文档文本内容
第22 讲三角函数的图象与性质
（知识清单+7 典例精讲+6 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
三角函数的定义域、值域与最值
单选、填空
5 分
三角函数的周期性、奇偶性、对称性
单选、填空
5 分
三角函数的单调性与单调区间
单选、填
空、解答题
5 分/12 分
函数 y = A sin (ωx +φ) 的图象与变换
单选、填
空、解答题
5 分/12 分
三角函数图象与性质综合应用
单选、填
空、解答题
5 分/12 分
【知识点01】用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，(
π
2 ，1)，(π
，
0)
，(
3 π
2 ，−1)，(2π，
0).
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，(
π
2 ，0)，(π
，
－
1)
，(
3 π
2 ，0)，(2π，
1).
【例1】用“五点法”作出函数 y =2sin (2 x + π
6 ) 在一个周期内的简图
【知识点02】正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
{x|x≠k π ＋π
2}
值域
[ －
1 ，
1]
[ －
1 ，
1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调递增区间
[2k π −π
2 ，
2k π ＋π
2]
[2
k π －
π ，
2 k π]
(k π −π
2 ，k π ＋π
2)
单调递减区间
[2k π ＋π
2 ，
2k π ＋3 π
2 ]
[2
k π ，
2 k π ＋
π]
对称中心
( k π ，
0)
(k π ＋π
2 ，0)
(
k π
2 ，0)
对称轴方程
x ＝
k π ＋
π
2
x ＝
k π
【例2】求函数 y =3sin (2 x−π
4 ) 的最小正周期、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标。
【题型一】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象
【例1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【变式1】（2024·陕西安康·模拟预测）函数
的部分图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·贵州贵阳·模拟预测）直线，
的倾斜角分别为
，
，则“
”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3】（2026·云南昆明·模拟预测）函数
与
的图象在区间
内的交点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【题型二】正弦函数的单调性
【例1】（2026·广西桂林·二模）下列区间中，函数
单调递增的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·河南·三模）已知命题
：函数
在区间
内单调递增，则
的一
个充分条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·浙江·二模）已知函数
，
，则函数
的单调递增区间是
______．
【变式3】（2026·湖北·二模）若函数
的最大值为3.
(1)求
的值及函数
的单调递减区间；
(2)求不等式
的解集.
【题型三】正弦函数的定义域、值域和最值
【例3】（2026·湖南株洲·模拟预测）函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·湖北·模拟预测）已知函数
，若
使得
的图象在点
处的切线与
轴平行，则
的最小值是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【变式2】（2026·河南·模拟预测）函数
的最大值为________.
【变式3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，且
，求
的值；
(2)设函数
，
，求
的值域和单调区间.
【题型四】正弦函数的对称性
【例4】（2026·江西·模拟预测）已知点
是函数
图象的一个对称中心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的图象关于点
中心对称，则
的最小
值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2】（2026·江西·模拟预测）已知函数
关于点
对称，则
______．
【变式3】（2025·安徽·二模）已知函数
.
(1)求函数
的对称轴方程；
(2)若
，
，求
的值．
【题型五】余弦函数的性质
【例5】（2026·河北保定·三模）已知函数
的最小正周期是
，
则下
列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·甘肃嘉峪关·三模）已知函数
的最小正周期为
，且
，
则函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【变式2】（2026·四川自贡·三模）已知
（
）的图象关于点
中心对称，则
______.
【变式3】（2025·上海长宁·一模）已知函数
．
(1)若函数
的最小正周期为
，求
的值及
的单调递减区间；
(2)设
，求函数
在区间
上的值域．
【题型六】正切函数的性质
【例6】（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（多选）（2024·湖南长沙·一模）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（24-25 高一下·山西·期中）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的定义域是
B．
是奇函数
C．
是
的一个周期
D．
是曲线
的一个对称中心
【变式3】（2026·安徽合肥·二模）设函数
，
，
是直线
与曲线
的两个交点，且
最小值为
.若
，则
________.
【题型七】正(余)弦型三角函数的图象
【例7】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，A，C
均为其图象上的点，且线段
的中点B 在x 轴上，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【变式1】（多选）（2026·河北唐山·模拟预测）已知函数
满足
，
且
在
内恰有两个极值点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上单调递增
【变式2】（2026·山西晋中·三模）如图，点
是函数
的图象与直线
的相邻的
三个交点，
是
的图象与
轴的交点，若
，则
______.
【变式3】（2026·云南曲靖·二模）已知函数
的部分图象如图所示．
(1)求
的解析式；
(2)若函数
，求方程
在
上的解的个数．
【解题大招01】五点法速画图象
1. 方法原理
针对 y = A sin (ωx +φ)+k、y = A cos (ωx +φ)+k，无需逐点计算，利用“整体代换思想”，令相位整体取五个特
征值，快速锁定一个周期内关键点，是图象题、解析式判断题的基础提速技巧。
2. 通用操作步骤
令 t =ωx +φ，取 t ∈{0, π
2 ,π , 3 π
2 ,2π }，反解 x，对应求出 y，直接得到五个核心点。
3. 秒杀结论
正弦型函数五点依次对应：零点→最高点→零点→最低点→零点
余弦型函数五点依次对应：最高点→零点→最低点→零点→最高点
【例1】快速写出 y =3sin (2 x−π
3 ) 一个周期内的五个关键点。
【解题大招02】标准化简技巧
1. 方法原理
高考90%三角函数性质题，题干为二次、复合型三角函数，必须先化简为 y = A sin (ωx +φ)+ k 标准形式，再求解所
有性质，是解题核心前提。
2. 必背化简公式
二倍角公式：sin 2 x =2sin x cos x，cos 2 x =cos
2 x−sin
2 x =2cos
2 x−1=1−2sin
2 x
降幂公式：sin
2 x = 1−cos 2 x
2
，cos
2 x = 1+cos 2 x
2
辅助角公式：asin x +bcos x =
❑√a
2+b
2sin ( x +φ)，其中 tan φ = b
a
【例2】化简 f ( x)=2sin
2 x +2cos x −3 并求标准形式。
【解题大招03】图象求解析式「三步秒杀法」
1. 方法口诀
最值定A、B，周期定ω，特殊点定φ（高考必考，零失误模板）
2. 核心公式（A >0,ω>0）
振幅：A = ymax−ymin
2
，上下平移量：k = ymax+ ymin
2
周期与角速度：T = 2π
ω ⇒ω= 2π
T
φ 取值技巧：优先代入最高点/最低点（唯一解），避免代入零点出现多解争议。
【例3】已知三角函数图象最高点 ( π
6 ,4)，最低点 ( 2π
3 ,−2)，求解析式。
【解题大招04】图象变换「先缩后移」避坑技巧
1. 易错痛点
多数同学混淆「先平移后伸缩」与「先伸缩后平移」的平移单位，极易算错相位平移量，此技巧统一最优解题顺序，
杜绝错误。
2. 最优解题顺序（推荐）
先周期伸缩→再相位平移→最后振幅、上下平移
3. 核心规则
所有变换只针对单独x，与系数无关；ω≠1时，平移单位为 |φ|
ω 。
【例4】由 y =sin x 变换得到 y =sin (2 x + π
3 )，写出变换步骤。
【解题大招05】单调性「整体代换法」万能解题模板
1. 方法原理
将 ωx +φ 视为整体 t，代入基础三角函数单调区间，解不等式即可，适用于所有正弦、余弦型函数。
2. 关键避坑结论
若ω<0，必须先利用诱导公式将 ω 化为正数，再求单调区间，负数ω 直接解不等式区间完全反向。
【例5】求 y =cos (−2 x + π
4 ) 的单调递减区间。
【解题大招06】对称性秒杀结论
1. 核心秒杀结论（k ∈ℤ）
y = A sin (ωx +φ)：
对称轴：ωx +φ = π
2 + kπ（函数取最值处）
对称中心：ωx +φ =kπ（函数取零点处）
y = A cos (ωx +φ)：
对称轴：ωx +φ =kπ（函数取最值处）
对称中心：ωx +φ= π
2 +kπ（函数取零点处）
2. 奇偶性快速判断
正弦型为奇函数 ⇔φ =kπ，为偶函数 ⇔φ = π
2 +kπ
余弦型为偶函数 ⇔φ =kπ，为奇函数 ⇔φ= π
2 +kπ
【例6】求 y =sin (2 x + π
6 ) 在 x∈[0, π
4 ] 上的值域。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·湖南·模拟预测）已知函数
的最小正周期为4，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知点
是函数
的图象的一个对称中心，则a 的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·广东江门·二模）若曲线
关于点
对称，则
的解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·四川内江·三模）已知函数
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．若
，则
C．
在区间
上单调递增
D．
的图象关于点
中心对称
三、填空题
5．（2026·湖北武汉·三模）已知函数
为偶函数，则
___________.（写出满足题意的一个即可）
6．（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在
上的最大值是______．
四、解答题
7．（2025·浙江台州·一模）已知函数
.
(1)求
的最小正周期；
(2)若函数
为偶函数，其中
，求
的最小值.
8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)求函数
在
上的最小值．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·湖北武汉·模拟预测）将函数
（
）的图象向右平移
个单位长度，得函数
的
图象，若
在
上单调，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·海南儋州·二模）函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·河南信阳·三模）函数
，则（ ）
A．
的值域为
B．
的周期
C．若
，当
取得最大值时，
D．当
为奇函数时，
三、填空题
4．（2026·四川眉山·二模）函数
同时满足下列三个条件：
①定义域为
，值域为
；
②在区间
上单调递增，在区间
上单调递减；
③对任意
，都有
．
请写出符合要求的一个
的解析式________．
四、解答题
5．（2026·浙江宁波·三模）已知锐角
三个内角
的对边分别是
，若
．
(1)求
的大小；
(2)若
平分
交
于点
，求
的取值范围．
6．（2026·吉林长春·三模）在
中，内角
的对边分别为
，且满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
为锐角三角形，且外接圆的半径为
，求
的取值范围.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数
的最小正周期为
，则函数
的图象
的对称轴可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
2．（2026·云南昆明·二模）已知函数
．则下列结论正确的有（ ）
A．
的最大值为
B．
在区间
上单调递减
C．把函数
的图象上所有点向右平移
个单位长度，可得到函数
的图象．
D．若函数
的图象关于
轴对称，则正数
的最小值为
三、填空题
3．（2024·河北衡水·模拟预测）当函数
取最大值时，
的值为________．
四、解答题
4．（2026·河南·模拟预测）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若点
是
上一点，且
平分
①用
，
表示
的长；
②求
的取值范围.
5．（2026·重庆长寿·模拟预测）已知
．
(1)求f（x）的最小正周期与图象的对称轴方程；
(2)已知函数
，记方程
在区间
上的根从小到大依次为
，求
的值．
