第21 讲 极值点偏移 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................1
三、典题精练......................................................................................................................................3
考点一：加法型极值点偏移..................................................................................................3
考点二：减法型极值点偏移..................................................................................................4
考点三：乘积型与比值型极值点偏移..................................................................................5
一、考情分析
近三年全国一卷未直接或间接考查本讲知识点.备考时建议将本讲作为基础储备掌握，
重点熟练核心公式与基本题型即可，无需过多投入难题训练.
二、知识清单
1. 极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得
函数图像没有对称性.若函数f ( x)在x = x0处取得极值，且函数y = f ( x)与直线y =b交于
A( x1,b)，B( x2,b)两点，则AB的中点为M(
x1+ x2
2
,b)，而往往x0≠x1+ x2
2
.如下图所示.
极值点偏移的定义：对于函数y = f ( x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0，方程f ( x)的
解分别为x1、x2，且a< x1< x2<b，
（1） 若x1+ x2
2
≠x0，则称函数y = f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0偏移.
（2） 若x1+ x2
2
> x0，则函数y = f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0左偏，简称极值点x0左
偏.
（3） 若x1+ x2
2
< x0，则函数y = f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0右偏，简称极值点x0右
偏.
2. 对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：
（1） 定函数（极值点为x0），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定
函数的极值点x0.
（2） 构造函数，即根据极值点构造对称函数F( x)= f ( x)- f (2 x0- x)，若证x1 x2> x0
2，
则令F( x)= f ( x)- f(
x0
2
x ).
（3） 判断单调性，即利用导数讨论F( x)的单调性.
（4） 比较大小，即判断函数F( x)在某段区间上的正负，并得出f ( x)与f (2 x0- x)的
大小关系.
（5） 转化，即利用函数f ( x)的单调性，将f ( x)与f (2 x0- x)的大小关系转化为x与
2 x0- x之间的关系，进而得到所证或所求.
3. 应用对数平均不等式
❑√x1 x2<
x1- x2
ln x1- ln x2
< x1+ x2
2
证明极值点偏移
（1） 由题中等式中产生对数.
（2） 将所得含对数的等式进行变形得到
x1- x2
ln x1- ln x2
.
（3） 利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4. 比值代换
比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的
单调性证明题中的不等式即可.
5. 极值点偏移中的常见放缩不等式
在处理极值点偏移问题时，常利用基本初等函数的切线放缩不等式进行转化：
（1） 指数型放缩：e
x≥x +1（当且仅当x =0时取等号）；e
x≥ex（当且仅当x =1时取
等号）.
（2） 对数型放缩：ln x ≤x -1（当且仅当x =1时取等号）；ln x ≤x
e （当且仅当x =e时
取等号）.
（3） 组合型放缩：x -1≥ln x ≥1- 1
x （当且仅当x =1时取等号）.
6. 极值点偏移的类型转化
极值点偏移问题通常分为加法型（如证明x1+ x2>2 x0）和乘积型（如证明x1 x2> x0
2）.
乘积型极值点偏移往往可以通过两边取对数，转化为加法型极值点偏移.例如，证明
x1 x2> x0
2（其中x1>0, x2>0, x0>0），等价于证明ln x1+ ln x2>2ln x0.
三、典题精练
考点一：加法型极值点偏移
考法1：构造对称函数证明加法型极值点偏移
例1.（2026·山东济宁·三模）设函数f ( x)=a ln( x +1)+ x e
- x -1.
（1） 当a=1时，求f ( x)在点(1,f （1）)处的切线方程；
（2） 若函数f ( x)存在零点x1，且x1>0.
(ⅰ) 求实数a的取值范围；
(ⅱ) 设x0为f ( x)的极值点，证明：2 x0> x1.
例2.（2024·广东名校教研联盟·5 月押题）已知函数f ( x)=e
x - a
2 x
2，其中e为自然对数的底
数，a∈R.
（1） 当a=1时，求f ( x)的单调区间；
（2） 若f ( x)存在两个不同的极值点x1, x2，且x1< x2.
(Ⅰ) 求实数a的取值范围；
(Ⅱ) 证明x1+ x2>2.
例3.（2025·杭州二中·阶段测试）已知函数f ( x)=e
x- e
12 ( x +1)
3，x∈[0,+∞).
（1） 求曲线f ( x)在(1,f （1）)处的切线方程；
（2） 求f ( x)在[0,+∞)上的单调区间；
（3） 若x1, x2∈[0,+ ∞)，且x1≠x2，满足f ( x1)+ f ( x2)= 2e
3 ，求证：x1+ x2<2.
(参考数据：e≈2.71828⋯)
例4.（2024·重庆南开中学·模拟预测）已知函数f ( x)= x -sin( π
2 x)-aln x , x =1为其极小值
点.
（1） 求实数a的值；
（2） 若存在x1≠x2，使得f ( x1)= f ( x2)，求证：x1+ x2>2.
考法2：结合对数平均不等式证明加法型极值点偏移
例5.（2026·山东名校联盟·5 月评估）已知函数f ( x)= 4 x -aln x - 1
2 x
2-3(a∈R)，若f ( x)
恰有两个极值点x1, x2( x1< x2).
（1） 求a的取值范围；
（2） 证明：f ( x1)+ f ( x2)<4 - ln a.
例6.（2024·广州从化区·模拟预测）已知函数f ( x)= ln x -a x
2.
（1） 讨论函数f ( x)的单调性；
（2） 若x1, x2是方程f ( x)=0的两不等实根，求证：x1
2+ x2
2>2e.
考法3：结合切线证明加法型极值点偏移
例7.（2026·广东佛山·质量检测）已知函数f ( x)= ln x - a( x +1)
x -1
(a≠0).
（1） 讨论f ( x)的单调性；
（2） 若f ( x)存在两个极值点x1, x2，求f ( x1)+ f ( x2)；
（3） 若f ( x)存在两个零点x3, x4，在A( x3,0),B( x4,0)处分别作曲线y = f ( x)的两条切线
l1,l2，证明：l1与l2的交点在y轴上.
【考点一 方法总结】
1. 构造对称函数法（差函数法）：证明x1+ x2>2 x0，可构造F( x)= f ( x)- f (2 x0- x)，
通过判断F( x)的单调性及符号，结合f ( x)的单调性得出结论.处理极值点偏移问题时，若
直接求解极值点困难，可利用极值点满足的导数方程消去参数，将双变量不等式转化为单
变量函数的最值问题.对于含有三角函数的极值点偏移问题，依然遵循“构造对称差函
数”的通法.关键在于准确判断导函数的符号，确定原函数的单调区间，从而保证由函数
值的不等关系能够等价转化为自变量的不等关系.
2. 对数平均不等式法：将极值点偏移问题转化为双变量不等式，通过代数变形分离
变量，利用对数平均不等式
x1- x2
ln x1- ln x2
< x1+ x2
2
放缩证明.对于形如x1
2+ x2
2>c的平方型极值点
偏移，常通过换元转化为一次型的极值点偏移.在证明过程中，若能分离出
x1- x2
ln x1- ln x2的形
式，可直接应用对数平均不等式进行放缩，大大简化证明过程.
3. 切线放缩法：利用函数在某点处的切线作为放缩的桥梁，将复杂的超越函数转化
为一次函数或二次函数进行证明.极值点偏移问题常与切线、零点等综合考查，利用函数
的对称性可以快速得到零点之间的乘积关系.在处理切线交点问题时，将切线方程写出并
令x =0，比较纵坐标是否相等是常规思路.
4. 整体代换法：当极值点是二次方程的根时，优先考虑使用韦达定理整体代换，将
双变量的对称式转化为关于参数的单变量表达式，从而将极值点偏移问题转化为常规的函
数最值证明问题.当题目给出f ( x1)+ f ( x2)=2f ( x0)的形式时，可直接构造对称差函数
F( x)= f ( x)+ f (2 x0- x)-2f ( x0).
考点二：减法型极值点偏移
考法4：构造函数证明减法型极值点偏移
例8.（2026·安徽江淮十校·4 月模拟）已知函数g( x)=e
x-ax -2a- 1
x ,a∈R.
（1） 若g( x)仅有一个零点时，求a的取值范围；
（2） 函数f ( x)= x⋅g( x)，且a> 1
2e.
(ⅰ) 讨论f ( x)的单调性；
(ⅱ) 若存在x1< x2< x3，使得f ( x1)= f ( x2)= f ( x3)，证明：x3- x1<4 a.
例9.（2026·安徽黄山·质量检测）已知函数f ( x)=| x|+ae
- x
2 ,a∈R.
（1） 若a≤0，讨论函数f ( x)的单调性；
（2） 若函数f ( x)有三个零点x1, x2, x3，且x1< x2< x3.
(Ⅰ) 求实数a的取值范围；
(Ⅱ) 若三个零点成等差数列，求这三个零点.
例10.（2026·湖南衡阳八中·适应性考试）已知函数f ( x)= e
2 x
2 -ae
x+ x.
（1） 讨论f ( x)的极值点个数；
（2） 若f ( x)有两个极值点x1, x2，直线y =kx +b过点( x1,f ( x1)),( x2,f ( x2)).
(ⅰ) 证明：k >f
'(ln a
2 )；
(ⅱ) 证明：b< 1
2 -a.
【考点二 方法总结】
1. 减法型极值点偏移通常涉及| x1- x2|或x1- x2的范围证明.
2. 同样可采用构造对称函数法，如构造F( x)= f ( x)- f ( x0+ x)或利用换元法将双变量
转化为单变量函数求最值.当极值点满足x1+ x2=0时，可大幅简化代数变形过程.
3. 对于存在三个相等函数值（即三个交点）的偏移问题，通常需要两两分组，分别
构造对称差函数进行证明.通过寻找合适的对称轴（如极值点或特定常数），将三变量问
题转化为两个双变量的偏移问题.含有绝对值的函数问题，首要步骤是分段去绝对值.在处
理多个零点成等差数列的问题时，利用零点满足的方程，结合等差中项性质，通过指数或
对数运算求出公差是关键.
考点三：乘积型与比值型极值点偏移
考法5：证明乘积型极值点偏移
例11.已知函数f ( x)= x e
x -ax +1, x∈(-1,+∞),(a>0)，g( x)=bx - ln x
x .
（1） 当b=1时，f ( x)和g( x)有相同的最小值，求a的值；
（2） 若g( x)有两个零点x1, x2，求证：x1 x2>e
2.
考法6：结合极值点偏移求最值或参数范围
例12.（2026·山东德州·一模）已知函数f ( x)= x e
x , g( x)=ex(1+ ln x)，若
f ( x1)= g( x2)=m,m>0，则ln m
x1 x2的最大值为
A. 1
e
2
B. 1
C. 2
D. e
2
例13.（2026·安徽铜陵·模拟）已知函数f ( x)= k e
x -a
x
(k >0).
（1） k =1时，对任意t >s>0，有“f ( x)≥f (t )”是“f ( x)≥f (s)”的充分条件，求a的取值
范围；
（2） 若对任意b>0，函数g( x)= f ( x)-b有两个零点x1, x2.
（i） 求a的范围；
（ii） 在（1）的条件下，求当两个零点距离| x1- x2|最小时b的值.
【考点三 方法总结】
1. 乘积型极值点偏移（如证明x1 x2> x0
2），可通过取对数转化为加法型极值点偏移
ln x1+ ln x2>2ln x0，再利用构造对称函数法或对数平均不等式证明.
2. 比值换元法：令t = x1
x2或差值换元法令t = x1- x2，将双变量问题转化为关于t的单变
量函数，利用导数求最值.通过换元将双变量转化为单变量，是突破代数变形瓶颈的关键.
3. 在处理极值点偏移与最值结合的问题时，核心是“减元”.通过极值点或交点满足
的方程，寻找变量之间的关系，将多变量的目标函数转化为单变量函数，再利用导数求最
值.
