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第21 讲任意角与三角恒等变换
（知识清单+8 典例精讲+7 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
任意角、弧度制与三角函数定义
单选、填空
5 分
同角三角函数基本关系
单选、填空
5 分
三角函数诱导公式
单选、填空
5 分
和差角恒等变换公式
单选、填
空、解答题
5 分/12 分
二倍角公式及变形应用
单选、填
空、解答题
5 分/12 分
恒等变换综合（辅助角公式
填空、解答
题
5 分/12 分
【知识点01】角的概念
定义
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形
分类
(1)按旋转方向分为正角、负角和零角；
(2)按终边位置分为象限角和轴线角
相反角
把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫
做互为相反角.角α 的相反角记为－α
终边相同的角
所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，构成的角的集合是
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{ β | β ＝
α ＋
2 k π ，
k ∈
Z }
【例1】写出终边在直线 y = x 上的角的集合，并求出 [−180
∘,180
∘] 内满足条件的所有角。
【知识点02】弧度制的定义及公式
定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，记
作1 rad
弧度数公式
|α|＝l
r (弧长用l 表示，半径用r 表示)
角度与弧度的换算
1°＝π
180 rad；1 rad＝(
180
π )°≈57.3°
弧长公式
弧长l＝| α | r
扇形面积公式
S＝1
2lr＝1
2| α | r 2
【例2】已知扇形周长为 10，半径 r =2，求扇形的圆心角（弧度）及扇形面积
【知识点03】任意角的三角函数
(1)定义：设α 是一个任意角，α∈R，以它的顶点为原点，以它的始边为x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，
它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y＝sin α，x＝cos α，y
x ＝tan α(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.
(3)定义的推广
设P(x，y)是角α 终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝y
r ，cos α＝x
r ，tan α＝
y
x (x≠0).
【例3】已知角 α 的终边经过点 P(−6,8)，求 sin α ,cos α ,tan α 的值。
【知识点04】二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin
α cos
α .
(2)公式C2α：cos 2α＝cos
2 α －
sin
2 α ＝2cos
2 α －
1 ＝1 －
2sin
2 α .
(3)公式T2α：tan 2α＝2tan α
1−tan
2α .
【例4】已知 sin α = 4
5 ,α ∈( π
2 ,π )，求 sin 2α 、cos 2α 、tan 2α。
【知识点05】半角公式(不要求记忆)
sinα
2 ＝±❑√
1−cosα
2
；cosα
2 ＝±❑√
1＋cosα
2
；tanα
2 ＝±❑√
1−cosα
1＋cosα
.符号由α
2 所在象限决定.
【例5】已知cos α =−1
3 ,α ∈(π ,2π )，且 α
2 ∈( π
2 ,π )，求 cos α
2 。
【知识点06】积化和差公式
(1)cos αcos β＝1
2[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
(2)sin αsin β＝－1
2[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
(3)sin αcos β＝1
2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(4)cos αsin β＝1
2[sin(α＋β)－sin(α－β)].
【例6】利用积化和差公式化简求值：cos 105
∘cos 15
∘
【知识点07】和差化积公式
(1)sin θ＋sin φ＝2sinθ＋φ
2
cosθ−φ
2
；
(2)sin θ－sin φ＝2cosθ＋φ
2
sinθ−φ
2
；
(3)cos θ＋cos φ＝2cosθ＋φ
2
cosθ−φ
2
；
(4)cos θ－cos φ＝－2sinθ＋φ
2
sinθ−φ
2
.
【例7】利用和差化积公式化简：cos 105
∘−cos 15
∘。
【题型一】任意角与弧度制
【例1】与
终边相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024·湖北·模拟预测）若角
的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线
上，
则角
的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·广西·模拟预测）已知某扇形的周长为6，面积为2，圆心角为锐角，则其弧长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式3】（2025·广东梅州·模拟预测）已知半径为
的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______
.
【题型二】任意角的三角函数
【例1】（2026·陕西渭南·三模）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1】（2026·山东·一模）“
为第三象限角或第四象限角”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2026·云南昭通·模拟预测）设集合
，
，则
________.
【变式3】（2026·甘肃平凉·一模）已知角
的终边经过点
，则
的正弦值为__________．
【题型三】同角三角函数的基本关系
【例3】（2026·湖南岳阳·三模）已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．0
【变式1】（2025·甘肃武威·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·辽宁朝阳·一模）若
，则
______.
【变式3】（2025·江苏泰州·二模）已知
，且
，则
________．
【题型四】三角函数的诱导公式
【例4】（2026·湖南长沙·模拟预测）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象
（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【变式2】（2026·湖南湘潭·二模）已知
，
，则
______.
【变式3】（2026·宁夏银川·一模）已知
，则
__________．
【题型五】两角和与差公式
【例5】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知
，
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·辽宁朝阳·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）计算：
__________．
【变式3】（2026·河南·模拟预测）如图，在
中，
，D，E 为线段
上两点，且
平分
，
（
在
的左侧）.
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若
，
，求
的值.
【题型六】二倍角公式
【例6】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式1】在平面直角坐标系xOy 中，角
以Ox 为始边，
为
终边上一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·江西·三模）已知
，且
，则
______，
______．
【变式3】（2026·山东聊城·模拟预测）在
中，
，
.
(1)求
的值；
(2)若边
上的高为9，求
的长.
【题型七】辅助角公式
【例7】（2026·福建泉州·三模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·河南开封·模拟预测）已知角
的终边上有一点
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式2】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知
，且
，则
__________.
【变式3】（2025·江苏·模拟预测）已知向量
，若
且
的最小值为
，
则实数
_____．
【题型八】三角恒等变换的应用
【例8】（2026·西藏日喀则·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·海南海口·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数
，
，则
______.
【变式3】（2025·湖北十堰·模拟预测）在
中，内角
所对的边分别为
，且
．
(1)判断
的形状；
(2)设
，且
是边
的中点，当
最大时，求
的面积．
【解题大招01】终边相同角统一归类技巧
1. 核心技巧
所有终边重合的角可统一归为：β =α +2kπ(k ∈ℤ)，轴线角、对称角可合并周期，避免重复列举，快速筛选区间
内角度。
2. 适用场景
区间内找终边相同角、判断象限角、对称角求解。
【例1】求区间[−2π ,2π ]内与π
6 终边相同的所有角。
【解题大招02】弧度制扇形公式速算技巧
【例2】已知扇形半径r =3，周长12，求扇形面积。
【解题大招03】任意角三角函数定义「坐标直接代」技巧
1. 核心技巧
已知终边点P( x , y)，先算r，再直接代入定义，符号完全由坐标象限决定，无需记忆复杂符号口诀。
2. 核心公式
sin α = y
r ,cos α = x
r ,tan α = y
x
【例3】角α终边过P(−9,12)，求sin α ,cos α。
【解题大招04】同角三角函数「知一求二」符号判定技巧
1. 核心技巧
先定象限、再定符号、最后代公式；平方开根必看范围，这是高考最易错点。
2. 核心公式
cos α =±
❑√1−sin
2 α ,sin α =±
❑√1−cos
2 α
【例4】已知cos α =−4
5 ，α ∈(π , 3 π
2 )，求sin α 、tan α。
【解题大招05】诱导公式「奇变偶不变，符号看象限」秒杀技巧
1. 核心技巧
kπ类函数名不变，π
2 + kπ类函数名互变；始终将α看作锐角，判断原式符号即为结果符号。
【例5】化简：sin ( 3 π
2 +α )+cos (π −α )
【解题大招06】二倍角公式「三式灵活选用」技巧
1. 核心技巧
求正弦值优先用cos 2α =1−2sin
2 α，求余弦值优先用cos 2α =2cos
2 α −1，按需选公式，减少计算量。
2. 核心公式
sin 2α =2sin α cos α ,cos 2α =2cos
2 α −1=1−2sin
2 α.
【例6】已知sin α = 3
5，求cos 2α。
【解题大招07】辅助角公式标准化技巧
1. 核心技巧
形如asin x +bcos x，统一合并为A sin (ωx +φ)标准型，是求周期、最值、单调区间的唯一标准解法。
2. 核心公式
asin x +bcos x =
❑√a
2+b
2sin ( x +φ)
【例7】化简f ( x)=sin x + ❑√3cos x
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·广西南宁·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2026·云南玉溪·二模）已知角
的终边过点
，下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折
扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形
，再在该扇形内剪下一个同心小扇形
（作为
扇骨留白），形成扇环形状的扇面
．当扇子扇形的圆心角为
时，扇面看上去形状较为美观．已知
，弧
的长为
，则此扇面的面积为______
．
6．（2026·江苏·三模）在
中，若
，
，则角
_____．
四、解答题
7．（2026·湖北·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求A；
(2)若
，
，求
的面积．
8．（2024·云南大理·模拟预测）在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
为
边上的一点，
，且______，求
的周长.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）
①
是
的平分线
②
为线段
的中点
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·河北沧州·模拟预测）已知角
的终边过点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·江苏南通·三模）已知三个扇形的半径均为2，①扇形1 的弧长为2；②扇形2 的面积为4；③扇形3 卷成的
圆锥底面周长为6.设三个扇形的圆心角分别为
，
，
，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·辽宁·模拟预测）下列结论正确的是（ ）
A．若
为第一象限角，则
B．若
，则
C．
D．
三、填空题
4．（2026·福建宁德·模拟预测）已知
，
，则
______.
5．（2026·江苏扬州·模拟预测）设
，
是方程
的两个不同的解，且
（
），则
________．
四、解答题
6．（2026·河南·模拟预测）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
．
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，求．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·四川眉山·模拟预测）已知角
的顶点与坐标原点
重合，始边与
轴的非负半轴重合，角
的终边与圆
交于点
．动点
以
为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点
，点
运动的轨迹长为
，当角
的终边
为射线
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·河南·模拟预测）已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边过点
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
4．（2026·河北·三模）已知
，则
_____.
四、解答题
5．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在
中，
，
，
．
(1)求
；
(2)设
边上有两点
，
，
，且
，求
．
