文档文本内容
专题21 导数及其应用解答题（一）
（切线方程、单调性及极值与最值）
（五大考点，71 题）
考点分类
十年考情（2017-2026）
命题规律
考点01 求切线方
程
2026 全国二卷、2026 天津、2026
北京、2026 上海、2025 天津、
2024 天津、2024 新课标Ⅱ、2023
北京、2023 全国乙、2023 天津、
2023 上海、2022 天津、2022 全国
甲、2022 全国乙、2022 北京、
2021 天津、2021 北京、2020 天
津、2020 北京、2020 全国Ⅲ、
2019 北京、2018 北京、2018 全国
Ⅲ、2017 山东、2017 北京
1.导数大题开篇基础问，全国各卷
高频必考，难度偏低。
2.核心考法：根据切线条件求函数
参数、求定点处切线方程、切线相
关几何面积最值。
3.常作为题干铺垫，后续衔接单调
性、零点、不等式证明，函数涵盖
多项式、指数、对数、三角函数。
考点02 切线及切
点的应用
2025 北京、2024 北京、2022 浙
江、2021 全国乙、2018 天津、
2017 天津
1.切线拔高综合题型，多为大题第
二、三小问，区分度更高。
2.核心考法：多条切线共点、两条
曲线公切线、切线与曲线位置证
明、切线衍生面积问题。
3.解题关键设切点建立方程，结合
判别式、数形结合判断切点数量。
考点03 利用导数
研究函数的单调性
2025 全国二卷、2024 全国甲、
2023 全国甲、2023 新课标Ⅰ、
2022 新高考Ⅱ、2021 新高考Ⅰ、
2021 新高考Ⅱ、2021 浙江、2021
全国甲、2020 全国Ⅰ、2020 全国
Ⅱ、2019 天津、2018 全国Ⅰ、
2018 全国Ⅱ、2017 全国Ⅰ、2017
全国Ⅱ、2017 全国Ⅲ、2017 天津
1.导数解答题核心主干考点，所有
导数大题基本都会涉及。
2.核心考法：含参函数单调区间分
类讨论、单调性恒成立求参数、结
合零点与不等式综合证明。
3.主流函数载体为指数、对数复合
函数，重点考查分类讨论逻辑。
考点04 函数的极
值及极值点
2025 上海、2024 全国甲、2023 新
课标Ⅱ、2021 全国乙、2019 江
苏、2019 全国Ⅱ、2018 全国Ⅲ、
2017 江苏、2017 全国卷
1.导数中档难点，衔接单调性、零
点、不等式证明。
2.核心考法：求函数极值、由极值
条件反求参数、极值点唯一性证
明、极值范围约束。
3.高频易错点：导数值为0 仅是极
值必要条件，需验证左右导数符号
变化。
考点05 函数的最
值
2025 全国一卷、2022 全国乙、
2022 新高考Ⅰ、2017 全国Ⅲ、
2017 浙江
1.常规综合考点，常搭配区间限
制、恒成立、整数约束出题。
2.核心考法：闭区间最值、函数全
局最值、满足恒成立的参数最值、
数列相关最值约束。
3.常借助最值完成不等式放缩与恒
成立证明。
考点01 求切线方程
1. （2026·全国二卷·高考真题）已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
，
；
(2)当
时，
，求
的取值范围；
(3)当
时，
，求
的最小值．
2. （2026·天津·高考真题）已知
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明
；
(3)求实数
的最大可能值，使得
对任意的
都成立．
3. （2026·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线
方程为
．
(1)求
，
的值；
(2)求
的极值点个数；
(3)求
与
交点个数．
4. （2026·上海·高考真题）已知
，函数
，
．
(1)已知
，求
的解集；
(2)已知
，是
在点
处的切线，
是过点
且垂直于的直线，
与、
在第一象限
内均无公共点，求
的取值范围．
5. （2026·上海·高考真题）已知函数
.
(1)当
，
，求函数
在
处的切线方程；
(2)若函数
的最小正周期为
，且
在
上恰好有1351 个解，求
的取值范围.
6. （2025·天津·高考真题）已知函数
(1)
时，求
在点
处的切线方程；
(2)
有3 个零点，
且
.
（i）求a 的取值范围；
（ii）证明
．
7. （2024·天津·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
对任意
成立，求实数
的值；
(3)若
，求证：
．
8. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
9. （2023·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
10. （2023·全国乙卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若函数
在
单调递增，求
的取值范围．
11. （2023·全国乙卷·高考真题）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若
在
存在极值，求a 的取值范围.
12. （2023·天津·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)求证：当
时，
；
(3)证明：
．
13. （2023·上海·高考真题）令
，取点
过其曲线
作切线交y 轴于
，取点
过其作切线交y 轴于
，若
则停止，以此类推，得到数列
．
(1)若正整数
，证明
；
(2)若正整数
，试比较
与
大小；
(3)若正整数
，是否存在k 使得
依次成等差数列？若存在，求出k 的所有取值，若不存在，试
说明理由．
14. （2022·天津·高考真题）已知
，函数
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若曲线
和
有公共点，
（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
．
15. （2022·全国甲卷·高考真题）已知函数
，曲线
在点
处的切
线也是曲线
的切线．
(1)若
，求a；
(2)求a 的取值范围．
16. （2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
在区间
各恰有一个零点，求a 的取值范围．
17. （2022·北京·高考真题）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
在
上的单调性；
(3)证明：对任意的
，有
．
18. （2021·天津·高考真题）已知
，函数
．
（I）求曲线
在点
处的切线方程：
（II）证明
存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得
对任意
成立，求实数b 的取值范围．
19. （2021·北京·高考真题）已知函数
．
（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
在
处取得极值，求
的单调区间，以及其最大值与最小值．
20. （2020·天津·高考真题）已知函数
，
为
的导函数．
（Ⅰ）当
时，
（i）求曲线
在点
处的切线方程；
（ii）求函数
的单调区间和极值；
（Ⅱ）当
时，求证：对任意的
，且
，有
．
21. （2020·北京·高考真题）已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
的斜率等于
的切线方程；
（Ⅱ）设曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
，求
的最小值．
22. （2020·全国III 卷·高考真题）设函数
，曲线
在点(
，f(
))处的切线与y 轴垂
直．
（1）求b．
（2）若
有一个绝对值不大于1 的零点，证明：
所有零点的绝对值都不大于1．
23. （2019·北京·高考真题）已知函数
.
（Ⅰ）求曲线
的斜率为1 的切线方程；
（Ⅱ）当
时，求证：
；
（Ⅲ）设
，记
在区间
上的最大值为M（a），当M（a）最小时，
求a 的值．
24. （2018·北京·高考真题）设函数
=[
]
．
（1）若曲线
在点（1，
）处的切线与
轴平行，求
；
（2）若
在
处取得极小值，求
的取值范围．
25. （2018·北京·高考真题）设函数
.
（Ⅰ）若曲线
在点
处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若
在
处取得极小值，求a 的取值范围.
26. （2018·全国III 卷·高考真题）已知函数
．
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）证明：当
时，
．
27. （2017·山东·高考真题）已知函数
.
(I)当a=2 时,求曲线
在点
处的切线方程；
(II)设函数
,讨论
的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
28. （2017·北京·高考真题）已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值和最小值．
考点02 切线及切点的应用
1. （2025·北京·高考真题）已知函数
的定义域是
，导函数
，设是
曲线
在点
处的切线．
(1)求
的最大值；
(2)当
时，证明：除切点A 外，曲线
在直线的上方；
(3)设过点A 的直线
与直线垂直，，
与x 轴交点的横坐标分别是
，
，若
，求
的
取值范围．
2. （2024·北京·高考真题）设函数
，直线是曲线
在点
处
的切线．
(1)当
时，求
的单调区间.
(2)求证：不经过点
.
(3)当
时，设点
，
，
，
为与
轴的交点，
与
分别表示
与
的面积．是否存在点
使得
成立？若存在，这样的点
有几个？
（参考数据：
，
，
）
3. （2022·浙江·高考真题）设函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)已知
，曲线
上不同的三点
处的切线都经过点
．证
明：
（ⅰ）若
，则
；
（ⅱ）若
，则
．
（注：
是自然对数的底数）
4. （2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线
的焦点为
，且
与圆
上点的距离的最小值为
．
（1）求
；
（2）若点
在
上，
是
的两条切线，
是切点，求
面积的最大值．
5. （2021·全国乙卷·高考真题）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）求曲线
过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标．
6. （2018·天津·高考真题）已知函数
，
，其中a>1.
（I）求函数
的单调区间；
（II）若曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线平行，证明：
；
（III）证明：当
时，存在直线l，使l 是曲线
的切线，也是曲线
的切线.
7. （2017·天津·高考真题）设
，
.已知函数
，
.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）已知函数
和
的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：
在
处的导数等于0；
（ii）若关于x 的不等式
在区间
上恒成立，求b 的取值范围.
考点03 利用导数研究函数的单调性
1. （2025·全国二卷·高考真题）已知函数
，其中
．
(1)证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设
分别为
在区间
的极值点和零点.
（i）设函数
.证明：
在区间
单调递减；
（ii）比较
与
的大小，并证明你的结论．
2. （2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)当
时，证明：当
时，
恒成立．
3. （2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
，求
的取值范围．
4. （2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
恒成立，求a 的取值范围．
5. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
6. （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)当
时，
，求a 的取值范围；
(3)设
，证明：
．
7. （2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：
只有一个零点
①
；
②
．
8. （2021·浙江·高考真题）设a，b 为实数，且
，函数
（1）求函数
的单调区间；
（2）若对任意
，函数
有两个不同的零点，求a 的取值范围；
（3）当
时，证明：对任意
，函数
有两个不同的零点
，满足
.
(注：
是自然对数的底数)
9. （2021·全国甲卷·高考真题）设函数
，其中
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
的图象与
轴没有公共点，求a 的取值范围.
10. （2021·全国甲卷·高考真题）已知
且
，函数
．
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
11. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，
为两个不相等的正数，且
，证明：
.
12. （2020·全国I 卷·高考真题）已知函数
.
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）若
有两个零点，求
的取值范围.
13. （2020·全国II 卷·高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c 的取值范围；
（2）设a>0 时，讨论函数g（x）=
的单调性．
14. （2020·全国II 卷·高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：
；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
.
15. （2019·天津·高考真题）设函数
为
的导函数.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）当
时，证明
；
（Ⅲ）设
为函数
在区间
内的零点，其中
，证明
.
16. （2018·全国II 卷·高考真题）已知函数
．
（1）若
，求
的单调区间；
（2）证明：
只有一个零点．
17. （2018·全国I 卷·高考真题）已知函数
．
（1）设
是
的极值点．求
，并求
的单调区间；
（2）证明：当
时，
．
18. （2018·全国I 卷·高考真题）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
存在两个极值点
，证明：
．
19. （2017·全国I 卷·高考真题）已知函数
（1）讨论
的单调性；
（2）若
有两个零点，求
的取值范围.
20. （2017·天津·高考真题）设
，已知定义在R 上的函数
在区间
内
有一个零点
，
为
的导函数.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）设
，函数
，求证：
；
（Ⅲ）求证：存在大于0 的常数
，使得对于任意的正整数
，且
满足
.
21. （2017·全国III 卷·高考真题）已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）当
时，证明
.
22. （2017·全国II 卷·高考真题）设函数
.
（I）讨论函数
的单调性；
（II）当
时，
，求实数
的取值范围.
考点04 函数的极值及极值点
1. （2025·上海·高考真题）已知
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若函数
满足在
上存在极大值，求m 的取值范围；
2. （2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
3. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
，若
是
的极大值点，求a 的取值范围．
4. （2021·全国乙卷·高考真题）设函数
，已知
是函数
的极值点．
（1）求a；
（2）设函数
．证明:
．
5. （2019·江苏·高考真题）设函数
，
为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a 的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和
的零点均在集合
中，求f（x）的极小值；
（3）若
，且f（x）的极大值为M，求证:M≤
．
6. （2019·全国II 卷·高考真题）已知函数
.证明：
（1）
存在唯一的极值点；
（2）
有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
7. （2018·全国III 卷·高考真题）已知函数
．
（1）若
，证明：当
时，
；当
时，
；
（2）若
是
的极大值点，求
．
8. （2017·江苏·高考真题）已知函数
有极值，且导函数
的极值点
是
的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：b²>3a;
（3）若
，
这两个函数的所有极值之和不小于
，求a 的取值范围．
9. （2017·全国·高考真题）已知函数
．
(1)若
，求
的取值范围；
(2)求
的极小值．
考点05 函数的最值
1. （2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数
在区间
的最大值；
（2）给定
和
，证明：存在
使得
；
（3）设
，若存在
使得
对
恒成立，求b 的最小值．
2. （2022·全国乙卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的最大值；
(2)若
恰有一个零点，求a 的取值范围．
3. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数
和
有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
4. （2017·全国III 卷·高考真题）已知函数
．
（1）若
，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n，
，求m 的最小值．
5. （2017·浙江·高考真题）已知函数
（I）求
的导函数
（II）求
在区间
上的取值范围
