2024年高考数学二轮复习测试卷（新题型，广东专用）（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_2.2024二轮复习_2024年高考数学二轮复习讲练（新教材新高考）

2024 年高考数学二轮复习测试卷 （广东专用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．设全集 ，集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 , . 故选：D. 2．设复数z满足 ，则 （ ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【解析】 ，， 因此 ． 故选：B 3．已知向量 ，满足 ， ，且 ，则 （ ） A．5 B． C．10 D． 【答案】C 【解析】由题意可知 ，且 ， 则 ， ， 所以 ． 故选：C 4．在前 项和为 的等差数列 中， ， ，则 （ ） A．3 B．10 C．15 D．25 【答案】C 【解析】设 的通项公式为 ，其中 是首项， 是公差， 则 ， ， 由题意 ，解得 ，又 ， 代入得 ，得 ，得 . 故选：C 5．已知函数 在 上的大致图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知函数 为奇函数， 若 ，则有 ， 若 ，则有 ， 所以 与 都不是奇函数，故排除AD； 而由 ，可排除B， 若 ，经检验 C选项符合题意. 故选：C. 6．在三棱锥 中， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，将三棱锥 转化为长方体，可知三棱锥 的外接球即为长方体的外接球， 则 ，可得 ， 则外接球的半径 ， 所以三棱锥 的外接球的表面积为 . 故选：C. 7．过双曲线 的右顶点A作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P， 的面积为 （O为坐标原点），离心率为2，则双曲线C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知双曲线的右顶点为 ，双曲线的渐近线方程为 ， 则过A与 平行的直线方程为 ， 联立 ，解得 ，即 ，则 ， 又 ， ，解得 ． 双曲线 . 故选：A． 8．定义 表示 ， ， 中的最小值．已知实数 ， ， 满足 ， ，则 （ ） A． 的最大值是 B． 的最大值是 C． 的最小值是 D． 的最小值是 【答案】B 【解析】因为 ，所以在 ， ， 中，负数的个数为1或3， 又 ，所以在 ， ， 中，1个为负数，2个为正数，不妨设 ，则 ． 因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，则 ， 故 的最大值是 ，无最小值． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某学校从高一年级 名学生中抽取部分学生某次考试的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则（ ） A． B．估计高一学生数学成绩的平均分落在 C．估计高一学生数学成绩的第三四分位数为 D．估计高一学生数学成绩在 的学生人数为 【答案】AC 【解析】由频率分布直方图可知 ，故A正确； 由A项结论可知平均数为 ，故B错误； 设第三四分位数为 ，易知前三个区间占比 ， 前四个区间占比为 ，即第三四分位数位于 ， 有 ，故C正确； 由图得区间 占比 ，故可估计约有 ，故D错误. 故选：AC. 10．在正方体 中，点 为线段 上的动点，直线 为平面 与平面 的交线，则 （ ）A．存在点 ，使得 面 B．存在点 ，使得 面 C．当点 不是 的中点时，都有 面 D．当点 不是 的中点时，都有 面 【答案】ACD 【解析】当点 与 点重合时，由 ，而 面 ， 面 ，可知 面 ，即 A正确. 若 面 ，注意到 面 ，则 ， 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1， ， 所以 ，与 矛盾，即B错误.当 不是 的中点时，由 ，且 面 ， 面 ，可知 面 ， 又直线 为面 与面 的交线，则 ，又 面 ， 面 ，从而可得 面 ，即C正确. 同上，有 ，又 面 ， 面 ，所以 ， 又 面 ， 所以 面 ，则 面 ，即D正确. 故选：ACD. 11．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若函数 为奇函数，函数 为偶函数， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由 为奇函数可得 ，即 ， ，即 ，即 ， 所以函数 的图像关于直线 对称， 由 是偶函数可得 为奇函数， ， 即 ，所以函数 的图像关于点 对称； 将 代入 ，得 ， 将 代入 ，得 ，B选项正确； 将 代入 得 ，得 ，A选项错误； ，C选项正确； 将 代入 ，得 ，故 ， ，D选项错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设点 是直线 与直线 的交点，过点 作圆 的切线，请 写出其中一条切线的方程： ．（只需写一条即可）． 【答案】 （或 ） 【解析】 如图，由题意知，圆 ，联立 ，解得 ， 即点 ，过点 作圆 的切线，其切线方程为 或 ． 故答案为： （或 ）． 13．为了推动城乡义务教育一体化发展，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作， 若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为 ． 【答案】540【解析】第一步将6名毕业生分成3组，且每组至少1人，一共有3种分配方案， 其中1、1、4分配方式有 种； 1、2、3，分配方式有 种； 2、2、2，分配方式有 种， 第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，其分法有 种， 利用分步计数原理可知，分配方案的总数为 ． 故答案为：540 14．第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵英丽的雪 花————“科赫雪花”． 它的绘制规则是：任意画一个正三角形 ，并把每一条边三等分， 以三等分 后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线 ，重复上述两步， 画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线 设雪花曲线 周长为 ，面积为 ，若 的边长为1，则 = ， 【答案】 / 【解析】由题意可知： ， ， ； 易知第 个图形的边长为 ，边数为 ，故 ， 由累加法得 故答案为： ； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形，四边形 是梯形， ，平 面 平面 ，且 ． (1)证明：平面 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值． 【解析】（1） 四边形 是正方形， ， 又 平面 平面 平面 ， 又 平面 平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 平面 ． （2）依题意知 两两垂直，故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 则可取 ，易知 为平面 的一个法向量， 平面 与平面 夹角的余弦值为 ． 16．（15分） 已知函数 . (1)求 的最小正周期和单调递增区间； (2)锐角 中， ，且 ，求 的取值范围. 【解析】（1）由题意有 ， 由 ， ，有 ；由 ，得 . 故函数 的最小正周期为 ，单调递增区间为 . （2）由（1）有 ，即 ， 又 ，所以 ，所以 ，即 ， 由 ，所以 ， 则 ， . 因为 是锐角三角形，所以 即 ，所以 ， 所以 . 则有 . 所以 ，即 故 的取值范围为 . 17．（15分） 已知函数 . (1)当 时，求 的单调区间 (2)讨论 的单调性；(3)当 时，证明 . 【解析】（1）当 时， ， 的定义域为 ， 则 ， 故当 时， ；当 时， . 故 在 单调递增，在 单调递减； （2） 的定义域为 ， ． 若 ，则当 时， ，故 在 单调递增， 若 ，则当 时， ；当 时， . 故 在 单调递增，在 单调递减； （3）由（1）知，当 时， 在 取得最大值，最大值为 ， 所以 等价于 ，即 ， 设 ，则 ，当 时， ，当 时， 所以 在 单调递增，在 单调递减， 故当 时， 取得最大值，最大值为 ，所以当 时， ， 从而当 时， ，即 . 18．（17分） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，在椭圆 上仅存在个点 ，使得 为直角三角形，且 面积的最大值为 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)已知点 是椭圆 上一动点，且点 在 轴的左侧，过点 作 的两条切线，切点分别为 、 .求 的取值范围. 【解析】（1）当 轴时，存在两个点 ，使得 为直角三角形， 当 轴时，存在两个点 ，使得 为直角三角形， 当 时，由题意可知，存在两个点 ，使得 为直角三角形， 设点 ，其中 ，则 ，可得 ， 且 ， ， 则 ，可得 ， 由题意可知， ，则 ， 当点 为椭圆短轴的顶点时， 到 轴的距离最大，此时， 的面积取最大值， 即 ，则 ，故 ， 因此，椭圆的方程为 . （2）设点 、 ，先证明出抛物线 在点 处的切线方程为 ，联立 可得 ，即 ，解得 ， 所以，抛物线 在点 处的切线方程为 ， 同理可知，抛物线 在点 处的切线方程为 ， 联立 可得 ， 所以， ，则 ，即点 ， 因为点 在 轴左侧，则 ，即 ， 因为点 在椭圆 上，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 所以， ， 因为 ，则 ，则 ，所以， ， 因此， 的取值范围是 . 19．（17分） 若无穷数列 满足： ，对于 ，都有 （其中 为常数），则称 具 有性质“ ”. (1)若 具有性质“ ”，且 ， ， ，求 ； (2)若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为2的等比数列， ， ， ，判断 是否具有性质“ ”，并说明理由； (3)设 既具有性质“ ”，又具有性质“ ”，其中 ， ， ，求证： 具有性质“ ”. 【解析】（1）由 具有性质“ ”，则当 时， ， 故 ， ， ，又 ， ， 故 ， 即 ； （2） 不具有性质“ ”，理由如下： 设 ， ，由 ， ， 即有 ，解得 ，故 ， ，则 ，有 ， 则 ，不恒等于 ，故 不具有性质“ ”； （3）由 既具有性质“ ”，又具有性质“ ”， 即当 时，有 ， ， 则有 ， ， 由 ，故 ， 故 ，即 ，由 ， ，则 ， 当 ，即 时，有 ， 即对任意的 时，有 ，即 具有性质“ ”.