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微专题11 导数解答题之极最值问题
【秒杀总结】
1、利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从
而求得极最值．只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或
其中部分函数再一次求导，确定单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与
参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，对新函数再用导数进行求值、证明等操
作．
【典型例题】
例1．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）已知函数 （ 为非零常数），
记 ， .
(1)当 时， 恒成立，求实数 的最大值；
(2)当 时，设 ，对任意的 ，当 时， 取得最小值，证
明： 且所有点 在一条定直线上；
(3)若函数 ， ， 都存在极小值，求实数 的取值范围.
例2．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知函数
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调区间；
(3)设 ，若函数 在区间 上存在极值点，求 的取值范围.
例3．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知函数 .
(1)若 ，求证；函数 的图象与 轴相切于原点；
(2)若函数 在区间 ， 各恰有一个极值点，求实数 的取值范围.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .若函数 有两
个极值点 ，且不等式 恒成立，试求实数 的取值范围.
例5．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知函数f（x）＝ae﹣x+lnx
﹣1（a∈R）．
(1)当a≤e时，讨论函数f（x）的单调性：
(2)若函数f（x）恰有两个极值点x，x（x＜x），且x+x≤2ln3，求 的最大值．
1 2 1 2 1 2
例6．（2023·重庆·统考一模）已知函数 ，设 为 的
导函数 ．
(1)讨论 的零点个数；
(2)当 时，记 的最小值为 ，求 的最大值．
例7．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数 .
(1)若函数 在定义域上单调递增,求 的最大值;
(2)若函数 在定义域上有两个极值点 和 ,若 ,求 的最大值.例8．（2023秋·山西运城·高三统考期末）已知 ．
(1)求证： 恒成立；
(2)令 ，讨论 在 上的极值点个数．
【过关测试】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中a为
大于0的常数，若 ．
(1)讨论 的单调区间；
(2)若 在 取得极小值，求 的最小值．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的所有零点；
(2)若 ，证明函数 不存在极值．
3．（2023·四川内江·统考一模）已知函数
(1)当 时，求f（x）的单调递增区间：
(2)若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证： .4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为常数 ，且 在定义
域内有两个极值点.
（1）求 的取值范围；
（2）设函数 的两个极值点分别为 ，求 的范围.
5．（2023·四川攀枝花·统考二模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)设函数 ，若 有两个零点 ， ，且 为 的唯一极值点，
求证： ．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，设 ， ，函数 有两个极值点
．
①求m的取值范围；
②若 ，求 的取值范围．
7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知函数 有两
个极值点 ， .
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证： .8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若函数 有两个极值
（i）求实数 的取值范围；
（ii）求 极大值的取值范围.
(2)对于函数 ，都有 ，则称 在区间 上是凸
函数.利用上述定义证明，当 时， 在 上是凸函数.
9．（2023秋·黑龙江绥化·高三校考期末）已知实数 ，函数
， 是自然对数的底数.
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)求证： 存在极值点 ，并求 的最小值.
10．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知函数 ，其中 为实数，
是自然对数的底数．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 为 的导函数， 在 上有两个极值点，求 的取值范围．11．（2023·福建·统考一模）已知函数 ．
(1)讨论 的极值点个数；
(2)若 有两个极值点 ，且 ，当 时，证明： ．
12．（2023秋·安徽合肥·高三校考期末）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，且当 时，函数 恰好有两个极值点，求实数 的取值
范围．
13．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）设函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，且 在区间 上有极值，求实数a的取值范围.
14．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数 ， .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时，设函数 的两个极值点为 ， ，证明：
.15．（2023秋·河南开封·高三统考期末）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 是函数 的极小值点，求a的取值范围．
16．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知函数 ．
(1)若 是 的极值点，求a；
(2)若 ， 分别是 的零点和极值点，当 时，证明： ．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 是 的一个极值点，求 的极值；
(2)设 的极大值为 ，且 有零点，求证： ．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 在 处的切线与 轴平行，求 的值；
(2) 有两个极值点 ，比较 与 的大小；
(3)若 在 上的最大值为 ，求 的值．19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调递增区间；
(2)设函数 ，若 在 上存在极值，求a的取值范围.
