圆的面积为 ，所以 的内切圆半径为4．设 内角 ， ， 所对
的边分别为 ， ， ．因为 ，所以 ，所以 ．因为
，所以 ．设内切圆与边 切于点 ，由 可求得
，则 ．又因为 ，所以 ．所以 ．又因
为 ，所以 ，即 ，整理得 ．因为
，所以 ，当且仅当 时， 取得最小值．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B．已知随机变量 服从二项分布： ，设 ，则 的方差
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D．若样本数据 的平均数为2，则 的平均数为8
【答案】AD
【解析】对于A，共有7个数据，而 ，故第60百分位数为9，A正确；
对于B，易知 ，而 ，所以 ，B错误；
对于C，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是 ，C错误；
对于D，若样本数据 的平均数为2，则 的平均数为 ，D正确.
故选：AD
10．已知公差不为0的等差数列 的前n项和为 ，若 ，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】BC
【解析】在等差数列 中，因为 ，所以 ，则 ，故B正确；
因为公差 ，所以 ，故A错误；
因为 ，所以 即 ，
所以 ，故C正确；
因为 ，且 未知正负，故D错误；
故选：BC．
11．在正方体 中， ，点P满足 ，其中 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．当 平面 时， 不可能垂直
B．若 与平面 所成角为 ，则点P的轨迹长度为
C．当 时，正方体经过点 ､P､C的截面面积的取值范围为[ ， ]
D．当 时， 的最小值为
【答案】BD
【解析】对A，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
则 ， ，设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，即平面 的一个法向量为 ，若 平面
，则 ，即 ，由 ，则 ，即P为 中点时，有 平面 ，且 ，A错；
对B，因为 平面 ，连接 ，则 即为 与平面 所成角，
若 与平面 所成角为 ，则 ，所以 ，
即点P的轨迹是以 为圆心，以1为半径的 个圆，于是点P的轨迹长度为 ，B对；
对C，因为 ，所以点P一定在 上，又因为当 或1时， 的面积取最大值，此时截面面
积为 ，
设 的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和 运动时，所得截面对称相同，于是当 时，
的面积取最小值 ，此时截面面积为 ，C错；
对D，如图，将平面 与平面 沿 展成平面图形，
线段 即为 的最小值，
利用余弦定理可知 ，所以 ，D对.
故选：BD
12．当 时，不等式 成立．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】当 时，不等式 ，令 ，则 在 上单调递
增，
因 ，则 ，A正确；
因 ，则 ，B不正确；
由 知， ，有 ，则 ，
由选项A知， ，即 ，C不正确；
由 得， ，则 ，D正确.
故选：AD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，四边形 是边长为4的正方形，若 ，且 为 的中点，则 ______.
【答案】5
【解析】以A为坐标原点，以 ， 所在的直线分别为 轴， 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ，
则 ， ，
所以 .
故答案为：5.
14．若 的展开式中常数项为70，则 ______．
【答案】
【解析】 展开式的通项公式为 ，
当 时， ， ；
当 时， ， ，
所以常数项为 ，解得 ．
故答案为：
15．双曲线 的离心率为 ，F是C的下焦点，若P为C上支上的动点，设点P到C
的一条渐近线的距离为d，则 的最小值为______．
【答案】7
【解析】由已知可得， ，解得 ，
则双曲线方程为 ， ，双曲线的渐近线方程为 ，
如图，由双曲线的定义得： ，则 ，
到直线 的距离为 ，
∴ ，即 的最小值为7．
故答案为：7．16．正实数 ， 满足 ， ，则 的值为____________．
【答案】1
【解析】解法一：由 ，得 ，又因为 ，
所以 ， 是方程 的两个解，
设函数 ， ，
所以函数 在 上单调递减，
又 ， ，
则函数 在 上只有一个零点，即方程 只有一个解，
所以 ，∴ ．
解法二：因为 ，所以 ， ，即 ，
设函数 ，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ．
故答案为：1．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)求 .
(2)若点D在边AC上，且 ，求 .
【解析】（1）据已知条件及正弦定理得整理得 ，
又据余弦定理 ，则有 ，因为
则 ；
（2）因为 ，
所以 ，
故 ,
即
所以 ,
整理得
故 ,
化解得 ，因为 ，
故 ，
则 .
18．（12分）
2022年，为贯彻落实党的十九届六中全会、中央经济工作会议、中央农村工作会议、中央1号文件精神，
围绕巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴、加快农业农村现代化，国家继续加大支农投入，强化项
目统筹整合．某企业为合理规划价格，积极响应号召，将某农产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组
销售数据 （ ，2，3，4，5），如下表所示：
试销单价 （元） 3 4 5 6 7
产品销量 1
20 15 12 6
（件） 6
(1)若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量 （件）关于试销单价 （元）的线性回归方程 ；
(2)用 表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与 对应的产品销量的估计值，当销售数据 对应
的残差的绝对值 时，则将销售数据 称为一个“次数据”．现从5个销售数据中任取3个，
求“次数捃”个数 的分布列和数学期望 ．（参考公式：线性回归方程中 ， 的最小二乘估计分别为 ， ）
【解析】（1）由已知得， ， ，
， ，
所以 ， ，
所以产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程 ．
（2）当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当
时， ；易知“次数据”有3个，则 的可能取值为1，2，3，
， ， ，
所以 的分布列为：
1 2 3
所以 ．
19．（12分）
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形且 ，M为 的中点， ， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， 与平面 所成的角为45°，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）因为在 和Rt 中，
， ，
所以 ，因为 ， ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 为 与平面 所成的角，
则 ，
所以 ，
由勾股定理知： ，
可如图建立空间直角坐标系 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ，
由（1）知，平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，则有 ，
即 ，
取 ，得 ，
所以 ，
设二面角 的大小为 ，
则 ．20．（12分）
已知数列 对于任意的 均有 ；数列 的前n项和为
，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ， 为数列 的前n项和，且 恒成立，求λ的最大值.
【解析】（1）因为 ①,
当 时， ；
当 时， ②.,
①-②可得 ,
所以 时 .
经检验 ，符合上式，所以 .
对于{ }，由题意可得 ， ，当 ，所以 ，
时， ，则 ，
即 ， ，因为 ，所以 ，
所以 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以
，则 ，
恒成立，等价于 ，
化简得 ，即 即可.
令 ，
若 ，则 ，
即 时，数列 单调递增；又因为 ，所以 ，
即 ，可得 的最大值为10.
21．（12分）
已知中心在原点的椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，抛物线 的顶点为原点.
(1)求椭圆 和抛物线 的方程；
(2)设点 为抛物线 准线上的任意一点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 为切点.设直
线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
【解析】（1）设椭圆 和抛物线 的方程分别为 ， ， ，
椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，
，解得 ， ，
椭圆 的方程为 ，抛物线 的方程为 ．
（2）由题意知过点 与抛物线 相切的直线斜率存在且不为0，设 ，则切线方程为，
联立 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，
直线 ， 的斜率分别为 ， ， ，
为定值．
22．（12分）
已知函数 ， ．
(1)求证： 在 上单调递增；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1） ， ，
当 时， ， ， ，（等号不能同时成立），所以
；
当 时， ， ， ，所以 ，
所以当 时， ，综上， 在 上单调递增．
（2） ，化简得 ，
①当 时， ，显然恒成立；
②当 时， ，显然恒成立；
③当 时， ，∴ ．
设 ， ，
设 ， ．
∵ ，∴ ， ，∴ ， 在 上单调递增，
又由 ，所以当 时，∴ ， ，∴ 在 上单调递减，
当 时， ， ，∴ 在 上单调递增，
所以 ，故 ．
