文档文本内容
第23 讲三角函数的综合应用
（知识清单+3 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
三角恒等变换、三角函数图象与性质、同角三角函数关系
选择、填空
题
5 分
两角和差公式、二倍角公式、三角函数单调性、解三角形综合
选择、填空
题
5 分
二倍角公式、正余弦定理、函数图象平移与奇偶性综合
选择题
5 分
核心高频：三角恒等变换、图象性质、解三角形综合
选择、填
空、解答题
5 分/12 分
【知识点01】同角三角函数基本关系
sin
2 α +cos
2 α =1
tan α = sin α
cosα (cos α ≠0)
适用场景：已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值的化简与求值问题。
【例1】已知 α ∈(0, π
2 )，sin α = 3
5，求 tan α 的值。
解析：由平方关系：sin
2 α +cos
2 α =1
cos α =
❑√1−sin
2 α =
❑√1−( 3
5 )
2
= 4
5
由商数关系：tan α = sin α
cosα =
3
5
4
5
= 3
4
答案：tan α = 3
4
【知识点02】诱导公式（化简必备）
口诀：奇变偶不变，符号看象限
sin (π −α )=sin α ,cos (π −α )=−cos α
sin ( π
2 −α )=cos α ,cos ( π
2 −α )=sin α
【例2】化简求值：sin ( 3 π
2 +α )+cos (π +α )
解析：由诱导公式：sin ( 3 π
2 +α )=−cos α，cos (π +α )=−cos α
原式=−cos α −cos α =−2cos α
答案：−2cos α
【知识点03】两角和与差公式
sin (α ± β)=sin α cos β ±cos α sin β
cos (α ± β)=cos α cos β ∓sin α sin β
tan (α ± β)= tan α ± tan β
1∓tan α tan β .
【例3】求 sin 15
∘ 的精确值。
解析：拆分角度：sin 15
∘=sin (45
∘−30
∘)
sin (45
∘−30
∘)=sin 45
∘cos 30
∘−cos 45
∘sin 30
∘
=
❑√2
2 ⋅
❑√3
2 −
❑√2
2 ⋅1
2 =
❑√6−❑√2
4
答案：sin 15
∘=
❑√6−❑√2
4
【知识点04】二倍角公式
sin 2α =2sin α cos α
cos 2α =cos
2 α −sin
2 α =2cos
2 α −1=1−2sin
2 α
tan 2α = 2tan α
1−tan
2 α
【例4】已知 sin α = 3
5，α ∈(0, π
2 )，求 cos 2α。
解析：选用二倍角公式：cos 2α =1−2sin
2 α
cos 2α =1−2×( 3
5 )
2
=1−18
25 = 7
25
答案：cos 2α = 7
25
【知识点05】降幂与升幂公式（最值专用）
sin
2 α = 1−cos 2α
2
cos
2 α = 1+cos 2α
2
1±sin 2α =(sin α ±cos α )
2
【例5】化简函数：f ( x)=sin
2 x，并求其最小正周期。
解析：由降幂公式：f ( x)= 1−cos 2 x
2
=−1
2 cos 2 x + 1
2
最小正周期：T = 2π
2 = π
答案：f ( x)=−1
2 cos 2 x + 1
2，周期 T = π
【知识点06】辅助角公式
asin x +bcos x =
❑√a
2+b
2sin ( x +φ)
tan φ = b
a，最大值❑√a
2+b
2，最小值−
❑√a
2+b
2
【例6】求函数 f ( x)=sin x +cos x 的最大值与最小正周期。
解析：a=1,b=1，❑√a
2+b
2= ❑√2
f ( x)= ❑√2sin ( x + π
4 )
最大值：❑√2，最小正周期：T =2π
答案：最大值❑√2，周期2π
【知识点07】正弦型函数图象性质
函数：y = A sin (ωx +φ)+k(ω>0)
最小正周期：T = 2π
ω ，振幅：A
【例7】求 y =2sin (2 x−π
6 ) 的最小正周期与最大值。
解析：ω=2, A =2
周期：T = 2π
2 = π
最大值：2
答案：周期π，最大值2
【知识点8】三角函数综合压轴题型
三角恒等变换+函数最值、单调性、区间值域、解三角形周长与面积最值综合。
【例8】已知函数 f ( x)=2sin
2 x +2cos x−3，求函数在x∈[0, π
2 ]上的最大值。
解析：由降幂公式化简：sin
2 x =1−cos
2 x
f ( x)=2(1−cos
2 x)+2cos x −3=−2cos
2 x +2cos x −1
令t =cos x，由x∈[0, π
2 ]得t ∈[0,1]
二次函数：y =−2t
2+2t −1，开口向下，对称轴t = 1
2
代入t = 1
2，得ymax=−1
2
答案：最大值为−1
2
【题型一】三角恒等变换化简与求值
【例1】（2026·河南开封·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换求解.
【详解】因为
，
，
所以
，
所以
，
所以
.
【例2】（多选）（2026·安徽滁州·三模）已知
，
，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据
可判断A；根据
及
即可判断B；根据两角和的正弦公式可
判断C；代入可判断D.
【详解】
，
解得
，又
，所以
，故A 正确；
联立
及
，解得
，
所以
，故B 错误；
同理根据
及
，解得
，
所以
，故C 正确；
因
，
所以
.故D 错误.
【例3】（2026·海南海口·模拟预测）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求角A；
(2)
是
的角平分线，且
．当
取最小值时，求此时
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）替换
得到
，即可求出；
（2）由
利用三角形面积公式可得
，根据基本不等式解出
的最小值，应用取等条件求
出三角形面积.
【详解】（1）
得到
得到
，
，
，
又
，
.
（2）由
得
，
得
，
化简得
，即
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
取得最小值，
此时，
面积为
．
【变式1】（2026·湖南湘西·三模）已知
，则
（ ）
A．-4
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过两角和与差的正余弦公式得出
和
的关系，再利用二倍角的正切公式即可得结果.
【详解】由
，得
，
即
，所以
，
所以
，所以
．
【变式2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，
，则
_______.
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得
，再缩小
的范围，最后结合同角的平方和关系
即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得
，
因为
，
，
则
，
，
又因为
，
则
，
，则
，
则
，联立
，解得
.
法二： 因为
为第一象限角，
为第三象限角，则
,
，
，
则
故答案为：
.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知
为锐角三角形，且
．
(1)求
的值；
(2)求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和为
，结合两角和与差的正弦余弦公式将
变形，求解即可；
（2）结合（1）把
变形，整理得到关于正切的式子，令
，
，然后利用不等式求解最小
值.
【详解】（1）因为
，所以
，
，
在锐角
中，因为
，
所以
，
即
，
所以
，
在锐角
中，
，
为锐角，所以
，
所以
；
（2）由（1）知
，所以
，
即
，
所以
，
令
，
，则
，
所以原式
，
当且仅当
，即
，又
，
即
或
，
时等号成立，符合锐角三角形，所以原式的
最小值为
.
【题型二】三角函数图象与性质综合
【例4】（2026·湖南株洲·三模）若函数
与函数
图象的对称中
心完全一致，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的对称性求得正确答案.
【详解】
的最小正周期
，
两个对称中心的间隔为
，
也即
的对称中心的间隔为
，
所以
的最小正周期
,
所以
.
由
，解得
，
由
，解得
，
依题意，
与
图象的对称中心完全一致，
，
所以
.
【例5】（多选）（2026·安徽合肥·三模）已知函数
为奇函数，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．将
的图象向右平移
个单位可得到函数
的图象
C．
在区间
上单调递增
D．直线
是曲线
的一条对称轴
【答案】ABD
【详解】由题意，
，由
，则
，故
．
对于A，
的最小正周期为
，故A 正确；
对于B，将
的图象向右平移
个单位可以得到函数
，故B 正确；
对于C，当
时，
，而函数
在
上单调递减，故C 错误；
对于D，
，
时，
,
所以
是其对称轴，故D 正确．
【例6】（2026·重庆·二模）已知函数
．
(1)求
的最小正周期；
(2)若曲线
关于直线
对称，求
以及
的值域．
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）根据三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的周期公式得解；
（2）根据对称性取特殊值求解，再检验得出函数解析式，根据正弦型函数值域求解.
【详解】（1）因为
，
（其中
）
所以最小正周期
；
（2）因为曲线
关于直线
对称，
所以
，即
，
所以
，解得
，
此时
，
当
时，
，符合题意，
因为
，所以
．
即
的值域为
．
【变式1】（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数
在
上的大致图象如图所示，则
的最
小正周期为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据函数的图象特征排除A，D，再结合
及函数
在
附近的单调性可得
，进而由
可得
，进而求解即可.
【详解】由图象可得最小正周期小于
，大于
，排除A，D；
由图象可得
，且函数
在
附近单调递增，
则
，即
，
由于
，则
，
当且仅当
时符合题意，此时
，则
.
【变式2】（2026·江西·模拟预测）已知
，函数
与
的图象相交，若相邻的三个
交点恰好能构成一个等腰直角三角形的三个顶点，则
________．
【答案】
【分析】结合差角的余弦公式求出函数
图象相邻的三个交点坐标，再利用对称性建立方程求出
值.
【详解】由
，得
，整理得
，
解得
，则
，
不妨取函数
图象相邻的三个交点为
，
依题意，
是等腰直角三角形，由对称性得
，则
，
所以
.
故答案为：
【变式3】（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数
，点
是
图象的一个对称中
心.
(1)求
；
(2)设函数
，求
的最大值和单调递增区间.
【答案】(1)
(2)
；
【分析】（1）根据对称中心结合正弦函数性质可得
，即可得函数
的解析式；
（2）利用诱导公式以及倍角公式可得
，结合余弦函数性质求最大值和单调递增区间.
【详解】（1）由题意可知：
，
且
，则
，
可得
，解得
，
所以
.
（2）因为
，
当
，即
时，函数
取到最大值
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递增区间为
.
【题型三】三角函数区间最值与值域问题
【例7】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知角
与
的终边关于
轴对称，且
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】推导出
，利用余弦函数的基本性质可得出
的最大值.
【详解】因为角
与
的终边关于
轴对称，则
，故
，
因为
，
，所以
，
故
的最大值为
.
故选：B.
【例8】（2026·河北·模拟预测）
在区间
上的值域为______．
【答案】
【分析】先应用辅助角公式化简，再应用正弦函数值域计算求解.
【详解】依题意，函数
，
，
因为
，所以
，所以
，
在区间
上，由于
，
所以当
时，
，
当
时，
，
所以
在区间
上的值域为
.
【例9】（2026·宁夏·模拟预测）已知函数
的图象的相邻两个对称中心之
间的距离为
．
(1)求
的值；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为
，最小值为
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为
，根据对称中心间距确定周期
从
而求出
，最后代入
计算函数值.
（2）根据自变量
的范围求出相位
的取值范围，结合正弦函数的图像与性质，找出该范围内使函数取得最
大值和最小值的点并求解.
【详解】（1）
根据题意
，解得
，即
，
因为
，所以
，则
，
．
（2）据题意
，
，
，
当
，即
时，
，所以
的最大值为
．
当
，即
时，
，所以
的最小值为
.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）把函数
的图象向右平移
个单位长度，可以得到函数
的图
象，则
在
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】法一：将函数
化为“一角一函数”的形式，利用三角函数图象的平移变换法则得到
的表达式，写
出
的表达式并将其化为“一角一函数”的形式，借助正切函数的图象与性质、两角和的正切公式等即可得解.
法二：由三角函数图象的平移可得
的表达式，利用弦化切可得
的表达式，根据x 的范围，结合正切函数的
性质以及两角差的正切公式，即可求得答案.
【详解】法一：由题意知
，则
，
则
，
由
，可得
，而
在
上单调递增，
故
在
上的最小值为
，
故
在
上的最小值为
，
法二：由
可得
,
当
时，
；
当
时，
，
可得
，则
的最小值为
，
故
在
上的最小值为
，
故选：B
【变式2】（2026·河北廊坊·一模）已知函数
在区间
上的最大值为
，其中
，
则函数
的值域为________．
【答案】
【分析】应用区间长度分类讨论结合余弦函数性质计算求解值域即可.
【详解】因为
，所以
，
，
1)当
时，即
时，
，
函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，此时
；
2)当
，即
时，函数
在区间
上单调递减，此时
；
3)当
，即
时，函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
当
，即
时，
；
当
，即
时，
；
4)当
，即
时，函数
在区间
上单调递增，此时
；
5)当
时，即
时，
，
函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，此时
；
所以
；
当
时，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以函数
的值域为
.
【变式3】（2026·海南儋州·一模）已知函数
的部分图象如图所示．
(1)求函数
的解析式及其图象的对称轴方程；
(2)若函数
的图象可由函数
的图象上所有的点向右平移
个单位得到，求当
时，函数
的值域．
【答案】(1)
，对称轴方程为
(2)
【分析】（1）根据函数图象可求出函数
的解析式，利用正弦函数的对称性可求其对称轴；
（2）利用图象变换可求得
的解析式，利用换元法求解
的值域.
【详解】（1）设函数
的最小正周期为T，
由题意可得，
，故
，
所以
．
因为
，
所以
，又
，所以
，
所以
．
由
，得
，
所以函数
的对称轴方程为
．
（2）由题意得，
．
当
时，
，所以
，
所以
，即
的值域为
．
【解题大招01】角的配凑与整体代换技巧
解决给值求值问题，优先观察已知角与未知角的关系，利用和、差、倍、互补、互余关系配凑角度，规避盲目
求单角，简化运算。
常用配凑关系：2α =(α + β)+(α −β)、α =(α + β)−β
【例1】已知 cos (α + β)= 3
5，sin ( β −π
4 )= 5
13，且 α , β 为锐角，求 cos (α + π
4 )。
解析：角度配凑：α + π
4 =(α + β)−( β −π
4 )
由范围得：sin (α + β)= 4
5 ，cos ( β −π
4 )= 12
13
cos (α + π
4 )
=cos [(α + β)−( β −π
4 )]
¿
= 3
5 × 12
13 + 4
5 × 5
13
¿
¿
答案：56
65
【解题大招02】弦切互化与齐次式化简技巧
对于分式、整式二次齐次式，利用tan α = sin α
cosα ，cos α cos
2 α上下同除以或将弦式转化为切式，快速求值。
【例2】已知 tan α =2，求 sin α +cos α
sin α −cos α 的值。
解析：分子分母同除 cos α：
sin α +cos α
sin α −cos α = tan α +1
tan α −1 = 2+1
2−1 =3
答案：3
【解题大招03】降幂+辅助角标准化技巧
所有三角函数二次式，统一套路：y = A sin (ωx +φ)+k降幂公式降次 → 合并同类项 → 辅助角公式标准化为 ，
可解决周期、最值、单调区间所有问题。
核心公式：sin
2 α = 1−cos 2α
2
,cos
2 α = 1+cos 2α
2
asin x +bcos x =
❑√a
2+b
2sin ( x +φ)
【例3】化简 f ( x)=2sin
2 x +2cos x 并求最大值。
解析：f ( x)
=2(1−cos
2 x)+2cos x
¿
¿
令 t =cos x∈[−1,1]，得二次函数：y =−2t
2+2t +2
对称轴 t = 1
2，代入得 ymax = 5
2
答案：最大值为5
2
【解题大招04】三角函数图象平移“提系数”易错规避技巧
函数左右平移x只针对未知数 ，若 x 带有系数，必须先提出系数再平移，是高考高频易错点。
【例4】将 y =sin 2 x 的图象向左平移 π
6 个单位，求平移后解析式。
解析：易错写法：y =sin (2 x + π
6 )（错误）
正确解法：y =sin [2( x + π
6 )]=sin (2 x + π
3 )
答案：y =sin (2 x + π
3 )
【解题大招05】整体代换求单调区间、对称轴技巧
针对 y = A sin (ωx +φ)，将 ωx +φ 看作整体，结合基础正弦函数性质求解，x杜绝直接对判断单调性。
【例5】求 y =sin (2 x−π
3 ) 的单调递增区间。
解析：令 2kπ −π
2 ≤2 x−π
3 ≤2kπ + π
2 ,k ∈ℤ
解得：kπ −π
12 ≤x ≤kπ + 5 π
12 ,k ∈ℤ
答案：单调递增区间为 [kπ −π
12 ,kπ + 5 π
12 ](k ∈ℤ)
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·福建福州·模拟预测）当函数
取得最小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据辅助角公式，
，其中
，
，
当
，
时，
取得最小值，
，
所以
.
2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数
，则
的一个对称中心的坐标可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，解得
，
时，
，则
是
的一个对称中心．
3．（2026·河南信阳·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解.
【详解】
二、多选题
4.（2026·山西晋中·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．函数
的最小值为
B．点
是函数
图象的一个对称中心
C．函数
在区间
上单调递增
D．函数
的图象可由
的图象向左平移
个单位长度得到
【答案】AB
【分析】利用正弦函数性质依次判断ABC；利用平移变换求出解析式判断D.
【详解】对于A，当
，
时，函数
取得最小值
，A 正确；
对于B，
，点
是函数
图象的一个对称中心，B 正确；
对于C，由
，得
，因此函数
在区间
上单调递减，C 错误；
对于D，
的图象向左平移
个单位长度得到
，D 错误．
三、填空题
5．（2025·重庆·三模）函数
在
上的值域为________.
【答案】
【分析】根据题意可得
，以
为整体，结合正弦函数的有界性运算求解.
【详解】由题意可得：
，
因为
，则
，
可得
，即
，
所以所求函数的值域为
.
故答案为：
.
6．（2026·河北张家口·一模）已知锐角
满足
，则
的值为______．
【答案】
【详解】已知
是锐角，且
，则
，
设
，
则
，解得
，
，
．
四、解答题
7.（2025·广东清远·一模）已知函数
的最小正周期为
．
(1)求
及
；
(2)若
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象，求
在区间
上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式化简函数式，结合三角函数的周期性可计算参数并求值；
（2）根据三角函数图像变换先得
解析式，再利用正弦函数的性质计算值域即可.
【详解】（1）易知
，
又最小正周期为
，所以
，
即
，则
（2）
的图象向右平移
个单位长度得到
，
因为
时，
，
根据正弦函数的单调性可知
即
时，
，
时即
，
，即
，则
.
8．（2026·四川眉山·模拟预测）已知向量
.设
.
(1)求函数
的最小正周期；
(2)记
的内角
所对的边分别是
，已知
的面积为
，求
的长.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式将函数化简，从而可求得函数的最小正周期；
（2）根据
，求得
，再根据
的面积为
，求得
，再利用余弦定理即可得出答案.
【详解】（1）由题意，
，
所以函数
的最小正周期
；
（2）由
得
，
因为
，所以
，解得
，
因为
，所以
，
由余弦定理得
，所以
.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·重庆渝中·二模）若
，将
的图象纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的
倍，得到
的图象，则
在区间
的最大值是（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【详解】
，故
，当
，
，根据三角函数图象可知，
的最大值为1.
2．（2026·河北邢台·三模）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用正切和角公式化简条件，得到
与
的关系式；再对第二个条件同乘以
，转化为正弦和
角形式，得出
，代入展开化简，通过整体比例代换直接求出
．
【详解】由
，得
，
所以
，
化简得
，
所以
，
化简得
，即
①，
由
，
得
，
即
，即
，
故其代入①，
，故
．
二、多选题
3．（2026·河南·模拟预测）已知函数
，则下列选项正确的有（ ）
A．函数
是偶函数
B．
是函数
的最小正周期
C．直线
是函数
的图象的一条对称轴
D．函数
的值域为
【答案】BCD
【分析】选项 A，利用偶函数的定义
判断；选项 B，利用周期的定义求解；选项 C，利用
求解；选项 D，因为
的最小正周期为
，只需研究
上的值域，分别求出
，
，
时的
的表达式，利用正弦函数的图像和性质求解，利用最小正周期得到
的值域.
【详解】选项 A：
，
，
则
，
，
，
，故A 错误.
选项 B：
，
再验证是否存在更小的周期，
，
，
，故
不是周期.
因此
是最小正周期，B 正确.
选项 C：
，
，
因此
，C 正确.
选项 D： 因为
的最小正周期为
，只需研究
上的值域，
当
时，
，
，
，
故
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
.
当
时，
，
，
，
，
因为
，所以
，所以
，
即
.
当
时，
，
，
，
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，即
.
综上可知，当
时，
，
因为
的最小正周期为
，
所以根据周期的定义可以得到
的
的值域为
，D 正确.
三、填空题
4.（2026·河南周口·三模）若函数
是偶函数，则当
的最小正周期最大时，
________．
【答案】4
【分析】根据函数的奇偶性得到方程，求出
，代入求值即可
【详解】
是偶函数，故
，
则
，即
，
，
，
，
，
由于
对
恒成立，故
，
所以
，
，
由于
，故
的最小正周期为
，
故当
时，
取得最小值，最小值为
，此时
最大，满足要求，
故
，
所以
.
5. （2026·广东广州·三模）设
，当
时，
的取值范围是________；
当x 取一般值时
的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由
可知
为正偶数．令
，则
，且
．当
时，即
，可直接配方求范
围；当
时，研究函数
在
上的最值即可．
【详解】因为
，其中
为正整数，所以
令
，则
，且
．
于是
先求当
时的范围．
此时
，所以
因为
，所以
．因此
．
故当
时，
的取值范围为
．
再求
取一般值时的范围．
设
，
．
当
时，
，范围为
，符合
.
当
时，
若
，则
，所以
，从而
；
若
，则
，所以
，从而
．
因此
在
上单调递减，在
上单调递增．
所以
的最小值在
时取得，最大值在
或
时取得．
当
时，
当
或
时，
．
故当
时，
的取值范围为
．
四、解答题
6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数
.
(1)求
的最小正周期及对称轴方程；
(2)若函数
的最大值为1，求使
成立的
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用平方差公式、二倍角公式化简三角函数为正弦型形式，再由正弦型函数性质计算即可求得结果；
（2）借助正弦函数最值求解参数
，再求解三角不等式即可.
【详解】（1）因为
，
所以
，
令
，所以
，
所以
的对称轴方程为
.
（2）由题意知，
，
因为
的最大值为1，即
，所以
，
由
，
即
，所以
，
所以
，即
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·模拟预测）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得
【详解】因为
，所以
，故
．又
，
所以
，
．所以
．
所以
．
2．（2026·湖南怀化·三模）已知函数
在区间
上单调递增，直线
为
的图象的一条对称轴，则方程
在区间
上所有不相等的实数根之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对称轴求出
或
，再根据单调性得到
，分为
和
两种情况分别解方程即
可求出答案.
【详解】因为直线
为
的图象的一条对称轴，
所以
，即
，
又
，所以
或
.
当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，
故
在
上单调递增，符合题意；
当
时，
，当
时，
，
函数
在
上不单调递增，
故
在
上不单调递增，不符合题意.
所以
，
，
当
时，方程
可化为
，方程无解，
当
时，方程
可化为
，
所以
，
当
时，
，
所以
或
或
，解得
或
或
，
所以方程在区间
上所有不相等的实数根之和为
.
二、多选题
3．（2026·江苏常州·三模）已知函数
，则（ ）
A．
为函数
的一个周期
B．
的最小值为
C．
在区间
上单调递增
D．
的图象关于直线
对称
【答案】AD
【分析】使用二倍角公式，辅助角公式化简函数
，使用周期函数的定义分析选项
，换元法分析选项
和
，
使用
分析选项
.
【详解】
，
，选项A 正确；
令
，则
，
，
，
令
，
，则
，
当
时，
，所以
的最小值为
，选项B 错误；
，令
，则
，
，
当
时，
，
，
，
，
函数
单调递减，选项C 错误；
所以
，
所以
的图象关于直线
对称，选项D 正确.
三、填空题
4．（2026·河北承德·模拟预测）已知
，
，且
，
，则
的值为_______．
【答案】24 或
【分析】先由
范围确定
、
的区间并判断三角函数符号,求出
与
,再把
通分化简为
,利用积化和差公式算出
,最后代入数值计算得出结果.
【详解】
由角范围得：
,
.
由
,所以
得
,
.
由
,
,得
.
若
,则
.
代入目标式：
.
若
.
代入目标式：
.
综上所述,
或
四、解答题
5.（2026·陕西·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求
的值域；
(2)若
，求
在
上的所有零点；
(3)若对于满足
的所有
，都存在
使得
，求正实数
的最小值.
【答案】(1)
；
(2)唯一一个零点
；
(3)
的最小值为
.
【分析】（1）利用特殊值代入将原函数化简为常数与正弦型函数的复合，通过分析内层函数的值域及外层正弦函数
的值域确定整体值域；
（2）利用诱导公式将方程转化为余弦相等，再结合自变量范围化去余弦得到三角方程，运用辅助角公式与三角函数
的值域求解零点；
（3）通过反证法取特殊值证明下界，再借助辅助角公式与三角函数的有界性说明当参数满足条件时存在零点，从而
确定参数的最小值.
【详解】（1）代入
得：
由
，得
，故
，
从而
，故
的值域为
（2）当
，
时，
令
，得
因为
所以
当
时，有
且
，
因为余弦函数在
上单调递减，所以
化简得
又
所以
即
由于
，所以
，故
解得
因此
在
上的唯一零点为
.
（3）当
时，取
，
取
，不满足条件，故
；
当
时，∵
，而
，
∴
，使得
，
∴
，满足条件；
综上，正实数
的最小值为
.
