文档内容
2024 年高考数学二轮复习测试卷
（全国卷文科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意全集 ，集合 ， ，则 ，
.
故选：D.
2．复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由题意知 ，所以该复数在复平面内对应的点为 ，该点在第二象限．故B正确.
故选：B.
3．已知 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，而 ，则 ，
于是 ，则 ，而 ，
所以 与 的夹角为 .
故选：A
4．若实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．6
【答案】C
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
设 得 ，
平移直线 ，
由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最大，
此时 最大．由 ，解得 ，即 ，
代入目标函数 得 ．
即目标函数 的最大值为
故选：C．
5．某学校一同学研究温差 （单位：℃）与本校当天新增感冒人数 （单位：人）的关系，该同学记录了
5天的数据：
5 6 8 9 12
16 20 25 28 36
由上表中数据求得温差 与新增感冒人数 满足经验回归方程 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． 与 有正相关关系 B．经验回归直线经过点
C． D． 时，残差为0.2
【答案】C
【解析】由表格可知， 越大， 越大，所以 与 有正相关关系，故A正确；
， ，
样本点中心为 ，经验回归直线经过点 ，故B正确；
将样本点中心代入直线方程，得 ，所以 ，故C错误；
，当 时， ， ，故D正确.
故选：C
6．若 ， ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时，因为 ， ，所以 ，即 可以推出 ，充分性成立；
当 时，比如取 ，此时有 ，但 ，
所以当 时，不能推出 ，必要性不成立；
故 是 的充分不必要条件.
故选：A
7．已知 为 上的减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
又因为 为 上的减函数，
所以 ，
故选：B
8．如图是 的大致图象，则 的解析式可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
对于A选项 ，研究
的图像可知 与 轴有两个交点,且一点为
坐标原点,另一个点横坐标为正，其他函数都不具备这样的特点.
另外因为 时
所以 为R上的增函数，
所以 在R上在某一个值左侧为减函数，右侧为增函数，
结合零点和绝对值对图像的影响可判断A正确.
根据 排除D选项，
B选项根据
对于 都成立可以判断B为偶函数，与所给图像不符，所以B不正确.
C选项根据当 时 ，为 上得增函数
与所给图像不符，所以C不正确.
故选：A
9．设等差数列 的前 项和为 ，且 .若 ，则（ ）
A． 的最大值是 B． 的最小值是C． 的最大值是 D． 的最小值是
【答案】D
【解析】由已知，得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以等差数列 为递增数列.
又 ，即 ，
所以 ， ，
即数列 前7项均小于0，第8项大于零，
所以 的最小值为 ，
故选D.
10．若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由曲线 ，可得 ，
又由直线 ，可化为 ，直线恒过定点 ，
作出半圆与直线的图象，如图所示，结合图象，可得 ，所以 ，
当直线与半圆相切时，可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A.
11．已知椭圆 的右焦点为 ，过坐标原点 的直线 与椭圆 交于 两点，点
位于第一象限，直线 与椭圆 另交于点 ，且 ，若 ， ，则椭圆
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设椭圆 的左焦点为 ，连接 ，所以四边形 为平行四边形．
设 ，则 ．
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ．
在 中， ，
由余弦定理得 ，所以 ，所以 ．
故选：B．
12．已知函数 的定义域为 ，其导函数是 .若对任意的 有 ，
则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令函数 ， ，求导得 ，
因此函数 在 上单调递减，不等式 ，
即 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：B
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】 ，因为 ，所以 .
故答案为： .
14．若 为奇函数，则 .
【答案】 /
【解析】 ，
由 ，得 或 ，
所以函数的定义域为 ，
因为奇函数的定义域关于原点对称，所以 ，得 ，
此时 ，
，
即 ，函数 为奇函数，所以 .
故答案为：
15．某艺术展览会的工作人员要将A，B，C三幅作品排成一排，则A，B这两幅作品排在一起的概率为
．
【答案】
【解析】根据题意A，B，C三幅作品排成一行，有ABC，ACB，BAC，BCA，CBA，CAB共6种情况，
A，B这两幅作品排在一起的情况有ABC，BAC，CBA，CAB，共4种，
则A，B这两幅作品排在一起的概率 .故答案为：
16．设 为正四棱台 下底面 的中心，且 ．记四棱锥 和
的体积分别为 ，则 ．
【答案】
【解析】设四棱台 上、下底面的边长分别为 ，高为 ，
则四棱锥 的体积 ，
四棱台的体积 ．
由对称性可知四个侧面与点 构成的四个四棱锥大小和形状完全相同，
所以四棱锥 的体积 ．所以 ．
故答案为： .
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
已知等差数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ,由题意得: 解得: ，
所以 的通项公式为 ，
即 .
（2）令 ，则 ，
即
整理得： .
18．（12分）
绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长.绵阳某旅行社随
机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：
喜欢旅
不喜欢旅游 总计
游
男性 20 30 50
女性 30 20 50
总计 50 50 100
(1)能否有 的把握认为喜欢旅游与性别有关？
(2)在以上所调查的喜欢旅游的市民中，按性别进行分层抽样随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进
行访谈，求这两人是不同性别的概率.
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828【解析】（1）根据列联表计算 ，
所以有 的把握认为喜欢旅游与性别有关；
（2）按分层比例可知，随机抽取的5人中，男性2人，女性3人，
设男性2人分别为 ， ，女性3人分别为 ，
5人中任取2人的样本空间为 ，共包含10个样本点，
其中2人不同性别包含的样本为 ，有6个样本点，
所以5人中随机抽取2人进行访谈，求这两人是不同性别的概率 .
19．（12分）
如图1，在直角梯形ABCD中， ， ， ，E是AD的中点，O是AC
与BE的交点.将 沿BE折起到如图2中 的位置，得到四棱锥 .
(1)证明： ；
(2)当平面 平面 时，求三棱锥 的体积.
【解析】（1）在图1中，连接 ,
∵ ， ，E是AD的中点，
所以四边形 是正方形，∴ ,
∴在图2中， ， ，
又 ， 、 平面 ，
∴ 平面 .
又 ，且 ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ；
（2）∵平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ ， ，
∴ .
20．（12分）
在直角坐标系xOy中，点 为抛物线 （ ）上一点，点M、N为x轴正半轴（不含原
点）上的两个动点，满足 ，直线PM、PN与抛物线C的另一个交点分别为点A、B.
(1)求直线AB的斜率；
(2)求 面积的取值范围.
【解析】（1）设 ，因为 在抛物线上，
所以 ，所以 ，所以 ，不妨设 在 的左边，过 作 垂直于 轴交于 点，如下图，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以直线 的倾斜角互补，
所以 ，
显然 不与 关于 轴的对称点重合，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
即直线 的斜率为 ；
（2）设 ，
联立 可得 ，
所以 ，
且 ，所以 ，若 与 重合，此时 ，
由上可知 ，
又 ，
且 到直线 的距离 ，
所以 ，
令 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以 的面积取值范围是 ，即为 .
21．（12分）
已知函数 .
(1)若 是增函数，求 的取值范围；
(2)若 有两个极值点 ，且 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题意 .
因为函数 在其定义域上单调递增，
所以 .
设 ，
①当 时，函数 在 上单调递增，只须 ，无解.②当 时，只须 ，解得： ，
综上所述：实数 的取值范围是 .
（2）由（1）知 ，
因为 有两个极值点为 ，
所以 在 上有两个不同的根，
此时方程 在 上有两个不同的根.
则 ，且 ，
解得 .
若不等式 恒成立，
则 恒成立.
因为
设 .
则 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上递减，所以 ，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）
在平面直角坐标系中，曲线 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 的极坐标方程；
(2)在极坐标系中，射线 与曲线 分别交于 两点（异于极点 ），求 ．
【解析】（1）因为曲线 ， ，
所以曲线 的极坐标方程 ，
因为曲线 的参数方程为 （ 为参数），
所以曲线 的普通方程为 ，即 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ；
（2）联立 ，解得 ，
联立 ，解得 ，
所以 .
选修4-5：不等式选讲已知函数 .
(1)解不等式 ；
(2)设函数 的最小值为 ，正数 、 、 满足 ，证明： .
【解析】（1）当 时，由 得 ，此时， ；
当 时，由 得 ，此时， ；
当 时，由 ，解得 ，此时， .
综上所述，不等式 的解集为 .
（2）证明：由（1）可知， ，
函数 在区间 上单调递减，且 ，
在区间 上单调递减，且 ，
在 上单调递增，且 ，
所以，函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
所以，函数 的最小值为 ，所以 ，
所以，
，
当且仅当 时，等号成立，所以， .
