文档内容
2024 年高考数学二轮复习测试卷
（广东专用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
,
.
故选：D.
2．设复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】B
【解析】 ，，
因此 ．
故选：B
3．已知向量 ，满足 ， ，且 ，则 （ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】C
【解析】由题意可知 ，且 ，
则 ， ，
所以 ．
故选：C
4．在前 项和为 的等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．3 B．10 C．15 D．25
【答案】C
【解析】设 的通项公式为 ，其中 是首项， 是公差，
则 ， ，
由题意 ，解得 ，又 ，
代入得 ，得 ，得 .
故选：C
5．已知函数 在 上的大致图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可知函数 为奇函数，
若 ，则有 ，
若 ，则有 ，
所以 与 都不是奇函数，故排除AD；
而由 ，可排除B，
若 ，经检验 C选项符合题意.
故选：C.
6．在三棱锥 中， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，将三棱锥 转化为长方体，可知三棱锥 的外接球即为长方体的外接球，
则 ，可得 ，
则外接球的半径 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：C.
7．过双曲线 的右顶点A作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，
的面积为 （O为坐标原点），离心率为2，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知双曲线的右顶点为 ，双曲线的渐近线方程为 ，
则过A与 平行的直线方程为 ，
联立 ，解得 ，即 ，则 ，
又 ， ，解得 ．
双曲线 .
故选：A．
8．定义 表示 ， ， 中的最小值．已知实数 ， ， 满足 ， ，则
（ ）
A． 的最大值是 B． 的最大值是
C． 的最小值是 D． 的最小值是
【答案】B
【解析】因为 ，所以在 ， ， 中，负数的个数为1或3，
又 ，所以在 ， ， 中，1个为负数，2个为正数，不妨设 ，则 ．
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，则 ，
故 的最大值是 ，无最小值．
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某学校从高一年级 名学生中抽取部分学生某次考试的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A．
B．估计高一学生数学成绩的平均分落在
C．估计高一学生数学成绩的第三四分位数为
D．估计高一学生数学成绩在 的学生人数为
【答案】AC
【解析】由频率分布直方图可知 ，故A正确；
由A项结论可知平均数为 ，故B错误；
设第三四分位数为 ，易知前三个区间占比 ，
前四个区间占比为 ，即第三四分位数位于 ，
有 ，故C正确；
由图得区间 占比 ，故可估计约有 ，故D错误.
故选：AC.
10．在正方体 中，点 为线段 上的动点，直线 为平面 与平面 的交线，则
（ ）A．存在点 ，使得 面
B．存在点 ，使得 面
C．当点 不是 的中点时，都有 面
D．当点 不是 的中点时，都有 面
【答案】ACD
【解析】当点 与 点重合时，由 ，而 面 ， 面 ，可知 面 ，即
A正确.
若 面 ，注意到 面 ，则 ，
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，
，
所以 ，与 矛盾，即B错误.当 不是 的中点时，由 ，且 面 ， 面 ，可知 面 ，
又直线 为面 与面 的交线，则 ，又 面 ， 面 ，从而可得 面
，即C正确.
同上，有 ，又 面 ， 面 ，所以 ，
又 面 ，
所以 面 ，则 面 ，即D正确.
故选：ACD.
11．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若函数 为奇函数，函数
为偶函数， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由 为奇函数可得 ，即 ，
，即 ，即 ，
所以函数 的图像关于直线 对称，
由 是偶函数可得 为奇函数，
，
即 ，所以函数 的图像关于点 对称；
将 代入 ，得 ，
将 代入 ，得 ，B选项正确；
将 代入 得 ，得 ，A选项错误；
，C选项正确；
将 代入 ，得 ，故 ， ，D选项错误.
故选：BC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设点 是直线 与直线 的交点，过点 作圆 的切线，请
写出其中一条切线的方程： ．（只需写一条即可）．
【答案】 （或 ）
【解析】
如图，由题意知，圆 ，联立 ，解得 ，
即点 ，过点 作圆 的切线，其切线方程为 或 ．
故答案为： （或 ）．
13．为了推动城乡义务教育一体化发展，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，
若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为 ．
【答案】540【解析】第一步将6名毕业生分成3组，且每组至少1人，一共有3种分配方案，
其中1、1、4分配方式有 种；
1、2、3，分配方式有 种；
2、2、2，分配方式有 种，
第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，其分法有 种，
利用分步计数原理可知，分配方案的总数为 ．
故答案为：540
14．第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵英丽的雪
花————“科赫雪花”． 它的绘制规则是：任意画一个正三角形 ，并把每一条边三等分， 以三等分
后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线 ，重复上述两步，
画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线
设雪花曲线 周长为 ，面积为 ，若 的边长为1，则 = ，
【答案】 /
【解析】由题意可知： ， ， ；
易知第 个图形的边长为 ，边数为 ，故 ，
由累加法得
故答案为： ；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， ，平
面 平面 ，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解析】（1） 四边形 是正方形， ，
又 平面 平面 平面 ，
又 平面 平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 平面 ．
（2）依题意知 两两垂直，故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 则可取 ，易知 为平面 的一个法向量，
平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
16．（15分）
已知函数 .
(1)求 的最小正周期和单调递增区间；
(2)锐角 中， ，且 ，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意有
，
由 ， ，有 ；由 ，得 .
故函数 的最小正周期为 ，单调递增区间为 .
（2）由（1）有 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，即 ，
由 ，所以 ，
则 ， .
因为 是锐角三角形，所以 即 ，所以 ，
所以 .
则有 .
所以 ，即
故 的取值范围为 .
17．（15分）
已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间
(2)讨论 的单调性；(3)当 时，证明 .
【解析】（1）当 时， ， 的定义域为 ，
则 ，
故当 时， ；当 时， .
故 在 单调递增，在 单调递减；
（2） 的定义域为 ， ．
若 ，则当 时， ，故 在 单调递增，
若 ，则当 时， ；当 时， .
故 在 单调递增，在 单调递减；
（3）由（1）知，当 时， 在 取得最大值，最大值为 ，
所以 等价于 ，即 ，
设 ，则 ，当 时， ，当 时，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
故当 时， 取得最大值，最大值为 ，所以当 时， ，
从而当 时， ，即 .
18．（17分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，在椭圆 上仅存在个点 ，使得 为直角三角形，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 是椭圆 上一动点，且点 在 轴的左侧，过点 作 的两条切线，切点分别为 、
.求 的取值范围.
【解析】（1）当 轴时，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
当 轴时，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
当 时，由题意可知，存在两个点 ，使得 为直角三角形，
设点 ，其中 ，则 ，可得 ，
且 ， ，
则 ，可得 ，
由题意可知， ，则 ，
当点 为椭圆短轴的顶点时， 到 轴的距离最大，此时， 的面积取最大值，
即 ，则 ，故 ，
因此，椭圆的方程为 .
（2）设点 、 ，先证明出抛物线 在点 处的切线方程为 ，联立 可得 ，即 ，解得 ，
所以，抛物线 在点 处的切线方程为 ，
同理可知，抛物线 在点 处的切线方程为 ，
联立 可得 ，
所以， ，则 ，即点 ，
因为点 在 轴左侧，则 ，即 ，
因为点 在椭圆 上，则 ，
设 ，其中 ，则 ， ，
所以，
，
因为 ，则 ，则 ，所以， ，
因此， 的取值范围是 .
19．（17分）
若无穷数列 满足： ，对于 ，都有 （其中 为常数），则称 具
有性质“ ”.
(1)若 具有性质“ ”，且 ， ， ，求 ；
(2)若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为2的等比数列， ， ，
，判断 是否具有性质“ ”，并说明理由；
(3)设 既具有性质“ ”，又具有性质“ ”，其中 ， ， ，求证：
具有性质“ ”.
【解析】（1）由 具有性质“ ”，则当 时， ，
故 ， ， ，又 ， ，
故 ，
即 ；
（2） 不具有性质“ ”，理由如下：
设 ， ，由 ， ，
即有 ，解得 ，故 ， ，则 ，有 ，
则 ，不恒等于 ，故 不具有性质“ ”；
（3）由 既具有性质“ ”，又具有性质“ ”，
即当 时，有 ， ，
则有 ， ，
由 ，故 ，
故 ，即 ，由 ， ，则 ，
当 ，即 时，有 ，
即对任意的 时，有 ，即 具有性质“ ”.
