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专题01 三角函数与解三角形大题
（4 维精讲+3 维精练）
考前百日冲刺目录
引领风向--最新模考新颖题（5 题）............................................1
最新热点热搜题（5 题）......................................................7
最新高频经典题（5 题）.....................................................13
最新高考真题回顾（5 题）...................................................19
最新模考基础练（5 题）.....................................................25
最新模考能力练（5 题）.....................................................29
最新模考压轴练（5 题）.....................................................34
引领风向
-- 最新模考新颖题（
5 题）
【典例】1．（2025·全国·模拟预测）已知
为
内一点，
成等差
数列．
(1)若
，求
周长的最大值；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差中项可得
，设
，进而根据外接圆的性质、三
角恒等变换公式可得
周长
，即可利用余弦函数的性质求解，
（2）设
，根据正弦定理及题设可得
，
，即可由正切的
和差角公式求解.
【详解】（1）由题意可知：
，
结合
成等差数列，可得
，
所以
，
不妨设
最小，且
，
由于
，故
为
的外接圆圆心，
则
，
故
的周长
，
故当
时，此时周长最大，且最大值为
，
（2）设
，由
，
，
则
，
，
在直角三角形
中，
，
在
中，由正弦定理可得
，
则
，整理得
，
所以
，
解得
，所以
.
【典例】2．（2025·四川眉山·一模）在
中，
，
上存在一点
，使得
，
为
的中点.
(1)若
，求
的面积；
(2)若
在
上的投影向量为
，求
的大小.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据余弦定理，求得
，得到
，结合
，即可求解；
（2）过
作
，得到
，设
，得到
，再在
中，由正弦定理求得
，联立方程组，得到
，即可求解.
【详解】（1）解：在
中，
，
由余弦定理得
，解得：
，
又因为
且
为
上的一点，则
，可得
，
所以
.
（2）解：因为
为
的中点，且
在
上的投影向量为
，
过
作
，垂足为
， 则
为等腰三角形，所以
，
设
，可得
，①
在
中，由正弦定理得：
，即
，②
联立①②，可得
，
因为
，可得
或
，
解得
或
.
【典例】3．（2025·浙江温州·一模）△ABC 的顶点A，B 分别在矩形CDEF 的边DE，EF 上运动，且
，
，
，记
，△ABC 的面积为
.
(1)写出
的解析式；
(2)求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得
，利用
，
，求得两边
，进而可求得面积
；
（2）利用三角恒等变换可求得
的最小值.
【详解】（1）因为在矩形CDEF 中，
，
，所以
，
因为△ABC 的顶点A，B 分别在矩形CDEF 的边DE，EF 上运动，所以
，
由
，可得
，由
，得
，
所以
，
；
（2）由（1）知
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
时，
.
【典例】4．（25-26 高三上·江西·期中）如图，四边形
的对角线相交于点
.
(1)求证：
；
(2)已知
.
①求四边形
的面积；
②若
与
面积相等，求证：
.
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②证明见解析
【分析】（1）在
中利用余弦定理将
表示出来，化简即可证明；
（2）①分别求出
的面积，再加和即可求出四边形
的面积；
②通过
与
面积相等求出
，再在
和
中利用余弦定理求出
，
，根据勾股定理证明
即可
【详解】（1）由余弦定理得
在
中，
①
在
中，
②
在
中，
③
在
中，
④
由③+④-①-②得：
.
故
（2）①由（1）得
，
又
可求得
.
又四边形
的面积为
.
②由若
与
面积相等，因为
为公共底边，
故两个三角形
上的高相等，即
，所以
.
设
.
在
中得：
，即
在
中得：
.两式相加得：
，两式相减得：
，
所以
，故
.
故
，所以
.
又
，所以
，
由勾股定理得：
.
【典例】5．（2025·江西新余·模拟预测）已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，其
中
.
(1)若
，求
的值；
(2)当
取到最大值时，求
的值；
(3)已知
，
，且
，记
表示
，
，中最大的数或式，若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由诱导公式化简得
，进而利用正弦定理边角互化可得
，即可利
用余弦定理求解，
（2）利用余弦定理求解
的最小值，根据面积公式求解，
（3）利用
的定义，得
，
，
，即可利用完全平方式求解.
【详解】（1）由
可得，
，
在
中，由正弦定理，
，
则
，
又由正弦定理，得
，因
，
由余弦定理，得
；
（2） 由（1）得：
，则
，
当
取到最大值时，角
必为锐角，此时
取到最小值；
由余弦定理，
，
当且仅当
，即
时
取最小值
，此时
，
则
；
（3）设
，则
，
，
，
故
，
，
因为
，
，且
，
故
，故
；
又当
，
时，
，即
，
故实数
的取值范围为
.
最新热点热搜题（
5 题）
【典例】6．（2025·江苏·一模）在
中，角
所对的边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，
，
为
的中点，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理或正弦定理进行边角转化，可求角
.
（2）法一：在
中，利用余弦定理，先求边
与
，再在
中利用余弦定理求
.
法二：利用
，在
和
中利用余弦定理列式，可求
的值.
法三：在
中，利用余弦定理，先求边
，再利用
，结合平面向量数量积的有关运
算，可求
的值.
【详解】（1）法一：因为
，由余弦定理：
，
得：
，则
，因为
，所以
．
法二：因为
，由正弦定理得：
，
，
，
，
因为
，所以
，因为
，所以
．
（2）在
中，由余弦定理得：
，
得：
，
法一：
，
在
中，由余弦定理得：
，得：
．
法二：因为
，所以
，
所以
，
所以
，解得：
．
法三：因为
，所以
，
，所以
．
【典例】7．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得
，从而可求
的值.
（2）利用正弦定理及三角变换公式可得
，结合
的范围可求其取值范围，从而可
求
的取值范围.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，
故
，
在
中，
，
，所以
，
，则
，
可得
，所以
，所以
.
（2）由正弦定理可得
（
为
外接圆的半径），
所以
，
，
因为
，则
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，则
，解得
，
则
，
，故
.
【典例】8．（2025·湖北武汉·二模）如图，
与
存在对顶角
，
，
，且
．
(1)证明：
为
中点；
(2)若
，求
的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设
，
，结合余弦定理，表示出
与
，根据
列式化简可得.
（2）先确定角
的数量关系，根据
求角
的三角函数，再在
中用正弦定理，
可求
的长.
【详解】（1）设
，
，则
，
.
在
中，由余弦定理得：
在
中，由余弦定理得：
.
由
，所以
.
化简得：
.
故
为
中点.
（2）如图：
过
点做
，交
与
.
则
.
由
（
）.
所以
，又
，所以
.
所以
.
所以
，又
，
.
所以
.
由
所以
.
又
，所以
，所以
.
所以
.
即
.
在
中，根据正弦定理，可得：
.
【典例】9．（2025·山东潍坊·一模）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，已知
，
．
(1)求
；
(2)若
的面积为
，
是
上的点，且
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知得出
，利用余弦定理结合
可得出
，再利用余弦定理可
求得
的值；
（2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出
、
、的值，求出
的值，利用正弦定
理可求出
的长.
【详解】（1）因为
，所以，
，即
，
因为
，则
，即
，故
，
由余弦定理可得
.
（2）因为
，则
，
因为
，可得
，
因为
，
，故
，
，
，
是
上的点，且
，则
，
，
所以，
，
在
中，由正弦定理可得
，
故
.
【典例】10．（2025·山西吕梁·一模）如图，已知三角形
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
的大小；
(2)若
，设
为三角形
的角平分线，求
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式和三角形内角和公式求解；
（2）利用面积方法和三角形的面积公式计算.
【详解】（1）由
得
,
又因为
，
所以
,
又因为
，
所以
,
又因为
,
所以
.
（2）因为
，
所以
,
又因为
,
所以
,
所以
,
故答案为：
.
最新高频经典题（
5 题）
【典例】11．（2025·江苏宿迁·二模）记
的内角
、
、
所对边分别为
、
、，面积为，
且
．
(1)证明：
；
(2)若
，
边上的高为
，求
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式结合二倍角的正弦定理可得出
，再利用正弦定理结合两角
和的正弦公式化简可得出所证结论成立；
（2）解法1：利用两角和的正切公式可求出
的值，过
作
，过
作
，
、
分别
为垂足，设
，在
中，应用勾股定理求出
的值，然后在
，利用勾股定理
可求出
的值；
解法2：利用同角三角函数的基本关系求出
、
的值，利用三角形的面积公式求出
的值，然后利
用正弦定理可求出
的值.
【详解】（1）因为
，所以
，
在
中，
，所以
．
由正弦定理
，得
．
因为
，
所以
，
所以
，即
，
所以
．
（2）因为
，所以
，由（1）知
．
法1：因为
，
所以
为锐角三角形．
过
作
，过
作
，
、
分别为垂足，
由
，设
，
因为
，所以
，
，
所以在
中，
，
，
，所以
，解得
，
所以在
中，
，即
．
法2：因为
，又因为
，解得
，
．
因为
，所以
，所以
，
．
由
，得
，解得
．
由正弦定理
，得
，解得
．
【典例】12．（2025·湖南·二模）在
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，点
在边
上，且
是
的平分线，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：由正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
解法二：直接由余弦定理化简求解即可；
（2）解法一：先由三角形的面积公式得到
，再结合
可得
，进
而求解即可；
解法二：由
，结合三角形的面积公式得到
，进而求解即可.
【详解】（1）由
，得
，
解法一：由正弦定理得
，
又
中，
，所以
，
所以
，
于是
，
又
，所以
，
又
，所以
.
解法二：由余弦定理得
，
化简得
，
由余弦定理得
，
又
，所以
.
（2）由
是
的平分线，得
，
解法一：
，
又
，
所以
.
解法二：由
得
.
即
，
解得
，
所以
.
【典例】13．（24-25 高三下·河南焦作·月考）已知
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，
c，
．
(1)若
在
上单调递增，求c 的取值范围；
(2)若
，
，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简
为
的形式，再根据正弦函数的单调性可求出的取值范围，
（2）利用小问1 的结论，代入计算，根据
的范围求出
，利用余弦定理，结合基本不等式可以得
到
的最大值.
【详解】（1）
．
当
时，
，因为
在
上单调递增，
所以
，所以
，
可得c 的取值范围为
．
（2）
，
，
，
，
是三角形内角，
，所以
，得
，
由余弦定理：
；
即
，可得
，
，当且仅当
时等号成立，
取得最大值
．
【典例】14．（2025·吉林·二模）在
中，角
所对的边分别为
.
(1)若
，求
的面积S；
(2)若角C 的平分线与
的交点为
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把
化成
，根据正弦定理可得
，在根据余弦定理，可得角
，
再结合余弦定理，表示出
，可得
的值，进而利用
可求
面积.
（2）根据
，结合
可得：
，再结合基本不等式，可
求
的最小值.
【详解】（1）由
，
得
.
由正弦定理得
.
所以
，
因为
，所以
.
在
中，
，
由余弦定理
，
得
，解得
.
所以
.
即
的面积S 为
.
（2）因为
为角C 平分线，
，所以
.
在
中，
，
所以
，
由
，得
，所以
.
因为
，所以由基本不等式
，得
，
所以
，当且仅当
时取等号.
所以
的最小值为
.
【典例】15．（2025·云南大理·模拟预测）在锐角△ABC 中，设角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，且△ABC 外接圆半径为
.
(1)求角B 的大小；
(2)求△ABC 周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）由
，利用正弦定理，可得
，由余弦定理求
出
，从而得到
的值.
（2）由正弦定理得
的值，将
进行边化角，得到
，由△ABC 为锐角三角形得到
，结合正弦函数的性质得到
的范围，从而得到△ABC 周长的取值范围.
【详解】（1）∵
，
由正弦定理，可得
，即
.
由余弦定理，可得
，又∵
，∴
.
（2）由正弦定理
，可得
，
，
∵△ABC 为锐角三角形，可得
，即
，解得
，
∴
，∴
，∴
，
即
，△ABC 周长的取值范围为
.
最新高考真题回顾（
5 题）
【典例】16．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
;
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）直接由题意得
，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得
，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数
的单
调区间.
【详解】（1）由题意
，所以
；
（2）由（1）可知
，
所以
，
所以函数
的值域为
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
函数
的单调递增区间为
.
【典例】17．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出
，最后结合已知
得
的值即
可；
（2）首先求出
，然后由正弦定理可将
均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程
求解.
【详解】（1）由余弦定理有
，对比已知
，
可得
，
因为
，所以
，
从而
，
又因为
，即
，
注意到
，
所以
.
（2）由（1）可得
，
，
，从而
，
，
而
，
由正弦定理有
，
从而
，
由三角形面积公式可知，
的面积可表示为
，
由已知
的面积为
，可得
，
所以
.
【典例】18．（2025·天津·高考真题）在
中，角
的对边分别为
．已知
，
，
．
(1)求A 的值；
(2)求c 的值；
(3)求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于
的方程，求解可得
，进而求得；
（3）利用正弦定理先求
，再由二倍角公式分别求
，由两角和的正弦可得.
【详解】（1）已知
，由正弦定理
，
得
，显然
，
得
，由
，
故
；
（2）由（1）知
，且
，
，
由余弦定理
，
则
，
解得
（
舍去），
故
；
（3）由正弦定理
，且
，
得
，且
，则
为锐角，
故
，故
，
且
；
故
.
【典例】19．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件
进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角
三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出
，然后根据正弦定理算出
即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由
可得
，即
，
由于
，故
，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由
，又
，消去
得到：
，解得
，
又
，故
方法三：利用极值点求解
设
，则
，
显然
时，
，注意到
，
，在开区间
上取到最大值，于是
必定是极值点，
即
，即
，
又
，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设
，由题意，
，
根据向量的数量积公式，
，
则
，此时
，即
同向共线，
根据向量共线条件，
，
又
，故
方法五：利用万能公式求解
设
，根据万能公式，
，
整理可得，
，
解得
，根据二倍角公式，
，
又
，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又
，则
，进而
，得到
，
于是
，
，
由正弦定理可得，
，即
，
解得
，
故
的周长为
【典例】20．（2025·北京·高考真题）在
中，
．
(1)求c 的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求BC 边上的高．
条件①：
；条件②：
；条件③：
的面积为
．
【答案】(1)6
(2)答案见解析
【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解；
（2）若选①，可得
都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得
，由余弦定理求得
，利用等面积法
求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得
，再根据余弦定理可求得
，由此可说明三角形
存
在，且可由等面积法求解
.
【详解】（1）因为
，所以
，
由正弦定理有
，解得
；
（2）如图所示，若
存在，则设其
边上的高为
，
若选①，
，因为
，所以
，因为
，这表明此时三角形
有两个钝角，
而这是不可能的，所以此时三角形
不存在，故
边上的高也不存在；
若选②，
，由
有
，由正弦定理得
,所以
，
所以由余弦定理得
,
此时三角形
是存在的，且唯一确定，
所以
,即
，
所以
边上的高
；
若选③，
的面积是
，则
，
解得
，由余弦定理可得
可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得
也可以唯一确定，即
可以唯一确定，
这表明此时三角形
是存在的，且
边上的高满足：
，即
.
最新模考基础练（
5 题）
21．（2025·四川南充·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别
其中
，
，
且
.
(1)求的值；
(2)求
的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，联立条件得解；
（2）由余弦定理及同角三角函数基本关系得解.
【详解】（1）因为
，所以由正弦定理可得
，
又
，
，
所以
，解得
；
（2）由（1）可得
，
，
，
所以
，
可得
，
所以
22．（2025·吉林松原·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
，且
，
．
(1)求
；
(2)求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理角化边，进而代值计算即可；
（2）根据题意结合同角三角关系求得
，进而可用三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，
又因为
，可得
，解得
.
（2）因为
，且
，则
，
所以
的面积
.
23．（2025·广东·模拟预测）设
的内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）先根据正弦定理角化边得
，再利用余弦定理求解；
（2）结合余弦定理可得
，则可得
的值，从而得解.
【详解】（1）由正弦定理得
，
所以
，
因为
，所以
.
（2）因为
，又
，
所以
，
故
，解得
，
故
的周长为
.
24．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
的最小正周期为
，其中
.
(1)求
，并求曲线
的对称中心；
(2)若
，求
.
【答案】(1)
，
；
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简
的表达式，结合函数的最小正周期，求出
，再结合正弦
函数的对称中心，即可求得答案；
（2）由
可求出
，利用三角函数诱导公式以及两角差的正切公式，即可求得
答案.
【详解】（1）
，
因为函数的最小正周期为
，
，所以
，则有
，
所以
；
由
，可得
，
，
所以函数
的对称中心为
；
（2）由于
，所以
，
则有
，即
，
所以
．
25．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数
的最小正周期为
．
(1)求
的值及
的对称中心；
(2)若将
的图象向左平移
个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）得到
的图象，求
的单调递增区间．
【答案】(1)
，对称中心为
；
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式变形，根据最小正周期得到
，整体法求出函数的对称中心；
（2）由平移和伸缩变换得到
，整体法求出函数的单调递增区间.
【详解】（1）
，
最小正周期为
，
，故
，
所以
，令
，解得
，
故
的对称中心为
；
（2）将
的图象向左平移
个单位，
得到
，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变）得到
，
令
，解得
，
故
的单调递增区间为
.
最新模考能力练（
5 题）
26．（2026·四川巴中·一模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
的外接圆半
径为
，且
，
．
(1)求
的值；
(2)若
的面积为
，求
的长．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式结合已知即可得解；
（2）由（1）求出
，再根据正弦定理可得出
的关系，再根据三角形的面积公式求出边长，即可
得解.
【详解】（1）由
，
结合正弦定理
得，
，
化简得
，因为
，
，且
，
不同时为钝角，
则
，
所以
，又
，所以
，
因此
；
（2）由（1）知
，
，
则
，
由正弦定理得，
，
令
（
），则
，
，
则
，
解得
，
故
.
27．（2025·江苏苏州·模拟预测）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若D 为边
上一点，
，
，
平分
，求a．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根据已知条件，利用正弦的和角公式及正弦定理、辅助角公式等进行求解即可；
（2）在
中利用正弦定理求出
的关系，从而可得c 和b 的方程，利用
可再得一个关于b、c 的方程，联立求出b、c，再利用余弦定理即可求出a．
【详解】（1）由
及正弦定理得
，
∴
，
∴
，
∵
，∴
，即
，
又∵
，
，
∴
，∴
；
（2）由题可知
，
，
在
中由正弦定理得
①，
②，
①÷②得
，即
．
又
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∴
，
∴
．
28．（2026·重庆·模拟预测）在锐角
中，内角
的对边分别是
，满足
.
(1)求角
的大小；
(2)求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式结合边角互化转化题干条件，得到
进而得解；
（2）列出余弦定理表达式，然后利用基本不等式求解.
【详解】（1）对于
，
由正弦定理和二倍角公式，
，
则
，
即
，
即
，
由题知
，则
，
得到
，由于
，则
，
于是
，解得
（2）由余弦定理，
，
由
，
，得到
，
由基本不等式，
，则
（
取等号），
，
即
时，
的最大值是
.
29．（2026·四川攀枝花·一模）在
中，内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且满足
．
(1)求角B；
(2)若
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得
，可求角B；
（2）已知
，
，由正弦定理结合三角恒等变换得
，再利用角
的范围和正弦函数的性质求得
周长的取值范围即可.
【详解】（1）因为
，
所以由余弦定理得
，
即
，即
，
又
，则
.
（2）由（1）知
，又
，
由正弦定理可得
，
则
，
由
，得到
，
，
则
，可得
，
故
周长的取值范围为
．
30．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的
处发现两座小岛
，测得小岛
在
的
北偏东
的方向上，小岛
在
的北偏东
的方向上，海轮从
处向正东方向航行
海里后到达
处，测得小岛
在
的北偏西
的方向上，小岛
在
的北偏东
的方向上.
(1)求
处与小岛
之间的距离；
(2)求
两座小岛之间的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在
中利用正弦定理计算可得；
（2）在
中利用余弦定理求出
，再在
中利用余弦定理求出
；
【详解】（1）由题可知在
中，
，
，所以
，
由正弦定理可得：
，及
，
所以
（海里）．
（2）由题可知在
中：
，
，所以
．
所以
（海里），
由余弦定理可得：
，
所以
（海里），
由题意可知，在
中，
，
由余弦定理可得：
，
所以
（海里）.
最新模考压轴练（
5 题）
31．（2026·陕西渭南·一模）已知函数
.
(1)求
的最小正周期及单调递增区间；
(2)设锐角
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，
，求
的面积.
【答案】(1)最小正周期为
；单调递增区间为
，
.
(2)
【分析】（1）用平方差公式和二倍角公式对函数进行化简，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递
增区间.
（2）先求出角
，再用余弦定理求出边长，最后用三角形面积公式求出面积即可.
【详解】（1）
，
，
所以
的最小正周期
，
令
，
，解得
，
，
所以
的最小正周期为
，单调递增区间为
，
.
（2）已知
，则
，
即
；
因为三角形是锐角三角形，所以
，则
，
在这个区间内
，解得
，
依据余弦定理
，可得
，
即
，解得
或
；
当
时，
，
此时
为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去
这种情况；
当
时，
，
此时
为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且
，
∠C 也为锐角，故△ABC 为锐角三角形，符合题干条件;
根据三角形面积公式
，可得
，
所以
的面积为
.
32．（2026·辽宁沈阳·一模）
且
(1)求函数
的最小正周期；
(2)将函数
图象上所有的点向左平移
个单位后得到函数
的图象，当
时，求函
数
的值域；
(3)说明函数
的图象经过怎样的变换能得到函数
的图象，写出一个变换过程.
【答案】(1)
(2)
(3)详细见解析
【分析】（1）先根据向量数量积公式求出
的表达式，再利用三角函数公式化简，最后根据周期公式
求最小正周期；（2）根据三角函数图象的平移规律得到
的表达式，然后结合给定区间求出的值
域；（3）利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程.
【详解】（1）根据题意知
，
根据正弦函数的周期公式
，
所以
最小正周期为
.
（2）根据“左加右减”的原则，可得
，
已知
，则
，
当
时，
取最大值，最大值为
，
当
时，
取最小值，最小值为
，
所以当
时，函数
的值域为
（3）把
的图象上所有点向右平移
个单位得到
的图象；
再把
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变得到的图象
，
再把
的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的
倍，横坐标不变得到
.
33．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形
中，已知
交于点
，
．
(1)若
，求
的值；
(2)证明：当
时，
位于
外接圆的内部．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解；
（2）利用正弦定理结合已知条件求出
，再利用四点共圆的性质求出
，比较
的大小
判断
的位置．
【详解】（1）
，
，
在
中，由余弦定理得
，
，
同理
，
，
．
（2）在
中，由正弦定理得
，
，
，
设
为射线
上一点，且
四点共圆，则
，
，解得
，
，
位于
外接圆的内部．
34．（2025·陕西汉中·一模）已知
的内角
的对边分别为
．
(1)若
，求角B 的大小．
(2)设
为
外接圆上的点，
外接圆的半径为2，且
平分
．
（ⅰ）当
时，求
的值；
（ⅱ）证明：
．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据正弦定理可得
，再由余弦定理得
的值，从而得角B 的大小；
（2）（ⅰ）设
外接圆的圆心为
，则
为
的中点，连接
，根据圆的性质与余弦定
理可得
，
，从而根据一元二次方程的根得
的值；（ⅱ）过点
作
，交
于点
，结合圆的圆周角定理与正弦定理可证得结论.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，整理得
，
由余弦定理得
，
因为
，所以
；
（2）（ⅰ）当
时，
为
外接圆的一条直径，所以
，则
，
设
外接圆的圆心为
，则
为
的中点，
连接
，如图所示：
因为
，所以
，
则
，
在
中，根据余弦定理可得：
，
则
，
同理，在
中，
，
所以
即为方程
的两个实根，所以
；
（ⅱ）证明：如图，过点
作
，交
于点
，
设
，则
，
，
则
，
在
中，根据正弦定理可得
，即
，
所以
.
35．（2025·浙江·一模）已知
的角
的对边是
且
.
(1)求
；
(2)若
为
的中线，
为
的角平分线，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理可得
，进而由正弦定理结合三角恒等变换可得
，
进而可得
，进而求得
，可求结论；法二：利用余弦定理可得
，结
合已知可得
，可得结论；
（2）不妨设
，则
，利用余弦定理可得
，可求得
，利用角平分线
定理可求得
，可求结论.法二：不妨设
，则
，利用余弦定理可得
，
可求得
，利用面积法求得
，可得结论.
【详解】（1）在
中，由余弦定理可得
，又
，
所以
，所以
，
所以
，由正弦定理可得
，
所以
，所以
，
所以
.
因为
，
，所以
,
所以
或
（舍去），所以
.
又因为
，所以
，
因为
，
，
，
故
.
法二：由余弦定理得
，所以
，
与
联立得，
，解得
，故
.
（2）不妨设
，则
，
在
中，
，
在
中，
，
所以
，
，所以
.
由
，
为
的角平分线，所以
，所以
，
又
，所以
，所以
，
所以
.
法二：不妨设
，则
，
在
中，
，
在
中，
，
所以
，
，所以
.
由
，得
，
所以
，所以
，得
，
所以
.
